AM AM^ AM

sini sinfj sïni' ou

sini smZi sini

et ces relations ne sont autres que les lois de la réflexion et de la réfraction.

La construction d'Huygcns n'est qu'un cas particulier de la règle générale.

Si les rayons incidents sont parallèles entre eux, ils correspondent à une onde plane Qr au temps t, qui se transportera en Q^^i à l'époque ù-^i,

La droite T qui appartient à l'onde incidente à l'époque t 4- i appartient également aux ondes réfléchies et réfractées à la même

époque. D'autre part, la sphère de rayon V dans le premier milieu est tangente à Tonde réfléchie et la sphère de rayon V dans le second milieu est tangente à Tonde réfractée ;TM| est donc Tonde réfléchie et TM' Tonde réfractée.

On verrait d*ailleurs directement que les ondes élémentaires décrites des différents points de la surface 2 pour une même époque / -h I sont tangentes respectivement aux plans TM, et TM'.

Cette construction d'Huygens présente de grands avantages pour une généralisation ultérieure.

34. Milieux anisotropes, — Cauchy a distingué les milieux, en plusieurs catégories, d'après leurs propriétés élastiques.

Un milieu est homogène lorsque deux éléments de volumes égaux, pris en des points quelconques, sont identiques; dans le cas contraire, il est hétérogène.

Un milieu homogène est homoédrique lorsque ses propriétés sont symétriques par rapport à certains plans. Il est hémiédrique lorsque celte symétrie fait défaut. (Tel serait le cas d'une structure hélicoïdale.)

Un milieu homogène et homoédrique est isotrope lorsque ses propriétés sont les mêmes dans toutes les directions. (Tel est un cristal cubique ou une substance amorphe). Il est anisotrope lorsque les propriétés ne sont pas les mêmes dans les différentes directions. La plupart des cristaux rentrent dans cette dernière catégorie.

Au point de vue d'une propriété quelconque, pourvu qu'elle corresponde en chaque point à une déformation linéaire infiniment petite, ou à une modification infiniment petite de nature quelconque, ayant une grandeur et une direction, les phénomènes dans un milieu anisotrope sont symétriques par rapport à trois plans rectangulaires qu'on appelle /?/aA?5 principaux. Les intersections de ces plans deux à deux déterminent dans le milieu trois directions principales.

Lorsqu'il s'agit d'un cristal appartenant à un système qui a trois plans de symétrie rectangulaires, ces trois plans sont naturellement les plans principaux relatifs à toutes les propriétés physiques, élasticité, dilatation par la chaleur, conductibilité calorifique ou électrique, induction électrostatique ou magnétique, etc.

Si ces caractères de symétrie n'existent pas dans la cristallisalion, il n'y a plus de lien nécessaire entre la distribution des propriétés de natures diflerentes et, pour un même phénomène, tel que les vibrations lumineuses, les plans principaux peuvent varier avec la période du mouvement vibratoire.

Lorsque deux des plans de symétrie sont identiques, leur intersection est un axe de symétrie et le milieu est dit à un axe. Dans le cas où les trois plans de symétrie sont différents, le milieu est dit à deux axes pour des raisons sur lesquelles nous reviendrons plus loin.

35. Surface d^ onde caractéristique. — On appelle onde caractéristique d'un milieu le lieu des points où les vibrations d'une source unique se propagent au bout de Tunité de temps. Cette surface, qui est sphérique pour les milieux isotropes, a nécessairement une autre forme pour les milieux anisotropes; elle peut même consister en plusieurs surfaces distinctes ou plusieurs nappes d'une surface continue.

riuygens (*) a montré que, dans les milieux à un axe, Tonde caractéristique est formée de deux surfaces, dont Tune est sphérique et l'autre un ellipsoïde de révolution autour de Taxe, langent à la sphère sur l'axe. Les ondes planes parallèles à une direction déterminée sont de deux espèces différentes, suivant qu'elles correspondent à la sphère ou à l'ellipsoïde. Les premières se propagent avec une vitesse constante, elles suivent donc les mêmes lois que pour les milieux isotropes; on les appelle ondes ordinaires. Pour les autres, la vitesse de propagation dépend de l'angle que fait la normale avec l'axe de symétrie; ce sont les ondes extraordinaires.

L'expérience montre aussi qu'un milieu à deux axes ne propage que deux espèces d'ondes planes, dont aucune ne correspond à une vitesse constante; pour certaines directions particulières, elles jouissent de propriétés analogues à celles des ondes ordinaire et extraordinaire des milieux à un axe.

Dans une direction déterminée, le ravon vecteur U de Tonde

(') Ul'ygens, Traité de la lumièrBy p. 60.

caractéristique a donc deux valeurs différentes, qui sont des fonctions des angles de ce rayon vecteur avec les directions principales du milieu.

36. Propagation. — Il est clair que dans un milieu homogène un système d'ondes planes d'espèce déterminée se transmet sans altération avec une vitesse constante.

Soient Q, Qi, Qa, ... [fig* 20) les positions successives d'une onde plane aux époques ^, f|, ^27 • • • •

Pour avoir la vibration en un point V^ de l'onde Qi on appliquera le principe d'Huygens à une onde antérieure Q, dont les points seront pris comme centres d'ébranlement.

Des différents points de l'onde Q comme centres, on décrit les ondes caractéristiques E du milieu (ou du moins les nappes correspondant à l'espèce des ondes Q) pour le temps t^ — f, et l'onde Qi est l'enveloppe de toutes ces ondes caractéristiques.

Le pôle P du point P^ est déterminé par la condition que le

PP temps t^ — t=. TT' nécessaire pour que le chemin PP| = p soit

parcouru, par la vibration, ait une valeur minimum.

Par les mêmes raisonnements que plus haut, on voit que la vibration du point P| est déterminée par celle du point P et que l'onde caractéristique E est tangente en P^ à Tonde Q|. Le point Pi sera aussi le pôle du point P2 situé sur la même droite.

La vibration se propage donc suivant une droite PP| et, avec les mêmes restrictions que précédemment relatives à l'étendue de l'onde, on peut dire encore que la lumière se propage en rayons rectilignes.

Si l'onde, au point P, au lieu d'être plane, était formée par une surface quelconque S dont le plan tangent est Q, elle donnerait

encore, comme dans les milieux isolropes (23), à Tépoque /|,ane onde Si tangente en Pi au plan Qi, à l'époque t^ une onde Sj tangente en P^ au plan Q2, etc.

En d'autres termes, l'onde à une époque quelconque est lenveloppe des ondes planes qui seraient produites par des ondes planes qui l'enveloppent dans une position antérieure. On peat donc énoncer le théorème suivant :

Théorème IX. — L'onde S| à l'époque tt est l'enveloppe des ondes caractéristiques relatives aux différents points de l'onde S pour le temps t^ — t. C'est le lieu des points où les vibrations de l'onde S arrivent au bout d'intervalles de temps égaux tx — t^ chacun d'eux étant un minimum.

Dans le cas actuel, le rayon lumineux W^ = U(/| — t) n'est plus nécessairement normal aux ondes.

La vitesse de propagation V des ondes planes doit se compter sur la normale PR. L'angle 6 du rayon avec la normale dépend de sa direction, et Ton a évidemment

V=rUcosO.

La vitesse V est ainsi une fonction des angles que fait, avec les directions principales, soit la normale PR aux ondes planes, soit le rayon lui-môme PPi.

37. Plan et rayon conjugués. — Le plan Qi étant aussi tangent à Tonde caractéristique E et à la surface S|, on voit que l'angle 0 d'un rayon avec la normale au plan tangent à l'onde S| au point correspondant est indépendant de la forme de cette surface : il est défini par la direction du rayon et son espèce ; le rayon et le plan correspondant sont dits conjugués. Uangle de conju' gaison 6 et le plan de conjugaison, c'est-à-dire le plan du rayon et de la normale à l'onde, sont donnés par la forme de l'onde caractéristique : ce sont des fonctions des angles de la normale avec les directions principales.

38. Réjlexion et réfraction. — Le problème de la réflexion et de la réfraction se traitera comme précédemment par l'appli-

cation du principe d'Huygens, à la seule condition d'introduire partout la considération du temps minimum pour la propagation des vibrations élémentaires.

Lorsque des ondes d'une certaine espèce rencontrent la surface de séparation de deux milieux anisotropes, elles peuvent donner, dans le cas général, deux espèces d'ondes réfléchies et deux espèces d'ondes réfractées. Si l'onde réfléchie ou réfractée est de même espèce que l'onde incidente, la réflexion ou la réfraction est dite homologue ; elle est antilogue quand le rayon change d'espèce.

40. Construction d^Huygens. — On peut appliquer immédiatement la construction d'Huygens.

La surface de séparation S étant plane et les ondes incidentes planes, prenons le plan d'incidence comme plan de figure et soit Q, l'onde incidente à l'époque t {fig* ai). Du point A comme

Fig. 21.

Qt-t-i

centre on décrit les deux nappes E| etE2 de l'onde caractéristique du milieu supérieur, ainsi que les deux nappes E' et E" de l'onde caractéristique du milieu inférieur.

L'onde Qr^j à l'époque ^ -H i , parallèle à Qf, est tangente à l'une des nappes Ej de Tonde caractéristique du premier milieu et coupe la surface S suivant une droite T perpendiculaire au plan de figure. Par cette droite on mène les plans tangents Qi et Q2 aux nappes Ej et E2 dans le premier milieu, puis les plans tangents Q' et Q'' aux nappes E' et E" dans le deuxième milieu.

Appelant V, V|, Va, V, V'^ les perpendiculaires abaissées du point A sur les plans Qr+i , Qi , Q2, Q' et Q'', ces perpendiculaires

représentent les vitesses de propagation des ondes planes parallèles à ces difTérents plans, et sont dans le plan de la figure.

On voit déjà que les normales aux ondes incidente, réfléchies et réfractées sont toutes dans le même plan.

Appelant e, l'i, £29 <^ i' les angles de la normale à la surface S avec les normales à ces différents plans, on a

sini sini'i sini, sini' sin;'

Les différentes vitesses étant variables avec la direction de la normale aux ondes dans le milieu, la loi de Descartes n'est plus applicable que dans des cas particuliers.

Toutefois, à cause des phénomènes de polarisation, il n'y a généralement qu^une onde réfléchie et il peut n'exister aussi qu'une onde réfractée.

Quant aux rayons, ils sont déterminés par les droites qui joignent le point A aux points de contact de ces différents plans avec les ondes caractéristiques correspondantes; ils ne sont pas en général dans le plan d'incidence.

40. La période de vibration reste la même pour les ondes réfléchies et réfractées que pour les ondes incidentes. Les longueurs d'onde \^, X2, X', )/' et X relatives à ces diffiérenles ondes, c'està-dire les espaces parcourus normalement pendant une période. satisfont donc aux relations

rn ^1 ^2 A A A

et les chemins équivalents relatifs à une durée quelconque sont proportionnels aux longueurs d'onde.

Si Vo est la vitesse de propagation dans le vide, et X» la longueur d'onde correspondante, la longueur optique x (30) delà distance e de deux ondes planes qui se propagent avec une vitesse V dans un milieu anisotrope est

Le rapport ^ peut encore être considéré comme un indice de

réfraction /i, mais ce rapporl est une fonction de la direction des ondes dans le milieu.

M . Effets d'une lame à faces parallèles, — Be tards par réfraction, — Lorsqu'une lame isotrope à faces parallèles est placée dans un milieu sur le trajet d'un système d'ondes planes, une onde AQ {fig- 22) qui tombe sur la première surface sous un

angle d'incidence i donne dans la lame une onde réfractée ÂC, sous l'angle e', et celle-ci, à la sortie, se transforme en une onde GQ' parallèle à la première. Les trois portions de plan QA, AC et CQ' représentent trois parties d'une même onde.

L*onde émergente CQ' qui se retrouve dans le milieu primitif est en retard d'une longueur CD = A sur la position AQi qu'elle occuperait si la lame n'existait pas. Menons la normale AA' dont la longueur est égale à l'épaisseur e de la lame. Le retard A est évidemment égal à la différence des longueurs optiques, rapportées au milieu primitif, des chemins A'P' et A'P que doivent parcourir les ondes AC et AQi pour arriver au même point A'. L'indice de réfraction de la lame par rapport au milieu qui l'entoure étant

Al = ^,» le retard a pour expression

^z=z nX'P' — AP r=ie{n cos i' — cos 1) zn e\\Jn^ — sin* i — ces i). Ce retard croît avec l'angle d'incidence, car on a

e/A = e ( sin I di — n sin i' dV ) =: e sin ii^di — rfi' ) .

La loi de Descartes sint = n sint' donne d'ailleurs

cos I di 1= n cos t' di ; M. - I. 4

5o CHAPITRE I.

il en résulte

f. . ./ cosi \ ,. ^ sin£ ,.

t/A z=: e sin I I n m = A 7, ai.

\ /icosr/ ncosi

Le retard a une valeur minimum pour Fincidence normale

Ao = e(/i — i),

et une valeur maximum pour rincidence rasante

Al zzz esjn} — I. ^

Un rayon incident SA éprouve, après avoir traversé la lame, un déplacement latéral