COS*A

sin — = ces h sin ( 4^** H ) •

L'équation (3) donne, pour la hauteur limite du Soleil,

Les différentes valeurs relatives à ce parhélie sont

• Parhélie de 46" (un angle droit).

Hantonr Déviation Distance Déviation

da Soleil miuimam an halo Azimut maximam Étendue

A- A. Ô. ajr. A'. S'.

10 46 49 . I 5 59 i3 58 14 II 25

L'écart 3 du parhélie et l'étendue de la queue varieut eucore daus le même sens que précédemment, mais la déviation maximum ÙJ est toujours croissante.

Comme la hauteur maximum du Soleil (32^12') est beaucoup moindre que le rayon du halo, ce parhélie ne peut être visible qu'auprès des branches latérales d'un halo incomplet.

Une autre explication de ce parhélie consiste à admettre que la lumière a été réfractée deux fois par un dièdre à axe vertical de 60°, soit dans deux prismes hexagonaux successifs, soit dans deux angles successifs d'un prisme à base d'hexagone étoile.

Dans le premier cas, le phénomène serait une image secondaire du premier parhélie, et il suffirait de doubler la déviation minimum relative au parhélie de 22".

Dans le second cas, si l'on désigne par a + Xi la projection de l'angle d'incidence relatif à la face d'entrée du deuxième dièdre de l'étoile, on a

i2o"=ia H- a:'-h «-h J?i, a:' h- J^i =1 60°.

La déviation minimum a lieu évidemment, par raison de symétrie, lorsque les angles x' et Xi sont égaux entre eux, auquel cas la somme a + a:' est égale à 60®; les équations (i) donnent alors, en désignant par A la déviation minimum relative à l'ensenable des deux réfractions,

. , , cosh . ^ ^ sin(a — y)=^ 7 sinoo®,

/ V y • / X 'i CCS k . .

(9) \ sin(a4-x)=-^^^sin(a+7),

sin -y := cos/j sin r= cos/j sin

in(f 4-150).

La hauteur maximum du Soleil correspond à a 4- ^z? = 90*^ ; on déduit alors des équations (9)

7 3=2»22',3 et /i = 57<>33'.

Les éléments du parhélie de 46", calculés dans ces deux hypothèses d'une double réfraction par des dièdres de 60® pour différentes hauteurs du Soleil, seraient :

Parhélie de 46°.

Doux prismes successifs Deux angles successils

de 60°. du prisme étoile.

Hauteur Déviation Distance Déviation Distance

du Soleil minimum au halo minimum an halo

Dans la première hypollièse, le parhélie se distinguerait difficilement du halo ; il aurait pour eflet d'en diminuer le diamètre horizontal quand le Soleil est voisin de l'horizon et de l'augmenter pour les hauteurs plus grandes.

Avec le prisme étoile, le parhélie est toujours en dehors du halo et sa distance varie d'abord très lentement.

Le phénomène est d'ailleurs assez rare, sans beaucoup d'éclat, et l'observation ne permet guère de décider à laquelle de ces trois explications il convient de le rapporter.

762. Anthélle et paranthélies. — Les rayons qui ont subi plusieurs réflexions extérieures ou des réflexions intérieures entre les faces d'entrée et de sortie peuvent encore donner lieu à des images fixes sur le cercle parhélique. Nous supposerons d'abord que le Soleil est très près de l'horizon. La loi de Descartes s'applique alors aux projections des rayons sur la section droite des prismes; la déviation est la même que si ces rayons étaient situés dans la section droite.

Les angles i et r se rapportant encore à la face d'entrée, r' et ! à la face de sortie, la déviation d'un rayon qui a subi p réflexions intérieures, de sorte que les faces d'entrée et de sortie soient séparées par/? 4- I dièdres A, a pour expression (71)

(10) D = / 4- i' -^pTZ->r SA,

laquelle devient, si tous les dièdres sont égaux entre eux, (10/ D = i + /' + /?ic-(/>4-i)A

el, si le nombre des réflexions est impair,

(10)" D =z 2/H-/>Tr — (^ -H l)A.

Dans ce dernier cas, la direction de la lumière émergente ne dépend ni de la nature du prisme ni de la couleur; elle est la même que si la réflexion était unique sur un miroir plan dirigé d^une manière convenable, par rapport au prisme, et ne peut pas donner d'images fixes.

Supposons d*abord que la section FPQQ' {^Jig, 372) soit rec-

tangulaire et que le rayon M' S' émerge par la face d'entrée, après avoir subi deux réflexions intérieures; on considérera alors les deux premiers angles A| et Ag en P et Q comme droits et le troisième A3, produit entre les faces QQ' et P'P, comme nul. Les angles r et ri du rajon avec la normale dans l'intérieur du prisme sont complémentaires en M et N, N et N', de sorte qu'ils ont les mêmes valeurs en M et N'; l'angle r' à la sortie satisfait donc à la condition r + r'= o, d'où résulte aussi e -h £*'= o, et la déviation

se réduit à

D=^7r — SA~r.

Le rayon revenant sur lui-même, comme il est facile de le voir directement, quel que soit l'angle d'incidence, il en résulte sur le cercle parhélique une image blanche à l'opposé du Soleil : c'est Vanthélie, avec une signification un peu difl'érente de celle qui a été adoptée précédemment (733), puisque cette image se trouve sur le cercle parhélique et non à l'opposé du Soleil.

Les étoiles à base d'hexagone dont un des côtés est vertical présentent ainsi une section rectangulaire et suffisent pour expliquer la formation de l'anthélie.

Si la lumière émerge par la troisième face P'Q', après avoir subi deux réflexions intérieures, la déviation est minimum quand

les angles r et r' sont égaux, puisque leur somme est toujours égale à 90'', et Ton a

Dr=2«H-2Tr — 3-=:2l-f- - =7r-H45*44'- 2 2

C'est un paranthélie irisé que Ton voit à 45^44' de Tanthélie, et dont le bord rouge, qui correspond à la moindre déviation, esl du côté de Tanlhélie, la queue de cette image paraissant dirigée vers le Soleil.

Pour un prisme à base de triangle équilatéral on fera A = 60". La déviation relative à deux réflexions intérieures est

cette déviation est minimum pour

/• =: /■• .— 3o°, sin / =r - m 40® 55', D = 7c-h8io5o'.

On obtient ainsi un deuxième /?ar(2/î/Ae//e à 8 i^^SoMeTanthélie, c'est-à-dire à 98® lo' du Soleil, et dont le bord irisé de rouge est encore tourné vers l'anthélie.

D'une manière générale, un nombre pair 2 m de réflexions intérieures donnerait, comme déviation minimum,

D=8io5o'-h(2m--^^^î^^ir:rr8i°5o'-h

Ces images seraient successivement à tî + 60** l'une de l'autre; elles peuvent se produire encore, mais de plus en plus aflaiblies.

Dans un prisme à base hexagonale, dont les angles sont de 120**, les rayons ne peuvent pas émerger après avoir subi deux réflexions sur des faces adjacentes, car on aurait

/— r'z=.^z=6oo,

tandis que l'angle limite de réfraction est seulement de 49** 4^'» 6- Toutefois, ce rajon réfléchi sur les surfaces i et 2 est capable d'émerger par la surface 4; on fera donc A,= A2=i2o**, A3= 60"

et le minimum de déviation a lieu pour

=iir — SS^io'.

Il en résulte un troisième paranthélie, à 38** 10' de Tanthélie, mais cette fois le bord irisé de rouge est tourné vers le Soleil.

On observe souvent à 60® de Tanthélie ou iao° du Soleil, un paranthélie blanc qui correspond à une déviation de Tcdiôo". Bravais en donne plusieurs explications.

i"* Les prismes à base hexagonale étoilée ayant un angle rentrant de iao°, la déviation des rayons réfléchis extérieurement sur les deux faces de cet angle est indépendante de leur orientation (59) et double de Pangle (60") que fait Tune d'elles avec le prolongement de Tautre; il en résulte une image blanche à 120^ du Soleil et de mêmes dimensions que la source, mais cette image doit avoir très peu d'éclat.

a** De même, la réflexion sur les deux faces qui forment Tangle rentrant (60**) d'un prisme à base de dodécagone étoile donnera une déviation de 2(11 — 60**)= 271 — 120", c'est-à-dire encore une image à 120^ du Soleil.

3° Si la base du prisme est un hexagone allongé ou un losange (Jig. 378), le rayon SIMMTS' entré par une face peut sortir par

Fîg. 373.

une face voisine après avoir subi deux réflexions sur les faces opposées. Les angles A| et A3 étant égaux et l'angle intermédiaire A2 double de chacun d'eux (74), la somme i + e' est nulle et la déviation se réduit à

D = 2it — SA =: lao'».

Lorsque le rayon incident est normal à la face d'entrée, le rayon

émergent est normal à la face de sortie. L'intensité de cette image blanche est beaucoup plus grande parce que les réflexions intérieures sont le plus souvent totales.

M. Soret (*) a constaté par expérience qu'un prisme en verre à base hexagonale fournit une image blanche à 1 20° de la source quand on le fait tourner autour de son axe. La marche de la lumière serait alors SIM MTS' {fig- 374). Dans ce cas, les angles

Fig. 37^.

A| et A2 étant égaux à 60" et l'angle A3 nul, on a

/• -h r, =Z Ti -h /'î, Tj H- /•' =1 o = /• -h /•'.

La somme des angles i -\- i est encore nulle et la déviation

D =r 2 77— (ir — Go°)" TT 4-60*

donne également une image blanche à 60** de l'anthélie, mais les réflexions intérieures ne sont plus totales.

On obtiendrait encore la même image, soit avec d'autres combinaisons pour les prismes à base hexagonale allongée, par exemple A« = A2= 1^0" et A3 = o, soit avec les différentes faces du prisme à base de dodécagone étoile.

Enfm la théorie pourrait indiquer beaucoup d'autres images, blanches ou colorées, d'intensités plus faibles, qui ne paraissent pas correspondre aux observations les plus fréquentes.

Dans tous les cas, le déplacement des images blanches en azimut est indépendant de la hauteur du Soleil.

Pour les images colorées, on voit de même, en appelant u et t» les projections sur la section droite des angles d'incidence et de

(') J.-L. Soret, Ann, de Chim, et de Phys. [6], t. XI, p. -JiS; 1887.

réfraction, que la projection du rayon émergent, après p réflexions intérieures, a tourné de

R=iM-ha'-h/?'rc — SA;

les angles v sont liés aux dièdres comme les valeurs précédentes des angles r, tandis que le rapport des sinus des angles w et i^ relatifs à

une même réfraction est éffal à r-*

^ cos II

On déterminerait la valeur minimum R du déplacement azi-

mutal; la déviation minimum A serait donnée par

sm- = cos h sin — > 2 2

et la diflerence 3 = A — D représente l'écart des images à la position qui correspondait aux rajons situés dans la section droite; toutefois le problème n'offre pas assez d'intérêt pour que le calcul soit poussé jusqu'aux valeurs numériques.

En résumé, les principales images qui se forment sur le cercle parhélique sont {fig. 875) :

Fig. 375.

1" Les intersections IIi et H^ des halos de 22® et de 46"; 2" Les parhélies voisins P| et V^)

3° L'anthélie S', à l'opposé du Soleil, et le paranthélie blanc A à Ce" de l'anthélie ;

4° Les paranthélies Al et A2, respectivement à 45**44' et 8 i®5o' de Tanthélie, dont le bord rouge est à Topposé du Soleil.

5° Le paranthélie B à 38° 10' de Tanthélie, et dont le bord rouge est dirigé vers le Soleil.

763. Arcs tangents au halo de 22°. — Lorsque les lames hexagonales sont symétriques et verlicales, les faces latérales peuvent prendre des directions arbitraires. Les dièdres de 60° ont ainsi leurs arêtes horizontales et le point de fuite correspondant se trouve sur l'horizon.

Supposons d'abord le Soleil S à Thorizon (Jig. 376). Soit T la

trace de la normale au vertical du Soleil, B le point de fuite d^un système de prismes et a Tangle TB, lequel est égal, dans le cas actuel, à la latitude du Soleil par rapport au prisme. Les images se trouvent sur le petit cercle SS| ayant pour pôle le point B et rimage S' relative au minimum de déviation, qui a le plus d'éclat, est située sur un petit cercle de rayon A décrit du point S comme pôle. Le lieu de ces images est une courbe MCN (Jlg* 377), extérieure au halo et tangente au sommet C, puisque le point S' se trouve sur le halo quand l'augle a est nul.

L'angle a doit être inférieur à 6o**4^S de sorte que les points de fuite des prismes efficaces sont compris dans Tangle de i2i**3o'.

D'une manière générale, l'angle dièdre SBS'= p (Jig- 376) est l'azimut de l'image rapporté à la section droite du prisme; les angles A et j3 = x seront donnés par les équations (2) en fonction de a = A. Les coordonnées SQ = Ç et QS'= t^ de l'image et l'inclinaison Y du grand cercle S'S sur l'horizon sont alors

sinT) =i:cosasinp = sînAsinY,

C0SA=i:C0s5c0Srj.

Le point le plus éloigné M {Jig. 877) de l'arc tangent correspond aux valeurs

ce qui donne

T,z=MQ =i4' 8,

5zz:SQ :=48 27i Y=:MSQ:=i8 3/h