V-m — cos'-s
f J7r^ -sin2w-i-6tangs.
La dépression de Fhorizon ne change pas, mais la distance de rhorizon visible est augmentée de la quantité
2 y/ m - - Hq
proportionnelle à la différence d'altitude.
LVlimination de z entre les équations (i i)' donne, pour le lieu des sommets,
(2i) (rt H- 2r)(6-- 2 v)'-h 2ya:'=o.
On a, d'ailleurs,
dy = - sin2-3 dz,
dx ^=^\ a cos 2 c H- — r— I dz, \ cos^z)
dy sin2 5
dx ~~ b
cos 2 s -t i—
a cos^^
Le lieu des sommets se déduit aisément de Tellipse primitive OB en augmentant les abscisses de 6tang3. C'est une courbe A B'L. avec un point d'inflexion, tangente à l'ellipse au point A, et asymptote à l'axe des x,
La tangente est verticale pour la condition
0=r= 6 -f- rt cos 2^ COS*Ci= b -\- - C0S2c(l 4- COS2<3),
Les deux racines 3' et 3" de celte équation, comprises entre o"
En particulier, si les valeurs des indices sont symétriques par rapport à Thorizon de l'observateur, on voit aisément que, pour un angle z de départ, la trajectoire formera une série de courbes d'égale amplitude, avec réflexion totale alternativement au-dessus et au-dessous ; l'ordonnée maximum de ces courbes dépend de la loi de variation des indices.
Un point situé dans la région occupée par ces courbes peutélre sur le chemin de plusieurs trajectoires différentes et donner lieu à une série d'images droites ou renversées. On verrait, en effet, dans l'angle formé par les tangentes à l'origine aux trajectoires OM et ON (/-. 358), l'image des objets MN, M'N', WW, etc.
Fig. 358.
Les positions de ces images sont symétriques par rapport à Thorizon lorsque Tobjcl est lui-même dans ce plan.
L'équation différentielle est facilement intégrable, par exemple, quand Tindice varie comme le carré de la distance à T horizon de l'observateur. On déduit alors de la relation
(9 V' dxzzz sin2 —
dy
a s\nz
dy
cos
I "" / V \' a cos:
V \rtCOS5/
X =1 rt sm-3 arc sm
y ^=1 a co%z sin
acos^
a sinx;
La trajectoire est wnc courbe sinusoïdale dont l'amplitude de^ boucles est Tza sinz.
REFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES. 327
Les coordonnées du sommet sont
v = ( — i)''^*acos5,
X T=z — • Tzasmz.
Lr lieu des sommets d'ordre p -i- i est une ellipse
dont le centre est à Torigine O, Taxe vertical 2a, commun à toutes les boucles, et Taxe horizontal (2/? -h i)Tza.
La caustique s'obtiendrait en éliminant le paramétre z entre Téqualion (26) et sa dérivée
(27) — . H tang*:; tang — -. -- ) — o.
' a smz \«sin;; /
On peut la construire pat* points, car l'équation (27) est facile à résoudre par la rencontre des deux courbes
r'--tanff( — ; - |=ri tansrc,
^ ^\asinzj ^
y" - — rcot'^.
On aurait ainsi Tabscisse du point de contact relatif à l'angle de «lépart s, et l'équation (26) fournirait l'ordonnée correspondante. 5** (^omme l'indice de l'air croît d'abord rapidement à partir de hi surface du sol pour atteindre plus lentement une valeur constante, on peut représenter la variation par une exponentielle
(III) 2(/è- -/io) - ?*\i — e '71- 2(/7i'— /^o)Vl — e '7,
expression dans laquelle la quantité c est arbitraire et où /?/' désignerait la valeur de l'indice à une très grande hauteur. On a alors, en remplaçant h par h^ \-y^
'iKm — n)—^\e '' — e 'J—^^e '[e '--ij, 'À{m — n) —. 2(m'' ' n^)e '' \e *" — i)^:i*\e *" — !/,
et Féquation différenlicllc peut s'écrire
(ijT dv sinOrfr
tang- / cl et ^y ^ /
