FORMULES DE DISPERSION

810. Caractère généraL — Dans la plupart des milieux, sauf les cas exceptionnels de dispersion anormale, l'indice de réfraclion croit d'une manière continue avec l'inverse de la longueur d'onde dans le vide, ou la fréquence des vibrations.

On ne peut connaître avec une grande exactitude que la partie moyenne du phénomène, entre les longueurs d'onde oH-, i85 et oî*,772 qui comprennent le spectre ultra-violet et le spectre lumineux, c'est-à-dire dans l'intervalle de deux octaves. M. Nfouton(*) a pu déterminer cependant les éléments des radiations calorifiques jusqu'aux longueurs d'onde de ai*, i4', les expériences plus ré-

(') Mouton, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. LXXXVIII, p. 1189; 1879.

centes de M. Langley (*) ont étendu les mesures jusqu^à 6ï*, soit dans un intervalle de cinq octaves.

Si Ton traduit graphiquement la dispersion, en prenant pour abscisses et pour ordonnées les longueurs d'onde "k el les indices n , Ja partie observable de la courbe présente l'allure d'une branche d'hyperbole, qui aurait pour asymptotes l'axe des coordonnées et une parallèle à l'axe des abscisses, qui correspond à une valeur minimum de l'indice pour les très grandes longueurs d'onde.

Le coefficient angulaire est négatif et décroît en valeur absolue ; la courbe ne présente pas de point d'inflexion, de sorte que la dérivée seconde de l'ordonnée est toujours positive.

On peut considérer encore comme un fait d'expérience que le

produit — ^'777 croît très lentement avec la fréquence m = =-. Si

l'on prend comme abscisses la fréquence u ou son carré m-, il en

résulte

dn -jj^'^ ^^ ^* ^'*

du d). d,u^ ~~ 1 dk

Le dernier mode de représentation semble donc préférable, car la courbe obtenue diflère très peu d'une droite et la marche de la dispersion se distinguera plus nettement. Enfin, si l'on exprime le carré /i^ en fonction de a*, on a

d,n^ dn ^^ dn

Le coefficient angulaire de la courbe croît un peu plus rapidement avec la fréquence, mais le choix des variables est encore très avantageux pour la discussion.

Ce sont là des considérations de continuité, auxquelles il ne sera pas inutile de soumettre les différentes formules proposées pour représenter le phénomène de dispersion.

811. Formules théoriques, — La comparaison des expériences avec les formules de dispersion présente le plus grand intérêt pour le contrôle des théories. Les limites de cet Ouvrage ne nous

(') S.-P. Langley, Amer. Journ. of Se. [3], t. XXXII, p. 83; r886.

permetteot pas de développer les calculs; il suffira d'en rappeler brièvement les principes.

Cauchy (* ) suppose que les milieux dans lesquels se propage la lumière sont discontinus et formés de molécules entre lesquelles s'exercent des forces dirigées suivant la droite qui les joint deux à deux. Soient Xj y, z les coordonnées d'une^molécule de masse m à l'état d'équilibre, x -+- Dx, y -i- Dy, 5 -+-D5 celles d'une molécule voisine m', r leur distance et mni^f^r) leur action réciproque. L'équilibre exige que la résultante des forces appliquées à chaque molécule soit nulle.

Lorsque ces molécules occupent des positions différentes a: -h Ç, j^ 4- T, , x; -h Ç et :r + \)x -f- Ç -hDÇ, etc., chacune d'elles est soumise à une force qui tend à la ramener vers sa position d'équilibre. On admet, en outre, que le rayon d'activité moléculaire est très petit par rapporta la longueur d'onde dans le milieu; il en est de même pour la distance des molécules.

Les déplacements Ç, tj, X^ et leurs dérivées par rapport au temps sont des fonctions continues des coordonnées x^ y, z de la molécule considérée; les équations du mouvement renfermeront les dérivées partielles de Ç, tj, J^ par rapport à x^ y, z. Dans les milieux homoédriques, chaque molécule est un centre de symétrie et toutes les dérivées d'ordre impair doivent disparaître.

Si l'on considère un système d'ondes planes parallèle au plan deyz^ les déplacements $, y), Ç ne dépendent que de 5 et de t; les seules dérivées partielles de ces quantités qui entrent dans les équations du mouvement sont les dérivées partielles d'ordre pair par rapport à z. Si l'on suppose, en outre, que les vibrations sont transversales, ce qui correspond aux milieux isotropes, ou aux rayons ordinaires des milieux uniaxes ou encore, dans les milieux anisotropes, à l'un des systèmes d'ondes perpendiculaires aux plans de symétrie, les déplacements 2^ sont nuls; il ne reste que les dérivées partielles de Ç et de tj par rapport à z. Enfin le mouvement parallèle à l'axe des x est indépendant du signe de y), de sorte que l'on peut écrire

(') Cauchy, Nouveaux Exercices de mathématiques ; Prague, i835.

En appelant V la vitesse de propagation, T la période et / la longueur d'onde dans le milieu considéré, la composante Ç de la vibration, pour les ondes qui marchent dans la direction de Taxe des ^, est de la forme

Ç = acos{iùt — OL — kz),

avec les conditions