I -r- £* . ^ -^ , I -f- sinO
il'* ^-sin6cos'Ô/. .- ]i
îiE* I - sinOy
Le coefficient angulaire de la tangente est donc
dy iv sinO
djc ~
/ ' \ • A .A . ^'Os6 .
|iH — r IsinO cos'O/. - . , iV*
\ t' ' I — SinO
Cette lanfçente est verticale pour la condition
il- I
COS-0 £* \ £- / I - SII16
I \ . ^ , COSÔ £- / I - Slll
On délerminiî enfin la caustif/ue par Téquation ('28) cl >a(ii»'' renlielle ri.'lalivc au paramètre
-.r-— -- Jc* lanjjrO/ . • — , z ^— ^ : \aO ii'- l suiO y
— ^ *'cos*6
OU
^ ^ ^sinOlang;: I siiiO __r |
L'rliniinaliou de .r donnerait ) par l'équation
I sin'c ^
/ .L 1 4- £*l sinb i
I — e ' cos-0 \ y i - 1* 'cos-*
lin rcniplarant y par celle valeur, on aurait, pour le coeflicu
i — \ I — e ' cos-0 \ \, I - f? 'cos-*
!-•€ second membre esl égal à 2 quand Tangle 60 esf extrêmement
petit; il diminue ensuite et passe par un minimum d^environ 1,20
au voisinage de 88^.
Dans cette hypothèse, les nombres observés par Biot, D = 200",
ri ^ Ao ^=^ i*", 17 elo :-- 8', 26 ^^ 0,0024, donneraient -.— =t o,4' » • S'ils
se rapportent au même phénomène, il en résulte que les variations d'indice, ou de température, ne pouvaient pas être représentées par cette loi exponentielle.
On déduit encore de (HI)
dh 2c ' et, pour la couche en contact avec le sol,
dn\ P' m' — /i,
rf/i/o 2C c
On a d^ailleurs, par Téquation (5) appliquée à un point quelconque,
dn:=. — a ( /^o — ^)dt,
(dt\ riQ-m' __i'—tQ \dhJo'~' coL(no — i) ^ c
Si la variation de température initiale correspond à T^par unité de hauteur pour les premiers éléments, la constante c, évaluée en mètres, est égale au quotient de l'excès de température de la couche située au ras du sol par ce facteur t.
En faisant t= ^ — /o? on a c r^ i". Les expériences de Biot donneraient alors
/.cos6o=:: — 0,535, 6o=5,4°9', tangOo ~ 1 ,384, et, pour la dépression de 8', 26,
Le lieu des sommets est une courbe transcendante que l'on peut construire par points à Paide des équations (29). C'est une sorte d'ellipse symétrique par rapport à l'axe des y, qu'elle coupe
Lorsque l'indice de Pair croît d'une manière continue avec Taltilude, le point Aq est sur le sol; l'abscisse du lieu des soumets peut passer par un maximum et, dans tous les cas, la coaibe revient à l'origine où sa tangente est horizontale.
S'il existe entre l'observateur et le sol une couche d'indice minimum, c'est sur cette couche que se trouve le début A« du lien des sommets.
Lorsque l'indice ne devient inférieur à sa valeur primitive qo^i partir de la distance b au-dessous de l'observateur, la première partie des trajectoires est d'abord rectiligne, si l'indice est constant dans l'intervalle 6, ou présente sa convexité vers le liaat si l'indice est d'abord croissant. Dans ce cas, le lieu des centres est asymptote au-dessous de la droite y -r- b=o.
Une circonstance analogue peut se présenter quand l'indice atteint, à la distance b -\- />«, une valeur minimum /i|, à laquelle il revient ensuite à la distance b -\- bi -f-^o? après avoir ou non passé par un maximum. Le lieu des sommets est interrompu dans Tiotervalle b^] il est ensuite asymptote au-dessous de la droite y-\-b -I- 6, + 60= o.
Dans tous les cas, l'inclinaison de la caustique des rayons émergents varie d'une manière continue, et deux tangentes fonli peu prrs le même angle que les rayons de départ correspondants. Si l'on veut déterminer la causli(pie par l'illumination d'un liquide un peu trouble, à Taido d'un faisceau de rayons partant d'un poinl et situés dans un plan, lacjuantité de lumière qui contribue à former une partie de la caustique est proportionnelle à l'angle qui limite les rayons de départ. Cette lumière est très faible pour les portions de caustique voisines du point de rebroussement et se trouve encore diminuée par les effets de diffraction ; les tangentes h (|nel(|uc distance de ce point paraissent alors se couper sous un angle fini. C'est sans doute cette circonstance qui a pu faire croire à l'exislcnce d'un point anguleux sur la caustique (*).
Ces remarques préliminaires permettront d'entrer dans le détail des plu'nomènes.
Lorscjue robservateur osl dans une couche homogène, ou d'in-
(') J. M.vcK DE Lefmnay el A. Pkrot, Bulletin de la Commission météorolotfitfue (les JJnurhex-du-Hhônc, t. IX, p. 117; 1891.
RÉFRACTIONS ATMOSPHERIQUES. 333
îce d'abord croissant vers le sol, et que le premier ininimuin des idices se produit à la surface du sol, ce qui est le cas habituel, î lieu des sommets a nécessairement une forme analogue à la ourbe AoL {Jig* 357) asymptote à l'horizontale Ox, à partir de (quelle commencent les variations d'indice. La caustique des lyons émergents a également une forme telle que QIC, sans oint d'inilexion, puisque la distance zénithale du rayon émergent 51 toujours égale à z et croit d'une manière continue; la tangente sL commune aux deux branches au point de rebroussement I. •e mirage peut produire trois images supplémentaires, une droite il deux renversées.
Si l'observateur est situé dans la couche variable, le lieu des lommets passe par l'origine où il est tangent à l'axe des x. La rustique n'a pas d'inflexion au-dessus de l'axe des x, ni de point le rebroussement, et doit présenter une forme analogue à celle des trajectoires; il n'y a alors qu'un mirage renversé {Jig' 355).
Il arrivera encore, dans des circonstances exceptionnelles, que l'indice, ayant sa valeur primitive m à une distance b au-dessous de l'observateur C {Jig* 36o), diminue jusqu'à un minimum n^,
Fig. 36o.
pour la distance b-^b^, puis reprenne de nouveau la valeur /ii, à la distance fe4-6<-+-6o> dans une période de décroissance, après avoir ou non passé par un maximum intermédiaire.
Pour des valeurs de z croissantes, le lieu des sommets comprend d'abord une première branche AoLo asymptote à la droite Co^To. puis une branche A| Lj, qui part de la dislance b -h bi et devient asymptote à la droite Ox.
La courbe A| L| donnera lieu à une caustique de rayons émergents analogue à B, IB2 (Jig- 357). ^' *^ courbe AoLq n'a pas de tangente verticale, la caustique des rayons émergents est située
tout entière au-dessous de riiorizontale du point O; elle préscnle une forme telle que ByQ. Lorsque le milieu est homogène audessus delà droite Ox, cette caustique est asjmptote à une parallèle à la direction du rayon émergent : donc la trajectoire est tangente en Af. La caustique relative au lieu des centres AoL« peut couper les précédentes sous un angle fini; elle correspond encore à certaines directions de mirage possible.
A la surface des mers, les couches inférieures de Tair s'échauffent ainsi pendant la journée par l'action directe du soleil et le rayonnement réfléchi; mais les portions qui touchent l'eau conservent nécessairement la température du liquide ; Tindice passe ainsi par un minimum à une certaine hauteur. Si Tobscrvateur est situé plus bas, certains rayons peuvent éprouver la réflexion totale sur une région plus élevée, et donner une image renversée des objets éloignés.
Enfin, si l'observateur et l'objet se trouvent dans l'intervalle de deux surfaces d'indice minimum, les rayons peuvent éprouver la réflexion totale en haut et en bas, et même à plusieurs reprises, et donner une série d'images droites ou renversées.
Il est donc très facile d'imaginer des conditions, acceptables ao point de vue naturel, qui expliquent la triple image d'un navire à l'horizon, l(»s images multiples observées par Arago et Biol. enfin toutes les apparitions des fit ta morgana.
Quant au niiragiî latéral^ il a lieu dans les mêmes conditions lorsque les couches d'égal indice ne sont plus horizontales.
722. Influence de la courbure du sol. — Mirage des astn*s auprrs de riwrizon. — Les elFels sont encore exagérés quand on tient compte de la courbure de la Ferre.
Pour l(îs objets situés à la surface de la Terre, lorsqu'il existe uu maximum notable de température dans la couche d'air on contact avec le sol, on retrouve les conditions habituelles du mirage, la dé|)ression et le rapprochement de l'horizon, l'espace invisible défini |)ar les trajectoires limites, les régions capables de produire une ou deux images supplémentair(»s. Il suffit, dans les figures précédentes, de remplacer les ordonnées par les verticales successives des difl'érents points. Les propriétés générales ne changent pas et les caustiques présentent des formes analogues. On explique
ainsi sans difficulté les mirages droits ou renversés des navires à rhorizon, des oiseaux dans l'air, la suspension apparente des objets élevés, arbres, clochers, côtes, montagnes, dont la partie inférieure est placée dans l'espace invisible.
Si la couche d'indice minimum se trouve à quelque distance du sol, au-dessus de l'observateur, l'horizon est relevé et éloigné par des rayons qui éprouvent la réflexion totale vers le haut.
C'est sans doute à un eflet analogue que se rapporte l'observation de Cook, citée par Biot, dans laquelle la hauteur apparente de l'horizon avait varié de plus de Sa'.
Du bord de la mer à Haslings, Latham distingua les côtes de France à 3o ou 4o milles et, du haut d'une colline, il apercevait les bateaux de pêche jusqu'à Dieppe. L'observation était faite à la fin d'une journée très chaude et calme où la température de Teau était notablement inférieure à celle de l'air.
Dans un grand nombre d'observations géodésiques on a pu ainsi pointer des repères très éloignés, tels que les sommets de clochers ou de montagnes, qui étaient cachés en temps habituel .par les obstacles intermédiaires.
Il peut arriver encore que l'observateur soit dans une région d'indice maximum. Si la diminution d'indice vers le haut est assez rapide, quelques-unes des trajectoires, de forme sinueuse, sont alors situées en par^e au-dessus et au-dessous de la circonférence de même altitude. C'est le cas des mirages multiples droits ou renversés, Aesfata morgana, etc.
L'observation des astres exige quelques développements.
Supposons que l'observateur se trouve dans une couche où l'indice croît avec l'altitude. Les trajectoires des rayons émanés de l'origine tournent d'abord leur convexité vers le sol^ après avoir subi ou non la réflexion totale, elles ne tardent pas à devenir rectilignes, sur un assez long parcours, dans la région d'indice constant; elles se courbent ensuite en sens contraire, à cause de la diminution progressive des densités, et se terminent en ligne droite en dehors de l'atmosphère.
Ces quatre portions des trajectoires ont quatre espèces de caustiques, dont les deux premières ont déjà été examinées.
La caustique des parties convexes au voisinage du sol est une courbe analogue à QJKH {Jig* SSy ).
Les droites intermédiaires ont également une caustique telle que QIC. En eflet, pour les rayons dirigés vers le bas, si Tangle de départ :; est i*upérieur à celui de la trajectoire limite qui nse le sol, la trajectoire revient couper sous le même angle, en ao point M, la circonférence qui passe par l'observateur. L'angle de^ verticales en O et M est une fonction ^(z) définie par la varialion des indices. Si/(z) est la réfraction qu'éprouve ensuite le rayon jusqu'à la portion rectiligne, l'angle z -h ^(z) -t-/{z) de celle droite avec la verticale primitive passe par un maximum pour
L'angle Zt défini par cette condition ne peut différer beaucoup de celui qui correspond au point de rebroussement.
11 y aurait lieu de considérer aussi la troisième caustique relative aux réfractions qui ont lieu dans les régions élevées, mais elle n'a d'intérêt que pour les hautes montagnes ou les nuages. Sans qu'il soit nécessaire de la tracer, on déterminera les conditionsde visibilité d'un point en menant une première courbe, dont les éléments extrêmes font un angle très petit, jusqu'à la région d'indice constant; le point est visible s'il est possible de choisir ce trajet de manière que la tangente à l'extrémité soit tangente à la seconde causli(jue.
Enfin la caustique des ravons rectilignes en dehors de l'atmosphère présente aussi une forme analogue à celle de la seconde, mais plus abaissée. Si E(:î) est la réfraction atmosphérique pour le point M, Tanglc z -r 'f(z') H- V(z) du rayon émergent avec la verticale primitive passe encore par un maximum pour
L'angle Z'2 ainsi défini correspond encore, d'une manière Irè* apl)ro\imative, au point de rebroussement.
A celle caustique QIP {^/fg- -^^Oj '^ rayon final relatif à la trajectoire limite OAE, dont l'anj^le de départ est Zq et qui rase le sol, est langent en un point Q. La branche QI correspond aux angles de départ croissants de Zq à ^o, la branche IP aux angles croissants, de Z2ii 180". Soient a l'angle que fait, avec l'horizontale vraie du point O, la tangente IC au point 1 de rebroussement et 0 la dépression de l'horizon.
Un astre apparaît quand il est situé à la distance a de Thorizon vrai, mais on le voit par une trajectoire dont Tinclinaison So au départ est inférieure à la dépression o. Il se lève donc subitement au-dessus de l'horizon et se couche avant de l'atteindre.
Fig. 36i.
Quand Fastre est un peu plus élevé, on peut mener à la caustique deux tangentes MS et M' S' parallèles à sa direction; les trajectoires correspondantes aboutissent à l'observateur sous des inclinaisons e et e' qui comprennent s©. La première donne une image droite puisque l'angle z augmente avec la hauteur de l'astre ; la seconde, un mirage renversé. A mesure que Tastre s'éloigne de l'horizon, cette image est d'abord en contact avec l'image directe, elle s'en éloigne de plus en plus et disparaît quand le point M est en Q, c'est-à-dire quand la direction de l'astre est parallèle à la partie rectiligne finale de la trajectoire limite.
Les droites intermédiaires ont également une caustique lelle que QIC En effet, pour les rayons dirigés vers le bas, si Tangle de départ z est supérieur à celui de la trajectoire limite qui rase le sol, la trajectoire revient couper sous le même angle, en un point M, la circonférence qui passe par l'observateur. L'angle des verticales en O et M est une fonction çp(5) définie parla varialion des indices. Si/(z) est la réfraction qu'éprouve ensuite le ravon jusqu'à la portion rectiligne, l'angle 5 -h 0(2) 4-y(:;) de celle droite avec la verticale primitive passe par un maximum pour
«-+-cp'(^)+/'(-)^o.
L'angle Zi défini par cette condition ne peut différer beaucoup de celui qui correspond au point de rebroussement.
Il y aurait lieu de considérer aussi la troisième caustique relative aux réfractions qui ont lieu dans les régions élevées, mais elle n'a d'intérêt que pour les hautes montagnes ou les nuages. Sans qu'il soit nécessaire de la tracer, on déterminera les conditions de visibilité d'un point en menant une première courbe, dont les éléments exlrêmes font un angle très petit, jusqu'à la région d'indice constant; le point est visible s'il est possible de choisir ce trajet de manière que la tangente à l'extrémité soit tangente à la seconde caustique.
Enfin la caustique des rayons rectilignes en dehors de l'atmosphère présente aussi une forme analogue à celle de la seconde, mais plus abaissée. Si F{z) est la réfraction atmosphérique pour le point M, l'angle z + o(z) H- F(:;) du rayon émergent avec la verticale primitive passe encore par un maximum pour
L'angle Z2 ainsi défini correspond encore, d'une manière très approximative, au point de rebroussement.
A cette caustique QIP {^/tg- 36 1), le rayon final relatif à la trajectoire limite OAE, dont l'angle de départ est Zq et qui rase le sol, est tangent en un point Q. La branche QI correspond aux angles de départ croissants de Zq à >S2> la branche IP aux angles croissants, de Z2 à 180". Soient a l'angle que fait, avec Thorizontale vraie du point O, la tangente IC au point I de rebroussement et 0 la dépression de l'horizon.
Si la fonclion comprise sous le radical
(i — 5)*sin';;
ne s'annule pour aucune valeur de la variables, Tangle (o reste fini. En posant
le rayon AM (yî^. 862), parti de la surface sous Tangle z, sort de l'atmosphère dans une direction qui fait l'angle Q avec la verticale primitive OA.
Fig. 362.
La valeur limite de la perpendiculaire q abaissée du point O sur le rayon est mRsin:;; elle se réduit à mW pour z^=go°. Le Pay on apparent de la planète, pour un observateur extérieur, ne dépend ainsi que de l'indice m de l'atmosphère à la surface de la planète ; il est augmenté de la fraction m — i .
Suoposons maintenant que la fonction U s'annule à différentes altitudes; soit b la plus petite valeur de h correspondant à cette
condition, ou ^ = -0 v> et posons
Si les dérivées de la nouvelle fonction V par rapport à s restent finies, on aura, pour des valeurs de s inférieures à <r, en déve-
loppant cette fonction par la série de Taylor,
V(5)^V(.)-(cr-*)V'(»)4-^P"^V'(cr)-....
Le premier terme étant nul, par hypothèse, le développement peut être limité au terme suivant lorsque la dérivée ¥'(0") n'est pis nulle elle-même.
Si la fonction V est décroissante à partir de sa valeur initiale, qui estcos^^z, la dérivée V'(<r) est négative et l'angle w reste fini entre les limites o et o-, puisque
^ ds r
Pour des valeurs de s supérieures à o-, le radical ^\j devient imaginaire,, c'est-à-dire qu'il se produit une réflexion totale an point B, qui correspond à la hauteur 6, et le rayon revientensuite par un chemin semblable au point A' symétrique du premier; c'est un mirage aérien, La distance angulaire AO A' des poinlsde départ et d'arrivée du rayon est
J' -;- ds, 0 ^^
Si la première dérivée V'((t) est nulle, la suivante V''(t) étant différente de zéro, l'intégrale w(t) est infinie, car
Le rayon tournerait alors en spirale autour de la planète, en se rapprochant de la circonférence asymptote de ravon
Ces différents cas peuvent se présenter suivant les valeurs (k l'angle de départ ;:. Le rayon sort de l'atmosphère quand cet angle est compris entre zéro cl la plus petite valeur z^ pourlaqucDe la fonction U peut s'annuler. En désignant par l'indice i les valeurs relatives au point correspondant de réflexion totale, on a
/i, r=i /n ( 1 — (jj ) sin 5, ,
Si la fonction comprise sous le radical
U=(£) -(i-5)«sin«.
ne s'annule pour aucune valeur de la variable 5, Tangle co reste fini. En posant
le rayon AM (Jig. 862), parti de la surface sous Tangle w, sort de l'atmosphère dans une direction qui fait l'angle Q avec la verticale primitive OA.
Fig. 362.
La valeur limite de la perpendiculaire q abaissée du point O sur le rayon est mRsin^; elle se réduit à mil pour z = 90**. Le rayon apparent de la planète, pour un observateur extérieur, ne dépend ainsi que de l'indice m de l'atmosphère à la surface de la planète; il est augmenté de la fraction m — 1.
Supposons maintenant que la fonction U s'annule à différentes altitudes; soit b la plus petite valeur de h correspondant à cette
condition, ou ^=-0 v> et posons
Si les dérivées de la nouvelle fonction V par rapport à s restent finies, on aura, pour des valeurs de s inférieures à o-, en déve-
route en spirale, s'il n'esl tangent à aucune surface de niveau, et la distance zénithale au point d'arrivée est comprise entre o elw|. Lorsque le rayon devient horizontal à une altitude h plus élevée que /i«, il émerge ensuite de l'atmosphère par un chemin symétrique. Eu appelant n et n' les indices relatifs aux altitudes A et A'= h -f- j:, on a encore
«(R-f-A) — /i'(R-*-A')sin£',
et la réfraction complète A qu'éprouve le rayon, entre l'entrée et la sortie, a pour expression
A — 2 \ lange' -^ =2/i(Hh-A) / -— — =
Celte réfractit)n croît à mesure que la hauteur h diminue jusqu'à la limite by. On distinguerait ainsi les étoiles situées derrière la planète; on pourrait même apercevoir plusieurs images de chacune de celles qui l'entourent.
La constitution de l'atmosphère ne permet pas toujours que ces apparences exceptionnelles se produisent, puisqu'elles n'eii>tent pas sur la Terre.
En posant
on en déduit successivement
V rzz çp(5) - - sin*5, 5, , ^ ,, . 9.11 dn 2/**
(1 ~s)^ ds (1 — sy m'{\—sy ... . 3//' ( dn\^ d} n Un dn
1 ^ ' (i— ^)* \^A/ ds*' 1—5 d%
Les trois premiers termes du second membre sont positifs et I premier croît rapidement avec .v. Le dernier terme est seul négatit mais il est d'abord très petit et croît plus lentement. On pei donc admettre, selon toute probabilité, que la fonction V res! toujours positive.
La dérivée V^^ est alors croissante et ne peut s'annuler que elle était primitivement négative. Par suite, le phénomène d
images complexes n'est possible que si Ton a
V'(o)<o ou (-^-j -hm<o.
Lorsque cette condition est réalisée, la dérivée V devient nulle pour une certaine valeur o-, ou Taltitude b.
La valeur initiale' V(o) = cos^ -3 est aussi petite qu'on le veut; comme cette fonction V est d'abord décroissante, on peut choisir Tangle de départ de façon qu'elle s'annule par sa moindre valeur, qui correspond à t.
Le minimum ^i de l'écart azimulal capable de donner lieu au mirage aérien est donc
sin*;;, t:^ (&(a) -: 1 — ; 1 •
Lorsque l'angle d'écart est supérieur à ^i, la plus petite racine positive s de Téquation
^(5) -=: sin*:;
définit la hauteur à laquelle le rayon subit la réflexion totale.
Pour une atmosphère gazeuse, dont la réfraction reste très faible, les valeurs de n — i sont très sensiblement proportionnelles à la densité et peuvent être représentées par une expression de la forme (711)
m — I jx
( -- I :=! — 2(m — /l) := I — 2(X -H 2 jx(l — 5)'*e ^
ne
ce qui donne
