COS* J

Si l'angle a prend des valeurs égales et de signes contraire:» 'à six mois d'intervalle, par suite du changement de régime météorologique, il reste finalement, pour des étoiles situées à 3o" du zénilh et dans Thypothèse précédente sur la valeur de l'angle a,

oX = '2 ^ {IX =: o" , 1 6.

On approche ainsi des différences constatées par Inobservation. Nous avons supposé, il est vrai, une inclinaison assez improbable des couches d'égale densité au voisinage du sol, mais on ignore absolument ce qui se passe dans les régions situées à moins de 1000" d'altitude; le trouble des réfractions peut être de même ordre que la quantité que l'on cherche à déterminer, puisque les variations accidentelles dépassent plusieurs secondes (*).

Une dernière cause d'erreur tient au défaut d'équilibre de température dans la couche d'air que renferme le corps même de la lunette, ce qui produit une déformation (262) et un déplacement

(«) A. Gaillot, Comptes rendus des séances' de r Académie des Sciences, t. LXXXVIl, p. 684; 1878.

3o4 CHAPITRE XVII.

des images. Si les couches de niveau y sont horizontales, par exemple, et que les températures soient / et /' en haut et en bas du tube, les indices correspondants étant /? = i + [x et /i' = i H- a, la distance zénithale apparente z' est

(i 4- (x') sine' m: (iH- |x)sin-3, I 4- 'X , . , sine'

-^ z= I — (|x' — [X) =z i-:— - = I — (j — z')C0iZ.

1 H- (X sin-3

Comme on a

il en résulte

e — 3' — o'',rî(/ — ^')tangr.

Une diflerencede température de 1" seulement, pour la distance zénithale de 9.7**, donnerait ainsi une déviation de o*', i d'un côui ou de l'autre, suivant le sens de la différence, et les erreurs peuvent être sensiblement plus grandes lorsque les inégalités de température sont irrégulières.

L'observation des étoiles de part et d'autre du zénith présente encore des difficultés sérieuses. Il faut d'abord vérifler la verticalité de Taxe de rotation à moins de o",o5 pour chaque observation; les étoiles choisies ne passent pas au méridien à la inémr heure;; enfin, on ne peut guère les observer que pendant la moitié de Tannée à différentes heures de la nuit, de sorte que les groupe* d'étoiles doivent ainsi changer d'une saison à l'autre.

Les variations apparentes de la verticale avaient été signalées d'abord par ^ von Villarceau ( ' ). Les observations plus récentes semblent conlirmer le phénomène, mais les résultats obtenus dans les (lillérents Observatoires d'Europe et des Etats-Unis ne sont pas assez concordants pour que l'on ne puisse conserver des doutes sur rtîxistence d'une rotation de l'axe du monde, quand on tient compte des changements périodiques de réfraction et de toutes les causes possibles d'erreur.

La (jueslion semble pouvoir se résoudre par la combinaison de<

(') VvoN ViLLARcE.vr, Conlptvs rendus des séances de l'Académie des Sciences, l. lAV, p. loGS; xHG-,

RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. 3o5

observations failes dans les deux hémisphères. Si les réfractions îrrégulières relèvent le pôle Nord sur nos régions, elles doivent abaisser le pôle Sud aux antipodes, toutes choses égales, et les directions apparentes ne seraient plus parallèles. Toutefois, il faudrait encore supposer que les climats sont entièrement comparables au voisinage des deux stations opposées.

Les observations de Paris indiqueraient, d'après M. Gaillot, une latitude plus grande en été qu'en hiver, avec un écart total de o",5. A Berlin, Prague et Strasbourg, la latitude semble croître de o'',o4 de juin à septembre, diminuer ensuite de o", i à o",2 jusqu'à décembre, puis de o'', i3 jusqu'en janvier; l'écart total serait d'environ o",4. Les observations faites à Honolulu (*) donnent une marche inverse, une diminution de o",3 de juin à septembre et un accroissement de o'', i3 de décembre à janvier, ce- qui semble confirmer l'existence d'une variation périodique pour l'axe de rotation de la Terre.

Toutefois une discussion plus attentive des déterminations de latitude faites à l'Observatoire de Paris (^) ne montre aucune variation périodique; il paraîtra sans doute prématuré d'émettre encore une opinion définitive snr cette question délicate.

REFRACTIONS EXCEPTIONNELLES.

718. Mirage. — On a observé depuis très longtemps, dans les plaines d'Egypte, que les objets éloignes, tels que les arbres ou les habitations, particulièrement aux heures les plus chaudes du jour, donnent lieu à une seconde image renversée, comme s'il existait une nappe d'eau dans l'intervalle, lac imaginaire qui paraît fuir devant l'observateur quand on cherche à s'en approcher. En même temps, la dépression de l'horizon augmente beaucoup el les accidents du sol situés à la plus grande portée de la vue prennent des proportions exagérées.

Les illusions du mirage ont causé une véritable déception à

(*) Faye, Comptes rendus des séances de l' Académie des Sciences, t. CXIV, p. 703 ; 189a.

(») Periuaud, Comptes rendus des séances de l* Académie des Sciences, t. CXIV, p. 896; 1892. — F. BoQUBT, ibid.f p. 896.

3o6 CHAPITRE XVII.

I^armée française dans la campagne d r2gypte; dods ne pouvons mieux faire que de citer la description de Monge (').

« Le terrain de la basse Lgvpte est une plaine à peu près horizontale (jui, comme la surface de la mer, se perd dans le ciel auK bornes de Thorizon : son uniformité n'est interrompue que par quelques éminences, ou naturelles ou factices, sur lesquelles sodI situés les villages qui par là se trouvent au-dessus de Tinondation du Nil; et ces éminences, plus rares du côté du désert, plu? fréquentes du côté du Delta, et qui se dessinent en sombre sur un ciel très éclairé, sont encore rendues plus apparentes par les dattiers et les sycomores qui sont beaucoup plus fréquents près des villages.

» ]ue soir et le malin, l'aspect du terrain est tel qu'il doit être; et, entre vous et les derniers villages qui s'offrenlà voire vue, vous n'apercevez que la terre; mais, dès que la surface du sol est suffisamment érhaulfée par la présence du soleil, et jusqu^à ce que. vers le soir, elle commence à se refroidir, le terrain ne parait plus avoir la même extension, et il paraît terminé à une lieue enviroo par une inondation générale. Les villages qui sont placés au deb de cette distance paraissent comme des îles situées au milieu d'uo grand lac. cL dont on serait soparé par une étendue d'eau plus ou moins considérahle. Sous chacun des villages on voit son image renversée, telle qu'on lu venait effectivement s'il y avait en avant une surface d'eau rélbjchissante : seulement, comme cette imagf est à une assez grande distance, les plus petits détails échappent à la vue. et l'on ne voit di.stinctcment que les masses; d'ailleurs les bords de Tiinagc r<înversée sont un peu incertains, et teN qu'ils seraient dans le cas d'une eau réfléchissante, si lasurfaccd*' l'eau était un |>eu agitée.

» A mesure qu'on approche d'un village qui parait placé dan< l'inondation, le bord de Tcau apparente s'éloigne; le bras de mer qui semblait vous séparer de l'image se rétrécit : il disparaît enfin entièrement, et le phi'uomène qui cesse pour ce village se reproduit sur-le-champ pour un nouveau village que vous découîre» derrière à une distance convenable.

(') MoNOK, .-inn. de Chimie, t. XXIX, p. 207; 1798. -- Décade égyptiffi^' t. I, p. 37 ; iHoo.

REFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. 3o7

» Ainsi, tout concourt à completter une illusion qui quelque- Fois est cruelle, surtout dans le désert, parce qu'elle vous présente v^ainement Timage de l'eau dans le temps même où vous en éprouvez le plus grand besoin.

» ... Dans le second quartier de la lune, cet astre se lève après midi, et pendant que les circonstances sont encore favorables au mirage. Si Téclat du soleil et la clarté de l'atmosphère permettent alors qu'on apperçoive la lune à son lever, on doit voir deux images de cet astre l'une au-dessus de l'autre, dans le même vertical. Ce phénomène est connu sous le nom de parasélène, »

Monge explique le mirage en remarquant que, par suite de l'échauflement de l'air au contact du sol, la densité peut aller d'abord en croissant avec la hauteur. La trajectoire d'un rayon de lumière dans cette couche tourne sa convexité vers le sol. Si la réflexion totale n'a pas lieu, la hauteur apparente des objets éloignés est diminuée; si elle a lieu, on aperçoit une image renversée.

Ce phénomène se voit fréquemment sur les grèves de sable, dans la plaine de la Crau, partout où un sol uni, de grande élendue, dépourvu de végétation, s'échauffe beaucoup sous faction directe du soleil. On l'a même aperçu sur la neige ou la glace à l'époque des grands froids. Le même effet se produit encore sur la mer lorsque la température de l'eau est supérieure à celle de l'air; il donne lieu à ces déformations singulières que présente quelquefois le soleil couchant.

Si les surfaces d'égale densité dues à ces variations de température ne sont pas horizontales, la trajectoire des rayons |)eut affecter une forme quelconque. Tel est le cas du mirage latéral que Ton observe sur le flanc d'une montagne escarpée, les bords d'une falaise, les murs des édifices, etc.

Les astronomes ont eu plusieurs fois l'occasion de signaler des phénomènes de mirage. WoUaston (*) en a fait une étude attentive en mesurant la distance angulaire des deux images et il attribue aussi la déviation des rayons à un excès de température des couches d'air inférieures.

Il a constaté directement, sur la Tamise, que l'eau était plus chaude que l'air, lorsque le mirage était visible, et que la teinpé-

(•) WoLLASTON, Phil. Trans. L. B. S., p. aSg; 1800, et p. i; i8o3.

3o8 CIIAPITRB XVII.

rature d\ine couche de sable exposée au soleil pouvait être de 12* supérieure à celle que Ton observe dans Pair à une distance de 3o*^". il serait surtout intéressant de connaître la température de la couche d'air qui touche le sol ; mais cette détermination est difficile, à cause des effets de rayonnement, et ne pourrait être faite que par un emploi convenable du thermomètre fronde.

WoUaston a vérifié, d^ailleurs, son explication par des expériences directes du mirage dans la couche d^air située au-dessus d'un morceau de bois échauffé au soleil, ou au voisinage d'un fer rouge ou encore dans un liquide de densité variable, qu'il obtenait en versant de Teau sur une couche d'acide sulfurique. La diffusioo lente des liquides finit par produire un milieu à température uniforme où rindice de réfraction croît de haut en bas d'une manière continue : les réfractions sont alors de sens contraire à celui do mirage naturel.

Les réfractions mesurées par Wollaston, c'est-à-dire la distance angulaire des deux images, ont été de 9' au-dessus du sable, pins de 9A)' avec la barre de bois et atteignaient i"i5' au-dessus dW |)laquc de fer rouge.

Le phénomène se montre quel(|uefois dans le sens opposé. A la suite d'une journée chaude etcalme, les navires situés au voisinage de riiorizon donnent une image aérienne renversée. Dansée cas. la température de la couche d*air inférieure est encore plus élevée, mais elle baisse rapidement au contact de l'eau, et l'indice de réfraction, à partir de la surface de la mer, va d'abord en décroissant pour passer par un minimum. La réilexion totale peut alors se produire pour un rayon dirigé vers le haut et donner lieu à une image aérienne renversée.

11 arrive aussi que Ton distingue trois images d'un navire, Jeui droites et une renversée, cette dernière étant située plus haulou plus bas suivant les circonstances. Enfin, les objets éloignés, monuments ou collines, semblent parfois suspendus en Tair, comof nu-dessous d'une nappe liquide brumeuse.

Telles sont, en particulier, les apparences connues sousienoa de F('^e morganc, que Ton aperçoit de Reggio dans la direction de Mcssini*, au-dessus du canal qui sépare les deux rives, touie> réserves faites sur la part qu'il convient de laisser à l'i maginatioo des narrateurs.

RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. 3oç)

« Quand le Soleil brille le matin ( * ) à la hauteur de 45*^ environ, si les vents et les marées ne rident ni ne troublent la surface unie et polie de ce bassin et que le spectateur se trouve sur les hauteurs de la ville ayant derrière lui le Soleil et le visage tourné vers la mer, il voit tout à coup dans les eaux une multitude d'objets divers : c'est une rangée de pilastres et d'arcades innombrables, ce sont des châteaux nettement dessinés, des colonnades régulières, des tours imposantes, des palais magnifiques décorés de balcons et de fenêtres sans nombre, des arbres gigantesques, de riantes campagnes avec leurs troupeaux, des armées d'hommes à pied et à cheval et une foule d'objets bizarres avec leurs couleurs naturelles et leurs mouvements propres; ces images, se succédant l'une à l'autre, glissent avec rapidité sur la mer, mais toutes ensemble elles n'y durent que peu de temps, pendant que les conditions précédentes demeurent réunies.

» Toutefois, si l'air est en outre chargé de vapeurs, imprégné d'exhalaisons épaisses, et n'a pas été au préalable balayé par les vents, violemment agité par les marées ou raréfié par le Soleil, alors sur cette atmosphère même, comme sur un rideau parallèle au canal, à la hauteur de trente palmes et plus au-dessus de la surface de l'eau, les spectateurs de Reggio observent le phénomène décrit plus haut; ils voient toutes ces images non seulement reflétées à la surface de la mer, mais en même temps réfléchies par l'air le long du canal, bien qu'elles ne soient pas aussi distinctes et niaient pas de contours aussi nets dans l'air que sur la mer.

» Enfin, si l'air est moins brumeux et moins sombre, mais très humide et propre à former l'arc-en-ciel, alors les images n'apparaissent qu'à la surface de la mer, mais elles sont teintes de couleurs vives ou frangées de rouge, de vert, de bleu et de violet. »

Il est douteux que ces irisations soient dues au simple mirage, car la dispersion de l'air semble trop faible pour que les efl^els varient avec la couleur.

D'après les difl(érentes circonstances, Minasi distingue trois espèces de phénomènes : la Morgana marina^ la Morgana marina aeria et la Morgana d^iride fregiata.

(«) A. Minasi, Dissertatione prima sopra un fenomeno vulgarmente detto Fata Morgana. Koma, 1773.

3lO CnAPITRB XVII.

Minasi signale Texislence, le long de la côte italienne, de villes ou villages, constructions éparses, monuments anciens ou modernes, sentinelles isolées, routes parcourues par des voyageur^ ou des soldats en armes, etc., dont les images se reproduisent plus ou moins déformées.

Nous citerons également une série d'observations analogues faites par M. Paris (') à Montpellier, au-dessus de TétangdeMauguio et du golfe d'Aigues-Mortes ; une étude détaillée des accidents du sol a permis de rapporter les images aériennes aux différents objets dont elles provenaient.

Arago et Biot ont encore constaté un phénomène plus complexe. Du sommet de la montagne de Desierto de las Palmas, sur le bord de la mer, à la hauteur de 7'i7™, ils observaient comme mire de nuit, à la distance de 161''™, un réverbère situé sur la montagne de Campvey, dans Tîle d'Yviza, à Taltitude de 4^0".

L'image de la mire parut accompagnée d'une, deux, trois cl même d'un plus grand nombre d'images nouvelles, situées audessus de la première, grossies et irisées. Cette multiplication des images s'explique en admettant que l'observateur se trouvait dan< une couche d'indice maximum, auquel cas les réflexions totale> peuvent se répéter en haut et en bas.

Biot et Mathieu avant eu l'occasion d'observer le mirage à Dudkerque en 1808, sur les grèves de sable que laissent les basse:* mers, en ont étudié avec soin toutes les circonstances. Biot (^)y a consacré ensuite un Mémoire où le phénomène est très habilement analysé, avec une explication complète des apparences signalées par les différents observateurs.

719. Propriétés générales. - On admettra d'abord, pour simplifier, que les couches d'égale réfraction sont concentriques àb terre et sensiblement horizontales, la distance des objets élanl assez faible, dans la plupart des cas, pour que l'on puisse négliger la courbure du sol.

Ku appelant m l'indice de l'air au point où se trouve l'observa-

(') Paris, Annuaire de la Société météorologique de France, t. III, p. i47' iS55, et t. VU, p. 120; i8')9.

(') IJiOT, Mémoires de l'Institut, t. X, p. i; 1809.

RÉFRACTIONS ATMOSPH ÉR IQU KS. 3ll

leur et z la distance nadirale d\in rayon de départ, on a

(i) m sin5 = /î sini HT . . . r^ Y*

La réflexion totale (*) n'a lieu que si Tangle d'incidence £ peut atteindre 90°, c'est-à-dire sur la couche dont l'indice p est

(2) p — m sinz -- v.

L'angle de départ z correspondant croît avec l'indice de réfraction de la couche sur laquelle a lieu la réflexion totale. Si cet indice dinninue à mesure que l'on approche du sol, les trajectoires s'abaissent de plus en plus quand le rayon initial s'écarte de l'horizon; la moindre valeur de z correspond au cas où la trajectoire du rajon est tangente à la surface du sol,

(3) sin^o— — • 4

Cel angle Zq est le complément de la dépression apparente 8 de l'horizon, et la distance maximum D de l'horizon visible est la dislance à laquelle celte trajectoire limite rase le sol.

La valeur de D dépend de la loi de variation des indices, mais la dépression 0 est uniquement déterminée par leurs valeurs extrêmes, comme on l'a vu précédemment (713),

(3)' cos8=:-^j 0^ — 2(m -- /io).

La réflexion sur le vide, qui est un cas limite, donnerait, en faisant /i„ = i et m --- i,ooo3,

îrr-V^. -.«,4'.

ioo

(') On a émis quelquefois des doutes sur la possibilité d'une réflexion totale lorsque l'indice du milieu varie d'une manière continue; il semble, en eiïet, que le rayon devrait se propager en ligne droite quand il est parallèle aux surfaces d'égal indice. Pour lever cette difliculté, il suffit de remarquer que, si une onde plaoe est devenue perpendiculaire à ces surfaces, la concordance des vibrations détermine, pour une époque ultérieure, une surface d'onde symétrique d'une onde antérieure relative au même intervalle de temps, ce qui revient simplement à appliquer le principe du retour des rayons (Bravais, Ann. de Chini. et de P.hys,, [3], t. XLVI, p. 49a ; i8J6).

3ii

D'autre part, l'excès n — i pour les gaz est proportionnel à U masse spécifique, ou, lorsque la pression est constante, à l'inverse (lu binôme de dilatation ; on a donc

m — fiQ f^(to— t)

I H-af

et, avec la valeur approchée m= 1,0009.93,

m — rii

olL

La dépression de Tliorizon est donc proportionnelle à la racine (lu quotient de la dilTérence des températures par le binôme de dilatation relatif à la couche d'air en contact avec le sol.

Le maximum de dépression 8', 26 constaté par Biot indiquerait ainsi une dilTérence de température de 2", 70, et l'ang^lc de 7.V, qui résulte des observations de Wollaston avec la plaque de fer rouge, correspondrait à plus de 1000".

L'équation différentielle de la trajectoire est

cot'/

Le second membre de cette érjuation est une fonction du paramètre Y défini par l'angle :; de départ, d'après l'équation (i), cl des coordonnées courantes x cl y. L'intégration de (5) donnerail l'é(jualion de la trajectoire

Si la trajecloire se relève après avoir éprouvé la réflexion totale. rordonn('*e du sommet de la courbe est définie par ré(|uation (sN où l'indice/? est une simple fonction de la hauteur.

Remanjuons (|ue le rayon de courbure R a pour expression

I Hj:'^ -^ dn sin i dn

4 ri^ dy

n dy

A une hauteur déterminée, cette courbure varie avec I inf'' dence / ou l'angle de départ :; correspondant; pour le sommeni^? la trajectoire, elle ne d('"pen(l que de la hauteur.

RÉFRACTIONS ATMOSPH ÉR IQU KS. 3ll

teur et z la distance nadirale d\in rayon de départ, on a ( I ) m sin c = /i sin i =r . . . n- y.

La réflexion totale (*) n'a lieu que si l*angle d'incidence t peut atteindre 90®, c'est-à-dire sur la couche dont l'indice p est

{a) p —. msinz -- y.

L'angle de départ z correspondant croît avec l'indice de réfraction de la couche sur laquelle a lieu la réflexion totale. Si cet indice diminue à mesure que l'on approche du sol, les trajectoires s'abaissent de plus en plus quand le nijon initial s'écarte de l'horizon; la moindre valeur de z correspond au cas où la trajectoire du rajon est tangente à la surface du sol,

(3) sin^o - -'

Cet angle Zq est le complément de la dépression apparente 8 de l'horizon y et la distance maximum D de l'horizon visible est la distance à laquelle celte trajectoire limite rase le sol.

La valeur de D dépend de la loi de variation des indices, mais la dépression 8 est uniquement déterminée par leurs valeurs extrêmes, comme on l'a vu précédemment (713),

(••» / > 0 «No / X

3» COSÔin — ) 0*-:2(/A? — //a).

La réflexion sur le vide, qui est un cas limite, donnerait, en faisant /lo = i et m -^ i,ooo3,

(*) On a émis quelquefois des doulcs sur la possibilité d'une réflexion totale lorsque Tindice du milieu varie d'une manière continue; il semble, en effet, que le rayon devrait se propager en ligne droite quand il est parallèle aux surfaces d'égal indice. Pour lever cette difliculté, il suffit de remarquer que, si une onde plane est devenue perpendiculaire à ces surfaces, la concordance des vibrations détermine, pour une époque ultérieure, une surface d'onde symétrique d'une onde antérieure relative au même intervalle de temps, ce qui revient simplement à appliquer le principe du retour des rayons (Bravais, Ann. de Chim. et de Rhys^, [3], t. XLVI, p. /iga ; i8jG).

3l.| CHAPITRE XVII.

La tangente à la caustique est commune à la trajectoire (5) correspondant au point de contact, les valeurs simples ou multiples des coordonnées de ce point étant déterminées en fonction de l'angle y par les équations (6) et (6)".

Si Tangle de départ z varie d'une manière continue, les coordonnées du point de contact, ainsi que le coefficient angulaire de la tangente à ia caustique, varient également d'une manière codtinue. En d'autres termes, la caustique ne peut pas présenter de point anguleux.

Les rayons partis d'un point donnent lieu à deux lignes focales. L'une d'elles est verticale et à la même distance que l'objet; elle est due aux rayons situés dans un plan perpendiculaire au vertical du point observé. On comprend ainsi pourquoi les lignes verticales des figures de mirage paraissent encore bien dessinées.

L'autre ligne focale est horizontale et on en trouvera la position

par la marche de deux rayons infiniment voisins situés dans un

plan vertical. 1/angle / étant également compté vers le nadir, s'il

varie de di au ])oint observé, la variation correspondante de l'angle

de départ est

m co^ zdz := n cos idi ~.- e/y.

L'observateur étant pris pour origine, la trajectoire nouvelle coupera la verticale correspondante à une distance e, comptée an-dessous de l'axe des x, et aura pour équation

ce qui donne

àv , dy , e n-^ -^ cfv = -r^ dz, a( ôz

La dislance focale apparente p de ce groupe de rayons qui aboutissent à Tobservateur est alors

sin5 dz ~ dz

Cette distance est très ditlerente de celle de l'objet et variable avec la hauteur du point observé; on ne pourrait la distinguer, en général, qu'à l'aide d'une lunette appropriée à chacun d'eux. Le> lignes horizontales doivent donc perdre facilement leur nellelé dans les figures de mirage.

REFRACTIONS ATMOSPHERIQUES. 3f5

Avant de discuter les conditions générales du phénomène, nous examinerons, avec Biot, dififérentes hypothèses qui permettent de traiter complètement la question.

720. Cas particuliers. — i° L'hypothèse la plus simple consiste à admettre que la variation des indices est proportionnelle à la distance au sol. En prenant l'observateur 0{Jlg, 355) pour ori-

Fig. 355.

^oe des coordonnées, on peut écrire (ï)

n — mi=(/n — /Io)t- = —

Cette loi doit être évidemment restreinte au voisinage du sol et de l'observateur, puisque la valeur de /i — i ne peut s'annuler ni croître indéfiniment. Le phénomène plijsique se trouvera d'ailleurs naturellement limité.

3l6 CHAPITRE XVII.

L'équalioQ différentielle (8) devient alors

(8)' dx — %\xiz

Vi COS'5-h 2 —

ce qui donne, pour la trajectoire y l'une des expressions

=1 a sin -s ( C0S3 — 4 / cos'2 -h 2 — I »

x^- - 2aa7sin^cos^ r=: 2ay sin*5, X* — oy =^ fj(xs\n2z — r C0S2-3).

C'est une parabole à axe vertical, comme on pouvait le prévoir(7ili. qui coupe l'axe des x à Torigine et à la distance a sin22. Les coordonnées du sommet sont

y—- — cos'5,

1 X : ~ Sin22.

Dans cette hypothèse, on a

0* = 2 ( /7I — /lo ) ^= 2 —

IJ — a 0 =1 y/' 2 afio =:

V/2(m — Wo)

La dépression et la distance visible de l'horizon sont lou deux proportionnelles à la racine carrée de la hauteur.

La distance 1.) est évaluée par Mon^e à 4'""« Si l'on suppose, p simplifier, que la hauteur fi^ soit de 2"", il en résulterait

'2 (m n^^) :--.io~^, /q— / = o°,47, 0—3', 43. Dans certaines observations de Biot, cette distance n'était

de 200" quand on visait avec une lunette à la hauteur de i" on en déduirait ^(m - n^) :^ 1,37.10"* et, par suite, une c rence de lempj'frature tout à fait exagérée, c'est-à-dire que l'h thèse n'était pas alors applicable.

On obtient le lieu des sommets en éliminant l'angle z enli

BÉFHAI:TI0>S ATMOgpUKHIIJl'iiS,

équations (i i) :

C'est une ellipse OBA dont l'un des sommets est à l'orî^-ine C grand axe horizontal et égal à a, et l'axe vertical ^ -

Kdfîn l'^-limination de z entre l'équation (lo) et la dértvi^e (i3) xcosas - f sinas = o

donne la cansliqiip (i4) ,c' = a(fl-.-aj).

C'est une [liirabole AQP symétrique par tappoit à l'axe des y, dont le sommet A est sur l'etlipsc des sommets, et qui coupe en B, la ligne des abscisses, à la distance a.

Pour un angle de départ z, les coordonnées du point de contact de 1» trajectoire avec la caustique sont données par deux des équations (lo), (i3) et (i^)- ^^^ déduit des deux premières, en supprimant l'origine, qui est un point commun à toutes les trajectoires,

j: = alane:,

/=^(tang'; -I)-

Uemarquons en particulier que, pour 3=.{Ô", on a^ = o et X = a. Le poiut B, de la caustique correspond à la trajectoire partie de l'origine sous l'angle de 4^" et qui coupe l'ellipse des sommets au point B où la tangente est verticale. La portion AB de cette courbe correspond à la partie AB, de la caustique située audessous de l'axe des j^, et la portion BO à la branche supérieure B, P. C'est une propriété générale sur laquelle on reviendra plus loin.

Pour le rayon d'abord horizontal, l'équation delà trajectoire OP, se réduit à .t"= "^cy', c'est une parabole identique à la caustique.

La région extérieure à la caustique est invisible. Un point M de l'intérieur peut être vu par deux trajectoires OMP et OQM, relatives à deux valeurs de s et, par suite, à deux images. Pour un point N situé plus bas sur la même verticale, les conlncls des trajectoires avec la caustique ont lieu dans l'intervalle l'Q, de sorte

'il8 CHAPITRE XVII.

que les angles de départ correspondants sont compris entre ceai (jui permettraient de viser le point M.

Il résulte de là que Timage d'un objet fournie parles trajectoires directes OM et ON, qui ne touchent pas la caustique dans Tintervalle, est droite, tandis que Pautre image, fournie par les trajectoires MQO, qui ont touché la caustique et subi la réflexion totale, est renversée; cette dernière est le mirage.

En appelant r la distance OM et Q l'angle de cette droite avec Taxe des x^ on a, par Téquation (lo)

sin(2 2 — 0) = — := sini/.

Lorsque le problème est possible, c'est-à-dire que le point M est situé à l'intérieur de la caustique, on en déduit les angles de départ, '?.z'—-^-^u et 2 5"=^'ït -8- a, qui correspondent aux deux trajectoires.

La variation dz^ relative à une variation dy de la hauteur de l'objet, pour une même valeur de x^ est

dz — sin's — sin*5

dv X ces 2 5 -f- V sinaiï /•cos(2 5 — 6)

Ce rapport est positif et l'image droite pour le plus grand des deux angles :;' et^"; il est négatif et l'image renversée pour l'angle le plus petit.

La dislance p de la ligne focale horizontale est alors, d'après

l'é(|uation (y),

sinj3

cetle distance est positive pour l'image droite et négative pour rimage renversée.

Si l'objet est coupé parla caustique, la partie supérieure est seule visible directement; on en voit aussi une image renversée en contact avec la première, mais dont les portions voisines de la caustique sont très déformées. On comprend ainsi que l'image directe soit seule apparente, ou du moins facile à reconnaître, et que l'objet paraisse suspendu dans l'air.

La trajectoire limite y qui rase le sol, est

(i5) x^ — 2a/ -:- 2ajcsino.

RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. Sig

Supposons, pour fixer les idées, le sol étant Aq^q» V^^ celte trajectoire soit O A-oQM. Pour qu'un point donne lieu au mirage, il faut que sa trajectoire inférieure touche la caustique au-dessus du contact Q de la trajectoire limite. Le champ du mirage est donc compris entre la caustique QP et la branche remontante QM de la trajectoire limite. Comme l'angle de départ Zq de cette trajectoire est très voisin de go°, les objets doivent être très éloignés el notablement élevés au-dessus du sol.

2° En réalité Tindice croît d'une manière de plus en plus lente avec la hauteur et finit par devenir constant.

Pour avoir une idée des phénomènes, on supposera que la loi précédente est d'abord applicable, à partir de la surface du sol, mais qu'elle cesse au niveau de l'observateur, le milieu devenant ensuite homogène.

Rien n'est changé pbur la marche de la lumière au-dessous de l'axe des x.

Chacune des trajectoires paraboliques, en pénétrant dans le milieu supérieur, au point dont l'abscisse est asin2 3, se transforme en une droite dont l'inclinaison sur l'horizon est la même que celle de la trajectoire au départ. L'équation de ces droites est

(i6) ^ =: ûf sin2 5 -h r tang5.

Leur caustique s'obtient en y ajoutant la dérivée

(in) o — 2a cos 2Z -h ■ -— — ?

ce qui donne

( y = — 2 a cos 2 -3 cos' 5 ^= — a cos2 5(i -h cos 2 s),

( x=z 2a sm 2-3 sin' 2 = « sin 22(1 — cos2c).

I^es variations de ces coordonnées avec l'angle z sont

dy =:2asin 25(1 4-2 cos2z) dz, dœz^ 4ûfsin'-5(i -h 2 C0S2X;) (i-s,

el le coefficient angulaire de la tangente

-^ rzCOtS.

L'inclinaison de la tangente sur Taxe des x diminue donc d manière continue, à mesure que l'angle z augmente, et la couri présente pas de point d'inflexion (la figure donnée par Biolp incorrecte sur ce détail).

Pour z : - o, on a j^ ^^ o, j^ -- — 2 a. La courbe partant d point, où la tangente est verticale, passe par le point B, {Jig-^

Kig. 35H.

(w- 4^'S '^ = <f^ y '-^ ^)i où elle est tangente à la caustique paraboles sous l'inclinaison de 4'>") niais dont elle s'écarte ens vers la droite.

Les coordonnées ont des valeurs maxima pour

2 cos o. c H- !

C'est un point de rel)roussefnent I, avec une tangente 11' nuine à deux branches dilFérentes et inclinées de 3o"surrhoi La seconde branche 10 aboutit finalement à l'origine {z =

où la tangente est horizontale.

L'origine est, en outre, un point multiple pour les rajor cheminent uniquement dans la couche supérieure.

On peut d'ailleurs éliminer facilement le paramètre z enl

RÉFRACTIONS ATMOSPll K R I QU RS. Sig

Supposons, pour fixer les idëes, le sol étant Aq^o» ^^^ cette trajectoire soit O A.0QM. Pour qu'un point donne lieu au mirage, il faut que sa trajectoire inférieure touche la caustique au-dessus du contact Q de la trajectoire limite. Le champ du mirage est donc compris entre la caustique QP et la branche remontante QM delà trajectoire limite. Gomme Tangle de départ Zq de cette trajectoire est très voisin de 90°, les objets doivent être très éloignés el notablement élevés au-dessus du sol.

2** En réalité Tindice croît d'une manière de plus en plus lente avec la hauteur et finit par devenir constant.

Pour avoir une idée des phénomènes, on supposera que la loi précédente est d'abord applicable, à partir de la surface du sol, maïs qu'elle cesse au niveau de Tobservaleur, le milieu devenant ensuite homogène.

Rien n'est changé pbur la marche de la lumière au-dessous de l'axe des x.

Chacune des trajectoires paraboliques, en pénétrant dans le milieu supérieur, au point dont Tabscisse est asin2 3, se transforme en une droite dont l'inclinaison sur l'horizon est la même que celle de la trajectoire au départ. L'équation de ces droites est

(16) J7r= ûf sin2 5 -h.'»' tang-3.

Leur caustique s'obtient en y ajoutant la dérivée

(17) o — 2aCOS2 5H •— — ?

ce qui donne

!Y ^^ — 2 a ces 2-:; ces* 5 r= — acosiz{\ -h ces 2 5), x=. 2a sm 25 sin' 5 := a sin 25(1 — cos25).

I^es variations de ces coordonnées avec l'angle z sont

û[y ::= 2 a sin 2 5 ( I -h 2 cos ctz) dz, dx =: [^a sin'-s(i -h 2 cos2s) dz^

et le coefficient angulaire de la tangente

CHAPITRR XVII.

3*^ Supposons maintenant que la variation des indices s'am encore en O (/i^. 357) à la hauteur Ao» raa's que l'observateur s

Fig. 357.

placée en C dans le milieu Iionio^<^ne, à la hauteur h^-\- ^ quantité a ne change pas et les rayons de retour pénètrent la couche homogène sous le même angle z qu'au départ.

Chacune des trajectoires curvilignes conserve la même C mais elle est déplacée horizontalement de la quantité ôtang [)renant encore le point O pour origine, on devra remplacer, X — b lang3 dans les équations (10) et (16). Les parties pa\ liques des trajectoires sont alors

(10)' {x — b langw)- — fi X '^\w^ z - ia{y - - b) sin'c,

et les parties reetilignes qui suivent

(16)' .r m asin2 3 -f- ( V -f- 6) lanjïc.

Le sommet de la parabole esl déterminé de la même manière par les équations (i i), qui donnent

X =i; -sin25 + 6 tang2.

La dépression de Thorizon ne change pas, mais la distance de rhorizon visible est augmentée de la quantité

^ isjm - • Hq

proportionnelle à la différence d^altitude.

LVlimination de z entre les équations (i i)' donne, pour le lieu des sommets,

(2i) (a H- 2r)(6 — 2 v)'~i- 2yj:*= o.

On a, d'ailleurs,

ciy =1 - sin2-3 dz,

dx = ( a COS2 4J H- — i— 1 dz, \ ces*:;/

dy sin2;;

dx ~~ b

a cos'5

Le lieu des sommets se déduit aisément de Tellipse primitive OB en augmentant les abscisses de ôtang:;. C'est une courbe AB'L, avec un point d'inflexion, tangente à l'ellipse au point A, et asymptote à l'axe des x,

La tangente est verticale pour la condition

1 O ii:: 6 -h a ces 2 -S COS* 3 r=r 6 H C0S2-3(l -+- C0S2<3),

2 cos iz-- — \-±i\^j I — 8 - •*

Les deux racines J et <3" de cette équation, comprises entre o"

et 90°, ne sont réelles que si a>86; elles correspondem points B' et B".

Uéqualion (16)' des trajectoires rectilignes ne diffère de que par la substitution de y -{- bky.hdi caustique QIC est do même que précédemment, avec la seule différence qu'elle est cendue de la hauteur 6, son origine G étant symétrique de servateur C par rapport à Taxe des x] elle coupe cet axe en points B| et B2, dont les abscisses sont données par Féqualion dans laquelle on fera^ = 6, ou

Enfin, l'observateur C est un point isolé de celte causti( correspondant aux rayons qui cheminent uniquement dans le lieu homogène.

La trajectoire limite a pour équation

(x — ^j =z2axo -h 2a{y — b),

et sa partie recliligne

y-hb

hc chanip du mirage situé au-dessus de Taxe des x estcompn entre colle droite et la parlie Bi IB^ de la caustique. Poiirq"^ * champ existe, il faut que celle droite coupe l'axe des x au delàdi point B2, d'où la condition

La caustique des paraboles, supposées continues, esl (iclin«« par Téquation (lo/, ou

(x -- h lang^)- - a(x — b lange) sinas == 9.ays\n^z,

et sa d<*rivée par rapport au paramètre

, X — b tani'c , » v , • ,-

(23) b — — — 1- a (x — ^ lange) C0S2 3 -- a6 tangs -i-avsinî--

^ ' COS*>3 o .

Le sommet de la parabole est déterminé de la même manière par les équations (i i), qui donnent