Composantes elliptiques conjuguées. — Proposons-nous
d'abord de remplacer une vibration rectiligne par deux vibrations elliptiques conjuguées.
En prenant des coordonnées parallèles aux axes des ellipses, la vibration primitive sera de la forme
{ y z=z 0 siaco/,
les amplitudes a et b étant de même signe ou de signes contraires ; les vibrations elliptiques conjuguées équivalentes, Tune droite et Tautre gauche, sont
- ( 0?!= ajsin(u)^-Ha,), ; (71= A:aiCOs(u)^-haj);
\E \^^~ A-ôjSinCw^-ha,), ^ * ( 7»=— 6j|C0S(a)/ -h a,).
Les inconnues ai, a^ 62 et (I2 seront déterminées par les équations de condition
aizz ajCCsaiH- A:6,cosa,, 0= flisinaj -h Arôjsina,; 6:== — Araismai-h 6, sina,, 0= AaiCOSSi — 6sC0sas.
Au lieu de calculer les vibrations elliptiques elles-mêmes, qui ne présentent pas d^ntérét au point de vue expérimental, puisqu'elles ne font que reproduire la vibration primitive, nous supposerons que Tune d'elles, la vibration gauche E2 par exemple, éprouve une perte de phase S, et nous remplacerons la vibration elliptique résultante par deux composantes rectilignes conjuguées de la forme
p cos itùt ) et ^r sin iiùt 1 > qui font respectivement avec
Taxe des x les angles X ^^ ^•
Les composantes parallèles aux axes primitifs sont alors
j?'z=/?cos)^cos( wf J H- çr ces <}/ sin ( 0) f j»
I y "= p^iï^X ^^^ \^^ ) "^ ^sin<}/sin(tof j,
238 CHAPITEB IV.
ce qui donne comme conditions
aicosai -h kbxCOs{oL^ — o) zzzpcos-^ sm- 4-ÇCOS^* cos-»
aisinaj -f- A:6, sin(a2 — 5) ^^/^cos^cos çcos^l'sin-;
— Aaisinaj -h b^ s\n{oL^ — 5) := psiny^ sin — h ^ sin ^cos-» Aaicosai— 6sC0s(as — 8) m /7sio)^cos ^ sin ^ sin--
On ajoutera les deux premières équations, après les avoir multipliées respectivement par sin - et cos-9 de manière à obtenir
^cos'^, et Ton déterminera les autres projections dep et de q par une série d^opérations analogues.
On trouve ainsi successivement
p ces 5^ =:
=: a, sin f aj-h - j 4- Ar^ssin fa, V
/)sin^=: AraiCOsfajH — j — ^^cosla, j;
^cos<}/— aicosla, H — )-f-A:6,cos
qsin^ =: — Ara^ sin ( «i-H - 1 -H 6, sin (a, J;
et, en tenant compte des équations (^5),
pcos'ji^ =: (sfli cosaj — a) sm-i psîny^ ^={b — 2^2 sin a,) sin-;
<7cos4' — acos Qaisma, sm-y
(/sin^' =z 6co5 2 6tC0saisin-«
PROPRIÉTÉS DES VIRRATIONS. 289
Les équations (20) donnent d'ailleurs, en posant A' = tangcp, a=:aiCosai(i -+■ k-) =:aiCosai(i -h lang'o) rr^ — — - — -,
6=: 62sina.(i -h k') = 6,sina,(i-+- tang'ç) =: -* — ^,— ^;
aisinaj =: — Ar6,sinas = — ^ tangcpcos^cp z=z sin2<p,
6,cosaj^= A'aiCosai= a lang<pcos*cp =1 -sina^p.
Substituant ces valeurs dans les équations (26), on a
' pcosyi^= acos2cpsin-j
En posant
psin-^ =: — b CCS 2 cp sin - ;
<7C0Su/ =: acos- -^ 6sin29Sin-, ^ 2 ^2
I ^sin<t==6cos asin2cpsin-*
. . b tangf=: - )
(28) tangR=:sin2cp tang -,
il en résulte
tang7 = — tangf,
lanff/ — tangR , . ^,
tang4/= ^ . — 5^rr-tang(« — R),
^^ i-f-tangitangR ^^ ^'
p 11=^/0*4-6* ces 2 cp sin- = rcos2osin->
q^z=zr^\ cos* — h sin*2<psin*- ) =: — r^r cos* -; ^ \ 2 ^ 1) cos*H 2'
par suite,
^.zzzl-R,
(29) ^ /? = rcos2<psin -5
<7=: =r COS- = . ^- Sin2CDSin-*
^ cosR 2 sinR ' 2
CUAPITEB IV.
On voit que, par rapport à la direction de la vibration primiti?e /sino)/ (J^g- 76)1 la composante q a tourné de Fangle R, en sens
r sln tùt
^7iln^»f--)
contraire du mouvement sur la vibration elliptique retardée, en
subissant une perte de phase moitié moindre -; la composante
conjuguée/) a tourné de Tangle 2/ dans le même sens et sa perle
de phase est égale à
17i. — En appelant tang- le rapport des amplitudes /> et q^
lang- = cos2cp cosR tang- = sinHcotso,
rt 6' Tazimut de Tun des axes de la vibration elliptique résultante par rapport a la vibration p^ cette ellipse est déterminée par les rquations (160)
sinal -= sin(2f — R) sin8',
lang(2Ô'— ii -t- H) =: tang(2/— R)cos8'.
Les amplitudes d et g des vibrations circulaires droite et gauche équivalentes (172) sont, en remarquant que
