Cas de deux sources identiques» — Supposons que les

sources se réduisent à deux points O et O' (^fig* 6) ayant des vibrations identiques et séparées par un intervalle rf. Pour un point P, situé à une très grande distance par rapport à dy les vibrations émanées des sources O et O' ont sensiblement la même grandeur, mais

If «•'

des phases différentes. L'angle a étant très petit, la différence de marche relative aux deux sources a pour valeur

A z= p' — p zn ^sina,

et la différence de phase

^ A tfsina

ÔIir27U- =27: — r — •

Les deux vibrations sont concordantes ou discordantes suivant que la différence de marche A est égale à -un nombre pair ou impair

de demi-longueurs d'onde, 2/? - ou (2/? -+- i) -•

Les points qui correspondent à un retard A déterminé se trouvent sur un hyperboloïde ayant pour foyers les sources O et O'.

Dans le premier cas, A = /?X = 2/? -> la vibration résultante est

double de celle que donnerait chacune des deux sources; la vitesse est aussi double et la force vive du milieu aux points considérés est quatre fois plus grande.

Dans le second cas, A = (2/? -4- i) -> la vibration résultante est

nulle; il y a interférence.

Sous rinfluence des deux sources, Ténergie du milieu prend aux différents points toutes les valeurs depuis zéro jusqu^à 4 fois celle qui correspondrait à une source unique. Le calcul montre, comme on le verra plus loin, que l'énergie moyenne est exactement double de celle que donnerait une source.

22. Principe d^Huygens rectifié par Fresnel. — Fresnel (•) a montré que la notion des interférences permet de donner au principe d'Huygens sa véritable signiGcation.

Supposons que dans un phénomène d'optique la surface d'onde ait une forme quelconque S et considérons la vibration en un point P situé du côté vers lequel se propage la lumière. Les vibrations émanant de la source traversent cette surface S avant de parvenir au point P. Si, par un moyen quelconque, on entretient cette surface S dans l'état de vibration qu'elle a réellement et qu'on supprime la source, la vibration du point P ne sera évidemment pas modifiée.

Toutefois il est encore nécessaire de faire une remarque importante. Quand on substitue ainsi l'action des différents points d'une onde à celle du centre d'ébranlement, chacun de ces points étant considéré comme une source indépendante, on doit supposer à ces sources nouvelles, non pas l'état de vibration réel des points correspondants, mais un état fictif tel que, par leurs réactions réciproques, elles reproduisent précisément le mouvement vibratoire de la surface S. Toutes ces sources, considérées isolément, sont encore identiques entre elles, au moins de proche en proche, mais elles peuvent différer par la phase et l'amplitude de l'état vibratoire réel qui existe sur la surface d'onde.

Cette substitution d'une surface d'onde S à la source primitive n'est légitime d'une manière évidente que si la surface est entièrement fermée, mais il suffit, comme on le verra plus loin, qu'elle forme une calotte d'ouverture angulaire très petite de part et d'autre de la normale aux ondes qui passe par le point P.

(■) Fresnsl, Œuvres, t. I, p. 174; 1818.

PRÉLfHINAIRES.

Le principe d'Huygens est en réalité plus général. En effet, si Ton considère une surface quelconque S, qui n'est plus une surface d'onde, et un point P situé du côté vers lequel se fait la propagation, la vibration en P est la résultante des vibrations qui seraient produites par les différents points de la surface S considérés comme des centres d'ébranlement, ces sources nouvelles étant définies par la condition que leurs réactions réciproques entretiennent sur la surface S l'état vibratoire qui s'y trouve réellement. Les différences de phase de ces sources fictives, au moins en des points peu éloignés, seront les mêmes que les différences de phase qui existent entre les vibrations des points correspondants.

Cette extension du principe d'Huygens permettra d'expliquer les phénomènes de réflexion et de réfraction.

Enfin, si l'on couvre une partie de la surface I par un écran opaque, l'action de la région correspondante est supprimée; la vibration du point P peut n'être plus la même que sous l'influence de la surface entière. On rend compte ainsi des phénomènes de diffraction.

23. Propagation de la lumière. — Zones élémentaires. — Pour évaluer l'action d'une onde S sur le point P {Jig. 7), on divî-

sera cette surface en un certain nombre de parties ou zones successives définies par la condition que leurs actions sur le point P soient alternativement de sens contraires.

On appelle pôle du point P le pied A de la perpendiculaire PA (supposée unique) abaissée de ce point sur la surface; soit PA=fe.

a?. CHAPITRE I.

Du point P comme centre, avec un rayon égal à t H — > on dé-

crit une sphère, dont l'intersection avec la surface S détermine une courbe BB'. On détermine, de même, les intersections CC, DD', . . . , MM' de cette surface avec des sphères dont les rayons

sont successivement 6-[-2->6-i-3-->--»>6-hm-- La surface

comprise entre deux de ces courbes consécutives est une zone élémentaire de la surface S par rapport au point P.

Les projections sur un axe des vibrations produites en ce point par deux zones consécutives sont de signes contraires. En efTel, la différence de marche des vibrations produites en P par les points B et C de deux zones consécutives BC et CD est d'une demi-longueur d'onde; elle est de même d'une demi-longueur d'onde pour le point Bj et un point correspondant Cj. Les deux zones sont donc formées d'éléments de surfaces pour lesquelles les différences de marche relatives au point P sont deux à deux d'une demi-longueur d'onde et qui produisent des vibrations de sens contraires. Les vibrations résultantes de chacune de ces zones sont donc aussi de signes contraires.

Si l'on appelle Uq^ £/|, u^t •••, Um I^s valeurs absolues des composantes parallèles des vibrations produites en P par les zones successives, la résultante est

// 1= f/o— «iH- "s— "3-H . . . qi w

Soient AS {Jfg' 8) une courbe continue menée parle point A sur la surface de l'onde, M et M' deux points correspondants de deux zones voisines, c'est-à-dire tels que l'on ait, en appelant p et p' leurs distances au point P,

La distance p est une fonction de la longueur s de l'arc AM, et l'on peut écrire, en la développant en série.

Comme cette fonction passe par un minimum b pour ^ = o^

on a

f{o)^b et f\o)^o.

Si la distance 6 est très grande par rapport à la longueur d'onde, laquelle est très petite pour la lumière, un arc très petit s contiendra un grand nombre d'arcs élémentaires, de sorte que, même pour une zone d'un ordre assez élevé, le second membre de l'équation (5) se réduit sensiblement à ses trois premiers termes, et l'on peut écrire

Fig. 8.

on a donc, pour deux points correspondants consécutifs M et M',

La sphère de rayon p coupe la surface S suivant une courbe qui passe par le point M. L'aire c, limitée par cette courbe, esl aussi une fonction de l'arc s qu'on peut écrire

a = 9(5)--^(o)4-5ç>'(o)-i- - cp'^(o) -f- ....

On a ici

et

ïï>'(o)=o;

dans les mêmes conditions que plus haut, il reste simplement

et la surface d'une zone élémentaire a pour expression

les arcs s et s' satisfaisant à Téquation (6). On en déduit

Les zones élémentaires ont donc des aires égales.

24. Onde efficace. — Les vibrations Uq^ Uij «2» •••»"« sont décroissantes. Cette décroissance tient à plusieurs causes :

I® Toutes choses égales, Taraplitude de la vibration produite par une source est en raison inverse de la distance (17) et les zones successives sont de plus en plus éloignées du point P. Toutefois, la surface S pourrait avoir une forme telle que les zones élémentaires seraient, au contraire, de plus en plus rapprochées du point considéré P.

2° Sans rien préciser sur la forme de la vibration, il est clair, par raison de symétrie, que Tefiet des vibrations émises par un élément de la surface S est maximum suivant la normale, et Tangle 0 de la normale avec la droite M P augmente de plus en plus à mesure qu'on s'éloigne du point A.

3** Par suite des défauts de symétrie de la source (13) et de sa constitution physiquement complexe, les vibrations des différents points d'une onde ne peuvent être considérées comme identiques que dans une étendue restreinte. Or une même zone renferme des points d'autant plus éloignés les uns des autres qu'elle est ellemême d'un ordre plus élevé. Les vibrations dues à ces différents points sont de moins en moins concordantes et, dès que la zone est d'un ordre élevé, la vibration résultante finit par devenir nulle d'elle-même.

Cette dernière cause d'affaiblissement des vibrations est, sans doute, la plus efGcace. L'étendue d'une surface d'onde sur laquelle les vibrations sont concordantes est, en réalité, d'un ordre de petitesse imprévu ( * ), et l'on peut se borner, pour déterminer les phé-

(*) Prenons comme exemple les ondes de la lumière solaire sur la Terre. Ces ondes sont circulaires, mais elles doivent être considérées comme la résultante des vibrations émises par tous les points du Soleil, au moins par les parties visibles.

Soient M {/ig. 9) un point du Soleil, P et P' deux points de l'onde aux distances p et p' du point M. En appelant a le rayon du Soleil, R la distance du Soleil à la

nomènes, à la considération d^un nombre relativement petit de zones élémentaires.

On appelle partie efficace de Tonde, pour le point P, la portion de cette surface autour du pôle A qui renferme l'ensemble des premières zones élémentaires.

Les vibrations produites au point P par les zones élémentaires successives décroissent d'abord lentement; on peut les représenter par les termes d'une progression géométrique décroissante et écrire

la raison g de la progression étant très voisine de l'unité.

Terre, le triangle OMP donne

ia X OQ, aa X OQ'.

f'ig- 9-

On en déduit

ou sensiblement

p*— p'*= la X QQ', 2a