MN P
di
COSl
MN dr q cosr
/»n«; t fil
— — — rft<; r //r
cos- 1 ces* r
et, en tenant compte de l'équation (i4))
, ^, cos'r p /i' — sin'i
(i5) Ç = np
cos*t n cos'/
Les deux lignes focales ne sont sensiblement à la même distance p = q = np du point M que si les angles i et r sont extrêmement petits. Une surface plane n'est donc pas aplané tique par réfraction et ne donne de bonnes images d'un objet que pour des rayons très voisins de la normale.
Comme le rapport
d(i — /•) cosf
di n cos r
est toujours positif pour n > i et augmente avec la valeur de «, la réfraction i — r du rayon croît avec l'angle d'incidence et d'autant plus rapidement que le rayon est plus écarté de la normale.
66. Prisme. — On appelle prisme en Optique un milieu terminé par deux plans S et 2' {Jig> i'])- La droite d'intersection de ces plans est Varête du prisme, l'angle du dièdre qu'ils forment est V angle du prisme et la section droite du dièdre est la section principale du prisme.
En outre, le milieu est habituellement limité par une face Bff parallèle à Taréte A, qu'on appelle la base du prisme, et par deux sections perpendiculaires à l'arête.
Considérons un point lumineux S et supposons que les rayons
sont très peu écartés de la section principale menée par le point S, que nous prendrons pour plan de figure.
Pour un faisceau incident SMM' don t^ le rayon moyen est dans le plan de la figure, la seconde réfraction donnera encore, par raison de symétrie, une ligne focale perpendiculaire au plan de figure située en un point O' et une ligne C'Gj située dans ce plan.
Soient e la distance MM', / et i les angles du rayon MM' et du rayon réfracté correspondant M' S' avec la normale à la face de sortie S'. On obtiendra la distance WC! = p' en remplaçant dans les
équations précédentes p par/? -j- e et /i par -j ce qui donne
La distance q' = M' O' s'obtiendra, de même, en remplaçant p par q -{-z^ n par -j i et r par r' et i'\ il en résulte
, q-\-z cos*t' cos'r cos**' e cos-/'
q rzz ~ -, ■=. p 1 •
n cos*r ^ cos*t cos*r' n cos'r'
Lorsque la distance e est très petite par rapport à la distance p, c'est-à-dire quand la réfraction se fait au voisinage de l'arête du prisme, il reste sensiblement
On voit par le triangle MM' A' que la somme des angles r -h /' est égale à l'angle A du prisme.
67. Déviation du rayon, — Le rayon a tourné de l'angle i — r à la première réfraction et de l'angle i! — /•' à la seconde. La déviation D du rayon réfracté M' S', par rapport au prolongement MSi du rayon incident, est donc
Le rayon émergent se rapproche ou s'éloigne de la base du
cos'r
ces'/'
cos* i
ces* /•'
■ .-..^Aiiau.:.^.^....
8o CHAPITaE II.
prisme suivant que l'indice de réfraction relative n est plus grand ou plus petit que l'unité.
Lorsque les angles i et i' sont assez petits pour qu'on puisse remplacer la loi de réfraction par la relation simple £= /ir, ce qui suppose que Tangle A est également très petit, la déviation
Di(/i — i)(r -+-/•') - (/i — i)A
est indépendante de Tangle d'incidence et proportionnelle à Pangle du prisme.
D'une manière générale, la déviation dans un prisme est une fonction symétrique des angles i et i ou des angles r et r' correspondants. Comme la somme r-i-r' est constante, cette déviation passe par un maximum ou un minimum quand les angles r et r
sont égaux entre eux et à — ; le rayon intermédiaire MM' est alors
perpendiculaire au plan bissecteur de l'angle du prisme. Des relations
isini r3 n sinr, smr = nsinr j
on déduit, par addition,
, i-\- i i — i . r-h r r — r sin cos = n sin ces y
équation que l'on peut écrire sous la forme
. A-^D sm
cos
n sm —
Le second membre de cette équation passe par une valeur minimum égale à l'unité pour i = i'] car, si l'angle i est le plus grand des deux angles i et i', on a (65)
et, par suite,
L'égalité des angles i et i^ (ou /- et /•') correspond donc à un minimum de déviation.
SYSTÈMES OPTIQUES. 8l
Il en serait de même pour /i < i , la déviation étant comptée de l'autre côté du rayon incident.
Pour le minimum de déviation, les équations (i6) donnent q'z=p' z=i^'^ l'angle apparent de deux points voisins situés dans une section principale reste le même après la réfraction, et le prisme constitue un système aplanétique. L'image d'un objet de petites dimensions apparentes est alors la même que si les rayons s'étaient réfléchis sur un miroir plan passant par l'arête et perpendiculaire au plan bissecteur de l'angle du prisme.
Il y a des cas où les aberrations d'un prisme n'ont pas d'inconvénient grave. Si l'objet est, par exemple, une fente recliligne parallèle à Taré te du prisme, on obtiendra encore une image nette en observant la ligne focale O' parallèle à l'arête du prisme, laquelle est toujours à la même dislance p que la source.
68. — Les prismes sont souvent utilisés pour déterminer l'indice de réfraction de la matière qui les constitue.
Dans le cas général, on peut mesurer l'angle A du prisme et les angles i et /', ou remplacer l'une de ces dernières mesures par celle de la déviation D qu'il est plus facile d'observer.
Le calcuLde l'indice peut se faire alors de plusieurs manières. Si l'on élimine, par exemple, l'angle rentre les équations (17), après avoir remplacé r' par A — r, on obtient
sini'-r- sin« cosA\* sin^/ -f-sin*i'-h asinif sini' ces A
n} =: sin't 4-
sinA / sin'A
Pour le minimum de déviation, l'expérience se réduit à la mesure des angles A et D, car on a simplement
sm
sm —
69. Prisme à gaz. — Lorsque l'indice de réfraction diffère très peu de l'unité, si l'on pose n =: i -h [a, l'équation
sin« = (1 -h |jl) sinr
donne
UL sm r zn sin i — sin r nz 2 sm ces
Sx CHAPITRE II.
OU sensiblement. la rotation i— r du rayon étant très petite,
/ — rzzz [xtangr.
La réfraction à la sortie donne, de même,
i' — /•'==! [xtangr'j et la déviation est
r^ / /s sinA
D 1 : ix(tang/- -\- tangr ) — {x
ces r cos r' *
cette déviation a pour valeur minimum
^ sinA A
D"|x =:2fxtang-.
cos* —
I^a direction des rayons incidents peut alors varier dans des limites très étendues sans que la déviation change d'une manière appréciable. Lorsque Tangle A, par exemple, est égal à lao*, le produit cos r cos r' ne diffère pas de o,o3 de sa valeur maximam
cos^— 9 quand la direction des rayons incidents fait un angle de
5" avec celle qui correspond au minimum de déviation.
Telles sont les conditions du prisme à gaz.
Cet appareil se compose habituellement d'un tube large, coupé par deux faces obliques à Taxe, que l'on ferme au moyen de lames de verre à faces parallèles; une tubulure latérale permet d'y faire le vide ou d'y introduire un gaz quelconque, dont les conditions physiques, température et pression, sont déterminées. La déviation D donne directement l'excès [x sur l'unité, positif oo négatif, de l'indice de réfraction du gaz par rapport à l'aîr extérieur. D'une manière plus générale, le changement de direction du rayon, d'une expérience à une autre, est simplement proportionnel à la variation correspondante de l'indice de réfraction.
70. Cas généraL — Le problème de la réfraction dans un prisme est plus complexe lorsque le faisceau incident n'est pas perpendiculaire à l'arétc. Si Ton mène par un point des parallèles aux rayons, on voit d'abord que les rayons réfractés à la première surface sont compris dans un cône circulaire autour de la normale N, dont le demi-angle 8 au sommet est donné par la condi-
STSTËHBS OPTIQUES. 33
tion n sin9 ^^ i . Les rayons ne peuvent sortir de la seconde face que s'ils sont compris dans un cône de même angle autour de la normale correspondante N'. Tous les rayons intérieurs sont silués dans la porlion commune à ces deux cônes. Comme l'angle des normales N et N' est égal à i'angle A du prisme, il ne peut exister de rayons émergents que si l'on a A>>29 ou sin— >■— -
Traçons une sphère de rayon égal à l'unité et menons par le centre des droites parallèles aux difTérenies directions, comptées dans le sens de la propagation; chacune d'elles sera représentée par un point de la surface sphérique.
Soient N et N' {fig- 38) les normales aun faces d'entrée et de
sortie: le plan NON' représente la section principale, l'arc NN' l'angle A du prisme et 00' l'arête du prisme ; S étant la direction des rayons incidents, S' celle des rayons réfractés, l'arc de grand cercle SN est l'angle d'incidence i, S'N' l'angle i* à la sortie, RN et RN' les angles r et r' du rayon intermédiaire avec les normales aux faces d'entrée et de sortie. Les plans menés par l'arête 00' et les points S, S' et R coupent la section principale aux points P, P' et Q; nous appellerons /i, A' et k les angles SP, S'P eiRQ de ces rayons avec la section principale, x, x' ely les angles CP, GP* et CQ de leurs projections sur la section principale avec la bissectrice OC de l'angle des normales.
En appelant sp l'angle SNN', les triangles sphériqiies rectangles SNP et RNQ donnent les relations
sini-
sin/j
8i CHAPITRE II.
c'est-à-dire
(i8) sin/j = /i sin^.
Comme le plan NON' pour la première réfraction est un plan quelconque passant par la normale Nà la surface, il en résulte le théorème suivant ( * ) :
Théorème I. — Les angles des rayons réfléchi et réfracté avec leurs projections sur un plan normal à la surface de séparation de deux milieux suivent la loi de réfraction.
Les triangles rectangles S'N'P' et RN'Q donnent, de même,
sin/i'=: /isinA*;
Théorème II. — Dans un prisme, le rayon incident et le rayon émergent sont également inclinés sur la section principale.
Les angles de ces deux rayons avec Taré te sont respeclivemeot complémentaires des angles h et //', c'est-à-dire égaux entre eux.
Le rayon réfracté deux fois dans le prisme se comporte donc comme s'il s'était réfléchi sur Taréle du prisme ou, plus exactement, sur un plan passant par cette droite.
La direction du rayon primitif étant déterminée par les angles h et x^ si Ton représente par 2 a l'angle A du prisme, les mêmes triangles donnent
cos/— j cos/t cos(a-i-x)y
cos /• ^- cos A* CCS ( flr -H r ; ; (19) {
ces r' -- CCS A ces {a — y ) ,
cosi' = cos/icos(a H-- ^').
En tenant compte de l'équation (18) et de la loi de réfraction, on peut ainsi déterminer successivement les angles 1, r, v, r', / et x'.
(') Bravais, Journal de l'École Polytechnique y t. XVIII, p. 79; 1845,
On a aussi
d'où
tang ( a -h or ) = tan g i cos o, tang(a -\- y)^i tangr cos^,
tang(a-Ha:) tang« /icosr
tang(a-|-/) tangr cos«
et, en tenant compte des équations (19),
sin(a-|-j?) ncosk i/n^ — sin-h
f 20 ) =1 nn *
sin(a-Hj') cosA cosA '
on obtiendrait de même
sin(a-|-J7') n ces k sin{a-hx)
sin(a — /) cosA sin(a-i-j^)
Tant que l'angle h est très petit, on a sensiblement
sin(aH-a7) sin(a-\- x')
sin{a -^ y) sin(a — y)
Dans ce cas, la loi de réfraction s'applique aux projections des rayons sur la section principale et l'angle x' ne dépend que de l'angle x. Lorsque les rayons incidents sont situés dans un plan parallèle à l'arête, les rayons émergents qui leur correspondent sont aussi sensiblement dans un même plan.
La déviation D du rayon est représentée par l'arc de grand cercle SS'. Le triangle isoscèle SO'S' donne
sin — 1= ces n sin •
Pour une valeur donnée de A, cette déviation est une fonction symétrique des angles x et x' et, par suite, des angles i et i'. Elle est minimum quand j? = ^, c'est-à-dire y = o, ce qui donne
avec la condition
sin — =z cosn sm J7,
. , , ncosk .
s\n(a -{-x) z=i — sin a.
cash
