COS'5 C0S

l'angle 6 étant défini par

cos-s langO^T

L'intégrale de cette expression est

— -- j-h î^.c/. \iqiV I— e *'cos*0/-hC,

sinO tang^ et, comme la courbe doit passer par l'origine.

, ^, X , i=î=V • — ^ '*cos*8

sin6lanjî3 '^ i — sin6

Cette trajectoire est de forme parabolique et symétrique P*^ rapport à une verticale. Les coordonnées du sommet sont

(v = — r/. — -- T2r/.cos6, cos*0

i . - , oosO

f r rzz '.îc sinO tanc:;/. ;—

\ I — sin

;-— r: c smO tanff j/. — -^*

Ij'angic 9o relatif à la trajecloire limite a pour valeur

taiif^^Ort— -»

et l'on a, en faisant r^= - //o?

( /io — — 2c/.cosO„,

(3o) { sinOrt , cosO,, sinBo , i — sinBo

[ 0 I - sinOy 0 cosO,,

Lorsque les quantités J), /^o et o sont connues par expifri*"'^ on peut ainsi calculer les constantes c et a, car l'angle 6o c'* ^ suite, le coefficient e sont donnés par

Oa . ^ r/.(,-siiie,) 1 /h L /.cosOo J

Les coordonnées du sommet sont

a: t= Tza smz,

I^e lieu des sommets d'ordre p -h i est une ellipse

^'^Wp^ij^J--^'-'

dont le centre est à l'origine O, Taxe vertical 2a, commun à toutes les boucles, et l'axe horizontal (a/? -h i)Tza.

La caustique s'obtiendrait en éliminant le paramètre z entre Inéquation (26) et sa dérivée

(27) — ; h tan g* <s ta ni? ( — . -)zr:o.

' a s\nz ^ ^\as\ï\z I

On peut la construire pat* points, car l'équation (27) est facile à résoudre par la rencontre des deux courbes

y — iang( - f - )-i tangç^,

y^ — vcol^z.

On aurait ainsi Tabscisse du point de contact relatif à l'angle de flépart 5, et l'équation (26) fournirait l'ordonnée correspondante. S** Comme l'indice de l'air croît d'abord rapidement à partir de la surface du sol pour atteindre plus lentement une valeur constante, on peut représenter la variation par une exponentielle

(III) 2(/i - - /io) ---- ?»(i -- e" '^)r^ 2(m'— /^o)(I — e"0,

evpression dans laquelle la quantité c est arbitraire et où m' désignerait la valeur de l'indice à une très grande hauteur. On a alors, en rennplaçant h par ho-y,

2(m-—n) =:^^\e ' "^ —e 'j—^^e '\e '' — i j, 2(m — /i) ==2 (m'- 'n^e'~\e' "" — ij = E*\e"^ — i j,

33o CHAPITRE XVIl.

à l'ori<;;ine et à la distance

jr,cl.(^,+ l)

Ces cqualioiis doniienl aussi, en posant

* • •A • sin*0 . ^ cos*B . ,.

w' - siirO laii}«:'5 = — sin'O-— - - - sin'9,

wdiV- — ( I H — ^ j sinOcosOe/0,

dy = — î c tanjj^O rfO,

, îîCd' ,^ , I -T- sinO ,

ax =: - - - a^ -r- cl . — — . -r diV cosO I - - sinO