P = P|-HP

ce qui est toujours possible, au moins tant que les rayons restent peu écartés de la normale. Les deux rayons diDractés ainsi définis sont correspondants, les intégrales F et G ayant les mêmes valeurs, et leurs amplitudes A et A| donnent

3oo CHAPITRE V.

Le coefficient fx dépend ici en même temps de la direction des rayons incidents et de celle des rayons diffractés. Donc :

IX. La lumière difTractée dans un cas quelconque présente les mêmes caractères que la lumière diOractée pour Tincidence normale dans une direction correspondante.

11 suffil ainsi de connaître la diffraction d'un système d'ouvertures relative à l'incidence normale, que nous appellerons pour abréger diffraction normale, pour en déduire la diffraction relative à des directions quelconques des rayons incidents et diffractés.

L'azimut ^ et la déviation D de la diffraction normale correspondante sont déterminés par les équations (4) qui donnent

cos(0-(p)? p,4-p,

coscp a a, -h a,

sin«D[cos';p h- cos»(Ô — <p)] = («,-+- aj)«-t- (Pt -t- p,)',

ou, pour des axes rectangulaires,

tang'f— ^^ ^,

D'une manière plus générale, si n est un nomLre arbitraire et qu'on pose

a, 4- «5 Pi 4- Pî

il en résulte

A^n(af-|-?T)),

cos(O-jp) ^ ? ^ P.+ P, coscp a ai -i- «1

sin^D[cos'^'f 4- cos'-(0 - cp)] = (^— )' ^ (^'^^*)''

Os relations montrent qu'en choisissant un système d'ouverl ures lîomothétique au premier, c'est-à-dire défini par les conditions Ç'= n\^ r/= /?r,, les amplitudes A', A| et A dans les directions

DIFFRACTION.

3oi

correspondantes sont

Dans le cas où l'une des sommes a, -f- cl^ ou j3| -j- ^^ serait supérieure à l'unité en valeur absolue, le problème se trouverait ainsi ramené à un phénomène réel de diffraction normale dans un système homothétique au premier.

209. Remarques. — Ces résultats généraux donnent lieu à plusieurs remarques importantes :

1** Les axes OÇ et Oti étant rectangulaires, les coordonnées x^ etj^,, X2 etj^2j ^ etjKdes projections Q,, Q2, Q {fig- gS), sur

Fig. 95.

un plan parallèle à l'écran, des points P|, P2, P où la surface sphérique de rayon R est coupée par le prolongement du rayon incident, parle rayon diffracté, enfin par le rayon correspondant relatif à l'incidence normale, sont

— Ra,

Ra„

X = Ra,

II en résulte, d'après les équations (5),

c'est-à-dire que la droite CQ est égale et parallèle à Q, Q2.

X. La projection du phénomène de diffraction sur un plan parallèle à l'écran est donc indépendante de la direction des rayons incidents, quand on la rapporte au point Qi qui correspond à la lumière directe.

'i"" Si les angles d'Incidence et de diffraction £ et i' reslenl 1res petits, les distances QiQ2 et GQ sont sensiblement proportionnelles aux déviations D| et D du rayon diffracté dans les deni cas. Donc :

XI. Pour les rayons peu écartés de la normale, la déviation esl indépendante de la direction de la lumière incidente.

Il en est ainsi, en particulier, quand la lumière incidente provient d'une ouverture de forme quelconque au foyer d'un collimateur. La diffraction dans le plan focal de la lentille d'obser\'ation est la superposition de phénomènes identiques dus aux différents points de l'ouverture et rapportés chacun au rajon direct correspondant.

3^ Si la diffraction a lieu dans le plan d^incideuce, les trois points Qi, Qa et Q sont en ligne droite {fig* 9^); leurs distances

Fig. 96.

au point C sont respectivement proportionnelles aux sinus des angles /, /' ot I), ce qui donne

sinD

sin/ 4- smr, / 4- t'.

XII. Les pliénoniènes de diffraction dans le plan d'incidence ne dépendent donc que de la somme des sinus des angles d'incidence et de diffraction.

11 en résulte que toutes les propriétés établies précédemment pour l'incidence normale s'appliquent aussi à la lumière oblique. pour la diffraction dans le plan d'incidence, à la condition de remplacer, quand il y a lieu, sinD par la somme sini -4-siDr.

DIFFRACTION. 3o3

On peut écrire

sin D =r sin i 4- sin i' r= 2 sin * cos

sinD=:2Sin — cosi 1 |.

Si la nature du phénomène esl déterminée, sinD est constant; la déviation D| est minimum quand le facteur cos( — — i'j est

égal à l'unité, c'est-à-dire pour la condition i=z i= —^ et alors

sinD zzjL 2 sm —

XIII. Pour un phénomène de nature déterminée,'la déviation du rayon diffracté dans le plan d'incidence est minimum lorsque l'angle d'incidence est égal k l'angle de diffraction, c'est-à-dire que le plan des ouvertures est bissecteur de l'angle des rayons incidents et diffractés (*).

Il y a lieu de remarquer l'analogie qui existe entre cette déviation minimum et celle des prismes, pour laquelle le plan bissecteur de l'angle dièdre doit être également bissecteur des plans menés par l'arête du prisme parallèlement aux rayons incidents et aux rayons émergents (67).

4° Dans le cas général, on peut faire P = o, ce qui revient à prendre l'axe 0\ dans le plan d'incidence; les cosinus a et aj, ou ^ et ^2) représentent alors les sinus des angles des rayons diffractés avec les plans normaux JJOti ou 2J0Ç, c'est-à-dire les sinus des déviations parallèles ou perpendiculaires au plan d'incidence.

La condition p = p, montre déjà que cette dernière, ou dévialion latérale, est indépendante de l'angle d'incidence.

Si l'on appelle j et j\ les angles des rayons diffractés avec le

plan normal J^Oti, on aura

. • » l ~T~ In l /j

siny = sin e -f- siny , = 2 sin - cos — — •

(») Mascart, Annales de l'École Normale supérieure, t. I, p. 2^18; i8(i'|.

3o4 CHAPITRE V.

Tant que les déviations resicnt très petites, la somme i -^jt est très petite; l*angle / — J'2~- 2/ — (' -Hyt) ^st très voisin de 21', et récjuation prc'cédenlc se réduit à

COSl

La déviation i -\-j'2 porallèle au plan d'incidence est la niéiue que si Ton remplace le système des ouvertures par sa projection sur un plan perpendiculaire au rayon Incident.

XiV. Tant que les déviations restent très petites, le phénoinènc observé dans le plan focal d'une lunette dirigée vers la source ne dépend que de la projection du système des ouvertures sur un plan perpendiculaire à la lumière incidente.

5 * Supposons encore que la lumière normale ne donne de diffraction sensible que dans un plan déterminé, que nous appellerons plan principal, ce qui aurait lieu par exemple, pour unifente très étroite, dans un plan perpendiculaire à sa longueur.

En prenant Taxe des ^ dans ce plan, on aura toujours fi ^^ o el, par suite, quelle que soit la direction de la lumière incidente,

?i -^ ?> <» ou ^, -- — [i,.

La dinVaction n'est sensible que dans les directions pour lesquelles les rayons incidents et diflractés font, de part et d'autn\ des angles égaux avec la normale au plan principal. Le lieu de> rayons diffractés est donc la surface d'un cône circulaire autour de celle droite et dont la demi-ouverture angulaire est égale « Tangle (]u'elle fait avec les rayons incidents; les rayons diirraclé> ont la même direction que s'ils s'étaient réfléchis régulièreraenl sur la normale au plan principal de diffraction.

La (lifTércnce de maîche se réduisant à

A-.-(a, r-a^); - ; (siny , -h sinys),

il en résulte

si ni) =:= siny'i -h sinyj.

X\ . Pour un phénomène déterminé, la somme des sinus de> angles des rayons incident et (lin'racté avec le plan perpendiculaire au plan principal esl constante.

DIFFRACTION. 3o5

6*^ Enfin tous les résultais qui précèdent s^appliquent également à un système d'écrans opaques de mêmes dimensions que les ouvertures considérées, au moins pour toutes les directions autres que celles des rayons directs, ou plus exaclementpour les directions dans lesquelles la lumière dlffractée par l'ouverture entière de l'objeclif avec lequel on observe est sensiblement nulle. Dans ce cas, en effet, les ouvertures et les écrans correspondants forment deux systèmes complémentaires (187).

210. Grand nombre d^ouvertures ou d^écrans, — Lorsqu'il existe dans un même plan un certain nombre N d'ouvertures distinctes, la vibration produite par chacune d'elles a une expression de la forme asin((i)f 4- a). La vibration résultante est

œ =z £asin((i)^ 4-a) =:Asin((u^-T-tp) et l'on a

A*=: (2acosa)'-h (5:asina)*=: Sa^-h 2 2aa'cos(a — a').

Si les ouvertures sont en très grand nombre, de formes quelconques et distribuées au hasard, la différence de phase a — a' relative à deux d'entre elles peut avoir indifféremment toutes les valeurs possibles. Dans ce cas, cos(a — a') prend également toutes les valeurs, entre — i et +1? pendant que le produit aa' reste compris entre deux limites finies, positives ou négatives ; on a

alors

2aa'cos(a — a') izio et, par suite,

XVL Avec un grand nombre d'ouvertures de formes quelconques, distribuées au hasard, l'intensité de la lumière diffractée dans une direction est donc la somme des intensités relatives à chacune des ouvertures séparément.

Le champ est alors entièrement éclairé; c'est une dijfusion générale de la lumière. Si les dimensions des ouvertures sont assez grandes pour que la différence de marche des rayons extrêmes respectifs à chacune d'elles soit de plusieurs longueurs d'onde, la diffraction dans une direction déterminée passe indifféremment par toutes les couleurs. Dans ce cas, la lumière diffusée est blanche si l'on opère avec de la lumière blanche.

ioG CHAPITRE V.

Au conlraire, si les dimensions des ouvertures sont de Tordre des longueurs d'onde, la lumière diflVaclée dans une direction déterminée présente une proportion prédominante de certaines couleurs. La diffusion est alors colorée quand on opère avec la lumière blanche; nous reviendrons plus lard sur cette propriété importante qui |)ermet d'expliquer la couleur du ciel.

Si toutes les ouvertures, étant distribuées au hasard, sont identiques, les coefficients a sont égaux et il reste

XVII. Dans ce cas, l'intensité de la lumière diffractée est proportionnelle au nombre des ouvertures.

Ces deux propriétés supposent toutefois que la différence de phase ol' — a, relative à deux ouvertures différentes, peut atteindre des valeurs notables ; elles ne s'appliquent donc pas à des rayon* très voisins de la lumière directe.

Elles conviennent, avec la même restriction, à un svstème d'écrans complémentaire du système des ouvertures.

Si l'écran est constitué par une surface polie dénuée de pouvoir réilecteur sur certains points, les portions polies correspondant aux ouvertures dans le cas de la transmission, il est clair (|ue les rayons réflécliis en un point M se comportent comme s'il* provenaient de l'image S' de la source S, et les vibrations émanant de ce point jouiront des mêmes propriétés dans les deux cas. Les phénomènes de diffraction observés du côté de la sourre seront donc les mêmes que dans le cas d'un système d'ouvertures analogue observé par transmission, si l'on a soin de les rapporter, non pas à la direction des rayons incidents, mais à la direction des rayons réfléchis régulièrement.

211. Intcrposilion (fane lame, — Nous avons supposé que les ouvertures étaient libres et ménagées dans un écran. Il arrive souveul que ces ouvertures sont obtenues à l'aide d'une couche opa(|ue, appliquée sur une lame de verre à faces parallèles que Ton a (h'nudée en certains points pour rétablir la transparence; il est clair que celte lame ne modifie pas la direction des phénomènes (1(^ (lilIVaction si ou les observe ensuite dans l'air.

DIFFRACTION. ioj

Supposons, en effet, que les ouvertures soient tracées à la partie inférieure d'une lame de verre. Pour une incidence déterminée i dont l'angle de réfraction correspondant est /• dans une lame d'indice /?, la différence de marche, avant la diffraction, des rayons S© et S qui aboutissent aux points O et M {Jig* 97) est la longueur

optique de la différence OP de leurs distances à une même onde MP, c'est-à-dire

A HZ /iOP=: nOM sinr =:0M sine;

elle est la même que si la lame n'existait pas. II en serait de même pour les rayons diffractés. On peut donc tracer les ouvertures sur la première ou la seconde surface d'une lame à faces parallèles, sans altérer la diffraction.

Par contre, si les rayons incidents et les rayons diffractés étaient dans deux milieux différents, d'indices de réfraction n et /i', on devrait remplacer sin« par n uni et sin«' par n! sin/'.

DIFFERENTES FORMES d'oUVERTURES.

212. Anneau circulaire. — Par raison de symétrie, la lumière diffractée, pour l'incidence normale, par une ouverture ayant la forme d'un anneau circulaire donne, dans le plan focal d'observation, une série de cercles concentriques.

Prenant pour origine le cercle O de l'anneau, nous supposerons que l'axe 0\ est dans le plan de diffraction et nous considérerons un point M dont le rayon vecteur p fait avec l'axe des \ l'angle 8; l'élément de surface relatif à un anneau de largeur infiniment petite é/p est rfo- = p rfp rf9 et la différence de marche correspondante

A nz 5sinD:=r -0 cosO sinD. ^

Comme il existe deux éléments de môme surface symétriques î par rapport à Taxe des ç, la vibration résultante est

cosO ï </8.

^ . r" • / psinD ^\

.r:=/2p api sinloj^ — 27: — . — cosO j

La valeur de l'intégrale F est nulle, puisque l'origine esl an . centre de Touverture. En posant

psinD ,

Tamplitude c/A de la vibration résultante est donc

cos(2mcos6) <iO

ou, en développant le cosinus en série.

^ ^ r^V r^mcosO)» (2mcose)* 1

La série comprise entre parenthèses peut s'écrire

A ., y.-(/// cosO)^ (--i)'»a'»(/«cosO)*'»