IV) A
cosc -|-y/cos^5 -h ik\x i -hy^i -h 2/|x(i -h tangue)
et il reste deux constantes arbitraires, [jl et/»-.
On aurait encore une expression de même forme que la formule •générale (A), en développant le second membre de l'équation (IV)
suivant les puissances croissantes de tang w.
(») Bradley, A$tr, obs, nt Greenwich from 1750 lo 1762, l. I. Oxford, 179H. (») J.-T. Mâyer, De refractionibus astronomicis. AUorfii, 1781.
5*^ On arrivera au même résultai en admellant que la quanlil dans la seconde des équations (ii), peut être remplacée pan valeur moyenne <t, comprise entre o et i, car il en résulte
( A — - sin^[v/cos*:; -+- 2 j — v^cos-s -h 2 (a — p.)j (V) '• ajuisinw
y/cOS*-3 -r 9. <3 -t- ^ COS^ Z -\- 2(J — jx)
avec deu\ constantes arbitraires, it et <t.
G** Comme la quantité n — i est proportionnelle à la déni du gaz (entendue dans le sens de masse spécifique), il semble p rationnel de choisir une hypothèse conforme à la loi de Laplace relative aux variations de pression dans l'atmosphère.
Soient/? et p la pression et la densité de Tair à l'altitude hjg gravité correspondante. La variation de pression dp pour la var tion de hauteur dh est
(i(j) dp-r:-~pgdh.
En désignant par l'indice o les valeurs relatives à la surface d sol et négligeant l'influence de la rotation de la Terre, on a
•■' -•-"iH-t-zJ
On devrait, en réalité, tenir compte en chaque point de Taclio de la couche d'air située plus bas, mais la masse totale delalmo sphère n'est probablement pas .^^,'m,,^ de celle de la Terre et ^ variations qui pourraient en résulter pour la gravité sont enlièr^ ment négligeables.
Si Ton pose
la quantité ii représente la hauteur /cc/w/Ve de l'atmosphère, ccsl à-dire celle d'une colonne de gaz de densité constante Oo ^"' ^^^ é(|uilibre à la pression y?0 sous la gravité ^'^o*
Supposons d'abord que la température de Tair soit consUn^'
) Laplace, Mécanique céleste, Liv. \.
RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. 'liScj
lant compte de la relation
P __ Pi-__i,
Lion (19) donne
^ __ R Vidh R 77 ~ M(R-h/0*~ »1
le expression représente d'une manière très approximative les pressions quand l'altitude n'est pas trop grande, mais on it l'étendre jusqu'aux limites de l'atmosphère, car elle ne rait pas une pression nulle à une distance inOnie, et la niasse de Tatmosphèrc ainsi calculée serait très différente de la réelle, on pose
P— ?o/(-Oi
îlion f{s) est égale à l'unité pour 5 = o et nulle pour .v =: i . sse totale de l'atmosplière est
désignant par K la hauteur d'une couche homogène de niasse on peut écrire aussi
onction y(5) doit donc satisfaire aux trois conditions
fonction '^(5) est aussi égale à l'unité pour ,v = o, mais elle ster finie pour 5=1, si la masse de l'atmosphère est limitée. •port/(5) des densités doit donc avoir (i — s)* en facteur, à qu'il ne devienne nul à partir d'une certaine valeur de s, M. — m. 19
OgO CUAPITRE XVII.
La loi de MariolLe conduirait ainsi à une masse infinie pourFal mosphère, mais le calcul devient alors inexact parce que les masse d'air devraient intervenir dans la variation de gravilé.
L'une des formes les plus simples serait, en posant K = £R.
il en résulte
fj ^= i — e
Comme le rapport s est sans doute très petit, le facteur q est Irè? peu inférieur à l'unité.
La loi de Laplace serait alors remplacée par
j, £ R + Il
Ces résultats ne sont qu'une première approximation, parcf que la température diminue à mesure qu'on s'élève. En appelanlT la température absolue, l'équation (21) doit être, remplacée par
(r,,\l pT __ PqTq Tq {1\) jj,
P P^ é'oH
et l'é(|uation différentielle est alors
p il t"^''
Pour la mesure des hauteurs par le baromètre, Laplace inlf?* d'abord cetle équation en supposant la température T conslanW' sauf à la remplacer dans la formule finale par la moyenne des UB*' pératures extrêmes ï et Tq. Dans le cas actuel, l'intégration do» être étendue juscju'aux limites de Tatmosphère, en admcliaD' une loi particulière de décroissemenl.
Si chaque masse de gaz se meut librement, sans que sa temp'' rature soit modifiée par rayonnement ou conductibilité, c'est-à-a"* n'éprouve que des transformations adiabatiques, on a, en apj^ laut k le rapport des chahîurs spécifiques à pression constante o"
REFRACTIONS ATMOSPHERIQUES. 791
à volume constant,
L'équation (21) doit alors être remplacée par
«»t Téqualion (19) par
* X- — I R T Tn~T
A- II To lo
La pression, la température et la densité deviendraient nylles à la hauteur ht définie par la condition
En prenant X*= i,4< et H = ^ — » il en résulte
R -h /<! o, 'ji 800
/«i=iRX 0,0043 = 27^'"/» (»).
Pour une température de o" (>. au niveau du sol, Tabaissemenl de température serait
. A- — I h 0,41 '>.73 , to—t- 373 — j— -= :- - ,-•- V'' " o°,oi.A,
c'est-à-dire de i" pour loo"*.
Les observations semblent montrer (juc les variations de température avec Taltilude sont moins raj)ldes et ne dépassent pas i" pour i5o™ ou 160™. Le refroidissement des masses d'air qui s'é-
(•) Sir W. Thomson, Math, and pliys, Papers, t. III, p. ija.
y.iyi
lèvent dans ralmosphère est, en effet, ralenti par le rayonnemeol du sol et par la condensation de la vapeur d'eau. Celle deroièit cause, signalée par Joule, paraît suffire à rexplication des observations, car elle conduirait, pour une masse d'air saturée, à uo refroidissement de i° pour i52" à 284" suivant que la température initiale varie de 0° à 35".
La hauteur limite de Tatmosphère serait alors notablement supérieure à 28''™ et la masse totale reste bien définie dans les deux ca?, puisque la pression et la température deviennent nulles.
Toutefois, s'il existe réellement une limite physique de ralmosphère, elle paraît être beaucoup plus élevée que ne rindiqueraieni ces considérations, car on a observé des nuages lumineux jusqu'i des altitudes qui dépassent 80''" ( * ), et la suspension des particules solides ou liquides dans ces conditions suppose que la pression e»l encore notable.
D'autre part, les aurores polaires se produisent sans doute dan^ un air très raréfié, mais 011 la pression n'est pas nulle. De Mairaoï-I estime que les aurores vues en France à son époque étaient à des hauteurs de 100 à 3oo lieues. Les observations plus précises de Bravais et Lottiii (^) en Laponie donnèrent une hauteur cofflj)rise entre 100*"" et 200*^'". Enfin Flœgel (*), en discutant les observations de la grande aurore du 25 octobre 1870, conclut qo^ les soinniels des rajons s'élèvent fréquemment à plus de ooo^" «^' même dépassent ^jo'"".
Les deux hypothèses d'une température constante ou d'une variation adiabalique, même en tenant compte de la vapeur deao. paraissent donc également improbables, au moins si l'on adm^ (jue les lois relatives aux gazetaux vapeurs conviennent jusquaui pressions et aux températures les plus faibles.
Hcniarquons enfin qu'on a négligé la rotation de la Terre, «^ sorte f|ue les calculs ne s'applicpieraient qu'aux couches voisina' du pôle. Pour les basses latitudes, la pression en chaque poio^^
(') (). Jkssi-, Sitzungb. der h\ Prcus. Ak. der Miss, cm ^cr/t/i, Livr. ^^ j». iu3i; iH(jo, rt IJvT. WVI, p. 4'>7 ; '^î)'. {') Dr. Maihan, Histoire de l'Acad. des Se. pour 1733, p. 477. (') ]'oyai^e de la Kecherchc. — Aurores boréales, p. y\i. («) Flœgei., Zeitschr. der Œsterr. Ces. fur MeteoroL, Bd. VI; 1871
Irouve diminuée et la hauteur réelle de Talmosphère peut eucore devenir beaucoup plus grande.
Si l'on représente par/(5) le rapport des densités à la hauteur /t el au niveau du sol, et que Ton pose, comme on a fait déjà,
il en résulte
f'{s)ds^= — du.
Les quantités 5 et w variant entre les mêmes limites o et i, la réfraction devient
(36) A=:|XSm3 / -^ ^ ^ ' :
J y ces* z — 2 [X -h j 6; -f- 2 [1
Le problème estTun des plus délicats que présentent TAnalysc et la Physique. Nous renverrons à une Note de Mathieu (*) sur la succession des travaux relatifs à cette question, à la publication plus récente de M. Bruhns {^) et surtout au Mémoire important dans lequel M. Radau (') a discuté les différentes hypothèses proposées pour la variation des densités, en perfectionnant les méthodes de calcul.
Nous ajouterons seulement que loule expression exponentielle du rapport /(5) conduirait à une masse inadmissible pour Tatmo- 'iphère (*), quoiqu'elle puisse élre propre à représenter la réfraction. Telle est, par exemple, la relation adoptée par Bessel (•')
il en est de même pour celle do Laplace, qui se réduit à
/(5) = [i H- b{s — |xm)]c-P'-^-!^") ou f{s) > e-'^'.
(•) Delambre, Hisl, de l'Astr. au xviii* siècle, p. 77^1; 1827.
(*) Brchns, Die astronomische Strahlenbrechung . Leipzig, 1861.
( ') Radau, Ann, de VObs. de Paris, Mémoires^ t. XVI, p. B.i ; 1882, et t. \I\, f». G.i ; 1889.
(*) E. Mascart, Comptes rendus des séances de l' Académie des Sciences, X. CXIV, p. 93; 1892.
(•) Bessel, Bode astr. Jahrb., i8!G. — Astr. Aachr.y 1823. — Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. XV, p. 181; 1842.
-j" Une dernière remarque est relative à (amasse d'air travers par le rayon. Nous avons dit (704) que la longueur réduite cette couche a pour valeur approchée
' ~J Pu y/(K4-/j)*U«sin*5 "" Po J (1 — sy y/i — (1— s)«sinct la réfraction peut s'écrire (712)
A C . .1 r (ï — s)dn
La quantité m — n étant très petite, les deux radicaux onlseï siblenient la même valeur; d^autre part, la densité p est propo tionnolle à n — i , ou dn à dp. Les deux expressions sont dansu rapport constant si l'on a
, dp ds
Le dernier facteur diffère très peu de Tunité dans toute la parti efficace de l'atmosphère et l'on en déduit la relation connue
P = Po«
On peut donc admettre, pour le calcul de Tabsorption dansl voisinage de l'horizon, que la masse d'air traversée est proportionnelle à la réfraction et en raison inverse du sinus de la dislanc zénithale, ou du cosinus de la hauteur de l'astre.
715. Tables de réfraction. — Toutes les formules rcnfenneDl des constantes qu'il faut emprunter à l'observation.
Les Tables ainsi calculées iie conviennent généralement ^ pour la pression normale et différentes températures; on 'vA^^ Tailleurs la méthode à employer pour en déduire les correcUou^ relatives aux conditions météorologiques.
Si la Table a été calculée pour l'indice m = i -+- |jl, qui correspond à la température centigrade / et à la pression /?, la ^*'*'^ relative à des conditions différentes s'obtiendra sans erreuro^ table, pour les distances zénithales inférieures à ^5**, en suppos*'*
le l'intOgrulc ne change {tas cIhhs iV'qiialioi facteur a par |a -f- el^, c'est-à-diri' pli ajon
le la Table la fraction ^!* <ln nombre l.ii-m
(l'une innnière 1res approchée, en appela lions de l'observation,
{a6) el remplaçant ant i la n'-fruction A
me. Couin»? le pro-
el p' les condi-
- iL~
La correction de température esi beaucoup plus forte pour le voisinage de l'horizon.
On a quelfjuefois tenu complp aussi de IV-tal b^^TOmétriqiie, lis la dilTérence des indices de l'air et de la vapeur d'eau est très faible et la fraction d'humidilt^ reste toujours si petite que cette coneciion, d'ailleurs fort incertaine, peut être négligée. Les dilTérenles Tables utilisées en Astronomie sont très concor- >Dles jusqu*â Go" ou même 8o" du zénith, auquel cas les forniles simples, obtenues par une théorie quelconfiiie, sont encore Ipplicabtcs, mais les différences s'exagèrent ensuite pour les di- CClions plus rapprochées de l'horizon. Nous reproduirons seuleit, d'après M. Hadau, quelques nombres déduits des théories |**i ont le plus d'autorité, pour les conditions normales, c'esl- ■dire \ o" et sous la pression de yCo"™, afin de donner une idée de importance du phénomène et des incertitudes qu'il laisse dans ^* observations.
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36 iB.i
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iO,5
3i G.o 38 57,0 Ï7 a 1.3 36 4o,ti 36 47.8
36 So.a 3.( S-'i.f.
•AjG CHAPITRE XVII.
Les Tables de Caillel ont été adoptées pal* le Bureau des Lon- L