IK

Pt

Lorsque la source S est située au delà du plan focal, les rayons qui sortent du collimateur, ou d'un système optique quelconque, convergent sur Timage réelle S|. Dans ce cas, les phénomènes présentent plusieurs particularités intéressantes :

i^ Si le plan d'observation passe par l'image S|, la nature du phénomène au point P| est la même que si la lumière incidente était formée de rayons parallèles normaux à l'écran et l'observation faite à l'infini dans la direction AP,. En effet, il est permis, sans changer les différences de marche, de supposer qu'une lentille située en avant de l'écran rend d'abord les rayons incidents parallèles et qu'on place derrière et contre l'écran une autre lentille fictive de longueur focale /= AS| . Ce sont précisément les conditions où l'on observe la diffraction des ondes planes (121).

2° Si le plan d'observation est en CX, en deçà du point de concours, l'état vibratoire au point P est le même que celui qu'on observerait, avec des rayons incidents parallèles, au point P' conjugué du premier par rapport à la même lentille fictive de longueur focale/". En effet, les vibrations qui vont se composer au point V sont situées, après l'écran, sur des surfaces sphériques concentriques à ce point et présentent certaines différences de phase; ces différences de phases se conservent, après réfraction dans la lentille fictive /, sur les surfaces sphériques ayant pour centre le point conjugué P.

3® Enfin, si le plan d'observation passe par le point G', la vi-

bration en P est la môme que celle qui se produirait, pour des rayons incidents parallèles, au point P' conjugué du premier par rapport à la lentille fictive de longueur focale/*.

Ce dernier énoncé exige une explication, puisque le point F, en avant de récran, n'est pas dans le champ de diffraction. 11 faut entendre par là seulement que les différences de marche qui déterminent la vibration au point P doivent être calculées connue si la lumière marchait en sens inverse, à partir de P, et qu on voulût déterminer la vibration en P".

Plusieurs physiciens ont cru voir dans des expériences analogues une diffraction antérieure à l'écran produite par des ondes rétrogrades; mais Frcsnel (*) avait déjà discuté cette objection faite par Poisson à Toccasion des franges que l'on suppose exister en deçà de Técran : « On croit y voir des franges, en effet, lorsqu'on rapproche assez la loupe pour que son foyer dépasse l'écran; mais il n'en faut pas conclure que ces franges existent réellement au foyer de la loupe. Il est facile d'expliquer leur apparition, et même de calculer leurs largeurs et leurs intensités, sans supposer aucun mouvement rétrograde aux rayons lumineux. »

204. — Les mêmes raisonnements s'appliquent au cas où l'écran E est placé entre deux systèmes de lentilles K et L.

Les rayons, qui émanent du point S' {/Ig» 92) après avoir Ira-

Fig. 92.

versé le collimateur, tombent sur la lentille L et convergent au foyer conjugué S|. D'autre part, les vibrations émanées des points A et B de Tocran E se comportent, après avoir traversé la lentille L conmic si elles émanaient respectivement des foyers conjugués A' et W, fj'écran E se comporte donc comme son image par rapporta

(') KnKSM.L, Œuvres, i. II, p. .?r).

DIFFRACTION. 298

la lentille L, ou sensiblement comme un écran plan E' parallèle au premier et dont les ouvertures seraient les projections des ouvertures réelles de l'écran E par des droites émanant du centre optique de la lentille (plus exactement du premier point nodal).

On peut, en définitive, supprimer le collimateur et la lunette, à la condition de remplacer Técran E par l'écran E' et de supposer que cet écran reçoit un système d'ondes concentriques au point S| . On rentre ainsi dans le cas précédent, avec cette seule différence que, pour déterminer la direction qui définit la vibration au point Pi dans le plan de l'image, ainsi que les points conjugués P et P', P' et P^, on devra mener une droite par le centre optique O de la lentille L (ou des droites parallèles par les points nodaux).

Dans ces différents cas, on observe les franges avec un oculaire et les mesures de distances se feraient, soit au moyen d'une vis mîcrométrique, soit par une échelle divisée au diamant et située dans le plan focal de l'oculaire.

Diffraction des ondes planes.

205. Mode (Inobservation, — Lorsqu'une surface plane percée d'ouvertures est éclairée par un faisceau de rayons parallèles (ou un système d'ondes planes) et qu'on reçoit ensuite la lumière émergente sur un objectif, la vibration en un point du plan focal P est de même nature que celle qui se produirait à l'infini dans une direction parallèle à la droite qui joint ce point au centre optique. Nous avons déjà fait souvent usage de cette propriété.

Si la source de lumière est à une distance finie de l'écran, la vibration aux différents points du plan focal conjugué P' de la source est encore la même que si l'on remplaçait la lumière incidente par des ondes planes qu'on recevrait ensuite sur un objectif dont le plan focal serait P'.

Les calculs deviennent alors beaucoup plus simples, parce que la différence de phase des vibrations émises par deux points de l'écran est une fonction linéaire de leurs coordonnées.

206. Propriétés f(énérales (*). — Supposons d'abord que la (») Bridge, Phil. Mag, [4], t. \VI, p. 321 ; i858.

lumière incidente se propage dans une direction O !^ normale au plan des ouvertures (^fig- qS). Prenons pour origine un point 0 de ce plan et représentons par f^va^t la vibration émise dans une direction OP par Tunité de surface au point O. Le facteur /y toutes choses égales, est proportionnel à Tamplitude des vibrations incidentes et il est maximum suivant la normale. Ce facteur varie avec la direction de la lumière diffractée et peut dépendre également de la forme des vibrations primitives.

Pour la vibration émise dans la même direction MP par un

point M dont le raj^on vecteur p = OM fait l'angle ^z avec la droite

OP, la difl'érence de marche est A = pcos4' et la différence de

phase

^ - p COS +

6 r=: air r- = 2 7: :

L'amplitude de la vibration due à un élément de surface d^ au point M étant ye/o-, la vibration résultante a pour expression

f f d(j s'm {(X) t 4-8) - Asin(a)/ 4- ©),

l'intégrale s'étendant à toutes les ouvertures. Posant encore

on a

F=/</<isino, G=/e/ffCOSo,

langa>=g

j = V/F*-i-GV

En appelant D la déviation POÇ de la normale aux ondes diffractces, le point dont la vibration est Asin((i)/ -4- ç) se trouve

DIFFRACTION. 291

sur la surface d'une sphère de rajon R égal à la longueur focale de l'objectif, et à une dislance r=RsinD de la normale aux ondes incidentes. Tant que les déviations restent très petites, le phénomène observé dans le plan focal est sensiblement la projection de celui qui se produirait sur cette surface sphérique. On peut d'ailleurs admettre que P est le point même du plan focal où le phénomène est observé.

Suivant la normale ou, d'une manière plus générale, dans la direction de la lumière incidente, tontes les vibrations sont concordantes et A =iffd<T =/^. Donc :

I. Dans la direction de la lumière incidente, l'amplitude de la vibration est proportionnelle à la surface totale des ouvertures et l'intensité au carré de cette surface.

La quantité totale de lumirre qui tombe sur l'objectif est évidemment proportionnelle à la surface totale des ouvertures. Le rapport de l'intensité sur l'axe à la quantité totale de lumière est donc proportionnel à la surface des ouvertures.

Si l'on mène dans le plan des ouvertures deux axes rectangulaires OÇ et 0't\ et qu'on prenne le plan normal ÇOÇ dans le plan de diffraction^ c'est-à-dire dans un plan parallèle aux rayons incidents et aux rayons diflfractés, il est clair que les vibrations émises par tous les points d'une droite normale à ce plan sont concordantes ; la différence de phase relative à un point M ne dépend que de l'abscisse Ç, et l'on a

. > $ sinD

A :ziL \ Sm U, 0 : îi ^

La différence de phase résultante (p est la même que celle qu correspond au point dont l'abscisse \x satisfait à la condition

$1 sinD ^ . . oX À

tangSTT — , =:tangcp, ÇiSmJ) - ' h-/>->

ce qui donne une série de droites perpendiculaires au plan de diffraction et à la distance constante — .^r-

2 smJ)

On peut appeler centre de phase relatif à la direction OP le point où l'une de ces droites rencontre le plan de diffraction.

Soit / la longueur totale des cordes des différentes ouvertures [)our Tabscisse ç; on peut prendre rfo* = /rfÇ, par suite

F -/7^;sino, G ^ fi cii coso.

R(.'mar(|uons d'abord que ces expressions ne changent pas et (|ue, par suite, Taniplitude A reste la même, à part les variations

du i'actcur/, quand le rapport — :: — reste constant. Donc :

II. Le sinus de la déviation qui correspond à un phénomène déterminé (maximum ou minimum par exemple), dans un même plan de diffraction, est proportionnel à la longueur d'onde.

La déviation est donc toujours plus grande pour la lumière rouge que pour la lumière bleue et la dispersion est inverse, par rapport à la déviation, de la dispersion dans les prismes.

En second lieu, si les valeurs de Ç et de 8 restent les mêmes, l'amplitude ne dépend que des valeurs de /, d^où résultent les conséquences suivantes :

III. La diffraction dans une direction déterminée ne dépend que de la longueur totale des ouvertures perpendiculaires au plan de diffraction et des projections des ouvertures sur ce plan.

On peut déplacer les ouvertures dans une direction normale au plan de diffraction ou les modifier d'une manière quelconque sans changer les phénomènes, si la longueur / relative à chaque valeur de i rest(^ constante.

IV. Pour deux systcnics d'ouvertures ayant niénics abscis5t*> et dont les cordes sont proportionnelles, les amplitudes des vibrations dans la même direction sont proporlionnelles aux corde^, <*'esl-à-(lire à la surface totale des ouvertures, et les intensités au carré de la surface.

Avec un autre svslcme d'ouvertures lié au premier par la condition ^' = // ; pour deux points correspondants, les cordes restant les mcuics, Tctat vibratoire est de même nature pour deux directions correspondantes D et D' liées par la condition

?'sinD'-- ;hinD ou w sinD'zz: sinD,

DIFFRACTION. U97

et l'amplitude devient, à part la variation de/,

V. Pour deux systèmes d'ouvertures ayant les mêmes cordes normales an plan de diffraction et dont les abscisses sont proportionnelles, les sinus des déviations correspondantes sont en raison inverse des dimensions homologues dans le plan de diffraction.

Dans ces directions correspondantes, les intensités sont proportionnelles aux carrés des surfaces des ouvertures.

Si l'on a, en même temps, /'= ni et Ç'= n\^ les deux systèmes d'ouvertures sont homotliétiques et A'= /i*A.

VI. Pour deux systèmes d'ouvertures homotliétiques, les sinus des déviations correspondantes sont en raison inverse du rapport de similitude ; les intensités dans les directions correspondantes sont proportionnelles aux carrés des surfaces.

Vil. Si les cordes / sont les mêmes pour -|- Ç et — ;, c'està-dire pour deux valeurs de o égales et de signes contraires, on a évidemment

V zrz J i iti sin 0 -- o ou C5 3Z o,

et la phase de la vibration résultante est la même que celle qui provient du point O.

Il en est ainsi, en particulier, lorsque les ouvertures sont symétriques par rapport à la droite Or,, et lorsque le point O est un centre du système des ouvertures.

207. Transformation des Jlgures, — En appelant a et ^ les cosinus des angles que fait le rayon diffracté OP avec les axes \ et 71, choisis arbitrairement dans le plan des ouvertures, la différence de marche relative au point M(ç, r,) est

Lorsque les axes auxquels on rapporte les ouvertures font un angle 6, on peut exprimer cette différence de marche en fonction des coordonnées x et y du point P par rapport à des axes Cx et C^'(yî^. 94), situés dans un plan parallèle à l'écran et respectivement perpendiculaires à Or, et OÇ. La distance OP étant égale

à R, la projection de celle droile sur 0$ se réduit à xsinO ; on a donc Ra = xsinO cl, de même, R^ = r sînô, ce qui donne

X sin6

y sinO

TT,

Si l'on transforme le système d'ouvertures en rendant les axes rectangulaires, mais de façon que les coordonnées Ç et tj de chaque point par rapport aux nouveaux axes conservent leurs valeurs primitives, les retards conservent également les mêmes valeurs pour une direction OPq telle que les coordonnées du point Po situé à la dislance R de Torigine soient

j-^zir: rsinO, yoUnysinO.

Il en résulte :

VIII. Un système d'ouvertures rapporté à des axes obliques peut être considéré comme déduit d'un système à coordonnées rectangulaires que l'on transformerait sans changer les coordonnées de chaque point, les directions correspondant aux phénomènes de même nature étant liées par les équations (3).

Remarquons que x siiiO et k siuÔ représentent les projections du rayon vecteur CP sur les axes Ci et Cr, ; pour un phénomène di'terminé, ces projections sont indépendantes de l'angle des axes.

La déviation D du rayon difTracté et l'azimut ç = PCÇ du plan de diffraction par rapport au plan sO^ donnent les relations

a ~ sinD coscp, fi — - sinD cos(0 — cp), -h 3" = siii'D[cos'*o -h cos'(6

DIFFRACTION. 299

Suivant que les axes sont obliques ou reclaogulaires, les éléments de surface des ouvertures peuvent être représentés par di = dr\ rfÇ sin6 ou rfTo= dr^ d^. Le rapport des amplitudes A et Ao des vibrations correspondantes est alors

^ fi.

A part la variation des coefficients/, les amplitudes correspondantes sont proportionnelles au sinus de Tangle des axes.

208. Incidence oblique. — Lorsque la lumière incidente est oblique au plan des ouvertures, nous désignerons par ai et ^( les cosinus des angles que fait avec les axes Ç et y| la normale OS aux ondes incidentes, comptée en sens contraire de la propagation, a^ et Pa ceux de rayon diifracté OP avec les mêmes axes (Jig- gS). La différence de marche des vibrations émises par les points O et M est la somme des projections du rayon vecteur OM sur les directions OS et OP, c'est-à-dire

Remarquons encore que le phénomène ne change pas quand on permute aj et 0L2, ainsi que Pj et ^2? c'est-à-dire quand on remplace les rayons incidents par les rayons diifractés, et inversement. Ce résultat est conforme au principe général du retour des rayons lumineux (184).

Choisissons, pour Tincidence normale sur le même système d'ouvertures, un rayon diffracté dont les cosinus directeurs a et p sont définis par les conditions