Lorsque tous les angles dièdres sont égaux, on a
Dans ce cas, les angles r, rj, r^^ ... sont égaux entre eux, ainsi que les angles r<, r3, /•5, . . . .
Si le nombre des réflexions intérieures est impair, Fangle H est d'ordre pair et égal à r; les angles i et /' sont aussi égaux entre eux, et il reste simplement
D = 2I4-/?t: — (^ -hi)A.
La déviation est indépendante de la nature du prisme et de la nature de la lumière; elle est la même que si le rayon éprouvait une seule réflexion sur une surface plane P parallèle aux arêtes, et faisant un angle (f avec la face d'entrée.
L'angle du rayon incident avec ce plan est f -h « , ce qui
donne la condition
D =2( cp-4-« j=z2«4-/?'ic— (/?-M)A,
La direction du plan fictif de réflexion est donc indépendante de la direction des rayons incidents.
Le prisme se comporte alors comme un miroir, et cette propriété est indépendante de la direction de la lumière. En efl'et, pour une seule réflexion, si la projection du rayon incident sur la section principale fait avec la normale à la face d'entrée l'angle a + ^, la projection du rayon réfléchi à la seconde face fait avec la normale comptée vers l'intérieur du prisme l'angle a — y^ la valeur de y étant donnée par l'équation (20), et avec la normale à la troisième face l'angle 2a — (a — y) = a-^y] par suite, l'angle d'émergence sera le même a-h:r que l'angle primitif, et ces deux directions seront également inclinées sur le plan P. Comme, d'autre part, les rayons incident et émergent font le même angle h avec] la section principale de part et d'autre, tout se passe comme s'il y avait simplement réflexion sur un plan P. Il en serait de même pour un nombre impair quelconque de réflexions intérieures.
Avec un prisme dont la section est un triangle isoscèle, par exemple, le plan fictif P de réflexion unique est parallèle à la base; car on a, pour /> = i ,
cp :=: A.
En choisissant l'angle A et la direction des rayons incidents de manière que la réflexion soit totale, on obtient ainsi l'équivalent d'un miroir dont la surface réfléchissante est inaltérable et qui donne beaucoup d'éclat aux images. Ces prismes à réflexion totale sont très souvent utilisés.
Si le nombre des réflexions est pair, l'angle r' est d*ordre impair et égal à /'< ou A — r. La déviation D est alors une fonction symétrique des angles i et i' , ou des angles r et r' dont la somme est constante, et cette déviation passe par un minimum pour r=H; elle dépend de l'indice de réfraction et, pour un même rayon incident, varie avec la couleur de la lumière.
73. — Dans un prisme dont la section est un triangle équilatéral, par exemple, A = -■' La déviation pour un nombre pair de réflexions prend les valeurs suivantes
elle correspond à des directions pour lesquelles les différentes couleurs, issues d'un même rayon de lumière blanche, sont séparées les unes des autres.
Pour un nombre impair de réflexions, on a
les directions correspondantes donnent un rayon blanc.
74. — Supposons encore, dans le cas de deux réflexions, que les angles A^ et A3 soient égaux ^ on déduit des relations (ai"^
Tj-h r'= A, ou
/• -+- r' iiT 2 A I — Aj.
Si l'on a 2 A| = Aa, c'est-à-dire si le second angle est le double du premier, il en résulte r -h r'= o, par suite i + i'= o, et la déviation est
D = 2ir — (2A1-4- Aj).
Cette déviation est constante et égale à l'angle B que font entre elles les faces d'entrée et de sortie.
Un prisme ainsi constitué équivaut encore, par réflexion double,
à deux miroirs plans (59) dont l'angle w est égal à — ; les images
sont identiques aux objets et la déviation est indépendante de la direction des rayons incidents.
75. Lame à faces parallèles, — Pour obtenir la réfraction produite par une lame à faces parallèles d'épaisseur e (Jig' Sg), il suffira, dans les calculs relatifs à la réfraction par un prisme, de faire A = o et, par suite, /'= i et r^ ^= r.
Fig. 39.
La source étant en S, l'une des lignes focales est perpendiculaire à la lame et située en C; l'autre ligne focale O' est perpendiculaire au plan moyen de réfraction du faisceau, et l'on a
f\i\iit I . ^ ces*/
n ces*/*
La distance des deux lignes focales O' et C! sur le rayon émergent est
GO-=p'-q'=-(.-
ces' i ces*/'
71 ces r
ces' i cos*/*
go GHAPITRB II.
Cette distance est très petite pour les lames peu épaisses, de sorte que les ondes émergentes sont sensiblement sphériques. La distance k' de la ligne focale O à la face inférieure est
, , , , . ces i , cos i
k'=z (k-^e) =ih-he >
ncosr ncosr
ce qui donne, pour la distance de la source S à la ligne focale C.
SC'=h-he--k'=ze(i- -^^^).
\ ncosr/
Le déplacement latéral du rayon a pour expression , comme on Ta vu déjà (41),
w . ,. . sin(f-— r) . ,/ cosi \
L = ÊSin(i-— r) = e — ^ = esini{ i i ;
cosr \ ncosr/
on en déduit
cos* i
esinij /i* — sin*t
équation qui permet de déterminer Tindice de réfraction n par h mesure des quantités e, L et i.
Supposons encore qu'après s'être réfractés sur la face supérieure de la lame les rayons se réfléchissent sur la face inférieure pour retourner dans le premier milieu par une nouvelle réfraction.
La ligne focale de première espèce C, fournie par la première réfraction, est à une distance de la face inférieure égale à A* -f-e; son image par réflexion est à une distance de la face supérieure égale à A* + 2e et la réfraction la ramène à la distance
, , ^ cos i , cos i
{k-h 2e) izz A -+- ae
ncosr ncosr
La distance de la source S à cette figure focale C| est
en II. ^^S*
SGi =: 2 A h e
ncosr
La direction des rayons est la même que s'il n'y avait qu'une seule réflexion sur un miroir fictif situé dans la lame à une pro-
f. j COS£
fondeur e •
ncosr
La ligne focale C se trouve à la distance np du point M, i la
SYSTÈMES OPTIQUES. Ql
distance np + e du point M', et sa distance au point M'' où le rajon réfléchi revient à la face supérieure est n p H- 2 £ ; après la nouvelle réfraction, cette distance devient
CiM*' = - (np 4- 2e) i:^ p 4- 2 — /i ' ^ n
Pour les lignes focales de seconde espèce, la distance OM' est 9 -f- e; son image par réflexion est à la distance (jr -h 2 e du point M"; après la nouvelle réfraction, la distance de cette ligne focale 0^ au point M'' est
i-. »«» / s cos'i e cos-f
0,M'' = (ûr -i-2e) — =zp -h2 r- .
^ ncos*r ^ n ces'/*
La distance des lignes focales 0| et C| est donc
ry r^ e / ces* A e r cos*/n
Cl Oi = 2 - I 5- = 2 I r- >
c'est-à-dire double de celle qui correspond aux rayons transmis.
Tel est le cas des miroirs ordinaires formés par une lame de verre étamée ou argentée sur sa face postérieure. Les images ne sont sensiblement aplanétiques que pour des rajons très voisins de la normale.
Ces miroirs donnent aussi, surtout quand on les observe très obliquement, une série d'images différentes : la première est faible et provient des rayons réfléchis sur la face antérieure, la seconde très brillante est fournie par réflexion sur la face métallique; les suivantes, qui sont de plus en plus pâles, sont formées par des rayons qui ont subi un nombre impair de réflexions sur les deux faces de la lame.
76. Dispersion de la lumière. — Lorsque la lumière émise par la source n'est pas homogène, les difl*érentes couleurs qui correspondent à des valeurs particulières de l'indice de réfraction n se séparent ou se dispersent dans la réfraction sur une surface et, à plus forte raison, dans leur passage au travers d'un prisme.
Si l'on prend comme source une fente S parallèle à Tarête du prisme, les images de la fente correspondant aux lignes focales O' et relatives aux difliérentes couleurs sont d'autant plus distinctes
les unes des autres que la fente est plus étroite; la lumière est étalée en spectre. La déviation est généralement croissante ponr les couleurs disposées dans Tordre suivant : rouge, orangé, jaune, vert, bleu, indigo et violet.
Remarquons d'abord que, si l'on observe dans le plan des lignes focales O', le spectre ne sera bordé nettement sur les côtés perpendiculaires à la fente que si le prisme est au minimum de déviation pour les couleurs considérées, quoique les lignes parallèles à la fente soient toujours très distinctes.
Il est important d'examiner dans quel cas la séparation des couleurs par un prisme sera la plus complète.
Pour un angle d'incidence i donné, si n et n-hdn sont les indices de réfraction relatifs aux longueurs d'onde X et X -f- Jk, i' et i'h- 8t' les angles des rayons émergents avec la normale à la surface de sortie S', le changement de déviation 8D, quand on passe d'une longueur d'onde à l'autre, est St'.
Les relations (17), avec la condition
Xz=:zr-{- r', donnent alors
o — dr -]- dr\
o ■:— n ces r dr -f- sin r dn,
cosi' Si' 1= n CCS r' dr' -h sin r' dn.
On en déduit
cosr
tCOS^
ces /•
i' 8t' z= ( sin r 4- sin r' 7 ) dn
\ cosr/
( 22 ) an =- a/'= -^"-^ dn,
ces r ces f' expression qui devient, pour le minimum de déviation,
. . sin — ^ siiiA , 2
oD -—- . an rz: 2 — : dil.
ces
— i / I — /l'sin' — i/i — /i*sin* —
On voit que, dans le cas général, Vangle de dispersion 8D de deux couleurs voisines n'est pas indépendant du sens dans lequel
la lumière traverse le prisme^ cet angle de dispersion est d^autant plus grand que Tangle A du prisme est plus grand (à la condition toutefois que les rayons ne subissent pas la réflexion totale) et que le produit cos/*cost' est plus petit.
Comme l'angle /* est inférieur à - si /? > i , la condition du
maximum de dispersion serait réalisée pour i = -t c'est-à-dire
pour la réfraction rasante à la sortie du prisme.
Toutefois la pureté des images diminue alors par suite des phénomènes de diffraction (31), parce que, pour un même faisceau incident, la largeur du faisceau émergent diminue quand on se rapproche de Tincidence rasante.
Si L est la largeur, perpendiculairement à Tarête, de la surface S du prisme utilisée par le faisceau incident, \J la largeur correspondante de la surface de sortie, la largeur du faisceau dans
le prisme est
Lcosr = L'cos/'
et celle du faisceau émergent est L'cos/'. En recevant ce faisceau sur un appareil optique, Tangle apparente, dans le plan de dispersion, de rimage d'un point ou d'une fente infiniment étroite est en raison inverse de la largeur du faisceau, et l'on peut écrire
^ ,., eL' sin A ,
ai =^ —. an .
L' ces i' k cos r
La séparation des différentes couleurs est d'autant plus parfaite
di' que le rapport — est plus grand; il faut donc que le rapport
L'sinA L sin A . ,
■ ou 7- ait une valeur maximum.
ces/* cosr
On retrouve ici la propriété générale du retour des rayons, car pour un faisceau dont le trajet est déterminé le résultat est indépendant du sens de la propagation.
Pour un prisme donné, la condition la plus avantageuse correspond à la valeur maximum de l'angle r ou de l'angle z*', c'està-dire à rincidence ou à la sortie rasante.
Cependant on est bientôt arrêté dans la pratique, quand on cherche à s'approcher de cette limite, parce que les défauts des surfaces et de la matière du prisme ne tardent pas à déformer les
images et à faire perdre le bénéfice que Ton pourrait trouver dans Taccroissement de dispersion.
Dans la plupart des cas, il est préférable d'utiliser le prisme ao voisinage du minimum de déviation. C'est alors que les défauts des surfaces ont le moins d'inconvénients et que les rayons parcourent dans l'intérieur du prisme le moindre trajet. Comme le système est en outre aplanétique, le réglage est plus facile, surtout si l'on prend plusieurs prismes successifs, disposés dans le même sens, pour ajouter leurs dispersions.
77. Systèmes de prismes. — Supposons qu'un faisceau de rayons traverse une série de prismes parallèles. Désignons parles indices i , 2, 3, • . . , /n les quantités relatives aux prismes successifs, par af l'angle de la face de sortie du premier prisme avec la face d'entrée du second et, de même, par a2, aj, ..., a^^^ les angles analogues pour les prismes suivants.
La déviation du rayon est la somme des déviations produites par chacun des prismes et peut s'écrire
D ~ 2(e -+- e'— A) = 2:(/-h «*') — SA. Les relations
donnent, par addition des termes membre à membre, par suite,
D=z£,4- l;n 4- 2a— SA.
Si l'ensemble des prismes constitue un système de forme in' riable, la déviation est encore minimum pour la condition
(24) dii ^-di,nZi:^ o,
et l'on
déduit
des
éqi
iations (2
dr.
di^
dh
\ dV^.,
dim
D*aulre pari, on a, pour chacun des prismes,
dr 4- dr' =: o,
ces i di zzz n ces r dr,
cos i' di' =1^ n ces r' dr' ;
, ^^ cosi ,. côsi' ...
(26) di-i .di'zzzo,
cosr cosr
cos /* cos î'
En désignant par /le facteur — -: , , on obtient ainsi succes-
° r • çQgj cosr
sivement
û^^i 4- /i ûf/i = o,
dii-^ fidi^ z=o,
ou, en tenant compte des équations (24) et (aS),
dii=fidiiy dii=fidiiy
il en résulte
(27) ^—f\flfi"Jm'
Telle est la condition du minimum de déviation dans le système ; cette équation (27) permettra de déterminer l'angle d'incidence initial e'i correspondant en fonction des données du problème.
Si les dimensions du système de prismes sont négligeables par rapport à la distance de la source, la ligne focale de première espèce C se trouve toujours à la même distance /> = p que la source; la distance q de la ligne focale de seconde espèce O s'obtient, d'après l'équation (16), en multipliant p par le produit des carrés des facteurs f pour le passage dans les prismes successifs. Ce produit étant égal à l'unité, d'après l'équation (27), il en résulte
Le système des prismes est donc encore aplanétique pour le minimum de déviation.
gG CHAPITRE II.
Si tous les prismes sont identiques et tous les angles a égaoi entre eux ou, plus généralement, si le système est sjmétriqoe par rapport à un plan médian parallèle aux arêtes, il est évident que les rayons doivent traverser normalement le plan de symétrie pour le minimum de déviation.
78. — Dans le cas de deux prismes, la condition (27) du minimum de déviation se réduit à
La dispersion du premier prisme est (76)
sinAi ,
ùi. ^ -, an*,
* cosricosfj
La dispersion dans le second prisme se compose du terme analogue ; — ^-^drtty auquel on doit ajouter le changement de
COS /'j COSiâ
déviation produit par la variation di^^ —T^i[ de l'angle d'incidence, c'est-à-dire, d'après l'équation (a6^,
I ^., rose, ces/-', sinAi , --ôi-=z rf- -,aniy
f^ * COS/'j COSIj COSTiCOSÏ!
de sorte qu'à la sortie du système la dispersion des deux rayons
considérés est
^rx ï / • 4 ^ cos/jcosr, . 4 . \
oDi=: ., sinA*a/i,H n-smAja/i, ).
cosrjCOstj\ " cosr, cosii /
Si les deux prismes sont identiques, ils constituent ce que Thollon (*) appelle un couple; le minimum de déviation a lien quand le rajon intermédiaire est perpendiculaire au plan bissecteur de Tanglc a des faces en regard. Dans ce cas, les conditions
. , . , . I /» ces I. cos ri ,
il = i, et f , = fo montrent que le facteur i = 1 et la
* * ^ cosr|Cos«,
dispersion est
^^ 2 sin A , 2 sin A ,
oD z r, an 1^ r an.
COS t\ cos £ j COS r j cos i|
Lorsque les angles A ou a sont choisis de façon que l'entrée cl
(•) TiioLLON, Journal de Physifjue, l. VII, p. i'|i; 1878.
SYSTÈMES OPTIQUES. (j-
la sortie des rayons dans le système soient normales aux faces correspondantes, les conditions «', = zj = o, r\ =:= r^ = A donnent
oD = 2 tangA dn.
Dans la région du spectre voisine du point qui correspond au minimum de déviation, la dispersion est alors proportionnelle à la variation de Tindice de réfraction 5 on peut dire que le spectre est normal par rapport à Vindice.
79. Prismes inverses. — Les considérations qui précèdent s^appliquent à tous les cas, si Ton donne aux différents angles des valeurs positives ou négatives.
Pour deux prismes parallèles dont les angles réfringents A, et A2 sont dirigés en sens contraires, il suffira de changer les signes des angles Aj, i^ et i^ et la déviation devient
D = /, — /j -ha — A| -h Aj.
Lorsque tous les angles sont très petits (67), cette relation se
réduit à
D — (/^, — i)Ai— (/i,— i)A,.
Plusieurs cas sont utiles à signaler :
1" La déviation est nulle quand on a t. (28) il — /j:^A, — A* — a.
Comme Tangle 1.^ est une fonction de l'angle d'incidence /, et des données relatives aux deux prismes, cette équation définit la direction primitive du faisceau, à la condition toutefois que le problème soit possible.
Pour des angles très petits, on a simplement
(//, — i)A, = (//,— i)Aj.
1^ La dispersion relative a une variation cTk de longueur d'onde est nulle pour la condition (78)
sinA] dn^ sinAi ^'^
cos/jcos/'j dt. cos/'iCosTi d\
La dispersion du prisme composé est alors nulle; le prisme M. — I. 7
ij8 cil VPITRE II.
est dit nrhromaliqiic pour le-* nijons donl la long^ueiir d'onde rsl voisine de a.
Dans ce cas, la déviation passe par un maiimuin ou un miaimtim relatif à la longueur d'onde /.. [^i dispersion croil ou décroît avec la longueur d'onde pour les rayons donl les longueurs d'onde sont <*ituées de part et d'autre de a, tandis que la déviation varie dans le même sens pour tous les rayons. En d^autres termes, le spectre est replie sur lui-même à partir des rayons \ et, pour toute autre direction, deux ravons de natures difTéren tes se trouvent superposés.
Si Tachromatisme a lieu pour les rayons jaunes, par exemple, ri mage d'une fente sera bordée de jaune d'un côté el, de l'autre, par une teinte pourpre provenant de la superposition des rayons rouges et violets. On obtient ainsi un spectre secondaire, dont l'ouverture angulaire est en général très petite, de sorte que le svsti*me est sensiblement achromatique pour toutes les couleurs et donne des images à peu près blanches^ quoique les rayons éprouvent une déviation notable.
On peut réaliser cette condition d'achromatisme, soit avec des
prismes de même nature dont les angles réfringents A| et A|el
l'angle intermédiaire a salisfi^ront à Téquation (ag), soil plutôt
avec des prismes de natures diflTérentes pour lesquels les dérivées
(In, flui ^ , I . » • ' 1
--.. - et —77- ont des valeurs très inei;ales.
Avec trois prismes dillerenls alternativement en sens contraires, on peut établir l'égalité de déviation pour trois rayons distiucU. Dans ce cas, la déviation a un maximum et un minimuoi en fonction de la longueur d'onde; le spectre est replié deux fois sor lui-mrine. L'image d'une fenlc étroite donnerait alors un spectre trrliaire d'étendue encore plus faible. Si le maximum et le minimum de déviation ont lieu, par exemple, pour le jaune et le blni, l'image (run<* frnlr' élrniie serait bordée d'un coté parles ni\ons d'extrême rouge el de l'autre par ceux du violet.
l/eniploide /;* prismes permet d'égaler la déviation de m rayons dilléreiils et donne un spectre de ni*'"'^ ordre; la perfection de raeliromatisme croît ainsi avec le nombre des prismes.
l/acliromatisme ^'obtient habituellement avec deux prisroesde natures difFérenles, l'un en rrruvn (verre à base d'alcalis, pendis-
persif), qui produit la plus grande déviation, etTautre en Jlint (verre à base de plomb, très dispersîf), d'angle plus faible, qui réduit la dispersion sans annuler la déviation.
Lorsque les angles des deux prismes sont très petits, la condition d'achromatisme se réduit à
A|^//ii =: Aj dn^,
La déviation est alors proportionnelle à -^ * — ; pour
qu'elle ne s'annule pas, il faut que la dispersion soit différente dans les deux, prismes, c'est-à-dire qu'on ait
drii ^ dfif i — i^ fit
iii — I ^ /i, — I
On appelle souvent pouvoir dispevsif d'un milieu le rapport
> dans lequel /i' et til' désignent les indices de réfraction des
rayons extrêmes, violet et rouge, et n l'indice de réfraction du rayon moyen. Deux prismes d'angles très petits ne peuvent être achromatisés, en conservant une déviation au rayon, que si leurs pouvoirs dispersifs sont différents.
3** On peut, au contraire, chercher à rendre la dispersion maximum, quand la déviation est nulle pour la longueur d'onde X. Si Ton se donne, par exemple, la nature des prismes et l'angle A^ du premier, l'équatioil (a8) établit une première relation entre les angles As et a.
L'expression
$D I /ces /•ces/' , . dn, . . dn^'
-pr == w- ^ sm Al -^ sm A^ -~
dk cosrjcos/j \cos/*iCos/, oA a/.
est alors une fonction de l'angle A2, ou de l'angle a, dont on égalera la dérivée à zéro. Cette seconde équation, jointe à la première, déterminera les angles A2 et a.
On obtient ainsi un prisme à vision directe, qui conserve la propriété de disperser la lumière.
L'angle a est habituellement nul, les prismes étant appliqués l'un sur l'autre et réunis par un collage, pour diminuer la perle
de lumicTC par les réflexions, et l'on choisit, pour les deux prismes, (les milieux dont les pouvoirs dispersifssont très difTérents.
Avec un prisme de flint et un prisme de crown qui donneDlli même déviation moyenne, il est clair que le spectre résultait provient de Texcès de la dispersion du premier prisme sur celle di second.
Un ensemble de prismes alternativement en flint et en crown et de sens contraires peut constituer un prisme résultant très dispersif a déviation nulle pour les rayons moyens.
80. Spertroscopic, — Lorsque Newton fit seF mémorables eipériences pour démontrer que la lumière blanche est composée dr couleurs distinctes ayant des réfrangibilités inégales, el que II superposition nouvelle des couleurs séparées par un prisme reproduit la lumière blanche, il indiqua les précautions à prendre, au point de vue expérimental, pour séparer autant que possible les rayons d^espèce^ différentes qui existent dans un faisceau dr lumière. La méthode consiste à Caire passer la lumière par nnr fente étroite dont on produit une image réelle avec une lentille convergente. On place ensuite sur le trajet du faisceau, près de la lentille, un prisme parallèle à la fente et on Poriente par tâloinements de manière que les rayons émergents soient au minimov de déviation. Sur un écran placé dans cette direction à la même distance que l'image primitive, on observe alors un spectre lortak par la succession des images de la fente relatives aux différente' radiations simples qui existent dans la lumière.
Los défauts d'homogénéité des verres dont se servait Newtoa ne lui ont pas permis d'apercevoir les particularités remarquable* qui existent dans le spectre solaire; mais il suffit aujourd'hui de répéter Texpérience dans les mêmes conditions pour constater l'existence d'une série de lignes noires, qu'on a appelées les rai» obscures du spectre, correspondant à des radiations qui n'existcal pas dans la lumière solaire ou du moins dont l'intensité est beaicoup moindre que celles des radiations voisines.
Ces raies ont été découvertes par Wollaston (* ). Fraunhofer(^)<
(') Wollaston, l'hil. Tranx. L. K. S., p. 3G.S: iSo*». (•) Frauxiiofkii, Oi/Ocrt's Ann., t. LVI, j». 2(j/| ; 1817.
SYSTEMES OPT 10 LES. lOI
qui cherchait dans le speclre des points de repère pour la mesure des indices de réfraction, les découvrit de nouveau par un mode d'observation plus délicat sur lequel nous reviendrons : il a désigné quelques-unes d'entre elles par des lettres {PL lyfig- »)• Nous y remarquerons, en particulier, la double raie D et le groupe des trois raies b,
Fraunhofer reconnut aussi dans les flammes ordinaires, et surtout dans la flamme de Talcool, Texistence d'une double raie brillante jaune, exactement à la position occupée par les raies D, indiquant ainsi Texistence de radiations spéciales d'une intensité exceptionnelle par rapport aux radiations voisines. Enfin les étincelles électriques produites entre des électrodes de métal donnent des spectres encore plus discontinus, formt';s seulement d'un certain nombre de raies brillantes; la lumière ne renferme alors qu^un nombre limité de radiations diflerentes.
Les beaux travaux de MM, Kirchhoff^et Bunsen (*) ont mis en évidence les relations des raies obscures du spectre solaire avec les raies brillantes des spectres de vapeurs métalliques; les raies D en particulier correspondent au sodium et le groupe b au magnésium. La composition de la lumière des astres et de celle qui provient des différentes sources artificielles, l'absorption élective produite par des milieux solides, liquides ou gazeux, la propriété dont jouissent certains corps de transformer les radiations qu'ils reçoivent et d'émettre ensuite des radiations différentes (phosphorescence et fluorescence) , etc., cet ensemble de phénomènes, qui constitue Vanaljse spectrale de la lumière, forme aujourd'hui une science nouvelle que nous ne pouvons pas aborder ici.
81. — La Photographie a montré que les radiations lumineuses sont capables, à des degrés très différents, de produire des réactions chimiques. On a pu, à l'aide de la photographie, étudier le spectre solaire au delà du violet et Ton y a constaté la même constitution, c'est-à-dire l'existence d'un grand nombre de raies inactives, dont quelques-unes ont été désignées par des lettres comme points de repère. Dans les spectres prismatiques de la
(«) KiRCHHOPP et Bunsen, Ann. de Chim. et de Phys., (3), t. LVIII, p. 254, t. LXII, p. 4^3> etc.
lumière solaire, la région ultra-violetle a ainsi une étendue à pea près égale à celle de la région lumineuse. Voijig. i, PL /, indique la position des principales raies du spectre lumineux et du spectre ultra- violet pour le rayon ordinaire du spath d'Islande, dans u prisme de 60°.
Les radiations plus réfrangibles sont sans doute absorbées par Tatmosphère, car les sources artiGcielles, particulièrement les vapeurs métalliques que Ton obtient dans Tare électrique, ontoo spectre cinq ou six fois plus étendu ( * ) et fournissent de nouveaui repères; la vapeur de cadmium est celle qui convient le mieoif parce qu^elle donne une série de raies intenses dans toute Tétendoe de la région observable.
Il est môme digne de remarque que Tœil est affecté par ces radiations extrêmes. Avec des précautions particulières, certaines vues peuvent distinguer les raies brillantes du cadmium aussi loin que la photographie est capable de les reproduire (*).
Les rayons lumineux sont en même temps calorifiques. SiToa promène un thermomètre très sensible dans un spectre prisraitique, à partir du violet, Télcvation de température, d^abord inseih sible, ne commence à devenir manifeste que dans le jaune; eOe augmente ensuite rapidement jusqu^au rouge extrême et conliDoe de se produire en dehors du spectre lumineux jusqu^à une disitanoe presque égale à celle du violet au rouge. On retrouve encore, dans cette région infra-rouge, des minima pour les radiations solaires et des niaxima pour les sources artificielles.
Les radiations observables s'étendent donc beaucoup audelàde la région qui aflecte Tœil; pour les radiations qui correspondenti une réfraction déterminée, les trois propriétés distinctes, chaleafi lumière et aclion chimique, ne sont que des manifestations différentes d'une même source dY»nergie, très inégales en apparencfi mais inséparables, et elles conservent les mêmes rapports dans loas les phénomènes.
L'impression lumineuse est un cHet physiologique qui dépend
(') Stokks, Phit. Tram. L. B. S., p. Sj^g: 18G.».
(») Mascaht, Comptes rend us de i 'Académie des Sciences, l. LX\Tfl» p. '|02; 18G9.
SYSTÈMES OPTIQUES. lo3
e la conslilulion de Tœil el ne peut servir pour évaluer Ténergie elative des radiations. Les actions chimiques sont elles-mêmes lectives; leurs rapports varient avec la nature et Télat physique es substances employées pour les révéler. Ces distinctions n'exisînt pas pour les expériences calorifiques ; il paraît donc légitime e prendre, comme mesure de Ténergie d'une radiation, la quantité e chaleur qu'elle est capable de dégager sur un corps en un temps éterminé.
Il est assez difficile de comparer entre elles les intensités lumieuses de deux sources qui n'ont pas la môme teinte. Fraunhofer
pu néanmoins, par une méthode ingénieuse, déterminer, au îoins d'une manière approximative, le rapport des éclats des diférentes parties du spectre solaire. Le maximum {PL I, fig, i) e montre dans le jaune un peu plus réfrangible que la raie 1) et,
partir de ce point, la lumière s'affaiblit rapidement vers les deux xtrémités du spectre.
Il n'y a pas lieu de tracer de courbe analogue pour les actions himiques, parce que les résultats varient dans de très grandes protortions avec la nature des corps soumis à l'expérience.
La courbe des intensités calorifi(|ues a été tracée d'après les xpériences de M. Langley ('); elle présente une série de minima 3calisés, par exemple en regard des raies C, B, a et A, qui corespondent sans doute, au moins en partie, à des effets d'aborption par l'atmosphère. La courbe enveloppe, marquée en raits pointillés, indique mieux la marche continue du pliénoflènc : le maximum du spectre lumineux a lieu j)Our les rayons es moins réfrangibles et le maximum absolu se trouve dans les adiations invisibles.
82. Spectre normal, — La loi de dispersion pour un milieu st la relation qui existe entre l'indice de réfraction et la longueur l'onde correspondante. Comme la longueur d'onde est plus petite lourle bleu que pour le rouge, la réfraction varie en sens inverse le la longueur d'onde pour la plupart des milieux.
Dans certains corps cependant on observe des dispersions dites
(•) Langley, Ann, de Chim. et de Phys., V série, t. X\IX, p. '197; i883.
anormales^ où la distribution des couleurs se fait en sens o traire; quelquefois même la déviation est maximum pour uiiec leur déterminée, comme dans les spectres secondaires que proc Tachromatisalion des prismes (79).
Les distances relatives des raies dépendent de la loi de disp sion, de sorte que la forme des spectres varie avec le corps sert à constituer le prisme.
Billet (*) désignait sous le nom de spectre type, et l'on app aujourd'hui normal, un spectre dans lequel la dislance des r est proportionnelle à la diflerence de leurs longueurs d'onde qui permet d'obtenir dans tous les cas une échelle uniform relation avec la nature physique des vibrations.
La fig, 2, PL I, indique la distribution des raies obscure la lumière solaire dans un spectre normal. Si on le compare le spectre prismatique, on voit combien les raies .sont plus i tées dans la lumière rouge, plus resserrées dans la lumière vio et surtout dans ruitra-violet.
La moindre longueur d'onde des radiations chimiques obseï pour le cadmium est d'environ ol*, 210; celle de la raie H à trémité du violet est 0^,396, celle de la raie A à la limite du r 01^,761 , et Ton peut voir jusqu'à la longueur d'onde ol^,8i. L'( due, dans un spectre normal, de la région ultra-violette ohs< jusqu'à présent n'est donc pas supérieure à celle de la rt lumineuse, et chacune d'elles renferme des longueurs d' dont les extrêmes sont à peu près dans le rapport de i à !i, c< constitue deux octaves successives.
Si l'on voulait représenter à la même échelle le spectre i rouge, il aurait une étendue considérable par rapport à cell spectre lumineux, car M. Langley a pu observer des radia calorifiques dont la longueur d'onde atteignait 2^^,80 poi Soleil et qui d<*passaient 5l^ pour les sources terrestres.
Il est logique de rapporter également les courbes d^intensi spectre normal et la déformation du système montre que les p d'intensité maximum se rapprocheront du violet.
D'une manière générale, si l'on représente par x la disi
(') Billet, Traité d'Optique y l. I, p. '17; i858.
SVSTÈ&IES OPTIQUES. lo5
d'une raie à un poinl situé du coté du violet dans un spectre quelconque, ^/Q la quantité totale de chaleur (ou de lumière) des radiations donl les longueurs d'onde sont comprises entre X et X -f- (Tk et qui sont situées aux distances x et j; -H ^j:, l'intensité dans
cette région peut être représentée par i =: -—-
Si le spectre est normal, on peut remplacer rfx par gTa; enfin, si les distances primitives x sont exprimées en fonction de l'indice de réfraction, l'intensité I dans le spectre normal pourra se déduire de l'intensité i relative à un spectre quelconque par Tune des relations
dQ lia: .dx .dx du
dx dX d). dn d).
les facteurs -jr, ou -^ et -^ j étant fournis par l'expérience (').
On voit sur la /ig, 2, PI, I, que la courbe des intensités lumineuses dans le spectre normal de la lumière solaire a son maximum à peu près à égale distance des raies D et E, et que le maximum des énergies calorifiques est situé cette fois dans le spectre lumineux, entre les raies B et C. Toutefois, cette dernière courbe indique seulement la marche du phénomène, qui dépend beaucoup des conditions de l'atmosphère, car M. Langley a donné depuis des nombres très différents et M. Mouton plaçait le maximum calorifique très près du maximum de lumière.
83. Réfraction sur une sur/ace sphérique, — Lorsque des rayons lumineux partis d'un point A, dans un premier milieu dont l'indice de réfraction est n, sont réfractés par une surface sphérique S (Jiff' 4o) de rayon R et de centre O, qui limite un second milieu dont l'indice est n', le faisceau réfracté sur un élément de surface rfS, au point M, a encore deux lignes focales, l'une A| A' sur l'axe AO, l'autre qui passe au point Ao et qui est perpendiculaire au plan moyen de réfraction AMO.
Nous supposerons immédiatement que la surface S est une calotte de la sphère et que la droite AO passe par le milieu C de la
(*) Mouton, Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. L\\\I\, p. 290; 1879.
loG
calolle, c'esl-à-dirc que le point A est situé sur Paore principal du système.
Soient
// et «1 les dislances OA et 0A| comptées respectivement vers les
deux milieux; h cl bi les distances MA et MA| ; i et i' les angles d'incidence et de réfraction; <.) l'angle MOC; a cl 7.x les angles MAO et MA| O.
Fi g. 4o.
On a, parles triangles MOA el MOA,,
par suite
sini sinw
sma
fl, />,
sin/' sinw
sina,
b a sin/'
na
bx Hi s'ini n'(ïi
Si Ton élimine de celte équation les longueurs 6et 6|, ou aetcif, à Taide de la relation
(3)' il reste
H=:acosco — hcosi - b^cosi'- a'cosco,
n ces i n' ces /'
I / •/ .. cosw
^ (/t cosr — /icosi) — Tj — >
/// cosi' — n ros/
bx b
On retrouverait ainsi les équations correspondantes relatives aux miroirs sphériques (60) en faisant /i'r=z — n et remplaçant ]\ par — R. •
On déduit aussi des équations (i)'
(6)' 6 sinanz 6j sina, := R sinto.
Les distances «i et bi varient avec Tangle to; leurs valeurs limites a' et fc', pour co = o, donnent
Rizz6'-a' et
cette équation détermine le foyer conjugué A' du point A pour les rayons voisins de l'axe.
Le point A2 se déterminera, de même, par la réfraction en un point M' infiniment voisin du premier et situé dans le plan de la figure.
On a encore dans le triangle MM'A2, en posant MA2= p,
R diù doi, diA — di
p cos(e'-+- di') cose'
Les relations (i/ donnent
R ces i di =1 a ces xd^x^zz a ces a ( e// — dix)),
et la loi de réfraction
n ces i diz=z n' ces i' di.
Il en résulte
Rcosi' /icost r/cosa /icose ^-hRcos/
p n' cosi' a ces a — R ces i n^ cosi' h
ou
n' ces- i' n ces' i n' ces i' — n ces i
(sy
Les différentes expressions qui précèdent permettront de calculer l'aberration longitudinale / = A,A'=a' — a^ et l'aberration latérale X = A'A''^= / tanga,. Le problème des aberrations de
lo8 CHAPITRE II.
spiiéricité csl beaucoup plus complexe que dans le cas de la réflexion. En outre, la déviation varie avec la couleur : il en résulte une nouvelle espèce d'aherrations, dites de réfrangibilitês, qui ont pour effet de colorer les images sur les bords. Il se présente (lonc^ uu point de vue pratique, une nouvelle difYiculté que Fod résout encore d'une manière approchée en combinant des verres dont les pouvoirs dispersifs sont très différents, afin d'obtenir des SN slèmes (tchromatiqucs (79).
8i. — Le cas le plus important à considérer est celui où les angles / et /' restent très petits; on peut alors remplacer la loi de réfraction par la relation plus simple /ji=:/i'i', ce qui revient à négliger le cube des angles / et i\ et il en sera de même pour Tangle to qui définit Touverture angulaire de la surface utilisée.
Si Ton néglige les aberrations, et qu^on appelle f et f les dislances du sommet C de Taxe aux points conjugués A et A' (yf^. 4 1), la relation (5)' devient
Il y a ici deux foyers principaux K et K' correspondant kf'^=.T. et y = X. Les distances V et F' du point C aux foyers principaux. c'est-à-dire les longueurs focales du système, sont
Fi-^-/'- h. F' -.-— H;
il en résulte
La relation précédente peut donc s'écrire
Appelant 'j et ^p' les distances des foyers K et K' aux points A et A', comptées vers les milieux respectifs, on a
et l'équation (9)' devient
(10)' oo':^FP= ^ ''''' R-.
85. — Un objet AB = 1 de petites dimensions, situé dans un plan perpendiculaire à l'axe, donne une Image A'B'= — F, également perpendiculaire à Taxe. Le point B' se trouve sur trois directions remarquables : Vaxe secondaire BO, le rayon réfracté MK' qui provient d'un rayon incident BM parallèle à Taxe, le rayon réfracté M'B' qui provient d'un rayon incident BR dirigé vers le premier foyer R. Les triangles MCR' et R'B'A' donnent
ou
/ w TF IF
Si l'on appelle — a' la limite de l'angle ai , pour tenir compte de ce que l'angle ai du rayon réfracté MA'' (J^S^- 4o) ^^^c l'axe A A' est compté au-dessous de l'axe, l'équation (6)' donne
Remplaçons enfin dans l'équation (i 1)' les longueurs focales F' et F par les indices n' et n qui leur sont proportionnels, et les distances /' et y* par a et — a', il vient
(12)' n'oL'V=nfil.
86. Sur/aces centrées sur un même axe, — Les rayons émanés d'un point A peuvent, après une première réfraction, rencontrer la surface de séparation d'un troisième milieu. Nous supposerons que les deux surfaces de séparation S| et Sa, de rayons R, et R2, sont sphériques, que le point A est situé sur la droite de leurs
I lu
centres 0| el O2 et que les portions utilisées de ces surfaces sont des calottes d'ouverture très petite dont les milieux sont sur la même droite, qui est Vaxe principal du système.
Soient /2|i ^2) ^3 les indices de réfraction des trois milieux successifs; R, et ¥l\ , R2 et R'^ (Jig. 4^) les foyers principaux relatifs aux surfaces S| et S2 qui coupent l'axe aux points d et C2.
Les longueurs focales correspondantes sont
Le point A donne une première image A| dans le second milieu et une image A' dans le troisième. On les obtient géométriquement par le tracé des images d'un point voisin B situé sur une même perpendiculaire à Taxe. La première image B, est donnée par le trajet des rayons BM'^ et BM* , dont l'un est parallèle à l'aie
Fig. 4?.
Sj
li'.
(*l l autre dirigé vers le loyer antérieur R|. Dans le second milieu, le rayon M", M!, se réfracte sur la surface S2 vers le foyer K!,; le rayon iM| B| qui passe par le foyer K2 se réfracte parallèlement à Taxe et sa rencontre avec le précédent donne la seconde image B'. Les foyers R et R' du syslèine résultant sont déterminés par les points 011 les droites BiM, etM'^IV coupent Taxe.
Les distances f 1 = Ri A et '^\ ^^ K\ \^ des foyers K, et K' au\ points A et A, et les dislances '^2^^ — l^a^i et f^ = — K' A' dc> foyers R2 et R'^ aux points A| et A' satisfont aux relations
SYSTÈMES OPTIQUES. Iir
En appelant D la dislance K2K', = K2A| — K',Ai = — îp2 — 'f, ,
on a
Les distances 4>^= K,K ou 4>' = K'Rj sont respectivement les valeurs de — Çi ou — (f'^ pour o'^ = 00 ou (pi = 00, ce qui donne
et Téquation (3 1) peut s'écrire
Les distances <p et cp' des fojers K et ¥J aux points correspondants A et A' sont <p = ç, + 4>, cp'= ç'^-f- 4>'. Remplaçant ç, et ç\ par ces valeurs dans Téquation (32), il reste
(33) <pç' = *4.'=t:iill^.
87. Plans principaux. — Un objet AB = I donne une première image A,B| = — 1|, et une seconde image A'B'= — F. On a, par la comparaison des triangles semblables BKA et C|KM|, CRaM, etCaKjMj,
cp KG, ~" F, — * r G, M, G, M,
V\ - K,C. ~ D - F, par suite,
^ '*^ ï - cp f; — D"~ cp i^D~ csD " f;f;'
Lorsque Tobjet AB se déplace parallèlement à Taxe, Timage A'B' est toujours dans l'angle B'R'A' défini par la marche du rayon BM", parallèle à l'axe; cette image, pouvant prendre toutes les grandeurs positives ou négatives, passe donc une fois et une seule par une valeur égale à l'objet. Si P et P' sont les positions des points conjugués A et A' satisfaisant à cette condition, nous appellerons F et F' leurs distances aux foyers R et R', comptées
rospeclivcmcnt vers le premier et le dernier milieu. Ces distances sont les valeurs que prennent — ç et — cp' dans FéqualioD (34) <|uand le premier membre est égal à l'unité; on a ainsi
En tenant compte des équalions (3o), il en résulte
F FiF, __ w, /i, /Il
Les équalions (33) et (34) deviennent alors
(:>3)' ??'r-zFF,
(3^V ___L — - z= 1- — 4 /-iî..
Les plans PM et P' M' jouissent de la propriété que deux points M et M' situes à la même distance de Taxe et du même côté sont conjugut^s. Ce s^onllcs plans principaux du système résultant.
On voit aisément sur la figure que rintersection M' des droites K'M'^ et BXest Timage du point M déterminé de la même manière par un rayon XB marchant en sens contraire.
Les valeurs de F et F' sont les longueurs focales du système; ces longueurs sont proportionnelles aux indices de réfraction des milieux extrêmes et toujours de même signe.
Les plans principaux sont donc situés dans Tintervalle des fovers principaux ou de part et d'autre de ces foyers.
Appelant enfin /et /' les distances respectives y-f-F et ©'-f- F' des plans principaux aux points conjugués correspondants A et A', on a, comme pour une seule réfraction,
IF
Lîi distance e des surfaces S| et Sa est
e := l-^; + F. -B = nJ -^- -■- -^- ) D.
SYSTÈMES OPTIQUES. Il3
En posant
VF — F. -^ F' — Fo -T- F'
la dislance A des foyers principaux K et K' est
Az=i^4-F,-hF;~4>-<ï>'^2F-D- - JAj±J:i£j .
La distance p = PP' des plans principaux est
ou, en remplaçant D par sa valeur en fonction de la distance e des surfaces,
par suite,
(36) p=ze — =5 ^ V =<?-
/ Bt B. \
88. Points nodaux, — Si Ton considère un rayon, partant du point A, qui fait successivement avec Taxe AA' dans les trois milieux les angles a, ai et a', on aura, d'après Téquation (i^/ appliquée successivement aux deux réfractions,
/2, al zz: /î, a, I| =z n^ a'I'.
Pour que les angles extrêmes a et a' soient égaux, c'est-à-dire que les rayons émergents soient parallèles aux rayons incidents, il faut qu'on ait
par suite, d'après l'équalion (34)',
Il4 CHAPITRE 11.
Les points correspondants N et N' sont les points nodaux da svstème. Comme on a PN = FN'-- F' — F, la distance NN' des points nodaux est égale à la distance p des plans principaux.
Le point C, image des points nodaux par rapport aux deux surfaces Si et So, est le centre optique du système. Quand un rayon TU est dirigé vers le premier point nodal N, il passe par le centre optique après la première réfraction et émerge ensuite en U'T' du second point nodal N', parallèlement à sa direction primitive.
Les triangles semblables CUN et CU'N' donnent
eu ~ cu' """ ce, "" ce, ~ c;g; '
89. Plans de Bravais, — M. Martin (') a désigné ainsi deux plans remarquables, signalés déjà par Bravais (^) et qui jouissent de la propriété de contenir en même temps l'objet et son image. n faut qu'on ait alors
Un point Q de Taxe, qui satisfait à cette condition, est luimême son foyer conjugué. En appelant ^ et ^ ses distances QK cl QK' aux foyers K et R', les équations
; ./ A=-F-^-F'-i /?, 77' FF',
qui sont symétriques par rapport à q et 7', déterminent deux points Q et Q' (^) à égale distance respective des foyers K et K'.
Si Tiin des plans perpendiculaires à Taxe qui passent par le» points Q et Q'contient un objet, il contient aussi son image: ce sont I e s /^ lan s de Bra va is .
Les distances 7 et 7' sont les racines de Téquation du second
degré
.r« - - \x -f- FF' ..-:: o.
Comme on a
