Réflexion sur les miroirs plans. — Dans un milieu iso
Irope, les rayons partis d'une source S (,/?^. 3a) qui tombent sor un miroir plan P se comportent, après la réflexioD, comme s'ils émanaient d'un point  symétrique du premier par rapport au miroir et qui en forme une image; un miroir plan est donc aplanéiique (06). L'image  n'est visible, bien entendu, que dans l'étendue du cône qui a pour sommet le point A et pour base le contour du miroir. L'image d'un objet réel est le symétrique de l'objet par rapport au plan du miroir et virtuelle.
Si l'on imagine que les rayons marchent en sens contraire, c'est-à-dire que le miroir reçoive des rayons convergeant vers le point A, ils iront, après réflexion, converger au point S. Un faisceau de rayons convergents dirigés de manière à former une image réelle en arrière d'un miroir formera donc, après réflexion, une image réelle symétrique de la première en avant du miroir.
Remarquons que le rayon réfléchi MR a tourné de Fangle S^MR que fait ce rayon avec le prolongement MS| du rayon incident; cette rotation est évidemment double de l'angle Q que fait le rayon incident SM avec la surface du miroir.
Quand on fait tourner le miroir d'un angle S, le rayon réflécbi se déplace d'un angle double 2 S.
On utilise cette propriété pour mesurer l'angle des prismes cl. dans la méthode du miroir imaginée par Poggendorfl*, pour évalaer la rotation des appareils mobiles.
39. Deux miroirs plans, — Considérons deux miroirs plans P et Q {fig^ 33) dont les faces réfléchissantes font Pangle
supposons qu'un point lumineux S soit situé dans Tangle o, et
prenons pour plan de figure le plan perpendiculaire à l'arête O d'intersection des miroirs qui passe par la source S.
L'image A par rapport au miroir P est symétrique de S et, par suite, à la même distance du point O 5 l'image B par rapport au miroir Q est aussi symétrique de S. Les trois points S, A et B sont donc situés sur une même circonférence, ayant pour centre le point O.
Fig. 33.
imaginons que les miroirs soient prolongés jusqu'à leur intersection et que les rayons se réfléchissent sur l'un et sur l'autre au voisinage de cette arête; la rotation est 26 pour le premier miroir et 2(0) 4- 6) pour le second. L'angle apparent AOB des deux images A et B vues du point O est donc
c'est-à-dire le double de l'angle supplémentaire des miroirs 5 cet angle apparent est indépendant de l'angle 0 et, par suite, de la position de la source.
Si les rayons émanés de la source S, après s'être réfléchis sur le miroir P, peuvent éprouver une seconde réflexion sur le miroir Q, ce qui exige que la première image A soit en avant du second miroir, la nouvelle image A' sera également située sur la même circonférence.
En supposant encore que ces deux réflexions ont lieu dans le voisinage de l'arête O, le premier rayon, réfléchi dans la direction AO, a éprouvé une rotation 2O et fait avec le miroir Q l'angle o> — 8; à la seconde réflexion la rotation est 2(03 — 0), ce qui
donne pour rotation totale 20-j-2((o — 0) = 2(o.L^angle du rayon doublement réfléchi OR avec le prolongement OS| du rajon incident est donc double de l'angle supplémentaire (o des miroirs et indépendant de la position de la source.
On utilise cette propriété dans les sextants, les cercles à réflexion et les prismes à double réflexion intérieure.
Lorsqu'on a co= -> c'est-à-dire que les miroirs sont à angle
droit, les rayons reviennent sur la direction des rayons incidents.
L'image d'un objet vu par double réflexion, étant symétrique du symétrique de l'objet, est identique à l'objet lui-même et lui est superposable.
Avec deux miroirs à angle droit, cette image est symétrique de l'objet par rapport à l'arête d'intersection.
Lorsque l'angle cp = 7: — o) des faces polies est plus petit qu'an droit, on peut observer ainsi plusieurs images produites par des réflexions multiples, et qui sont toutes situées sur une même circonférence ayant pour centre Tarêle des miroirs.
Les rayons réfléchis d'abord sur le miroir P {Jig. 34 ) donnent
une série d'images A, A', A'', . . ., dans des directions qui font alternativement avec les faces postérieures des miroirs P et Q les angles 8, 6 — 'f , 0 4- aç, . . . , 0 4- (/^ — i)ç. Les rayons réfléchis d'abord sur le miroir Q donnent des images B, B', B'', . . , , dont les directions font avec les faces postérieures des miroirs Q et P les angles ç — 0, 20 — 6, 3cp —0, ..., <7'f — 0. Les images deviennent
improductwes (*) d'Images nouvelles quand elles se trouvent, telles que A'" et B"', dans l'angle P'OQ' opposé à l'angle des miroirs, c'est-à-dire quand Tune des directions considérées correspond à un angle supérieur à it — cp ; on doit donc avoir
TT^O-i- {p — O^P^t: — <p,
Tt^^tp — O^lt (p.
11 en résulte que le nombre total ^^= p-\- q des images est compris entre les deux limites
hi N^ I.
Si l'angle (p est contenu n fois dans la circonférence, on a
et, par suite,
Le nombre des images peut être, suivant les cas, n — i , /i ou /i -+- I . C'est le principe du kaléidoscope.
On voit aisément que, pourcp = o, c'est-à-dire pour des miroirs parallèles, les images sont en ligne droite et en nombre illimité sur une perpendiculaire aux miroirs.
Dans ce cas, en appelant d la distance de la source S au miroir P et D la distance des deux miroirs, les distances successives AB', B'A'', . . . des images situées derrière le miroir P sont alternativement 2(D — rf) et 2rf.
Les images d'un objet sont alternativement identiques à l'objet ou symétriques, suivant qu'elles correspondent à un nombre pair ou impair de réflexions.
60. Miroirs spliériques. — Lorsque la face polie du miroir appartient à la surface d'une sphère de rayon R, les rayons émis par une source A {fig- 35) et qui tombent sur une petite étendue de miroir au point M forment après réflexion un faisceau qui rencontre en général deux lignes focales (57).
(») Bertin, Ann, de Chim. et de Phys.f [3], t. XXIX, p. 267; i85o.
72 CH\PITBE II.
Si Ton prend pour plan de figure le plan qui passe par le rayoD moyen AM du faisceau considéré et le centre O de la sphère, Tuoe des lignes focales est perpendiculaire au plan de la figure, par raison de symétrie, et l'autre dans ce plan.
Tous les rayons qui ont le même angle d^incidence i forment un cône circulaire autour de la droite AO, ou de l'axe du point A, et les rayons réfléchis forment un cône circulaire de même axe dont le sommet est en A|.
Fig. 35.
L'une des lignes focales est donc une droite A| A'. La seconde ligne focale est perpendiculaire au plan de figure et passe par le point de rencontre A2 des rayons MA2 et M' A3 réfléchis en deux points infiniment voisins. L'enveloppe de ces rayons réfléchis est la caustique par réflexion.
Pour déterminer la position du point A|, nous appellerons a et «1 les distances OA et 0A|, b et b^ les distances MA et RLAi, ti> l'angle MOC, a et ai les angles MAC et MA|C. On a, par les triangles MOA et MOA| ,
a sini
S]na>
sina R
siiu
il en résulte d'abord
sincu sina, ' b,'
La projection de ces différentes droites sur le rayon MO donne
R — bcosi — a cosw -. bx cosi: -r ax costo,
d'où, en éliminant les longueurs b et b% ou a et a^ entre les
équations (2) et (3),
tti a K
I I 2 cos i
On déduit aussi des équations (i) (6) ftsinazr: 61 sina|= Rsinto.
Les distances ai et 6| diminuent avec l'angle w, c'est-à-dire à mesure que le rayon incident se rapproche de Taxe AO. Leurs valeurs limites a' et 6', correspondant à w = o, donnent
elles déterminent un point A' qui est le foyer conjugué ou y image du point A pour les rayons voisins de Taxe. On a d'ailleurs
â^'"â"" R et, par suite,
Quand on fait a = oo, c'est-à-dire quand les rayons sont paral-
lèles à l'axe, les distances a' et 6' ont pour valeur commune F = — • ' ^ 2
Le point de concours K des rayons réfléchis, ou le foyer principal, est au milieu du rayon et sa distance au point C, ou la longueur focale F du miroir, est la moitié du rayon.
61. — Pour trouver le point A2, nous remarquerons qu'en considérant les variations des difliérents angles, quand on passe de M en M', et appelant p la distance MA2, le triangle M'A2M, où le côté MM' ^st égaj à Rrfo), donne
R <ia) dix di 4- cfo)
p cos{i-h di) cosi
D'autre part, on a par les relations (i)
R cos idi m a cos idiz=za cos a ( ûfo) — di).
En éliminant le rapport ^ entre ces deux équations, il vient
ou
R cos i
a cos a
b — R cos i
Rcosi 4-acosa
p ' b Kcosi
et, en comparant avec Téquation (5),
I I 3 / I .\ a sin*ï
p o, R \cose / R cosi
Pour t = o, on a p = 6' = R — a' ; le foyer conjugué A' est ud point de rebroussement de la caustique.
62. — Les miroirs spliériques ne sont donc pas aplanétiques, ce qui était évident a priori, puisque le miroir qui ferait convei^er en un même point A' tous les rayons primitivement émis par le point A est la surface d'un ellipsoïde de révolution ayant pour foyers les points A et A'.
Pour des sources très éloignées, le miroir aplanélique doit avoir une section parabolique.
On appelle aberrations de sphéricitéles erreurs de convergence des rayons réfléchis au foyer conjugué. Uaberration longitudinale est la distance
/=-: VAjzzzai — a';
l'aberration latérale est la distance
X=i A'A''— /tanga^,
déterminée par la rencontre du rayon MA, avec la perpendiculaire à Taxe au point A'.
Les aberrations sont dites principales lorsque la source est très éloignée ou les ondes incidentes sensiblement planes. En remplaçant dans le dernier terme de l'équation (7) le produit a^d parF^, on voit que les aberrations principales sont
/ .- F(l — COSd)),
X =: /tang2a) z:^ F(i — coscd) tangaco.
Les miroirs sont habituellement formés par une calotte sphérique. U' axe principal est la droite qui joint le centre O de la sphère au milieu de la calotte.
Les images fournies par les miroirs sphériques ne sont bonnes que si, l'ouverture angulaire du miroir étant très petite, les rayons restent peu écartés de Taxe principal; pour toute autre direction, les aberrations sont sensibles et dissymétriques.
63. — Quand on néglige les aberrations, les formules se simplifient. En appelant / et y les distances CA et CA' {Jig* 36) du
Fi g. 36.
miroir à un point A situé sur Taxe principal et à son image A', la relation (5) devient
ce qu'on peut écrire
Si l'on appelle cp et cp' les distances KA et KA' du foyer principal au point A et à son image, on a
Substituant ces valeurs dans l'équation (9), il reste simplement
(10) cpcp'izzF».
Les équations (9) et (10) sont les expressions que Ton donne habituellement à la formule des miroirs; nous n'insisterons pas sur leur discussion.
64. — Quand un objet AB est perpendiculaire à Taxe principal, son image A' B' est située sur une surface qui coupe cet axe nor-
malement; Timage peui aussi, dans les limites indiquées, être considérée comme plane et perpendiculaire à l'axe. Le foyer conjugaé B' du point B se trouve sur trois directions remarquables : l'axe secondaire BO relatif au point B, le rayon réfléchi MK qui passe par le foyer principal et provient d'un rayon BM prîmitivemeDt parallèle à l'axe principal, le rayon M'I? réfléchi parallèlement à l'axe et qui provient d'un rayon BM' passant par le foyer. On utilise deux quelconques de ces directions pour construire géométriquement les images.
Si l'on appelle I et V les grandeurs de l'objet AB et de son image A'B' et qu'on les considère comme positives ou négatives, suivant qu'elles sont comptées au-dessus ou au-dessous de l'axe, on a, d'après la figure et en tenant compte de l'équation (2),
-r «' / 1 ~ a ~ /' ou •
Le rapport -=- est le grossissement de l'image. On peut écrire aussi, d'après les équations (9) et (10),
izl /nf ?' F JL. -4 /Z I ~ F ""F "" cp ""/—?"■ V ?*
Enfin Téquation (6), qui se réduit k/aL=/'a!^ a! désignant la valeur limite de l'angle ai, donne encore
(12) Ia-i-ra'=:o.
Ces différentes expressions se généralisent pour le cas d'un appareil optique quelconque.
60. Réfraction sur une surface plane. — Deux milieux isotropes étant séparés par une surface plane S {fig» 87), les rayons partis d'un point S dans le premier milieu qui se réfractent sur un élément de la surface S forment encore un faisceau qui a deux lignes focales.
Le plan mené par le rajon moyen SM normalement à la surface
S est un plan de symétrie; Tune des lignes focales est perpendiculaire à ce plan et l'autre située dans ce plan.
Soient A la distance SQ du point S à la surface, i l'angle d'incidence du rayon SM, r l'angle de réfraction du rayon correspondant MM' et n l'indice de réfraction du second milieu par rapport au premier.
Fig. 37.
Tous les rayons qui ont le même angle d'incidence i appartiennent à un cône circulaire autour de la droite SQ, dont l'angle au sommet est 2£; les rayons réfractés forment un cône circulaire de même axe, dont l'angle est 2 r et qui a pour sommet un point C.
En appelant p et/7 les distances SM et CM, on a
QM =: p sin t = /? sin /' 1= — sin /,
p = np =
nh
cosi
La distance CQ = k est
, , /icosr , s/ri^ — sin'/ k i=pcosr = h :- = h- : — •
cosi
cosi
Cette distance esf minimum et égale à nh pour l'incidence normale; la ligne focale CC| qui passe par le point C est normale à la surface S.
Pour avoir la position O de la seconde ligne focale, qui est perpendiculaire au plan de la figure, nous considérerons un rayon SJÎ infiniment voisin du premier. Les variations di et dr des angles d'incidence et de réfraction satisfont à la relation
(i4) cosidizzz ncosrdr.
Appelant q la distance OM , les triangles SMN et OMN donnent
