MN NP
et
soit égale à une demi-période -
Fig. i6.
Le temps 0 est une fonction de l'arc AM = s d'une courbe quelconque menée par le point A sur la surface d'onde, et ce temps passe par un minimum Oq pour 5 = 0; on a donc
L'aire d'une zone élémentaire est encore
Les zones élémentaires successives sont égales et l'on appliquera tous les raisonnements qui précèdent, ce qui permet d'énoncer les théorèmes suivants :
Théorème VIL — La vibration du point V est identique, sauf une différence de phase, à celle qui serait produite par la demizone ayant pour pôle le point A ou le point B.
Théorème VIIL — Uonde réfractée S' est V enveloppe des
ondes élémentaires décrites des différents points de la surface de séparation des deux milieux y avec des rayons tels que tous les chemins soient parcourus pendant le même temps à partir d'une onde incidente S.
Corollaire I. — Uonde réfractée est le lieu des points où les vibrations émanant de l'onde S arrivent au bout de temps égaux, chacun d'eux étant un minimum.
Corollaire IL — Le rayon réfracté est normal à l'onde réfractée.
29. Lois de Descartes, — La condilion du temps minimum montre que la réfraction obéit au théorème de Fermât (7). On arrive au même résultat par la considération de la concordance des vibrations sur les ondes réfractées.
Les rayons incident et réfracté sont également, par raison de symétrie, situés dans le plan normal à la surface de séparation au point d'incidence.
Considérons encore dans ce plan deux rayons incidents infiniment voisins AB et A'B' {fig> 17) dont lés angles d'incidence* sont
i et i + di, les angles de réfraction pour les rayons correspondants BR et B'R' étant i' et i' -{-di'. En abaissant les perpendiculaires BQ et B'Q', les points B et Q sont, à un infiniment petit du second ordre près, situés sur la même onde incidente, les points B' et Q' sur une onde réfractée. La concordance des vibrations en
B' et Q' exige que Ton ait -^ = —f, c'est-à-dire
E sin (i -\- di) e sin i' sin i sin i'
Cette loi est indépendante de la forme des ondes incidentes et de la surface de séparation des deux milieux.
Corollaire I. — Si ronde incidente est plane, ainsi que la surface de séparation, les ondes réfractées sont également planes.
Corollaire II. — Il peut arriver que Vonde S' n^ existe pas quand V >► V. Dans ce cas il n'y a pas de durée de propagation minimum du point P à l'onde incidente S {^g- 16) et toute l'énergie des ondes incidentes se retrouve dans les ondes réfléchies. C'est le cas de la réflexion totale.
30. Variation de longueur d'onde par réfraction. — Si l'on met à part les phénomènes de fluorescence, dans lesquels la lumière réfléchie ou réfractée par une surface change de nature et devient diffuse, la période T de vibration reste la même pour les rayons réfléchis ou réfractés que pour les rajons incidents. Les longueurs d'onde dans les deux milieux étant X et V, on a
ces longueurs d'onde sont donc proportionnelles aux vitesses de propagation. Si V est la vitesse de propagation dans le vide, X la
longueur d'onde correspondante et /i = ;^ l'indice de réfraction
du second milieu par rapport au vide, il en résulte
De même, lorsqu'un rayon parcourt un chemin e du second milieu, il parcourrait dans le vide, pendant le même temps, un chemin x satisfaisant à la relation
=j := ^ ou J7 =: ne.
La distance x = ne s'appelle quelquefois la longueur optique du rayon, ou de l'onde correspondante, pour un chemin e parcouru dans un milieu d'indice de réfraction n.
31. Nature des images au foyer des lunettes ou des miroirs. — Lorsque les ondes sont sphëriques et convergent vers leur centre, ce qui a lieu pour la formation de Timage d'un point lumineux au foyer des lunettes ou des miroirs, il est important de remarquer que le faisceau correspondant des rayons forme toujours un angle assez petit, limité par l'ouverture du système optique.
Au point de convergence O {Jig> i8), les vibrations émises par
les différents points d'une onde sphérique S antérieure sont concordantes ; l'amplitude de la vibration résultante est donc proportionnelle à l'étendue S de la surface libre et l'intensité proportionnelle au carré S^ de cette surface.
La vibration est maximum en ce point, mais elle ne s'annule pas aussitôt pour un point P voisin, car on est alors dans le voisinage de l'ombre géométrique, où se produisent des phénomènes de diffraction.
Prenons le point P sur une droite perpendiculaire à la direction moyenne CO du faisceau, c'est-à-dire à la droite qui passe par le centre de gravité de la surface S. En s'éloignant du point O, on trouve bientôt une distance OP = x pour laquelle le mouvement résultant est nul, par suite d'une interférence totale entre les vibrations émises parles différents éléments de l'onde libre S.
Le lieu des points P, déterminés par cette condition, limite une tache centrale dont la forme dépend du contour de la surface S et qui est d'une étendue finie. Cette tache est ensuite bordée par une série d'anneaux alternativement brillants et obscurs pour lesquels l'intensité des maxima diminue très rapidement. Il y a donc un obstacle physique absolument inévitable à la netteté des
PRÉLIMINAIRES. Sg
images dans les lunettes, et cet obstacle tient à la constitution même de la lumière.
Lorsqu'il y a interférence complète au point P, la différence de marche des rayons extrêmes, dans le même plan, est égale à un nombre déterminé /?, entier ou fractionnaire, de demi -longueurs d'onde; en appelant p et p' les distances PB et PB', on a donc
Soient
A le milieu de l'arc BB'; R le rayon CO de l'onde ; a l'angle ACO ; 6 l'angle BOA.
Les triangles BOP et B'OP donnent
p'=; R*4- j^s— aRj?sin(ô -h a),
p'^—R*-{-X'-h 2R^sin(6 — a); par suite
p'2__ pi- aR^[sin(e — «) -h sin(6 -f- a)] z=z ^Rx sin6 cosa,
p — p r= , 2 X sm 6 ces a.
La distance x étant très petite en général, à moins que la surface S n'ait une forme tout à fait particulière, on peut remplacer sans erreur sensible dans le second membre la somme p -t- p' par aR, et il reste simplement
p' — p = 2d?sin 6 cosa =:/?-.
Le diamètre D = BB' de la surface S dans le plan de la figure est égal à aRsinO, et l'on peut écrire
p' — p=z x-pr cosa =Z p-'
Il est clair que^ si l'on change les conditions de l'expérience, sans modifier la forme de la courbe qui limite la surface S, l'interférence aura lieu à la distance x donnée par cette équation, dans
laquelle p est un nombre déterminé. Il en résulte les conséquences suivantes :
I** Le rayon vecteur x de la tache centrale est proportionnel à la longueur d'onde \. Il est plus petit pour la lumière bleue que pour la lumière rouge.
2° Cette longueur d'onde est relative au milieu dans lequel se fait le propagation y de sorte que, si le milieu a un indice de réfraction
/i, on doit remplacer la longueur d'onde par - ; le rayon vecteur x
est donc en raison inverse de l'indice de réfraction du milieu.
3** Le rayon vecteur x de la tache centrale est proportionnel au rayon R de l'onde et en raison inverse du diamètre D de la surface de l'onde utilisée.
Le rapport ^r est la tangente de l'angle très petit e sous lequel
le rayon vecteur x est vu du point C. On peut dire plus simplement que l'angle e est proportionnel à la longueur d'onde X, en raison inverse de l'indice de réfraction n et du diamètre D de la surface utilisée, et écrire
2/iD /iD
32. Pouvoir optique. — Le cas le plus simple est celui où la surface S est une calotte sphériquc, ce qui a lieu dans les instruments d'optique ordinaires, où les lentilles et les miroirs ont des bords circulaires; la tache centrale de l'image d'un point est alors circulaire, par raison de symétrie, et son rayon r est donné
par la relation
Pour que les images de deux points voisins, de deux étoiles par exemple, puissent se distinguer l'une de l'autre, il faut évidemment que leurs taches centrales n'empiètent pas trop.
Comme l'intensité de la lumière sur chacune d'elles diminue lentement d'abord, puis d'une manière rapide, à mesure qu^on s'éloigne du centre, on peut admettre que l'œil appréciera l'existence de deux taches distinctes quand le bord de l'une passera par le
PRÉLIMINAIRES. 4l
If*
centre de l'autre, c'est-à-dîre quand Tangle apparent -pr = e du
rayon de la tache vue de l'objectif (lentille ou miroir) sera précisément égal à l'angle apparent des deux étoiles. Cet angle mesure \dL pénétration de l'instrument, qu'on appelle quelquefois le pouvoir optique; il est simplement en raison inverse du diamètre de l'objectif.
D'après jles expériences de Foucault (^), la pénétration d'un objectif de i3*^"* de diamètre est d'une seconde; un tel instrument permet de résoudre une étoile double d'une seconde quand les étoiles composantes ont des éclats peu différents.
Comme la valeur d'une seconde est d'environ == - lo"^,
si l'on prend pour longueur d'onde moyenne de la lumière la
I mai I
valeur X= = - io~*, il en résulte
Le premier anneau noir correspondrait alors à une différence de marche de 2,6 demi-longueurs d'onde entre les rayons extrêmes; nous verrons plus loin que ce résultat est confirmé par la théorie.
33. Construction d'Iluygens, — Pour trouver le rayon réfléchi et le rayon réfracté qui correspondent à un rayon incident, Huygens a indiqué la construction suivante :
Supposons que la surface de séparation S soit plane {fig^ 19), et prenons pour plan de figure le plan normal à cette surface qui passe par un rayon incident.
Du point A où le rayon incident touche la surface de séparation pris comme centre, on décrit :
1° Une sphère de rayon égal à la vitesse de propagation V dans le milieu supérieur;
(•) Foucault, Annales de l'observatoire de Paris, t. V, p. 197; iSSg.
2° Une sphère de rayon égal à la vitesse de propagation V dans le milieu inférieur.
On prolonge le rayon SA jusqu^à sa rencontre en M avec la première sphère. Du point M on mène à cette sphère un plan tangent dont la droite d'intersection avec la surface S coupe le plan de la figure au point T. Par celte droite on mène deux plans tangents, l'un à la sphère de rayon V dans le premier milieu, l'autre à la sphère de rayon V dans le second milieu.
Fig. 19.
Les droites AMi et AM', qui joignent le point A aux deux points de contact, sont, la première le rayon réfléchi, la seconde le rayon réfracté. On voit, en effet, sur la figure, que l'on a
