MP
Fig. 377.
Toutefois la lumière s'affaiblit beaucoup vers les extrémités de Tare et Ton n'en voit guère que les parties les plus rapprochées du point de contact.
Il se produirait aussi un arc tangent symétrique M'C'N' par la réfraction sur les angles dièdres de la partie inférieure des lamelles, mais cette courbe est invisible à l'observateur puisque le halo lui-même est limité à l'horizon.
Supposons maintenant que le Soleil S soit situé à la hauteur IF {fig. 378). On a d'abord
cosBS = cosHsina.
Comme l'arc BS est le complément de la latitude h du Soleil par rapport aux prismes, il doit rester supérieur à 29" 1 5', ce qui donne,
pour Tangle a,
sina <
cos29<»i5' cosii
Tant que la hauteur du Soleil reste inférieure à 29** 1 5', tous les prismes ne sont pas efficaces et la courbe est formée de branches ouvertes. Lorsque le Soleil est plus élevé, Tangle a peut prendre toutes les valeurs ; les deux branches MN et M'N' se rejoignent alors en formant une courbe fermée NCMC (J^g- 379).
Fig. 379.
Enfin, le plan des axes des différents prismes ne passant plus par le Soleil, les courbes MN etM'N' (Jig. 877) ne restent pas symétriques. Pour un même point de fuite, le petit cercle des images passant par le Soleil n'est pas vertical et les points où il est coupé par le cercle de rayon correspondant à la déviation A ne sont plus situés à égale distance du vertical du Soleil.
Quand la courbe est fermée (Jlg' ^79), le Soleil étant au-dessus de 29"! 5', elle présente l'apparence d'une ellipse dont les extrémités du grand axe seraient abaissées; c'est le halo circonscrit, qui se produit fréquemment.
La plus grande déviation correspond au cas où l'arc BS est minimum {/ig' 378), c'est-à-dîre pour les conditions a = go» et A = 90** — H. Le point de fuite P des prismes étant dans le vertical du Soleil, le lieu des images est alors un petit cercle ayant pour pôle le point P et la déviation est moindre que 5o®4'« Le halo circonscrit se resserre donc de plus en plus à mesure que le Soleil s'élève au-dessus de l'horizon.
Les points exlrêraes M et N de ce halo {Jig* 379) s'obtiendront en traçant le petit cercle NSM vertical que Ton coupera par un autre cercle ayant pour pôle le point S, et dont le rayon A est la déviation minimum relative à la valeur h = 90** — H.
L'angle SPM étant l'azimut 2X de l'image par rapport à la section droite du prisme, cet angle représente l'inclinaison SPM du grand cercle PM sur le vertical du Soleil \ les coordonnées \ = PQ et T, = MQ du point xM sont alors
tangî = tangH sinaj", sinr, =:sinHcos2j:.
La distance au cercle parliélique de l'extrémité M du halo circonscrit est égale à H — t^. Ce point ne se trouve d'ailleurs audessus de l'horizon que si l'angle ix est inférieur à 90°, ou la hauteur H du Soleil supérieure à 3o**44'' Oi* trouve ainsi :
Halo circonscrit au halo de 11°.
Distance Haateur Position des points extrêmes au cercle
du Soleil — -^■^^— - ^^ parhéliquo
H. ix. l. tj. H — Tï.
60 5o li 53 6 33 37 26 23
Les arcs tangents au halo de 22", ou le halo elliptique circonscrit, peuvent ainsi être considérés comme la transformation du parhélie de 22** quand l'axe des prismes passe de la position verticale à une direction horizontale.
Toi. Arcs quasi tangents au halo de 46''. — L'accumulation des prismes verticaux donne lieu à une série d'angles droits, dont l'une des faces reste horizontale, l'autre étant orientée au hasard, de sorte que le point de fuite des dièdres correspondants est en un point quelconque de l'horizon.
Les phénomènes produits sont alors la transformation du halo de 46^ quand l'axe de cristallisation passe d'une direction horizontale à la direction verticale.
Sur toutes les bases de ces prismes, Tangle d'incidence t est constant et égal au complément 90° — H de la hauteur du Soleil, la latitude h pouvant prendre toutes les valeurs de o** à H.
L'angle p = NS' {fig- 371) de l'image avec la normale à la face d'entrée est donné par l'équation (5) et les équations (i) permettent de déterminer pour chaque valeur de h les coordonnées de cette image.
Dans le cas actuel, où Tangle a est de 45®, les angles a±x sonl complémentaires et l'on obtient successivement
cosp = ces A sio(a H- œ') = /icosA:cos(a — y)^ cosp = n cosr = \hi- — cos*H, (11) cos'H-h cos*p = /1-.
Comme l'angle p est constant, toutes les images se trouvent sur un cercle parhélique circiimzénithaL
Les plans verticaux qui passent par le Soleil et l'image foni rangleSNS'=eetrona
sxïïh z=z sinisincp = cosH sino =1 sinp sin(<p -h 6).
Pour une hauteur déterminée du Soleil, la plus grande valeur de h relative aux angles efficaces est égale à p, auquel cas l'angle 6 est aussi maximum et complémentaire de o, ce qui donne
• A • • sin*p n* — I
cos'6 = sin»©= — j4i = ' m*
cos'H cos*H
sin»6:
cos^H
La courbe est donc interrompue. L'angle azimutal 28 des points extrêmes croît avec la hauteur II, mais l'éclat diminue beaucoup à mesure qu'on s'écarte du vertical du Soleil.
L'angle azimutal est minimum quand le Soleil est à l'horizon :
H = o, sin«e = /i>— I, e = 57«48', 2e = ii5''36'. Cet angle est maximum pour la condition
26=180°, C0S*Hrrr/i«— I, H=r32<»12';
la moitié du cercle parhélique est alors illuminée, mais ce cercle se réduit au zénith, puisque p = o.
ROLE DES CRISTAUX DE GLACE. 5oi
Enfin la réfraction n^est plus possible quand la hauteur du Soleil est supérieure à celte valeur limite 82** 12'.
La distance S du Soleil au cercle parhélique des images est donnée par la condition
qui correspond aux dièdres dont l'arête est perpendiculaire au vertical du Soleil.
Cette expression étant symétrique par rapport aux angles H et p, qui satisfont à Téquation symétrique (i i), la valeur minimum de l'écart 8 correspond à H = p ou
2 ces' H =in^, H = 22*>8'.
L'angle d'incidence est alors de 67^52', ce qui correspond à la déviation minimum du halo de 46" (758). La distance 5 est donc égale à D et le cercle parhélique est tangent au halo.
Pour toutes les hauteurs du Soleil voisines de 22" 8', cet arc paraît encore tangent au halo, dont il augmente le diamètre vertical. Comme il est placé sur un petit cercle ayant pour pôle le zénith, il semble former un arc de courbe à la partie supérieure du halo; c'est un arc tangent.
Quand le Soleil est à une hauteur très différente, l'arc se dessine à l'extérieur du halo. Si le Soleil est à Thorizon, on a
11 = 0, sin>8=:cos*p = /i*— I, 8 = 57048',
et la distance de l'arc au halo est de 12° 4'»
Cet arc est souvent très lumineux, vivement coloré de rouge sur son bord convexe tourné vers le Soleil, et prend quelquefois un tel éclat qu'on a pu le confondre avec un arc-en-ciel.
La marche inverse de la lumière, c'est-à-dire son entrée par une face latérale du prisme et sa sortie par la base inférieure, donne lieu à un phénomène analogue.
En appelant p' l'angle d'émergence, il suffira de remplacer H par 90° — p' et p par 90** — H, ce qui donne
(11)' sin*p'H- sin*H=: n'. .
Les images se trouvent également sur un cercle parhélique circumzénithal de rayon p', passant au-dessous du Soleil.
La distance o' de cet arc au Soleil est
(12)' p'—ù'-hll = go% S'=p'4-H — 9o^
Cette valeur de 8' est encore symétrique par rapport aux angles o' et H; le minimum a lieu pour ^'= H ou
2sinMI = /i«, Hz3 67«52'.
L'angle d'incidence correspond aussi à la déviation minimum du halo de 43", auquel l'axe est tangent à sa partie inférieure.
Cet arc ne peut paraître que si la hauteur du Soleil est supérieure à celle qui donnerait p'= 90° ou
sin*H=:/i«— I, 11 = 57048';
on le voit alors près de l'horizon, à 12** 4' ^^ halo.
Les deux arcs horizontaux voisins du halo de 46° ne sont donc pas visibles en même temps. L'arc supérieur apparaît quand la hauteur du Soleil est moindre que 82"! 2', auquel cas il se trouve au zénith; l'arc inférieur est visible seulement quand le Soleil est au-dessus de 57^48', hauteur pour laquelle il se trouve à l'horizon. L'un et l'autre disparaissent quand la hauteur du Soleil est comprise entre ces deux limites.
On verra ainsi l'arc supérieur à Test ou à l'ouest et l'arc inférieur seulement vers le sud.
Le Tableau suivant donne les valeurs relatives à différentes hauteurs du Soleil.
Arcs quasi tangents au halo de 46**.
Arc supérieur.
Arc inférieur.
Hauteur
Distance
Amplitude
Hauteur
Distance
Amplitude
du Soleil
au halo
de Tare
du Soleil
au halo
de l'arc
aO.
lO.
ii5*36
if8 5i
ROLE DES CRISTAUX DE GLACE. 5o3
763. Arcs tangents latéraux au halo de 46**. — Les arcs quasi langents inférieur el supérieur à ce halo correspondent, pour les prismes verticaux, au parhélie de 22**. De même, lorsque l'axe des prismes est horizontal, les lamelles hexagonales étant verticales, la réfraction sur les angles droits donne lieu à des arcs obliques latéraux^ qui sont corrélatifs des arcs tangents au halo de 22** et peuvent être considérés comme la transformation des arcs quasi tangents.
Les axes de tous les prismes ont leur point de fuite sur l'horizon. Pour les prismes orientés dans une direction déterminée, si les rayons lumineux entrent par la base et sortent par une face latérale, ou inversement, le lieu des images est un petit cercle ayant pour pôle le point de fuite du prisme et pour rayon l'angle p ou l'angle p'.
L'enveloppe de ces différents cercles dessinera sur le ciel une courbe de forme particulière présentant un maximum d'éclat sur une partie de son étendue.
Considérons d'abord le premier cas. Le moindre écart des images au Soleil a lieu quand la distance du Soleil à l'axe est de 67^*52', c'est-à-dire complémentaire de 22^8'.
Si la hauteur du Soleil SP (Jfff- 38o) est moindre que cet angle, on déterminera sur l'horizon le point B par l'intersection d'un petit cercle ayant pour pôle le Soleil et pour rayon 67*^52'. Le petit cercle des images dont le point de fuite est B sera tangent en M au halo de 46"".
Pour les autres points de fuite, les petits cercles des images sont extérieurs au halo et leur enveloppe détermine un arc ouvert tangent latéralement à la partie inférieure du halo.
L'arc d'horizon PB = m et l'angle PSB = U relatifs au point de contact M se calculeront par les relations
COStf C0sH=rC0s67®52'=r — ^ V^2 — /?*,
cosU = tangH cot67<»52'=: — - — ^2 — «*.
Le point de contact M est toujours au-dessus de l'horizon, quelle que soit la hauteur du Soleil.
5o4 CHAPITRE XK.
La moindre dislance du Soleil à l'axe étant complémentaire de 32** 12' ou 57^*48', les limites B| et B2 des points de fuite qui cootribuent à former cet arc Mi M 2 sont déterminées par les angles SB| = 57^48' et 882=90'*; les valeurs correspondantes des angles u elU sont
cosMiCosH = cos57°48' = v^2 — /i*,
/a — n* cosU, = tangH cot57<*48' = tangH i/ ^__ ;
Dans les deux cas, la distance de ces points extrêmes au halo voisin est de i2'*4'«
Fig. 38o.
La courbe est ainsi formée de deux arcs distincts, à droite el à gauche, sur lesquels le plus grand éclat a lieu au voisinage du point de contact; à mesure que le Soleil se rapproche de l'horizon, le point de départ M, des arcs latéraux s'éloigne du vertical de cet astre.
Lorsque la hauteur II du Soleil est égale à 67" Sa', les deux branches se rejoignent et forment un arc tangent à la partie inférieure du halo, mais d'éclat très faible.
Enfin, si la hauteur du Soleil est plus grande que 67** Sa', la courbe se sépare du halo; la latitude du Soleil par rapport à la
ROLE DES CRISTAUX DE GLACE. 5o5
section droite des prismes est maximum et complémentaire de H pour ceux dont P est le point de fuite.
Dans une région de latitude X, la plus grande hauteur du Soleil au solstice d'été est X H- 23^27', 5; le Soleil ne peut s'élever à G^^'oa'que pour les régions dont la latitude est inférieure à
La réunion des deux arcs au-dessous du halo ou en contact avec lui n'est donc pas possible à Paris; on n'apercevrait dans cette station que les arcs tangents latéraux.
Supposons maintenant que la lumière entre par une des faces latérales du prisme.
Le halo est toujours compris dans le petit cercle des images relatives à une orientation quelconque des prismes; le moindre écart de ces images au Soleil a lieu quand la distance du Soleil à l'axe du prisme est de 22" 8', et cette distance doit être en tous cas inférieure à 82° 12'.
Si la hauteur SP (^fig^ 38 1) du Soleil est inférieure à 22^8', on obtiendra encore le point de contact M de la courbe avec le halo en coupant l'horizon au point B par un petit cercle de rayon égal à 22**8' ayant pour pôle le Soleil, et menant le grand cercle BSM. On a, de même,
COSM ces H = C0S22<>8'=i -^ >
cosU = tangH col22°8'^ tangH -
Les éléments relatifs à la limite inférieure M| de l'arc s'obtiendront en faisant SB| = 82" 12', ce qui donne
COSMi COSH = 00s32°12'zr: \J n} ^ I,
U,=i langHcot32«i2'= i/ __ ,>
cos
et le point extrême Mi est encore à i2"4' du halo.
Les deux arcs tangents supra-latéraux M| M et Nj N ainsi obtenus se rejoignent à la partie supérieure C; l'équation (11)' détermine la distance p'=:SC du sommet de l'arc au Soleil, puisque H
5o6 CHAPITRE XX.
esUa distance du Soleil à l'axe des prismes dont le point de fuite se trouve en P.
Ce phénomène est difficilement visible; il se détache mal du halo et de Tare quasi tangent supérieur examiné précédemment.
Lorsque le Soleil est à 22° 8', les arcs supra- latéraux forment une courbe tangente à la partie supérieure du halo et se confondent avec l'arc tangent supérieur.
Enfin, quand la hauteur du Soleil est comprise entre 22**8' et 32*^12', il ne reste plus qu'un petit arc lumineux horizontal situé
en dehors du halo.
Fig. 38i.
Voici quelques données numériques sur ces arcs tangents latéraux au halo de 46".
Arcs infra-latéraux.
Hauteur
Direction
du
du poiat do contact
Soleil
Arcs supra-latéraux.
Haateur
Diroction
du
du point
de contact
Distance
Soleil
da sommet
au halo.
766. Arcs tangents latéraux au halo de 22®. — Si l'air est un peu agité, on doit admettre que les prismes aciculaires, sans être entièrement orientés au hasard, n'ont plus qu'une tendance à se disposer suivant la verticale et qu'ils éprouvent, de part et d'autre, une sorte de balancement d'une certaine amplitude.
Il en est de même pour les lamelles hexagonales dont les faces oscillent de part et d'autre du plan vertical.
Cette oscillation des cristaux a pour effet d'élargir les arcs tangents aux deux halos et d'en modifier la forme. De même, les parhélies s'étalent et se transforment en arcs obliques.
Considérons, par exemple, la réfraction dans les angles de 60" des prismes qui font un angle a avec la verticale; leurs points de fuite se trouvent sur un petit cercle BiNBa {fig' 882) circum-
zénithal. La distance du Soleil au point de fuite N de l'un de ces prismes est variable 5 elle passe par un maximum et un minimum
5o8 CU4PlTfiE XX.
pour les points Bj el B2 situés daos le même vertical. Les prismes dont rinciinaison sur le Soleil est voisine de ces deux valeurs sont en majorité et contribuent à fournir un maximum de lumière.
Les latitudes du Soleil par rapport aux sections droites de ces j^rismes sont respectivement A| =: H — a, A2= H -h a; la déviation minimum A^ relative au point B2 est plus grande que la déviation A| relative au point B|, celle du parhélie ayant une valeur intermédiaire.
Menons par le Soleil S i^fig- 383) le cercle parhéiique ASA, , qui
passe par les deux parhélies A et A| du halo de 22°, le petit cercle C| D| des images fournies par les prismes dont le point de fuite est B| i^fig' 382) et le petit cercle C2D2 des images relatives au point de fuite B2.
Pour tous les prismes inclinés de Pangle a, le lieu des images produites par la réfraction minimum est une certaine courbe qui entoure le parhélie A, dont la dislance maximum A2 au Soleil correspond à son intersection Ma avec le cercle SC2 et la distance
ROLB DES CRISTAUX DB GL4CE. Sog
minimum A^ à son intersection Mf avec le cercle SCi . Cette courbe elliptique M| KM^ est tangente aux petits cercles ajant pour pôle le Soleil et pour rayons Ai et Aj.
La lumière est concentrée au voisinage des points de contact M| et M2, dont l'ensemble relatif à toutes les valeurs de Tangle a constitue un arc courbe oblique, qu'on appelle arc de Lowitz,
Cet arc est tangent au halo, car la déviation A| devient égale à D quand a = 11, auquel cas le Soleil se trouve situé dans la section droite du prisme. On obtiendra le point de contact M en coupant le halo par un grand cercle MSM' perpendiculaire au vertical du Soleil.
Le point M est sur le cercle parhélique et se confond avec le parhélie lorsque le Soleil est à l'horizon.
D'une manière générale, si l'on désigne par u l'arc de grand
cercle PM et par U l'angle dièdre MPS qu'il fait avec le vertical
du Soleil, on a
■ f T^ TT taneD
cosa=^cosHcosD, tangU = . ,1 ■
^ sin H
Les coordonnées Ç et yj du point M sont donc
cosH cosD = cosT) cos?, tangÇ =: tang£^ sin U.
L'extrémité supérieure Mj de l'arc oblique se déterminera par la condition
la distance A2 du point M2 au Soleil est 50*^4' ^^ ^^ distance au halo 28^1 4'.
Le point M2 est d'autant plus éloigné du parhélie et du cercle parhélique que l'angle a est plus grand, c'est-à-dire que le Soleil est plus rapproché de l'horizon; il se confond avec le parhélie quand le Soleil est à 6o®45'.
L'arc peut encore se prolonger au-dessous du point de contact lorsque l'inclinaison des prismes est plus grande que la hauteur du Soleil.
Ces arcs obliques ont toujours très peu d'étendue et ne se dégagent nettement du halo que si le Soleil est assez élevé au-dessus de l'horizon.
