Vérifications expérimentales. — M. Michelson a vérifie

d'abord par expérience que la disparition des interférences est bien conforme à la théorie. Il prenait comme sources des ouvertures différentes éclairées uniformément par des lumières homogènes ; on pouvait alors modifier Tangle apparent des ouvertures par leur distance à la lunette et faire varier à volonté Técartement des fentes placées devant l'objectif.

Pour des sources en forme de fente rectangulaire, on a observé jusqu'à la huitième période de disparition des franges, jusqu'à la quatrième pour des disques circulaires, et les erreurs [moyennes n'atteignent pas o,o5.

Lorsque la source est un disque circulaire non uniforme dont l'éclat, en chaque point, est une fonction /(/•) de la distance r au centre, on doit remplacer <f{x) par l'intégrale

prise entre les limites o et -v^e^ — 4^^*

La loi empirique de distribution des intensités à la surface du Soleil permet ainsi de calculer la visibilité des franges obtenues par deux fentes; la vérification expérimentale relative à la première période a été encore très satisfaisante.

Si les sources sont deux disques circulaires égaux entre eux et d'éclat uniforme, l'équation (17) montre que les franges disparaissent, abstraction faite du facteur V, quand on a

On a constaté également que cette expression est entièrement conforme aux observations.

Pour reconnaître si l'estimation pratique de la visibilité des interférences correspond à la formule adoptée, M. Michelson produit des franges de polarisation chromatique avec deux lentilles de quartz parallèles à l'axe, dont les axes sont croisés, et dont les surfaces voisines ont la même courbure, l'une concave et l'autre convexe. On obtient alors des franges circulaires localisées, dues aux variations d'épaisseur.

Si le polariseur et l'analyseur sont parallèles, les intensités ex-

irêmes (381) étant I, = i et l2 = cos*2i, il en résulte

I — cos' 2 i

■ COS* 2 i

On modifie à volonté la valeur de cette expression en changeant rinclinaison i de Taxe sur le plan de polarisation primitif. L'observation a montré que la courbe expérimentale suit à peu près la même marche; la visibilité est estimée à une valeur trop grande quand les interférences sont très nettes et trop faible quand elles paraissent moins distinctes. Les différences varient d'un observateur à l'autre et suivant plusieurs circonstances; elles augmentent avec la réfrangibilité de la lumière et le nombre des franges que renferme le champ; elles sont plus grandes quand la visibilité diminue que si elle est croissante, et paraissent à peu près indépendantes de rintensité absolue. On peut ainsi déterminer une correction empirique des observations ; les erreurs relatives atteignent alors rarement -^ et sont en général beaucoup moindi'es.

795. Applications astronomiques. — Dans Timage des étoiles, la tache centrale n'est pas inférieure à 0^,47 pour un objectif de 60*" (214) et le diamètre apparent d'un astre très petit ne peut être évalué que par l'élargissement de cette tache, abstraction faite de tous les défauts étrangers à la diffraction. Si l'astre est un disque circulaire d'éclat uniforme et qu'on l'observe en couvrant l'objectif par deux fentes d'écartemeçt variable, la loi de visibilité des franges permettra d'en évaluer le diamètre avec des instruments d'ouverture beaucoup plus faible.

M. Michelson a appliqué cette méthode aux satellites de Jupiter avec un équatorial de 12 pouces (3o*",5). 11 n'a pas été possible d'obtenir le retour périodique des franges, mais la distance des fentes capable de produire la première disparition (/?e = 1,22) a donné des nombres très concordants dans une série d'épreuves, tandis que les mesures directes, faites par plusieurs observateurs, diffèrent quelquefois du simple au double. D'après la visibilité des franges, les diamètres des quatre satellites, ramenés à la distance moyenne de Jupiter, sont

Satellites. I. II. IJI. IV.

Diamètre e i',02 o',94 i',^y i',3i

L'emploi de la méthode sur des lunettes plus puissantes, avec des verres colorés pour mieux définir la longueur d'onde de la lumière, fournirait sans doute des résultats d'une grande exactitude.

Si l'on considère deux étoiles voisines de même grandeur, assimilables à des disques circulaires, et disposées dans une direction perpendiculaire aux fentes, les franges disparaissent seulement, d'après l'équation (20), lorsque la distance des étoiles est réduite

à - -> au lieu de l'angle 1,22 =- qui représente la pénétration de

la lunette pour la même ouverture.

Une étoile double, que l'instrument n'est pas capable de séparer, donnera lieu à un système de franges quand les fentes sont parallèles à la direction des deux composantes, tandis que ces franges peuvent devenir invisibles lorsque les fentes sont orientées dans une direction perpendiculaire.

Lorsque la distance à évaluer est inférieure à la pénétration des lunettes, il est nécessaire d'éloigner les fentes jusqu'aux bords de l'objectif pour obtenir la première disposition ; les faisceaux interférents étant alors inclinés l'un sur l'autre de plusieurs degrés, la largeur des franges se trouve réduite à quelques microns et l'on doit employer un fort grossissement.

M. Michelson évite cette difficulté, en même temps qu'il augmente la précision de la méthode, en ramenant dans la lunette deux faisceaux primitivement très écartés.

Avec la disposition de la Jig, 386, les rayons réfléchis sur les miroirs M et N reviennent dans la lunette L, après avoir été respectivement transmis et réfléchis par la glace P.

Pour Xàfig. 387, les faisceaux sont réfléchis à angle droit sur les miroirs M et N et le premier éprouve une nouvelle réflexion sur un miroir parallèle M' ; ils se superposent encore dans la lunette L par l'action de la glace P.

Dans les deux cas, la glace G, dite de compensation, est utilisée pour modifier lentement la diff*érence de marche par des variations d'obliquité.

Un miroir auxiliaire m permet de régler l'appareil de façon que

les images des réticules pour chacun des faisceaux se forment sur

le réticule lui-même; ce miroir étant ensuite supprimé, les deux

images d'une même source se superposent alors sur le plan focal

et les vibrations correspondantes n'ont aucune différence de phase si les chemins optiques respectifs sont égaux.

L'intensité du champ serait uniforme, pour un réglage rigoureux, comme dans le réfractomètre de Jamin et les appareils analogues (286 à 290); les franges n'apparaissent que par une légère inclinaison de l'un des systèmes de miroirs et leur largeur peut être modifiée à volonté sans que l'intensité générale diminue; en outre, elles sont localisées dans le plan focal, tandis que l'emploi des fentes permettait de les voir à toute dislance.

Fig. 386.

Fig. 387.

nv'

Enfin les conditions de visibilité, à mesure qu'on écarte les miroirs M et N dans une direction perpendiculaire à celle des rayons incidents, sans altérer l'égalité des chemins optiques, restent les mêmes que pour deux fentes situées à la même dislance.

Cet appareil exige des miroirs d'une rare perfection, une vis micrométrique à deux pas égaux et de sens contraires, des chariots à mouvement de translation recliligne, et le réglage est d'une délicatesse extrême. Si les franges disparaissent dans une expérience, par exemple avec la lumière d'une planète, on peut toujours s'assurer par l'observation d'une étoile que cet effet n'est pas dû à un accident ou un défaut de réglage.

796. Interférences dues aux raies spectrales. — Ces considérations permettent maintenant d'aborder l'élude des interfé-

renccs produites par des sources de lumière quasi homogènes et de compléter la découverte de M. Fizeau sur les périodes observées avec la flamme d'alcool salé (127).

Supposons qu'une ligne spectrale, isolée par dispersion, comprenne une série de vibrations différentes. Soit fÇk)dk la quantité de lumière qui correspond aux longueurs d'onde comprises entre X et X + cCk. Quand on la partage en deux faisceaux de même intensité qui se superposent ensuite avec une différence de marche A, l'intensité des franges correspondantes est (155)

/(X)(i + cos2irr- jûa=/(X)(iX-4-/(X)cos2irr-eA.

Comme toutes les vibrations sont indépendantes, l'intensité résultante I est l'intégrale de cette expression entre les limites Xf et Xs des longueurs d'onde que renferme la source.

Si l'on désigne par Xq ^^^ longueur d'onde intermédiaire entre les valeurs extrêmes et que l'on pose

ii= ^(i-4-a:), A=:/)Xo,

on peut considérer l'intensité comme une fonction del^ fréquence des vibrations, ou de la variable x entre les limites — j?, et + X2. Cette manière d'envisager les phénomènes revient à supposer que la source est étalée sur un spectre dont la dispersion est proportionnelle à la fréquence, ce qui ne change pas la loi des intensités pour une région très restreinte. Remplaçant /(X) c/Xpar ff{x) dx, on aura ainsi

\ =: f <^{x) dx -\- f ^{x) co^ipizi^i -^ x) dx.

Si l'on définit encore les intégrales T, F et G par les équations (i), il en résulte

(2)' Ii=T-h Gcos2/)7r--Fsin2/)r.

Tant que l'intervalle des limites t=zx^-\- x^ reste très petit, les variations des intégrales F et G avec l'ordre p d'interférence moyenne sont négligeables; les maxima et minima d'intensité en

578 CHAPITBB XXI.

fonction de p ont lieu sensiblement pour la condition (3)' Gsina/?Tc 4- Fcos2/?'ït = 0,

et la visibilité des franges est représentée par l'équation (5).

Le problème est encore ramené à la visibilité des franges obïenues avec deux fentes pour une source d'éclat uniforme limitée par la courbe dont les abscisses et les ordonnées sont respectivement proportionnelles à x et f (^), ou à l'amplitude de la lumière diffractée par l'ouverture correspondante. Tous les calculs précédents sont alors applicables.

Le réfractomètre interférentiel utilisé par M. Michelson est analogue à l'appareil dont il a fait usage pour d'autres recherches (668, yî^. 33o). La source est produite par une série d'étincelles dans un tube qui renferme un gaz raréfié ou des traces de vapeurs métalliques.

La lumière de cette source, que l'on diaphragme au besoin par une fente, est réfractée dans un prisme à sulfure de carbone, de manière à produire sur un écran un spectre dans lequel les différentes raies sont bien séparées 5 une fente sur l'écran permet de n'utiliser que des radiations d'une espèce déterminée.

Le faisceau S {fig> 388), rendu parallèle par une lentille, tombe

Fig. 388.

Ml |N

à 45'' sur une première glace P, dont la face antérieure est légèrement argentée, de manière à se partager à peu près également en un faisceau transmis T et un faisceau réfléchi R. La lumière T se réfléchit normalement sur un miroir plan N, revient à la glace P, s'y réfléchit et se propage finalement dans la direction S'. La lumière R traverse d'abord une glace G àe compensation, se réfléchit norma-

lement sur un miroir plan M, traverse ensuite la glace P et se superpose en S' à la précédente.

Le premier faisceau T se comporte, à la sortie, comme s'il avait suivi le même chemin que le second, en se réfléchissant sur un miroir plan N', qui est l'image du miroir N par rapport à la surface d'entrée. Pour simpliGer le discours, on appellera cette image N'ie plan de référence, La différence de marche des deux faisceaux superposés est le double de la distance MN' qui sépare le miroir M du plan de référence.

L'appareil est réglé d'abord de manière que le plan de référence coïncide avec le miroir M; une légère inclinaison de l'un de ces miroirs fait apparaître à la lumière blanche, sur cette surface, un système d'interférences rectilignes dont la frange centrale est noire, puisque les deux faisceaux se sont réfléchis de part et d'autre à la surface d'entrée. On redresse le miroir incliné et les deux plans sont en coïncidence. Il suffit alors d'éloigner le miroir M par une vis micrométrique pour faire varier la différence de marche d'une manière continue. Observant cette fois avec une lunette L réglée sur l'infini, on voit une série d'anneaux concentriques (280) ; pour une distance a des surfaces, la différence de marche relative à l'incidence i est 2acosi. L'angle i étant très petit, la variation du retard A, à partir du centre du phénomène, est 2 a(i — cosi) = ai^. La régularité des franges et leur égale netteté dans toute l'étendue du champ serviront de contrôle au parfait réglage des surfaces.

Si la distance a est de 18*"", ou environ 36o 000 longueurs d'onde, auquel cas l'ordre d'interférence p serait de 720 000, l'écart angulaire i de la première frange à partir du centre est

y^36ôooo 600

il n'est donc pas nécessaire d'employer une lunette de grandes dimensions pour bien distinguer les franges.

On commence les observations à partir de la coïncidence des plans et Ton augmente successivement leur distance d'une quantité constante, par exemple i°", ce qui donne un retard de 2™"; les franges se resserrent de plus en plus. On estime chaque fois leur visibilité et l'on apporte à la valeur ainsi obtenue les corrections indiquées par les expériences préliminaires sur le quartz.

58o CHAPITRE XXI.

Les courbes de visibilité ont été traduites graphiquement en prenant pour abscisse X le retard, évalué en millimètres, c'està-dire le double de la distance a = MN' des deux plans. Ces courbes montrent le plus souvent des minima à une ou plusieurs périodes, pendant que l'ordonnée moyenne diminue d'une manière continue. On les a représentées en général par des exponentielles de la forme

2 ^^^ et par des termes tels que Acosair^»

D'après les équations (i i) et (i4), les exponentielles en facteur indiquent que la distribution de lumière sur les sources suit la loi des probabilités et les cosinus renfermés sous un radical révèlent l'existence de sources distinctes.

Pour la longueur d'onde moyenne \ l'ordre p des interférences

est égal à y • Lorsque le retard X est égal à D, le cosinus correspondant est égal à l'unité et la distance relative 8 des deux sources qui donnent lieu à ce terme est

D'autre part, si l'on identifie l'exponentielle avec l'expression (i i), il en résulte

, Tt C

La largeur relative e de chaque raie, limitée aux points où l'inlensité est réduite à la moitié du maximum, est alors, d'après l'équation (12),

ay/TTâ 2/. 2 X I X

Dans un spectre normal, la distance d de deux raies est \% et la largeur e d'une des sources Xe, ce qui donne

Ajoutons encore que, si la méthode fait connaître les intensités des radiations élémentaires et leurs distances respectives, elle ne

RÉFRACTION ET DISPERSION. 58l

peut indiquer leur ordre de succession ; Pexamen des raies dans un spectre permettra de connaître cette distribution.

Si les longueurs d'onde sont évaluées en microns, on doit multiplier les valeurs numériques des constantes C et D par lo', ce qui donne

Les quantités d et e étant très petites, il convient de les exprimer en fonction d'une longueur beaucoup plus faible, telle que pi'zzz it*.io~*, c'est-à-dire des unités du cinquième chiffre significatif dans la valeur des longueurs d'onde. On aura ainsi

(ai) rfz=io»X8zi:lO-=r, e=irio*Xe=: H^TT-

' D 2,aoo C

Comme terme de comparaison, on peut remarquer que les deux raies principales D| et D2 du spectre solaire (ou de la soude) donnent

797. Étude de quelques sources, — L'application de cette méthode permet d'abord de distinguer, parmi les raies brillantes, celles dont la constitution est la plus simple et celles qui comprennent des groupes plus ou moins complexes. On peut ainsi choisir les sources auxquelles il convient de s'adresser pour obtenir des interférences à grande différence de marche.

La loi de visibilité détermine la forme de chacune des sources élémentaires et leurs distances quand on les suppose symétriques. Lorsque cette condition n'est pas remplie, la fonction <p(^) est bien déterminée, mais la visibilité ne fait connaître que la somme F^ -f- G^, de sorte qu'une infinité de lois de distribution d'intensité ( * ) sur la source seraient compatibles avec une même courbe de visibilité.

Au point de vue pratique, il paraîtra sans doute légitime d'admettre qu'une source danjs laquelle l'intensité varie suivant une loi quelconque peut être remplacée, avec toute l'approximation

(«) Lord Rayleigh, Phil. Mag,, [5], t. XXXIV, p. 407; 189a.

nécessaire, par une série de sources symétriques, auquel cas les foQCtions F sont nulles, et que le problème est toujours défini.

Les raies rouge (ol*,6562) et bleue (ol*,486i) de l'hydrogène^ qui correspondent aux lignes obscures C et F du spectre solaire, ont été obtenues avec un tube dans lequel la pression du gaz était d'environ i"™ et la température de 5o**. Les courbes de visibilité sont représentées assez exactement par les formules

Rouge U = 2 Vi9/coso»V«

Bleu U = 2 U)

cos"»'/

Les expressions telles que cos ^/q sont des symboles destinés à simplifier l'écriture et définis par la relation

I 4- A' -H- 2 A cos |r

cos«%= ^^-^^^,

La valeur de h étant égale à 0,7 dans les deux cas, il en résulte d^abord que chacune des raies est composée de deux sources semblables, dont les intensités sont dans le rapport de 10 à 7.

Les équations (20) donnent, pour la distance et l'épaisseur relatives des raies élémentaires :

Rouge

Bleu,

Au degré d'exactitude des observations, il semble bien que les deux groupes ont la même composition ; Técart des raies élémentaires n'est que— de la distance des raies D.

Dans le premier groupe R {fi g- 3 89), la largeur des raies est de même ordre que leur distance; cette largeur est moitié moindre dans le second groupe B. Il serait donc presque impossible de les distinguer l'une de l'autre par l'observation directe.

Les courbes pointillées représentent l'intensité de chaque radiation et les courbes pleines l'intensité résultante. C'est précisément un exemple de la substitution de deux exponentielles symétriques à une loi de distribution assez compliquée.

Les distances des raies et leur épaisseur dans un spectre normal sont, en fonction de la nouvelle unité [jl',

Rouge .

Bleu . .

La raie rouge orangé de V oxygène {o^^&i&)^ dont Téclat est assez faible, a été obtenue par des étincelles plus puissantes dans

Fig. 389.

Hydrogène,

un tube qui contenait de l'oxygène dégagé de l'oxyde de mercure. La courbe de visibilité est plus complexe et se représente très bien par la formule

11 = 2 ^**^ 0,36 4- 0,32COS21t —