A^ 4FF' (F- -F')»-:-2/?(F~F
(') Martin, Annales de Chimie et de Physique^ (4), t. X, p. 4a6; 1867.
(-) HuAVAis, Annales de Chimie et de Physique, (3), t. XXXUI, p. 498" i835.
( ) ï'oints syinptoliques de Listing.
SYSTÈMES OPTIQUES. I l5
les plans de Bravais n'existent que si la distance p des plans principaux n'est pas comprise entre les racines toujours réelles de
l'équation
La distance des plans de Bravais b =^ QQ' est
^,î - A» — 4FF' = (F - F')» + 2/?(F H- F') -+-/?*.
Dans le cas d'une seule surface, les plans principaux et les plans de Bravais se confondent avec le plan tangent avec la surface S ( /?^. 40? ^^^ points nodaux et le centre optique avec le centre de courbure O. 11 en est de même pour la réflexion sur un miroir sphérique {/ig' 36).
90. Système résultant de deux autres. — Ou pourrait, en appliquant la même méthode, considérer encore le cas d'une nouvelle réfraction, et continuer de proche en proche, mais les résultats qui précèdent se généralisent sans difficulté.
Considérons deux systèmes optiques quelconques centrés sur un axe et séparés par un même milieu, dont les longueurs focales sont F, et F'^, Fj et F!j, les foyers principaux étant en K, et K', , K2 et K.J, et les plans principaux en P, et P, , P2 et P!, {/iff- 43).
Fig. 43.
Pi Ml
uV
En appelant D la distance K2K', , cp, et ^p!, les distances K, A et Ko A' relatives à deux points conjugués A et A' du système résultant, on a encore
cp
ri
IlG CHAPITRE II.
par la même transformation, on voit que les dislances o = KA et (p'= K'A'des foyers principaux du système résultant aux points conjugués A et A' satisfont à la relation
y^^) ?? — — gi
Si Ton mène le rayon BK qui passe par le foyer antérieur K et aboutit au point M| du plan principal P|, ce rayon émane ensuite du point M',, passe par le foyer K2 du second système, coupe en M2 le plan principal P2 et émerge parallèlement à l'axe en passant par le point M'^.
On a donc à comparer les mêmes triangles que précédemment^ avec cette seule différence que chacun des points M| et Mj de la première figure a été pour ainsi dire dédoublé en deux autres situés à la même distance de l'axe.
Le système résultant a deux plans principaux, en P et P, et les longueurs focales F = PK et F'= P'K', comptées respectivement vers les milieux extrêmes, sont
K— -LL* F'—fJLLî.
il en résulte
ç>cp' = FF',
et, en appelant n et n' les indices de réfraction des milieux extrêmes,
F' ~" n' ' On retrouve ainsi les mêmes équations générales
"1 ~ cp ~F'~" V n'o
pv F FF IF
En désignant par p^ et />2 les distances des plans principaux l\V\ etP2P'2 ^^^ deux systèmes proposes, la distance des fo3*ers
principaux K et K' est
et la distance des plans principaux p =: PP* du système résultant
Les distances des points nodaux N et N' aux foyers sont encore
«=:— P, cp'rz:— F.
Enfin les plans de Bravais seront déterminés par la même condition que précédemment.
91 . Couples de points conjugués, — Considérons encore, dans un système centré quelconque, deux couples de points conjugués deux à deux A et A', G et G', situés sur Taxe.
Si Ton désigne par H et H' les distances des foyers R et K' aux points G et G', par h et h' les distances AG et A' G' des points correspondants, ces distances étant respectivement comptées vers les milieux extrêmes, on a d'abord
IIH'nz^^'^FF'.
En y remplaçant ç et o' par leurs valeurs H — A et H' — A', on en déduit
Cette relation importante, dont Téquation (9)' n'est qu'un cas particulier, est souvent mise à profit pour déterminer les éléments des systèmes optiques (*).
92. — Remarquons enfin qu'un système centré quelconque, compris entre deux milieux d'indices n\ et ^13, peut être remplacé par deux surfaces sphériques.
Si Ton se donne, en efiet, l'une des longueurs focales F du
(*) La théorie des systèmes optiques que l'on vient d'exposer est due particulièrement aux travaux de Biot, de Gauss et de Listing.
1 l8 CHAPITRE II.
système cl la dislance/? des plans principaux, on a
fil
(;i8) FD^F,F,=z '^t'iiRiR,
(39) .,>Dz^e(^-R,4-R,),
avec la condition
-D. e-(r\-i-V,)^.e-nJ "^^ H ^ — V
Comme il n'exisle que deux équations (38) et (89 ) pour déterminer les quatre inconnues R|, R2, e et n^j on voit qu'il va une infinité de manières de remplacer un système centré par deux surfaces.
Si Ton fait, par exemple, R| = R2 = R et n^ — /i| = /I3 — tu, c'est-à-dire si les rayons de courbure sont égaux et de m^me sens, et l'indice du milieu intermédiaire la moyenne des indices des milieux extrêmes, il en résulte
i-rx / x/ R \* 2/1, /'*i -4- /f, ,A*
\Hz — ihJ fii-htti\ni — fil )
tH-n^ p
L'épaisseur e du milieu intermédiaire est alors déterminée par
Toquation
e\^ fil -f- «s F
le problème n'est possible dans ces conditions que si les Ion- {Joueurs F el/> sont de signes contraires.
