INFLUENCE DU MOUVEMENT DES CORPS
662. Longueur d^onde et période apparentes, — On conçoit aisément que le mouvement d'une source de lumière soit capable de modifier la période apparente de vibration et même l'intensité des rayons qui aboutissent à l'observateur. Doppler(*), à qui l'on doit d'avoir signalé pour la première fois les conséquences de ce phénomène, avait surtout en vue l'explication de la couleur des étoiles. Lorsqu'un astre se rapproche de l'observateur, son éclat doit augmenter, en même temps que la période apparente de vibration diminue, et la teinte devrait passer du blanc au vert ou au bleu; l'inverse aurait lieu pour un astre qui s'éloigne. Nous avons déjà vu que cette interprétation est inexacte et que la vitesse des astres devrait être de même ordre que celle de la lumière pour donner lieu à des changements de teinte appréciables.
M. Fizeau (^) a complété le principe de Doppler en appelant l'attention sur les variations corrélatives de longueur d'onde apparente, qui sont directement observables et se traduisent par un déplacement des raies du spectre.
(•) Doppler, Abhand, der K. Bôhm. Gesell. cier IViss., 1842, Bd. II, p. 4^5. (') H. Fizeau, Société philomatique. Procès-verbaux des séances de i^'|8, p. 81. — Ann, de Ch. et de Pliys., [4], t. XIX, p. 211; 1870.
Le résultat ne dépend que de la vitesse relative de l'astre et de Tobservateur, mais le problème mérite alors une attention spéciale à cause du mouvement auquel participent les appareils (').
Supposons d'abord qu'une source de période T et de longueur d'onde A-- VT marche dans la direction 00' {fi g. 320) avec une
l^'ig. 326.
vitesse u el qu'on examine la lumière propagée dans une direction OA qui fait l'angle ç avec celle du déplacement.
A une grande distance de la source, les ondes sont sensiblement planes. L'onde S, partie du point O, se trouve au bout du temps
/ à la distance
OA =rV^
A la fin de la période T, la source est parvenue en O' à la dislance 00'= wT; si la dispersion du milieu est négligeable, l'onde S', de môme nature que la première et qui la suit immédiatement, se trouve au bout du temps t — T à la distance
La distance V des ondes successives, ou la longueur d'onde de la lumière propagée, est
X': z OA — O' A'— uT cos(p = T( V — // coscp) — x/^i — ^ cosçV et la période apparente de vibration ï' devient
, n: .- = I- V coscp
(') Mascart, Afin, de l'École îVormale supérieure [a], l. 1, p. iS^; 1872, cl t. 111, p. 363; 187^.
Il en est de même lorsque la source est fixe et l'observateur mobile, de sorte que la vitesse u correspond, d'une manière générale, au mouvement relatif de la source et de Tobservateur. En particulier, la longueur d'onde et la période apparente ne sont pas modifiées quand la source et l'observateur participent au même mouvement de translation.
La direction de la lumière est d'ailleurs modiiiée par ce mouvement relatif, comme on Ta vu à propos de l'aberration (655),
et le déplacement apparent de la source est-r%sincp.
Ces considérations s'appliquent évidemment à la propagation des vibrations sonores, qui permettent de contrôler la théorie par une vérification expérimentale.
Chacun a pu remarquer, quand un train rapide traverse untî gare en faisant parler le sifflet de la locomotive, que, pour un observateur placé sur le quai, le son du sifflet baisse brusquement au passage de la locomotive et paraît plus grave en arrière qu'en avant du train. Le rapport des périodes apparentes, dans les deux
cas, est
La vitesse du son étant d'environ 33o'", si le train fait 20'" à la seconde, ou ^a''™ à Theure, ce rapport est |^ ; la hauteur apparente du son qu'émet le sifflet baisse alors de plus d'un ton au passage de la locomotive.
M. Buys-Ballot (*) a soumis celte expérience à un contrôle numérique en utilisant, sur le chemin de fer d'Utrechl à Maarsen, une locomotive dont la vitesse, évaluée par le passage aux bornes kilométriques, variait de 5™ à 20" par seconde.
Deux séries d'épreuves ont été réalisées, en faisant parler des instruments de musique sur la locomotive en marche ou a poste fixe le long de la voie. Dans le premier cas, diflerents observateurs, échelonnés sur la ligne, estimaient la hauteur du son avant
(•) Buys-Ballot, Pogg. Ann., t. LXVI, p. 32i; 184').
et après le passage de la locomotive; dans le second cas, Tobservateur en mouvement déterminait le changement de ton des sons produits à l'avant ou à Tarrière. Les résultats ont été entièrement conformes à la théorie, dans les limites de précision que l'on penl atteindre avec des musiciens exercés.
M. Fizeau réalise Texpéricnce d'une manière plus simple en faisant tourner une roue munie à la circonférence d'une carte dirigée suivant l'un des rayons; cette carte vibre en frottant sur deux fragments d'une même crémaillère montés aux extrémités supérieure et inférieure d'un diamètre verlical. Les deux sons obtenus paraissent identiques pour un observateur situé sur le prolongement de l'axe de rotation; ils paraissent, au contraire, l'un plus aigu et l'autre plus grave, quand l'observateur se place dans le plan du disque.
M. INlacli (') installe une anche sur un tour ou au bout d'une longue perche; si l'on fait parler l'anche pendant qu'elle est en mouvement, le son parait plus élevé ou plus grave suivant qu'elle s'approche ou s'éloigne.
M. Kœnig met l'oreille entre deux diapasons capables de produire trois battements par seconde et dont on tient le plus grave à la main. Il est facile, par un mouvement régulier, d'obtenir deux battements à la seconde pendant qu'on l'approche de l'oreille et quatre battements quand on l'éloigné. Si on laisse les diapasons immobiles, il su (lit de déplacer la tête entre eux, ou d'y l'aire mouvoir un résonateur relié à l'oreille, pour modifier à volonté le nombre des battements.
01)3. lié flexion et diffraction apparentes pour un obsen^ateur mobile. — Dans toutes les expériences, l'observateur est entraîné par le mouvement dti translation de la Terre, l'effet de la rotation étant négligeable par rapport au premier. Il y a donc lieu de chercher l'influence que ce déplacement de l'observateur peut exercer sur les phénomènes oj)tiques. En remplaçant la vitesse de la Terre par trois composantes convenablement choisies pour rendre les calculs plus faciles, Sir G. Stokes (^) a montré que les
(») Macii, Pogg. Ann., t. CXII, p. 58; i86i.
(>) G. Stores, P/Ul. Mag. [3], t. XXVII, p. 9; i845 el t. WVIll, p. 76; I8^6. - Math, and P/tys. Pape/s, t. î, p. l'ji.
PROPAGATION 1)K LA LlMlÈRK. 95
lois restent les mêmes et que les angles apparents d'incidence et de réflexion sont encore égaux entre eux.
Les phénomènes de diffraction conduisent au même résultat, quoique différents physiciens (* ) aient cru y trouver le moven de mettre en évidence le mouvement de translation d«» la Terre.
Celle conséquence négative lient à ce que le chemin réel ou apparent suivi par la lumière, pour aller d'un pointa un autre, est réglé, dans les deux, cas, par la même condition que le temps nécessaire au trajet soit minimum (-).
Si le système est en repos et que la lumière émanant d'une source A (J/g- ^^-7) touche différentes surfaces M, M', . .., où elle
Kig. 327.
est rétléchie ou diffractée, pour aboutir finalement au point B, on obtiendra le trajet
S = AM -i- MM' ^ . . . — / 4- /' 4- . . . ,
en cherchant quels doivent êlre les points de contact M, M', ... pour que la communication du mouvement de A en H s'effectue pendant le temps minimum 0.
Supposons maintenant que l'on donne au système tout entier, source et observateur, une vitesse commune // parallèle à la direction AX, la vitesse apjDarente de la lumière sur le chemin AM est
.. ,,/ //coso\ V — il ces cp — V ( i ^r-^ ) •
Si la vitesse // est celle de la Tt^rre et qu'on né«>lige le carré de
(») BAniNETy Cosmos, i3 et 20 octobre i86'|. - Anusthom, Pogg. Ann. t. CXXIII, p. 5oo; 1864. Van dkr Willigen. Archives du Musée TeyleVy l. 1, fasc. I, p. 364; «î^^Jî*.
(») VtLTMANN, Pogg. Ann,, t. CL, p. 497*. '^T^. A. Potier, Journal de Physique^ t. III, p. 201; 1874.
l'aberration a= ^y la durée du trajet de A en M est
/ / wcospX / a ,
/ //cos©\
La durée totale apparente 8' du parcours S devient alors 6'i=£^ 4- T7 2/costp — 0-r- r^Lcos*.
Comme le temps 0 est un minimum, c'est-à-dire ne varie que d'un infiniment petit du second ordre pour un chemin S' inliniment voisin de S, le temps Q' est aussi un minimum, puisqu'il ne diffère du premier que par un terme constant. La lumière parcourl donc le même chemin apparent S que si le système était immobile.
La dislance réelle des ondes successives étant modifiée par le mouvement de la source A, cetle démonstration suppose que la vitesse de propagation absolue V est indépendante de la longueur d'onde; elle ne convient donc provisoirement qu'aux milieux sans dispersion, c'est-à-dire aux phénomènes de réflexion et de diffraction de la lumière dans le vide ou dans l'air.
Enfin le théorème n'est exact qu'au carré près de l'aberration, ou io~^. Si donc on fait usage d'une source terrestre ou d'une lumière équivalente, Tégalité des angles d'incidence et de réflexion, ainsi que la déviation dans un réseau, ne peuvent être altérées que d'une fraction inférieure à lo" **, ce qui donnerait moins de 0^,007 pour un angle de 180".
664. Réfraction appariante, — Arago a cherché par une expérience célèbre, communiquée à la P* Classe de l'Institut en 1810 et publiée seulement beaucoup plus tard (*), si la réfraction dans un prisme de la lumière émise par une étoile n'est pas modifiée, suivant que la Terre s'approche ou s'éloigne de l'étoile en vertu de son mouvement de translation. 11 observe l'étoile avec une lunette dont l'objectif est couvert par un prisme achromatisé, en
(') AuAGO, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. VIII, |). 326; 1839, et t. WWI, p. 38; i853.
PROPAGATION DE LA LUyiÈRE. ()7
comparant la distaDce zénithale ainsi déterminée à celle que Ton obtiendrait directement. La diflerence de ces deux angles donne la déviation du prisme.
Il a employé pour cette recherche deux prismes différents dont les déviations étaient respectivement de io"4''^o'' et î>.2®25'. Le premier fut placé sur l'objectif du cercle mural et réglé de manière que la réfraction se fît dans le plan du méridien.
On pouvait ainsi, au moment du passage des étoiles, déterminer leur distance zénithale apparente et la comparer à celle que Ton aurait observée sans Tinterposilion du prisme.
Pour éviter les erreurs de coUimatiou et la nécessité de connaître la déclinaison des étoiles, le second prisme fui monté sur la luiielle d'un cercle répétiteur de manière à couvrir la moitié de l'objectif, et permettre ainsi l'observation directe par la partie découverte de l'objectif ou celle de la lumière réfractée. La différence des hauteurs, corrigée du mouvement de l'étoile dans l'intervalle des deux observations, donnait la déviation.
Si l'on admet que la réfraction change d'une quantité de l'ordre de l'aberration, la différence des déviations, pour deux étoiles situées dans la direction du mouvement de la Terre ou dans le sens opposé, devrait être de yo'oô? ^^'est-à-dire respectivement de ^" et de i6''. Les valeurs extrêmes des nombres obtenus avec le premier prisme dépassaient G", mais sans aucune loi qui parût dépendre de la position des étoiles. Avec le second prisme, la plus grande différence fut de lo". Arago en conclut (|ue la réfraction est indépendante du mouvement relatif de la source et de Tobservaleur, mais cette interprétation paraît inexacte.
En effet, le changement de réfraction existe réellement, à cause de la modification apparente de longueur d'onde qui résulte du mouvement relatif. La différence des longueurs d'onde des deux raies D du sodium étant de ^ (305), c'est-à-dire à peu près dix fois l'aberration, les raies du spectre devraient être déplacées de ~ de la distance des raies D; mais dans un prisme achromatisé, où toutes les couleurs sont mêlées, cet effet est caché par la substitution d'une radiation à une autre et la déviation finale doit être absolument indépendante de la source de lumière.
L'expérience d' Arago devait donc être de toute façon négative, dans le cas même où le degré d'approximation des mesures eut été
M. - ni. 7
suffisant pour mettre en évidence les changemenis de réfraction (|u'il s'agissait de constalcr.
605. Entraînement des ondes par le mouvement des corps. — Cette expérience conserve cependant un grand intérêt historique parce qu'elle a suggéré à Fresnel (*) l'hypothèse imporlaote que, dans un milieu réfringent mobile, la totalité de Félher lié aux molécules pondérables ne participe pas au mouvement.
Dans un milieu d'indice /t, où la vitesse de propagation de la
lumière est V'= -- j la densité de Téther (573) serait d'=n*d.
Frcsnel admet que le corps n'entraîne que l'excès de cet éther sur celui du vide
d'—d-(n--^i)d~ /'^ — ijd.
Pour une vitesse u^ la (|uantité de mouvement relative à l'unité de volume n{d' — d) est la même que si l'éther tout entier se transportait avec une vitesse u' donnée par la relation
u'd'=- u{cr-d), u-=u(^i -l.^ = u(y- ^\.
Supposons que des ondes lumineuses de période T, qui chemineraient dans le milieu immobile avec une vitesse V, se propagent suivant une direction qui fait l'angle C5 avec celle du mouvemenl, leur vitesse de propagation est augmentée de u'coso et devient
\V Z-: V ' -r- //' ces O 1=: V -f- // COS 'fil — -^ J •
La vitesse de la lumière relative au milieu est
W — U COSCp ir: V — -^ U COS«p ^= VM l ^ C0S<p 1.
Si Ton néglige encore le carré du rapport rr, le temps t nécessaire pour parcourir une distance /dans le milieu est
/ / \'u \ l lll
(') FuKSNEL, Œuvres, t. Il, p. 6J7.
il ne dittere que par une constante du temps qui conviendrait au parcours de la mérae distance dans le cas où la source etTobservateiir seraient immobiles.
Le chemin de la lumière dans la réfraction étant aussi déterminé parla considération du temps minimum, il en résulte encore (663) que la réfraction apparente d'une source mobile avec Tobservateur est la même, au carré de l'aberration près, que si tout le système était en repos. Il est nécessaire toutefois de faire plusieurs remarques sur ce raisonnement de Fresnel.
De même qu'on ne pouvait admettre que le rapport des densités de Féther dans un milieu pondérable et dans le vide fût égal au carré n^ de l'indice de réfraction et, par suite, variable avec la longueur d'onde de la lumière (573), de même il n'est pas possible que la fraction de cet éther eniraînée par le mouvement soit une fonction de la longueur d'onde. Sans préciser la manière dont l'étlier engagé dans les molécules pondérables participe au mouvement vibratoire, on doit donc interpréter les vues de Fresnel
en considérant l'expression u cos'^ ( i — -^ ) comme représentant
V entraînement des ondes lumineuses, sans attacher une importance littérale au raisonnement qui conduit à cette formule.
D'autre part, dès que le système est en mouvement, la longueur d'onde des vibrations qui l'abordent est modifiée, tandis que la longueur d'onde et la période apparentes ne changent pas. On doit ainsi considérer le terme principal 'V, qui entre dans l'expression de la vitesse absolue W de propagation des ondes, comme défini par la période apparente de la lumière incidente.
Les considérations qui ont guidé Fresnel sont donc insuffisantes; la formule à laquelle il est parvenu par une heureuse intuition n'a qu'un caractère empirique, qui doit être interprété parla théorie (*); nous en examinerons les conséquences expérimentales.
Si on retend aux deux systèmes d'ondes à vibrations rectilignes de double réfraction dans les milieux homoédriques, ainsi qu'aux ondes privilégiées, à vibrations circulaires ou elliptiques, qui caractérisent les milieux actifs, il en résulte immédiatement que les phénomènes d'interférence obtenus par une lame isotrope ou bi-
(•) Voir A. PoTiEH, Journal de Physique, t. V, p. io5; 1870.
lOO CHAPITRE XV.
réfringente, quand on emploie une source terrestre, doivent être indépendants de l'angle que fait la propagation de la lumière avec la direction du mouvement de la Terre.
Considérons d'abord les anneaux de Newton, où l'interférence a lieu entre deux systèmes d'ondes dont l'un a parcouru deux fois, en sens contraires, une lame réfringente d'épaisseur e, La réfraction apparente n'étant pas modifiée, le temps que met la lumière à parcourir la normale est (11), en appelant ç l'angle de cette normale avec la direction du mouvement de la Terre,
, ecosf' a -: = — ---i-^ecos^.
Le temps t" que met la lumière réfléchie à parcourir le même chemin en sens contraire est, de même,
,, e cos i' a -e —-■ ;^.ecosç.
Le retard total de ces ondes, sur celles qui se réfléchissent à la première surface, est indépendant du mouvement de la Terre, car il a pour expression
ecos/'
Comme la période apparente de vibration ne change pas dans tous les cas, l'ordre d'interférence n'est pas non plus modifié, puisqu'il est donné par le rapport du retard T-h t" à la durée T de la période apparente.
lien est de même pour les interférences des lames mixtes (277), ainsi que pour les phénomènes de double réfraction ou de pouvoir rotatoire. En effet, si V et V" sont les vitesses de propagation relatives au système en repos, pour les deux espèces d'ondes que Ton doit considérer, /' et î' les angles de réfraction, leurs durées de passage au travers d'une lame d'épaisseur e sont
e cos i^
ecos<p, e cos^p.
e cos U'
Le retard relatif t''-- t' a la même valeur que si le système était en repos et l'ordre d'interférence ne change pas.
PROPAGATION DE LA LUMIERE. lOI
Ces expressions des durées de passage sont encore exactes au carré de Taberration près io~*. Dans une expérience d'interférences où le retard relatif serait de looooo périodes, Terreur commise est inférieure à ^—^ de période, et le déplacement moindre que j^ de frange. Avec un milieu actif d'épaisseur suffisante pour produire une rotation du plan de polarisation de 20 circonférences, l'erreur serait inférieure à io~® ou ^ de seconde. Ce sont des quantités inappréciables.
666. Expérience de J/. Fizeau, — La formule de Fresnel a été vérifiée directement par M. Fizeau (*) dans une expérience justement célèbre, où l'entraînement des ondes est produit par le mouvement de l'eau.
Dans l'intervalle compris en Ire une lunette L et un collimateur U à reflexion {fig. 328), on dispose deux tubes A| et A2 de lon-
Fig. 328.
Ol
ueur /que l'on fait parcourir en sens contraires par un courant d'eau dont la vitesse est w. En avant de l'appareil est un écran E percé de deux fentes parallèles. Parmi les rayons émanés d'une fente S parallèle aux précédentes, éclairée par la lumière solaire, les uns passent d'abord par l'ouverture 0|, traversent le liquide du tube A,, se réfléchissent sur Ve miroir //?, reviennent par le tube A2 et la fente O2, pour aboutir au point S', après réflexion sur la glace transparente G. Un autre système de rayons suit la marche inverse et aboutit également au point S'. Si le liquide est en repos, ces deux systèmes de rayons n'ont pas de diff*érence de marche et l'image S' est constituée par une série de franges d'interférence (128), dont la frange centrale brillante est située dans la direction moyenne du faisceau.
(•) H. Fizeau, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, l. XXXIII, p. 35i; i85i. — Ann. de Chim. et de Phys. [3], t. LVII, p. 385; iH.îg. — Voir PouiLLET, Éléments de Physique, H* cdilion, l. II, p. 8i5; i853.
En appelant F la longueur focale de la lunette et d la distance des milieux des fentes 0| et O2, la distance S de deux franges successives est
ô-rnF-.
Lorsque le liquide est en mouvement dans le sens des flèches, les ondes de retour émanant de la fente O^ se sont propagées dans les tubes en sens contraire du mouvement de l'eau, avec la vitesse
V — uii i )> si l'on adopte la formule de Fresnel, et la durée
du parcours est
Ti ^:
Les ondes émanant du point O2 ont marché dans le sens du mouvement du liquide et la durée du parcours est
Le retard du premier système sur le second est
La frange centrale doit donc se déplacer du côté de la fente Oi, c'est-à-dire à droite de l'observateur qui viserait dans le plan de la source S et à sa gauche quand il vise l'image S\ Ce déplacement X est une fraction de frange donnée par la relation
X Ti — Tj // ^l(n^ — i)
Pour une longueur / de i"S487 et la vitesse u de 7^,06 par seconde atteinte dans les expériences, en prenant /j =1^1, 333 et A = ol*, 53 ou VX=-= 1,59.102, il en résulte
Le déplacement de la frange centrale, quand on fait marcher l'eau alternativement dans les deux sens, doit être d'environ o,/(o6 de frange; la moyenne des observations a donné o,4(>.
Il esl nt-cessBire de com|iléler par quelques dclails la description de celle expérience délicate. Les aïcs des tubes étant écartés de 9""". la dîsraiice des franges pour une liinetle de i" de longueur Tocale serait ^ de millimètre et le déplacement à observer ne dépasserait pas ~g de millimètre. C'eal pour augmenter la lar'geur des (ranges que M. Fizeau a imaginé (301 ) d'employer une lamn épaisse pincée uLliijuemcnl sur le trajet de l'un des faisceaux rnlre la double fente ut lu lunette, ou une bilame agissant sur cbacun d'eus, de manière à diminuer beaucoup l'inlervulte apparent des deux (luverlures. En outre, on place un micromètre divisé sur verre dans le plan focal S' où se produisent les franges et, en visant le phénomène à l'aide d'une loupe, on rapporte dans cfiaque cas ta position des franges aux divisions du microméirc, ce qui permet de mieux apprécier le déplacement.
Pour produire le mouvement de l'eau, Irjs tubes A( el Aa cornn)uni<]ucnt par leurs extrémités, comme l'indique la Jig. 3ay, fi
Kis. 3»9.
icons à deux tubulures B,, C, et Bj, Cj reliés entre eux par des tubes intermédiaires M cl M'. Ces derniers communiquent au réservoir P d'une pompe foulante par des robinets à trois voles avec une ouverture latérale, qui permettent d'établir la communication ou de laisser échapper soit l'air du réservoir, soit l'air de l'un des tubes M et M'. Les flacons opposés C| et Bi étant remplis d'eau et les autres vides, on fait communiquer le tube M'
avec le réservoir qui renferme de l'air comprimé el le tube M avec l'atmosphère par le robinet R. Le liquide s'écoule alors du flacon Cl dans le flacon Bi et de B2 en C2, en traversant les tubes dans le sens indiqué par la Jig, 328. Les flacons Bj et Cj remplis à leur tour, il suffît de tourner convenablement les robinets R el R' pour faire marcher le liquide en sens contraire.
Comme les changements de pression peuvent dégager des bulles de gaz qui troubleraient la transparence du liquide, les extrémités des tubes A| et A^ sont munies d'ampoules en verre destinées è recevoir ces bulles de gaz.
Enfin, on peut déterminer la vitesse du liquide par le volume écoulé ou par le temps qui correspond à un certain cliangemenl de niveau dans les flacons. En outre, un tube de sûreté / monté dans la Iroisiènie tubulure de l'un des flacons indi(|uc la pression elFective et les formules pratiques relatives à la vitesse d'écoulement de Teau dans les tubes de petit diamètre permettent encore de calculer la vitesse à chaque instant.
L'appareil une fois installé, après beaucoup de tâtonnements, on a réalisé dix-neuf expériences aux vitesses de 3"*, j, 5"*,5i5 cl ^™,o5(), dont les résultais ont été ramenés à la vitesse maximum. L'erreur des expériences isolées sur la movenne était de ±0,0266 de frange pour chacun des déplacements, ou l'erreur relative de •pjj, de sorte que la formule de Fresuel se trouvait vérifiée avec toute l'approximation que comportait la méthode. L'excès de la moyenne sur le calcul peut d'ailleurs s'expliquer par celte circonstance que la lumière parcourait l'axe du tube, où la vitesse réelle du liquide est d'environ j^ supérieure à la vitesse moyenne pour un diamètre de 5'"'", 3.
En remplaçant dans un appareil semblable le courant d'eau par un courant d'air sous la pression de 3*^™ de mercure qui donnait au gaz une vitesse d'écoulement d'environ 25"", le déplacement des franges a été inappréciable. La réfraction de l'air est, en efTel, si faible que le déplacement dans ces conditions, d'après la théorie, n'aurait pas dépassé o,ooo23 de frange.
Nous terminerons par une dernière remarque. L'expérience de M. Fizeau ne semble pas correspondre rigoureusement à la formule de Fresnel, puisque la période apparente de la lumière qui lombe iur le liquide en mouvement est modifiée. Le terme principal V
PROPAGATION DE LA LUMIERE. lOD
le celte formule dépend, comme on Ta vu plus haut, de la période apparente de Ja lumière observée
Pour une vitesse de io°*, le rapport y serait de ^lo^ et le changement du terme V correspondrait au ,7^^ de la dislance des deux raies D. C'est une quantité tout à fait inappréciable, à cause Je la faible dispersion de Peau.
Cette épreuve importante a été renouvelée par MM. Michelson el MorIej(*) avec un appareil de plus grandes dimensions. Les tubes avaient a8™'" de diamètre et une longueur de 3*" ou 6°, suivant la série des expériences. L'eau était mise en mouvement sous une pression qui pouvait atteindre 23" de hauteur du liquide et la vitesse a varié de 5", 67 à 8™, 72 par seconde. Le déplacement allait ainsi jusqu'à 77 de frange de part et d'autre.
Une étude préalable avait permis de déterminer le rapport de la vitesse du liquide suivant l'axe des tubes à la vitesse moyenne mesurée par le jaugeage; ce rapport était de 1,1 65. En tenant compte de cette correction, la moyenne des observations montra que la vitesse de propagation des ondes était modifiée d'une fraclion de celle du liquide égale à o,434» »" lîeu du nombre
qui résulterait du calcul. La formule de Fresnel est ainsi vérifiée à moins de ^ près, et l'expérience ne paraît pas comporter une plus grande précision.
667. Changement de période apparente par réflexion sur un miroir mobile. — On a vu que le mouvement commun des appareils et de l'observateur ne modifie pas la déviation apparente du rayon dans un phénomène optique quelconque, mais il importe l'examiner le changement qui en résulte dans la période du mouvement propagé.
•) A. Michelson et W. Morlky, American Journal of Science, t. XXXI, ). 577; 1886.
lo6 CHAPITRE XV.
Lorsqu'une surface réilëchissante S est animée d*une vitesse» dans une direction qui fait Tangle cp avec celle de propagation de la lumière incidente, la période apparente ï' des vibrations qu'elle reçoit a pour expression
1 =Tf, + ^cos,f\.
I — Yr ^^s ^ ^
La surface S se comporte donc comme une source mobile de période T', soit pour la lumière rélléchie régulièrement, soit pourla lumière diftusée ou diflfractée dans une direction quelconque.
Cette considération est importante pour le système solaire. Comme le mouvement de la Terre est à peu près circulaire, si Ton fait réfléchir la lumière solaire dans une direction quelconque par un miroir, l'angle 'f est sensiblement égal à 90", et le miroir se comporte comme une source terrestre dont la période absolue de vibration a la même valeur T que celle des points du Soleil dont il réllécliit la lumière. En d'autres termes, la tu mière solaire, réjléchie dans une direction quelconque, se comporte comme une source terrestre de même période. La lumière émise par une flamme de soude, par exemple, est identique, pour une direction quelconque, avec celle (jui correspond aux raies D du spectre solaire, abstraction faite des variations qui sont dues au mouvement de rotation du Soleil.
De même, Torbile des planètes est sensiblement circulaire et elles ne sont lumineuses que par la lumière solaire difi*usée.à leur surface. Elles se comportent donc comme des sources identiques à celle du Soleil, et la période de la lumière qu'elles nous envoient est uniquement modifiée par la composante de leur vitesse suivant la ligne de propagation.
668. Vérifications expérimentales. — Bosco wîcli (*) avait proposé d'observer le phénomène de l'aberration avec une lunette dont le tube serait rempli d'eau ou d'un fluide beaucoup plus réfringent que Tair, afin de vérifier si la direction suivant laquelle on aperçoit une étoile peut varier avec le changement que le li-
(') IJosccwicii, De annuis fixant m aberrationibus; Humae, 1742.
quide apporte dans la marche de la lumière. Le résullat doit être négatif, puisque la direction apparente de la lumière ne dépend pas de la nature du milieu interposé.
11 n'est pas inutile de démontrer cette propriété directement dans le cas actuel. Si Von vise une étoile située au pùle de Técliptique avec un tube plein de liquide et terminé par des faces parallèles, la vitesse de propagation de la lumière suivant Taxe du lube est V; en même temps, les ondes sont transportées latéralement avec une vitesse vl i ^ ) et la vitesse du liquide relative
à ce mouvement latéral est
La variation apparente de direction de la lumière dans le liquide, ou l'angle d'incidence sur la face de sortie est donc
L'angle de réfraction étant n fois plus grand, Taberrahon est
exactement la même que dans une lunette ordinaire.
Les nombreuses tentatives qui ont été faites, en particulier par Sir G. Airy à l'Observatoire de Greenwich, pour rechercher si la latitude apparente est modifiée, quand on observe les étoiles avec une lunette dont le tube est rempli d'eau, ont montré, en elFet, que la variation est absolument insensible.
Dans une série d'expériences organisées en vue de contrôler la théorie qui précède, j'ai constaté d'abord que la déviation des raies D ou du groupe b dans un réseau ne présente pas de différence appréciable, suivant que l'on emprunte ces raies à la lumière générale du Soleil ou qu'on les obtient par des étincelles entre des électrodes de sodium ou de magnésium. L'expérience est d'autant plus précise que les raies métalliques, à cause du phénomène de renversement bien connu, paraissent en noir sur un fond brillant et sont alors entièrement comparables aux raies obscures du spectre solaire. Si l'on éclaire séparément les deux moitiés d'une fente avec les deux sources différentes, les raies correspondantes dans
les deux speclres superposés apparaissent toujours dans le prolongement l'une de l'autre.
En plaçant l'appareil tout entier sur un équipage mobile qui permet de faire marcher la lumière dans le sens ou en sens contraire du mouvement de la Terre, c'est-à-dire vers Touest ou vers l'est au voisinage de midi, la direction n'a pas varié de y^ tandis que la dispersion était assez grande pour que les raies D fussenl écartées de 2'3o" ou i5o''. S'il existait un changement de l'ordre de l'aberration, la différence des effets observés de part et d'autre serait de 3o", c'est-à-dire lo fois plus grand que l'erreur possible des observations.
On peut enfin profiter de la rotation de la Terre et installer un appareil dans une direction fixe, de l'est à l'ouest, en comparant les obscrvalious de midi et de minuit.
La réfraction dans un seul prisme permet d'obtenir une dispersion considérable, car le changement di' de déviation qui correspond à une variation dn de l'indice est (76)
... sinA ,
di ' r= 71 dn ;
ces r ces e'
la valeur de di' devient très grande lorsque l'angle de sortie i est voisin de 90". D'autre part, le rapport de la variation rfi' à l'angle de pénétration du faisceau émergent est proportionnel à
- --7-Î il (îst encore maxinunn ])our les mêmes conditions, cosr' ^
On employa un prisme dont la largeur L à l'entrée avait lO*": ce prisme recevait normalement la lumière d'un collimateur à grand objectif et l'on observait, dans une direction presque rasante à la face de sortie, par une lunette à micromètre. En plaçant un (il de réticule au foyer du collimateur, on pfeut éclairer l'appareil directement par une llamme de soude; on aperçoit alors dans la lunette deux images noires du réticule, sur fond brillant, comme on verrait deux raies l)rillantes si le fil était remplacé par une fente. La distance des images <»tait d'environ 65", correspondant à 50 divisions du tambour du micromètre, et l'on pouvait pointer à moins de -^ de division, c'est-à-dire à ^ de la distance des deux raies 1), ou .,V de l'aberration.
L'appareil a été installé dans une des caves de l'École Normale
à température sensiblement constante. Quand il eut acquis une stabilité suffisante, les observations furent faites régulièrement pendant près d\ine année, en pointant chaque fois les deux images. La différence des lectures moyennes de midi et de minuit fut d'environ -^ de division du tambour, celles des séries isolées ne dépassant pas ^ division. Dans le cas le plus défavorable, la constance de la déviation est ainsi vérifiée à moins de Y^ de la distance des raies D, ou yô ^^ Taberralion.
Dans un autre ordre d'idées, j'ai observé les franges d'une lame de flint de lo™"* d'épaisseur qui produisait, entre les faisceaux réfléchis sur la première et la seconde surface, une différence de marche supérieure à 5oooo longueurs d'onde. Le déplacement des franges, quand on dirigeait alternativement l'appareil vers l'est ou vers l'ouest, n'atteignait pas -^ de frange ou ^^^^^^q du retard des deux systèmes d'ondes.
L'observation des interférences des lames mixtes (283), avec la disposition indiquée par la Jig. 129, a donné également un résultat négatif, en employant une lame de ilint de 10*""*, 2 et une lame de crown de 18"*™, qui produisaient respectivement des retards de 10000 et 24000 longueurs d'onde.
M. Hoek (*) avait déjà réalisé une expérience analogue, qui revient à répéter celle de M. Fizeau (665), où l'un des tubes seulement serait rempli de liquide en repos, c'est-à dire à faire interférer deux faisceaux qui ont traversé le même milieu, suivant des directions opposées, l'une dans le sens du mouvement de la Terre et l'autre en sens contraire. J'ai répété également cette expérience avec deux miroirs rectangulaires (287), en interposant sur le trajet de Tun des rayons (Jip- li'j) une plaque en flint de 98™", 5. Les franges étaient très belles et le résultat encore négatif, à moins de -^ de frange.
Enfin j'ai constaté que le pouvoir rotatoire du quartz n'est pas modifié de jôoôôj ^^ ^"^ '^^ franges isochromatiques dues à la double réfraction du spath ne varient pas de tôôVôô» q^^He que soit la direction de la lumière par rapport au mouvement de la Terre.
Ces expériences permettent d'apprécier à quel degré d'approxi-
(») Hoek. Archives néerlandaises y t. III, p. 180; 1868, et i. IV, p. 443; 1869.
IIO CHAPITRE XV.
roation la formule de Fresnel se trouve justifiée. Si Ton y remplace, en eflet, —^ dans le terme de correction par —^y la quantités
étant provisoirement indéterminée et variable avec la vitesse de propagation, le retard relatif des ondes d^espèces différentes qui ont traversé une lame de spath sous l'incidence normale a poar expression
Si la variation n'est pas de jôôWô» '' ^" résulte
ait'—t')
lOOOOO
Les quantités s' et e^' correspondant aux deux espèces d'ondes ne difTèrent donc pas de j^. Le même raisonnement appliqué aux anneaux de réflexion ou aux interférences des lames mixtes montrerait que la quantité £ ne diffère pas de l'unité de yj. Le terme correctif, qui représente l'entraînement des ondes, est ainsi vérifié avec une approximation relative de
oon'
ce qui donnerait ,,'- pour /i =: i ,()2.
Considérons, de même, l'expérience de Hoek. Si la propagation a lieu dans le sens du mouvement de la Terre, la vitesse delà lumière relative au milieu est
et le temps nécessaire pour parcourir une épaisseur e,
la dirtV»ronce des temps qui correspondent aux deux marches O sens contraires est donc
Les vitesses apparentes de propagation pour le même chemin dans l'air étant V — (^ et V -+- ç^, la différence des temps est
et le retard relatif 6 des deux systèmes de rayons qui ont marché en sens contraires a pour expression
6 = -Y (i — e), Ve = 'iae{\ — e).
Si l'expérience permet d'affirmer que le déplacement du phénomène n'est pas de -j^ de frange pour une épaisseur de loo™" ou 200000 longueurs d'onde, il en résulte
4a(i— e)<io-«,
L'expression de Fresnel, pour l'entraînement des ondes, est donc
exacte avec une approximation relative de -, — r— -- - ou r~.
^^ i\oo{tr — i) *"®
Dans tous les raisonnements qui précèdent, on a négligé le carré de l'aberration (663). L'erreur qui résulte de cette simplification ne serait pas négligeable si les chemins parcourus par les deux systèmes de rayons que Ton compare étaient de l'ordre de lo* longueurs d'onde ou de 5o'" ; c'est ce que M. Michelson (*) a recherché par expérience.
Deux plaques de verre identiques P et P' {Jig* 33o) sont disposées comme dans l'appareil interférentiel de M. Jamin (286).
i^armi les rayons qui émanent d'une source S, les uns traversent les deux plaques, se réfléchissent normalement sur un miroir métalli(]ue M et reviennent dans la direction AX après s'être réfléchis sur la face postérieure de la première plaque. Un autre système de rayons se réfléchit d'abord en A, puis sur le miroir M', revient ensuite par le même chemin et se propage finalement suivant la même direction AX. Si les miroirs M et M' sont à la même distance L du point A, ou plus exactement à des distances
(•) A.-A. Michelson, Amer. Journal of Science [3], l. \XII, p. 120, 1881.
I lo.
optiques équivalentes, la diflerence de marche des systèmes d^ondes qui peuvent interférer sur le faisceau commun tient uniquement àTinégalité des angles d'incidence sur les plaques P et P'; on observe donc les franges habituelles de cet ensemble de plaques.
Supposons maintenant que la Terre marche dans la direction AM. La vitesse relative des ondes au premier passage de A en M est V — Vf tandis qu'elle est au retour V -^ r. Le temps t' nécessaire à ce double parcours est donc
Pour le chemin AM', la vitesse relative n'est pas modiiiée et la durf'c du parcours est
on a donc
'zizz -^ a'
aK
L'effet inverse a lieu si Ton tourne l'appareil de 90" de manière à diriger la droite AM' suivant le mouvement de la Terre; le déplacement relatif des interférences d'une expérience à l'autre est donc ia^=^ i^.io *.
Si la dislance L est de i^jSio, l«» chemin parcouru correspond à
:. io*= 4- 10" longueurs d'onde de la raie D et le déplacement
PROPAGATION DK LA LUMIERE. Il3
serait 0,08 de frange. M. Michelson réduit le déplacement à (/, 048 en raison de cette circonstance que le mouvement de la Terre n'était pas exactement dans la direction est-ouest au moment des observations. Par contre, il y ajoute reflet produit par le mouvement de translation du système solaire, qui avait alors une direction très favorable, ce qui porterait a 0^,16 l'eff'et qu'il s'agit d'observer, mais il semble préférable, pour éviter toute interprétation douteuse, de s'arrêter au premier résultat.
Les observations, qui étaient quelquefois contradictoires, ont indiqué un déplacement moyen de 0*^,022 pour les directions convenables et o*^,o34 quand l'appareil était orienté dans les directions intermédiaires, auquel cas le déplacement devrait être nul. M. Michelson en conclut que la formule de Fresnel n'est pas absolument rigoureuse.
Avant d'arriver à cette conséquence, il est nécessaire de discuter l'expérience. Il semble d'abord, d'après M. Lorenz (*), que Teflet devrait être diminué de moitié, parce que la propagation de la lumière n'est pas normale au miroir M'. Pendant le temps t que met la lumière à se propager du point A au point M', ce miroir a parcouru Tespace çl; le chemin réel est donc incliné sur la normale de l'angle a et égal à
— - = — - — Ll I -h cosrt a-
Le temps t du double parcours est augmenté de la fraction — ,
la différence relative des durées de passage devient donc moitié moindre que dans le calcul précédent.
Le déplacement à observer n'est plus alors que 0^,024 et paraît compris dans les limites des erreurs d'observation. En eflet, l'appareil était trop sensible aux vibrations du sol et ne pouvait être observé que pendant quelques heures de la nuit.
Cette expérience importante a été reprise par MM. Michelson et Morley {'^) avec un appareil gigantesque. Pour augmenter le che-
( ») H. -A. Lorenz, Archives néerlandaises, l. WI, 2' Livr., p. i; 1886. ( ») A.-A. Michelson et E.-W. Morley, Am. Journal 0/ Science [3], i. XXXIV, p. 333; 1887.
n4 CHAPITRE XV.
min parcouru par la lumière, chacun des faisceaux AM ou AM' ne revient sur lui-même qu'après avoir subi sur des miroirs fixes sept autres réflexions dont la dernière est normale, de sorte que le chemin total est porté à la*". Les plaques P et P' avaient \^^y%) d'épaisseur, 5"^™ et y^"\ 5 de dimensions transversales et les miroirs, en métal, 5*^™ de diamètre. Les miroirs étant placés aux dislances convenables, on les réglait d'abord de manière à sujktposer dans la lunette d'observation les deux images d'un point situé sur le trajet de la lumière et formées par les deux faisceaux Interférents.
On produisait alors les franges par une flamme de soude et on leur donnait le maximum de netteté en déplaçant l'un des miroirs par une vis micrométrique; après ce réglage, on pouvait substituer à la flamme de soude une lampe à huile au fojer d'une lentille et un petit mouvement de la vis faisait apparaître le^ franges colorées. La lunette était munie d'un micromètre permeltant de pointer le phénomène à g^ de frange.
La partie optique était protégée par un couvercle en bois contre les courants d'air et les variations de température. Enfin, l'ensemble des appareils était installé sur une pierre portée par une monture en bois qui flottait dans un bain circulaire de mercure; il était facile de lui donner une rotation continue assez lente et défaire les observations dans une série d§ positions difl^ércn tes.
l-e déplacement devait être, dans les conditions les plus fav(ïrables, de 0*^,4» Les observations ont été faites dans le cours du mois de juillet 1887; elles ont bien montré quelques variations, mais moindres que ^ et probablement^ de frange.
La seule objection possible serait que le mouvement du système solaire fi\t alors capable de compenser feflet de la translation de la Terre, mais elle peut être écartée par des observations faites à une autre époque.
il semble résulter de toutes ces expériences que la formule de Fresnel n'est tprune première approximation, que les phénomènes opti(|ues sont impuissants à mettre en évidence le mouvenient de translation delà Terre, \m\v des observations qui n'empruntent pas la lumière des astres, et que finalement /es mom^ements relatij^ sont se lits apprrciaitirs,
M>L Miohelson et Morlev proposent encore d'autres méthodes
Il5
ingénieuses et, en particulier, la suivante, qui aurait pour but de mettre en évidence l'inégalité réelle des angles apparents d'incidence et de réflexion, mais le problème ne paraît pas avoir été considéré d'une manière entièrement exacte.
Supposons qu'un système d'ondes planes tombe sur une surface AC {Jig- 33 1) entraînée par la Terre dans une direction AA' si-
Fig. 33i.
tuée dans le plan d'incidence et qui fait l'angle a avec la normale. Pour obtenir la direction des ondes réfléchies, on considérera deux rayons SA et SB qui touchent la surface au bout d'un intervalle de temps égal à l'unité, l'un en A, dans sa position AC, et l'autre en 13, quand elle s'est déplacée de AA!= v. On décrit, du point A comme centre, une circonférence de rajon AQ = V, à laquelle on mène par le point de contact H une tangente BQ. J^a droite AQ est le rayon réfléchi et A'Q sa direction apparente. Les triangles rectangles APB et AQB sont égaux puisqu'ils ont le coté commun AB et PB = AQ = V, de sorte que les autres côtés AP et BQ sont aussi égaux.
En appelant i l'angle d'incidence, on a
(♦ CCS a ^= CB CCS/*,
pCrz: V-CB = V(^I-^/^V-^V(l-p),
\ cos ij ^
AP = PGcote= V(i — p)cot/.
D'autre part, r étant l'angle de réflexion NAQ et 'J) l'angle CAB, l'angle PAB est]égal à i-h'f et l'angle complémentaire QAB égal à yo** — /' -l- ®ï ce qui donne ^ -f- tp == /• — '^, ^{i -\- o) = r -i- i.
llC CHAPITRE XV.
On a enfin, dans le triangle PAB,
i -\- f^ PB lang;/
tang(i H- cp) -- tang d'où résulte la première équation
PA "■ I— p'
(i) lang/ = (i — p)lang- ' ' ,
qui permettra de calculer Tangle de réflexion /*.
En appelant /' Tangle apparent de réflexion, le triangle AA'Q
donne
A A' sin(/* — /'M
A(^) sin(r — a)
(9.) sin (/•—/•')=: a sin(/"' — a),
équation qui détermine /*'.
De même, si Ton prolonge SA d'une longueur AQ, = V, la direction apparente du rayon incident est A'Q|. L'angle apparent d'incidence i' s'obtiendra par le triangle AA'Q,,
A A' sin(f' — i)
ÂQ, ~~ ~ sin(i'-h a)'
(3) sin(/' — i) ^=1 aûïï{i' -\- %),
IjCs angles i' et /*' sont égaux, au carré de Taberration près. Si l'on tient compte de cet ordre de grandeur, on peut poser
et 1 on négligera les cubes des quantités a, p cl £ qui sont de même ordre. On a alors
lang— — iang(/ -^£)-=tangn I 1 -^—. , -\ ^. ,
^2 *^^ ''y SlIUCOSi COS' ij
et, en substituant dans l'équation (i ),
c := p sin/ cosf 4- p- sin/ ces/ — i- tang/*.
llemplaçant s dans le dernier terme par sa valeur approchée psin/cos/, et p cosi par acosa, il vient
(i)' /• — i^^ 'la ces a siiu*-h rt'sin2/cos'a.
Au même degré d'approximation, les équations (•>. ) el (S) j)eu-
\ent s'écrire
(•.?)' /• — r' z a sin(£ — a) -f- a{r' — /) cos(£ — a),
^ \ i' — I ri a sin(£ -H a) -i- ûr(i' — /)cos(/-r-a)
f : - rt sin(£ -\- a) -H «' sin(£ 4- a) cos(£ -r at),
On déduit des équations (1/ et (>//
r' — i^a s\tï{i -\- 1) -4- a- sin2/*cos-a — a{r' — /) cos(/ a)
i — a sin{/*4- a) -^ - (sin2£ cos2a — sin 2a),
rt, par soustraction membre à membre avec (3)',
/• — /''=^ — [ sin2(£ H- a) — sin 2 /ces 2 a -\- sin 2 a] = «* sin 2 2 ces*/.
L'égalité des angles d'incidence et de réflexion se vérifie encore au second ordre près.
La déviation apparente du rayon est le supplément de /'-h/*', et l'angle i4-a est supplémentaire de Tangle C5 que fait la direction (lu mouvement avec celle -de la source; les équations (3)' et (4) donnent
/'-+- /•' — 2/=::: 2flr sin(/ -T- a) -t- «*^(cos2a sin 2/- - sin 2 a sin'/) =:= 2 <7 sin cp -h a' [sin 2 'V 4- sin 2(0 -h /) ces'/].
]^e terme du premier ordre est indépendant de rincidcnce; il correspond à Taberration et disparaîtrait dans les observations.
Quant au terme du second ordre, il varie avec les angles /et'^. Si l'on emploie la lumière solaire directe, par exemple, rap<;le o est toujours droit et Ton a sin2('^ + i) =: — sin 2/.
Le dernier terme est nul pour les incidences normale et rasante; il <'st maximum pour /= 3o^ et devient alors — o,()5. 10*.
Toutefois, ce calcul ne correspond pas aux expériences réelles, parce que la source est mobile avec l'observateur; nous aurons recours à un autre mode de raisonnement.
Supposons donc qu'une source S {/t^- 332) soit observée du point S' après que la lumière s'est rédécliie sur la surface plane il, le
ii8
système élant entraîné avec la vitesse t' de la Terre, suivant la direction MM' qui fait l'angle a avec la normale.
Le point M d'incidence s'obtiendra, d'après la construction d'Huygens, par la condition que la communication du mouvemcDl sur le chemin SMS' ait lieu pendant le temps minimum. Soienl / et i' les angles apparents d'incidence et de réflexion, h et h' les distances des points S et S' à la surface S et D la distance PP. On a d'abord
(5) D — A tangf'-i- A' tang/',
el, pour un rayon (|ui suivrait un chemin peu différent,
// di k' dV
cos'£ ces-/
Fig. 33a.
Jl
D'autre part, la vitesse apparente de propagation de la lumière sur le rayon incident SM, abstraction faite des variations de longueur d'onde el, par suite, des effets de dispersion, est
\V : V— PC05(« — a)— Y[i — «C0S(/— a)],
el le temps / nécessaire au ])arcours de la longueur SM
\V \ COS £ [ I — a co^ ( / — a )J
Si Ton développe celle expression, en négligeant les termes de l'ordre de a', il vient
V/ -■• -.[i 4- a cos(l — a) 4- a' cos-(/ — a)].
La vitesse apparente W'sur le chemin MS'et la durée correspon-
PROPAGATION DE L\ Ll'MIERE, I I9
(Jante /' sont, de même,
W =:¥ — (' cos ( r — £ — a ) " V [ I \- a cos (/'-ha)],
\l' = -A; [i - a cos(/' -i- ot) -}- fl= co>*(£' H- a)].
Le temps total i -{- l' ou trajet est alors, en tenant compte de (5), V(/-h/') - - -f ., -^-^ (/? — A )cosa-i-D sma
COSf COSi
a- :COs*(/— a) -\ >oos-(/' -j- a)
Leosi cosf J
et Ton doit égaler à zéro la dérivée de cette expression en tenant compte de (6). Les premiers termes donnent
,/ // // \ //sin/V// /t's\ni'rft" , hdi
cil ; H -, ) — : .- -i —7— --(sin/ — sini ) — -^
\cos£ cosi / cos-£ cos*i cos*/
et, en appelant K la quantité comprise entre crochets,
