L :--- e Sini I :, riz A r =: -yr
\ n CCS 17 n CCS v ai
Ce déplacement est nul pourTincidence normale et égal à l'épaisseur e de la lame pour Tincidence rasante.
42. — Si la lame e est composée de deux parties différentes juxtaposées d'indices /i' et n", le retard des deux ondes réfractées Tune sur l'autre est la différence A' — A" des retards de chacune d'elles sur Tonde primitive, c'est-à-dire
A = A' — A'' — e{n' cost' — n" cosT). Ce retard croît encore avec Tangle d'incidence, car on a
^K • v^/r ^v\ A sinicosi
rfA =: esmn ar — ar) =: A -7--; =di.
/i /i cosi'cosr
Sa valeur minimum, pour l'incidence normale, est
et sa valeur maximum, pour l'incidence rasante,
Al — e(vV«'^^ — y/V^ — 1).
Le déplacement relatif des deux rayons réfractés qui pro-
PRELIMINAIBES. 5l
viennent d^un même rayon incident au point d'intersection des deux lames,
- . . ./ I I \ . sin/cosf (i\
L=:esin/cosn — = A -j—^ ^ — -— ,
\ n cos i n CCS i / n nr cosi cos i di
est nul pour Tincidence normale et pour Tincidence rasante; il passe par un maximum pour la condition
43. — Ce dédoublement des ondes réfractées se produit naturellement quand la lame est anisotrope. La différence de marche de deux ondes ordinaire et extraordinaire, qui proviennent d^une même onde incidente, est
A=: e| ^cosi' — :^cosr ).
Comme on a aussi
smi sini' sîni"
on peut écrire
A = esini(coti' — cotT).
Dans ce cas, les rayons réfractés ne sont plus en général dans le plan d'incidence.
Si Ton appelle
e' l'angle de conjugaison d'un rayon, if' l'angle du plan de conjugaison avec le plan d'incidence, /' la longueur de ce rayon dans la lame, a' l'angle qu'il fait avec le plan d'incidence, ^' l'angle de sa projection sur ce plan avec la normale AB à l'onde correspondante,
on a évidemment
sina' résine' sin^',
e — l' cos ol' cos {i' — ?') = /'(cose' ces/*' -f- sine' sin/' coso'). Les valeurs de /', a' et ^' étant déterminées par ces trois équa-
lions, les composantes L'^ et L'^ du déplacement parallèle et perpendiculaire au plan d'incidence sont
L', =:/'langa'.
On pourra ainsi calculer les composantes L| = L, — L", et L2 = L'jj — Lj du déplacement relatif des deux rayons réfractés.
44. Expérience de Monge, — Dans tous les cas, quelle que soit la nature de la réfraction, les rayons à la sortie de la lame sont parallèles aux rayons incidents. Cette remarque permet d'expliquer une expérience curieuse de Monge.
Lorsqu'on regarde un objet S {fig^ 23), de petites dimensions,
Fig. 23.
à travers une lame anisotrope, par exemple un morceau de spath d'Islande, les rayons réfractés restent dans le plan d'incidence si ce dernier est parallèle à l'une des sections principales du cristal. L'œil étant placé en O, on voit l'objet dans deux directions OB' cl OB'', qui correspondent à deux rayons incidents respectivement parallèles SA' et SA". Les deux images S' et S*' proviennent de rayons réfractés A'B' et A"B" qui se sont nécessairement croisés dans l'intérieur du cristal. En faisant marcher un écran M sous la lame dans le sens de la flèche, on intercepte d'abord le rayon SA', puis le rayon SA'; on voit donc disparaître l'image S"' la plas éloignée de l'écran avant l'image S', circonstance qui peut paraître au premier abord paradoxale.
\o. Re lards par réflexion, — Il est utile de comparer aussi, en vue d'applications importantes, la marche des ondes réfléchies
sur la première surface d'une lame avec celle des ondes qui se sont réfléchies une ou plusieurs fois sur les surfaces intérieures. L'onde plane AQ (Jlg* 24)? qui tombe sur une lame isotrope, est concordante avec l'onde réfléchie AQi et l'onde réfractée AC.
Fig. 24.
Pour que cette dernière revienne au point A, dans la direction AC|, après s'être réfléchie sur la seconde surface, elle doit parcourir dans le second milieu le chemin PA' -h A'P^ == 2 e cos i dont la longueur optique est 2 ne cos i'. L'onde réfléchie AQi et l'onde réfractée dans le premier milieu qui correspond à AC| seront ensuite superposées et chemineront parallèlement entre elles. Le retard des deux ondes réfléchies sur la seconde et sur la première surface, qui proviennent d'une même onde incidente, est donc
A = 2 /le cos f' = 2 e v//i* — sin* i.
Ce retard diminue évidemment quand l'angle d'incidence i (et l'angle correspondant i') augmente; il est maximum Au=:2/ie
pour l'incidente normale et minimum A| = lesjfi^ — i pour l'incidente rasante.
On doit remarquer aussi que ce retard A rapporté au vide est indépendant du milieu supérieur et ne dépend que de l'angle î ,
Si l'onde AC| , au lieu de se réfracter immédiatement sur la première surface, s'y réfléchit de nouveau pour se réfléchir encore sur la seconde surface et retourner finalement dans le milieu supérieur, elle aura subi un retard double ou 2 (2/iecosi'). En général, pour un nombre 2 m -H i de réflexions intérieures, le retard sur l'onde réfléchie à la première surface sera
A rz m(2/iecos/').
5i CHAPITRE I.
Le rayon B' S', qui provient d^une réflexion sur la secondesurface, a éprouvé par rapport au rayon AS| réfléchi sur la première
un déplacement latéral
L = B' P' =: AB' cos i=z2e tans; l' cos * = .
n cosr
Ce déplacement est nul pour les incidences normale et rasante. La condition du maximum est
tang'i=r-— =r — ou sin* i:=n\n — ^n^ — i);
le déplacement est alors
et le retard correspondant
A=: ie^ nsjn- — i.
46. Retards par transmission, — Le résultat est le même pour deux ondes qui traversent la lame, l'une directement en subissant deux réfractions, Tautre en subissant deux réfractions séparées par deux réflexions intérieures. On peut supposer, en effet, que Tonde AC| provient d'une onde incidente qui s'est réfractée d'abord sur la face inférieure de la lame, et que cette onde se partage en deux parties, dont l'une est réfractée et l'autre réfliéchie deai fois. Le retard de la seconde serait encore 2 ne cos i' et il serait m {2 ne cos i') pour un nombre 2 m de réflexions intérieures.
47. — Si la lame est anisotrope, le phénomène est plus complexe. En supposant toujours qu'elle soit placée dans un milieu isotrope, une onde incidente AQ donne deux ondes réfractées sous les angles i' et i". Chacune d'elles devrait donner par réflexion sur la seconde surface deux ondes réfléchies, d'espèces différentes, sous les angles i^ et i^^ T, et T^, et toutes les ondes en se réfractant de nouveau à la première surface se retrouveront dans le milieu supérieur sous le même angle i.
Par suite des phénomènes de polarisation, et à moins que U surface inférieure ne jouisse de propriétés tout à fait spéciales
(réflexion métallique), chacune des ondes réfractées ne fournit qu'une onde réfléchie de même espèce. Le retard A' des ondes d'une espèce réfléchies à la seconde surface sur celle qui s'est réfléchie à la première est donc
A =: e ( ^7 cos « 4- TTT ces £j 1 ,
, . . * 1 1 1 • sine sin/' sinr,
qu on peut écrire, par suite de la relation -r^ =z -— - z=z -— -i ,
A' = esin i (cot i' h- cotT, ).
On aurait de même, pour les ondes de la seconde espèce,
A'' = e ( ^ cos i" -h ^ cos r, \ -=^6 sin /' ( cot t' -t- cot T, ) .
48. Double réfraction uniaxe. — Un corps qui cristallise dans le système du prisme droit à base carrée a deux plans de symétrie identiques rectangulaires passant par l'axe du prisme; il constitue un milieu à un axe. Il en est de même pour un rhomboèdre dont la forme cristalline présente des plans de symétrie également inclinés l'un sur l'autre et passant par une même droite.
Dans les milieux à un axe, l'une des ondes se propage avec une vitesse constante V = 6; la nappe correspondante de l'onde caractéristique est une sphère de rayon V = 6, et la loi de Descartes est applicable. Si la réfraction a lieu du vide, où la vitesse de propagation est Vo, dans ce milieu, l'indice de réfraction ordinaire
du milieu est /i' = ~ = -r^ •
La deuxième nappe de la surface d'onde caractéristique est un ellipsoïde de révolution autour de l'axe, dont l'axe polaire est b et Taxe équatorial a.
Quand on étudie la réflexion ou la réfraction à la surface d'un milieu de cette nature, on appelle section principale un plan passant par l'axe et normal à la surface.
Lorsque le milieu extérieur est isotrope, le rayon réfracté extraordinaire reste dans le plan d'incidence, par raison de symétrie, si celui-ci est une section principale; la construction d'Huygens se ramène alors à une iigure plane.
Supposons d^abord que la surface soit parallèle à Taxe.
Si le plan d^incidence est perpendiculaire à Taxe, rinterseclion
de Tellipsoïde caractéristique par ce plan est l'équateur de cette
surface, ou une circonférence de rayon a. Dans ce cas, le rayon
extraordinaire suit également la loi de Descartes et son indice de
réfraction est if=: — • Ces deux valeurs de n! et de n!' sont les
indices principaux du milieu anisotrope.
Si le plan d'incidence est parallèle à Taxe, c'est-à-dire une section principale, l'intersection de Tonde caractéristique par le pian d'incidence est une circonférence de rayon b et une ellipse dont les axes sont b et a, ce dernier perpendiculaire à la surface.
La construction d'Huygens (39), relative à un rayon incident SA {fi g* 25) ou à une onde plane A.Q dans un milieu supérieur
Fig. a5.
isotrope où la vitesse de propagation est V, se réduit à prendre AM = V, à mener la droite MT tangente à la sphère de rayon V, et à mener du point T les tangentes TM' et TM'^ au cercle de rayon 6 et à Tellipse.
Les deux points M' et M'', qui donnent les directions AUP et AM* des rayons réfractés, sont dans le cas actuel sur une même perpendiculaire M"P à la droite AT ou à la surface S, ce qui donne
PM' lang^'' PM^ ~ tâng7
— ou n' tangf' = n' tangi'.
La vitesse de propagation V" de l'onde extraordinaire est la perpendiculaire abaissée du point A sur la droite TM"' et l'on a, con-
PRÉLIMINAIRES. 5y
formément à la loi générale,
sin I sin i"
celte vitesse est une fonction de l'angle e" ou de l'angle i" que
fait sa direction avec Taxe du cristal.
49. Milieux positifs et négatifs, — Lorsqu'on a a >• A, comme sur la figure, l'ellipse est extérieure au cercle et le rayon extraordinaire AM" est plus éloigné de l'axe AB que le rayon ordinaire AM'; l'inverse a lieu pour a<^b. Tout se passe comme si le rayon extraordinaire était attiré par l'axe dans le second cas et repoussé par cet axe dans le premier.
Pour distinguer ces deux espèces de doubles réfractions à un axe, on dit que le milieu est
attractif ou positif quand a <^ b, n" > n', répulsif ou négatif quand a^ b, n' <i n'.
Le quartz est le type des cristaux positifs, le spath d^ Islande celui des cristaux négatifs.
Dans le spath d'Islande, les axes de l'ellipse sont très diOerents l'un de l'aulre; la double réfraction est donc très énergique et c'est la substance que l'on emploie le plus généralement pour les expériences de cette nature.
50. Vitesses de l'onde et du rayon extraordinaires. — La vitesse de propagation V d'une onde plane extraordinaire est la perpendiculaire abaissée du centre de l'ellipsoïde sur le plan tangent parallèle à l'onde.
En prenant le plan xy perpendiculaire au plan de l'onde et Taxe des x parallèle à Taxe du cristal, l'intersection de l'ellipsoïde et du plan tangent par le plan de figure donne une ellipse
et une tangente MT à l'ellipse {fig, 26).
Soient x étales coordonnées du point de contact M, e Tangle de conjugaison MOP, 8 l'angle de la normale OP à Tonde avec l'axe de cristal, X et Y les coordonnées courantes de la tangente. L'équation de cette tangente peut s'écrire sous les deux formes
y^x ^ Yj^.
Xcose-4-Ysine — V;
il en résulte la condition
6*cose a» sine V
et, en portant ces valeurs de x ely dans l'équation de l'ellipse, ¥"*= 6«cos«e 4- a«sin«e = 6*-t- (<i*— 6*) sin«e.
Fig. 26.
La vitesse de propagation U = OM, suivant le rayon, est
U« = a?» -f- j« = ^-, =: V' H ^^ sin*e cos«e,
ce qui donne
MF = — ^rn — sin 6 cos 0,
et l'angle de conjugaison e est
a} — b^ . ^ , (a«— 6M tance
tange = .,.,, sinO cos6 -=2 -i— ^-
^ V"* 6* -4- a» langue
(n^«—n^«) tange /i'»-+-/i'nang«é
51 . Retard relatif des ondes dans une lame cristalline. — Le retard de Tonde ordinaire sur Tonde extraordinaire, après avoir
traversé une lame à faces parallèles (43), peut s'écrire
^=lei^ cos i' — :^ cos ç" j — e ( m' — a" ),
avec la condition
sini sini' sini"
En supposant que le milieu extérieur soit le vide ou Tair et qu'on prenne
on a d'abord
I — sin* i' I — 6* sin'/
a'* = -n cos* i' =
Soient xy (Jig- 27) la surface de la lame, OA Taxe du cristal,
Fig. 27.
i^ l'angle qu'il fait avec la normale ON à la lame, cp Fangle de la section principale NOA avec le plan d'incidence NOj:, OP la normale à l'onde extraordinaire, 8 l'angle POA. Le triangle sphérique ANP donne
cos 6 = cos^cosr-h sin^'sint^cosç.
Si l'on écrit
V»=a»-t-(6*— a»)cos20 = a'(cos*i*-hsin»£'')-h(^*— a')cos*0, et qu'après avoir substitué à cos^8 sa valeur précédente on rem-
cosi
sini
;ir
place -yi- par vl' et —^tt- V^"^ sine, il vient
(8) I = a'(M'*-h sin't) -f- (6* — a') (m" cos 4^ -t- sin^' ces cp sini)',
équation du second degré dont une seule racine convient au problème physique.
6o CHAPITRE I. — PRÉLIMINAIRES.
Lorsque la lame est perpendiculaire à Taxe, ^ = o et il reste simplement
b* 1/"* zz: 1 — a} sin* i.
Lorsque la lame est parallèle à Taxe, t{; = -, et
à^'u"^ — I — ( a* sin' o 4- 6* ces* ç ) sin* i . Dans le cas général, Téquation (8) devient
(a* sin'6-+- b^ co%'^)u''^-\- i{b^ — a*) sint]/cost]/Coscpsinifx'
[a} -\- {b^ — a}) sin*t}/ cos*ç] sin*/ — i = o.
Le terme indépendant de if étant négatif, puisque les quantités 6 et a sont plus petites que Tunité, les deux racines de cette équation sont de signes contraires et la racine positive est la seule qui convienne au problème.
Comme on a
a}{\ — sin*t}/cos'«p) =i a' ces* <}/ ces* «p -h a* sîn*<p,
on peut écrire
(a* siii*^' -H 6*cos-<|;)m''*-+- 2(6* — a*) sin^l/cos^/cos^sinin'
-h |(a*cos'i}/ 4- 6' sin*t}/) ros*o -h a} sin*o] sin'i — i = o.
Si Ton remarque que
(6* — a*)* sin*^' cos*^/ — (a* sin* 4/4-6* cos*tj;)(a* cos*<l 4- 6* sin*t}/) i= — a* 6*,
Texpression comprise sous le radical, en posant
c* z= a} sin*tj; -4- 6* cos*4'>
se
réduit
— a* sin'
sin*i;) —
cos*ç sin*
pa
r suite
sin2i{^
cosï>sin£
sin*çsin*/ —
ces*
sin*i.
52. Des rayons de lumière, — La considération des rayons de lumière est légitime toutes les fois que la partie efficace des ondes est respectée pour tous les points dont on veut déterminer l'état vibratoire. Les propriétés géométriques des rayons, déduites des lois de réflexion et de réfraction, représentent donc les phénomènes réels, sauf cette restriction que l'ensemble des rayons doit former un faisceau assez large et qu'on tiendra compte des effets de diffraction dans certains cas, en particulier pour la formation des images (31).
Les rayons sont dits iso gènes lorsqu'ils partent primitivement d'un même point ou, plus généralement, lorsqu'ils appartiennent à une même onde. Dans un milieu isotrope, des rayons isogènes sont normaux à une même surface, qui est une des positions réelle ou virtuelle de l'onde correspondante. Dans un milieu anisotrope, les rayons isogènes de même espèce sont conjugués de leurs plans tangents à une même surface, qui est également une des positions réelle ou virtuelle de l'onde correspondante.
Un système optique est un ensemble quelconque de surfaces qui modifient par réflexion ou réfraction la direction des rayons lumineux.
53. Retour des rayons, — Une des propriétés les plus simples est ce qu'on appelle quelquefois le principe du retour des rayons.
Un rayon partant d'un point S suivant la direction SA dans un premier milieu subit un nombre quelconque de réflexions ou de réfractions dans des milieux diflerents et aboutit dans un dernier milieu au point S' suivant la direction A' S'. Réciproquement, si un rayon part du point S' dans le dernier milieu, suivant la direction initiale S'A', et subit à chaque surface de séparation des
réflexions ou des réfractions de même espèce que le précédent, il reviendra finalement au point de départ S dans le premier miliea suivant la direction AS. Les deux chemins seront superposés dans toute leur étendue.
Cette propriété est évidente, parce que la réflexion ou la réfraclion sur une surface, quand on se donne l'espèce du phénomène, est indépendante du sens de propagation de la lumière.
54. Théorème de Malus (* ). — Dans des milieux isotropes, un faisceau de rayons iso gènes, c^ est-à-dire partant du même point ou normaux à une même surface S, restent encore normaux à une même surface S' après avoir subi un nombre quelconque de réflexions ou de réfractions.
On peut déduire ce théorème des lois géométriques de la réflexion et de la réfraction en montrant qu'il a lieu pour chaque phénomène en particulier, mais il est évident dans la théorie des ondulations, puisque les surfaces S et S' ne sont autre chose que les positions réelles ou virtuelles d'une même onde, respectivement dans le premier et dans le dernier milieu, à deux époques / et t\ difliérentcs ou non.
Le même théorème s'applique aux milieux anisotropes avec une légère modification.
Si les rayons primitijs sont conjugués d'une même surfaa S, ils restent, après un nombre quelconque de réflexions oi réfractions d'espèces arbitraires, conjugués d'une même sur*
face S'.
Les surfaces S et S' ne sont autre chose que les positions réelle: ou virtuelles d'une même onde dans le premier et le dernier miliei aux époques t et t! ,
53. Théorème de Gergonne (^). — Un nombre quelconque di réjlexions ou de réfractions, pour un faisceau de rayons isogènes, peut être remplacé par une seule opération, réjlexioi
(*) Mali:», Journal de l'École Polytechnique, Cah. XIV, p. i; i8o8. {') Gehoosse y Afin, de Mat/t., t. XIV, p. 129; i8j3.
OU réfractiofiy suivant que le milieu final est identique au milieu primitif ou de nature différente.
Lorsque le premier et le dernier milieu dans lesquels se propagent les rayons sont isotropes, le faisceau est d'abord normal à une surface S {fig. 28), puis normal à une surface S', ces surfaces
Fig. a8.
étant les positions qu'occuperait l'onde respectivement dans les deux milieux aux époques t et t'.
Soient V et V les vitesses de propagation dans ces deux milieux. Traçons pour une époque quelconque 6 la position Se qu'occuperait Tonde S dans le premier milieu et la position Sq qu'occuperait l'onde S' dans le dernier. Les perpendiculaires MA et MA' abaissées sur les surfaces S et S' d'un point M de l'intersection des surfaces Se et Se sont respectivement
MA = V(e — 0, MA= \'{t'- 6).
Le lieu des intersections des surfaces d'onde de même époque est une surface S telle que, si elle séparait les deux milieux extrêmes, l'onde S s'y transformerait par réfraction en une onde S', puisque le temps nécessaire pour que la vibration se propage de l'onde S à cette surface S et à l'onde S' est constant.
Le phénomène unique équivalent à l'ensemble des opérations est une réflexion quand les milieux extrêmes sont identiques.
Le théorème s'applique également aux milieux anisotropes quand on se donne l'espèce des rayons dans le premier et le dernier milieu, avec cette seule difi^érence que les droites MA, MA', qui représentent les rayons, ne sont plus normales respectivement aux surfaces S et Se, S' et Sq, mais conjuguées de leurs plans tangents (37).
Il peut arriver cependant que la surface S ainsi définie ne cor-
responde pas à un phénomène physique réel, lorsque les angles d^incidence ou de réfraction qui en résultent sont supérieurs à un angle droit, mais il suffît de changer le sens de la propagation dans un des systèmes pour retrouver un phénomène réel. En d'antres termes, le théorème de Gergonne permet d'obtenir par une seule opération la transformation des ondes initiales dans les ondes fînales, ou les trajectoires des rayons dans le dernier milieu, sans donner le sens de la propagation.
Supposons, par exemple, qu'un faisceau de rayons parallèles, lA et IB (yîg". 29), soit transformé par un système optique (lentille)
en rayons qui convergent au point O dans le même milieu. Lasur» face S est un plan et la surface S' sphérique.
L'intersection MM' des deux surfaces de même époque 0 est une circonférence ayant pour axe la parallèle aux rayons primitifs menée par le point O, et la surface S sera de révolution autour de cet axe, mais le phénomène physique n'est pas possible. Si ces rayons primitifs marchent dans la direction lA, les rayons réfléchis sur la surface S semblent émaner du point O qui est une 50ttrfe virtuelle; si Ton change au contraire le sens de propagation des rayons primitifs, les rayons réfléchis marchent vers le point O.
56. Des caustiques, — Quand un système d'ondes primitives donne, après un certain nombre de réflexions ou réfractions, des ondes sphériques, les rayons correspondants sont concourants et reproduisent des images nettes, sauf les eflets de diffraction (31). On dit alors que le système optique est aplanétique.
Lorsque les rayons ne sont pas concourants, ils sont tangentsà une même surface appelée caustique. Si l'on mène sur la caustique une courbe tangente à un ensemble de rayons, la distance de deux rayons tangents en des points infîniment voisins est ou nulle on
un infiniment petit du troisième ordre, suivant que la courbe caustique est plane ou gauche. Dans le premier cas, les deux rayons sont concordants en leur point de rencontre; dans le second cas, ils sont concordants sur la droite qui mesure leur plus courte distance. C'est dans ce sens que Ton doit entendre que deux rayons infiniment voisins sont concordants sur la surface caustique.
D'après le théorème de Gergonne, lorsqu'un faisceau de rayons isogènes n'est pas concourant, une seule réflexion ou réfraction sur une surface convenable permettait donc de le transformer en un faisceau concourant et, par conséquent, de rendre le système aplanétique.
S7. Théorème de Sturm (*). — Un faisceau infiniment petit de rayons rencontre deux lignes focales, et ces lignes sont situées dans des plans rectangulaires si le milieu est isotrope.
Considérons les rayons correspondant à une étendue infiniment petite d'une surface d'onde S, au voisinage du point M. Soient ABet GH {fig* 3o) les sections principales de la surface au point M, MO et MC leurs rayons de courbure.
Par un point infiniment voisin M' menons, de même, les sections principales A'B' et CH'; les rayons correspondant aux points M,
Fig. 3o.
M', P et Q sont les normales à la surface d'onde. Â un infiniment petit près du troisième ordre, la normale en P passe par le point C el la normale en Q passe par le point O.
(*) Sturm, Comptes rendus de V Académie des Sciences, t. XX, p. 554, 7^' et 1338; i848.
Quant à la normale en M', elle rencontre, au même ordre d'approximation, la normale PC en un point O' infiniment voisin du point O, puisque les sections principales G'H' et GH appartieonent au même svstèmc, elle rencontre aussi la normale QOen un point C infiniment voisin du point C. L'élément de courbe 00' est situé dans le plan osculateur PMCde la section principale AB; l'élément CC est dans le plan QMO osculateur de la deuxième section principale GH. Ces deux éléments sont donc situés dans les plans rectangulaires, normaux à la surface d'onde.
Les normales aux différents points d'une étendue infinimeot petite de surface d'onde, c'est-à-dire les rayons qui forment un faisceau infiniment petit, rencontrent ainsi, à un infiniment petit près du troisième ordre, deux lignes 00' et CC situées dans des plans rectangulaires normaux à la surface d'onde et passant par les centres de courbure des sections principales de la surface. Lc> lignes 00' et CC sont les lignes focales du faisceau; elles sont situées du même côté de la surface S, ou de part et d'autre, suivant qne les rayons de courbure principaux de la surface S sont de mf^me signe ou de signes contraires.
Si l'une des sections principales AB est dans un plan de symétrie de la surface, ou simplement si l'un des rayons de courbure MC est maximum ou minimum, la droite CC est perpendiculaire au rayon MC.
Si la surface présente deux plans de sjTnétrie ou si les deux rayons de courbure sont en munie temps maximum ou minimam, les deux lignes focales sont perpendiculaires au ravon.
TjCS rayons de courbure Rj et R2 représentent les rayons de deux surfaces d'onde caractéristiques du milieu qui seraient osculatriccs de la surface S, et l'osculation aurait lieu suivant les seclions principales.
Celte remarque permet d'étendre le théorème de Sturm aux milieux anisotropes. Menons une slirfacc d'onde caractéristiques' du milieu, tangente au point M à l'onde S, ce qui est toujours possible, puisque l'onde S correspondant à des rajons isogèaes est l'enveloppe d'une série d'ondes caractéristiques; coupons alors les deux surfaces par un plan parallèle au plan tangent et infiniment voisin. Les indicatrices des deux surfaces sont deux coniques E et E' concentriques {Jig. 3i ^
Les côtés du parallélogramme mené par les points d'intersection sont respectivement parallèles aux axes conjugués communs AB et GH des deux indicatrices.
Le centre de Tonde caractéristique S' est situé sur le rayon (conjugué du plan tangent) qui passe au point M. On peut donner au rayon vecteur R de cette surface deux valeurs R| et R2, telles que la caractéristique E' soit tangente sur le diamètre AB ou sur le diamètre GH à l'indicatrice E de la surface S ; Tonde caractéristique S' est ainsi osculatrice à la surface S suivant les sections AB ou GH par des plans qui comprennent le rayon.
Il suffit alors de répéter le raisonnement qui précède en remplaçant les sections principales par les sections ainsi définies, le rayon MO {fig- 3o) n'étant plus normal à la surface S, mais conjugué du plan tangent. Tous les rayons qui forment un faisceau infiniment petit rencontrent encore deux lignes focales, Tune 00' située dans le plan qui passe par le rayon et l'un des diamètres conjugués AB commun aux deux indicatrices, l'autre CC' dans le plan du rayon et de Tautre diamètre.
Les deux lignes focales ne sont plus dans des plans rectangulaires; chacune d'elles est encore perpendiculaire au rayon quand le rayon vecteur correspondant R passe par un maximum ou un minimum.
Un système optique est dit astigmate (aT{Y[jLa, point) lorsqu'il transforme ainsi les rayons partis d'un point en un faisceau ayant deux lignes focales; les plans qui passent par le rayon moyen et les lignes focales sont les plans principaux d^ astigmatisme.
