ho,ooo3i
3l2 CHAPITRE V.
Les niaxima et les minima successifs d'intensité ont liea poor^
les valeurs suivantes :
Maxima.
Ordre. k DifTéronce. S*. «
3 ii346 ®'^^^ o,oo4i5 559
\ 1,858 ^^^\ o,ooi65 3o6
9 4î362 * o,oooia o,ooo52
Minima.
DUUoces aux maxima arant. arrière.
' o>^io o 5jj5 o>6io o,ao9
2 i,ii6 ^'^^j 0,297 o,a3o
4 2,122 , 0,264 o.iio
o 'lOI
On voit que les maxima successifs, à partir du troisième, sont sensiblement équidistants et que les minima, d^abord plus éloignés que le milieu de Tinlervalle des deux maxima qui le comprennent, 5'(Mi rapprochent de plus en plus.
Dans le plan focal de la lunette d'observation, le rayon r de la circonférence qui correspond à un phénomène déterminé, «ou à
une valeur de m, est
RX m /• — R sin D •
La quantité de lumière e/Q répandue dans ce plan sur une zone annulaire comprise entre les rayons r et r-\-dr peut être représentée par
dQ r-r ^.^'XT.rdr — r.k- drK
Si Ton remplace / - par sa valeur — -— m^= m*, il vient
1 * 7r*p' ir» '
DIFFRACTION. 3l3
Le coefficient y est d'ailleurs en raison inverse de la distance R ; à un facteur constant près, on peut donc écrire
La quantité totale de lumière répandue sur un cercle de rayon r, défini par la valeur de m correspondante, est
f S*^/n»z=(jX»cp(m»),
et l'éclairement moyen par unité de surface
Q___Qar ^ J . ,.
Tir* "" R»X*m' ~ R* m^"^^^^ ^'
La série S étant une fonction de m^, on pourrait effectuer Tinlégration et calculer l'expression de la fonction (f{m^); mais il sera plus simple de traduire par une courbe, à l'aide des Tables, les valeurs de S^ en fonction de m^ et de déterminer l'intégrale <p(/^i*) par des méthodes graphiques.
Dans un travail remarquable sur la vision dans les instruments d'Optique, M. André (*) appelle solide de diffraction le volume que l'on obtient en faisant tourner autour de son axe la courbe des intensités.
La quantité de lumière distribuée sur la tache centrale est représentée par le volume correspondant du solide de diffraction, c'est-à-dire proportionnelle à l'intégrale fS^dm^ comptée jusqu'au premier minimum.
Pour les anneaux qui suivent, la valeur moyenne de S^ est sensiblement la moitié de la valeur maximum, et la quantité totale de lumière relative à chaque anneau peut être représentée par l'ex-
pression 2m— 8/w= m S' 8m, dans laquelle le nombre m corres-
pond au maximum S^, et om à la distance des deux mînima. Comme la différence 8aw est sensiblement constante, la quantité de lumière relative à chaque anneau est proportionnelle au produit /?îS*. On trouve d'ailleurs, par un calcul approché :
(•) Ch. André, Ann. de l'École Aormale supérieurCj [2], p. a-S; 1876.
3l4 CHAPITRE V.
/S*<lmt. BapporU.
Tache centrale 0,9288 1
Premier anneau 0,07348 0,0793
Deuxième anneau 0,00280711' o,o3oo
Troisième anneau i536 » o,oi64
Quatrième anneau 923 » 0,0098
Cinquième anneau 6i5 » 0,0066
Sixième anneau 4^4 ^ 0,0048
Septième anneau 347 * o,oo37
Huitième anneau 0,000261 » 0,0028
Total (les huit anneaux o, i536
Cette discussion montre que, si Tintensité des maxima diminue Irùs rapidement, à tel point qu'elle n'est pas le cinquantième de celle du centre pour le premier anneau , ni le cinq-millième pour le huitième anneau, la distribution de la lumière suit une loi toute diirérente. La quantité de lumière répandue sur le premier anneau atteint presque le dixième de celle de la tache centrale et elle diminue lentement sur les anneaux qui suivent; la somme totale de lumière relative aux différents anneaux est supérieure au septième de celle qui existe sur la tache centrale.
21-4. Pénétration des lunettes. — Un objectif enlièremenl découvert qui vise une étoile réalise le cas d'une ouverture circulaire. La diflVactiou n'est alors sensible qu'à une très petite distance de Taxe du faisceau et l'on peut remplacer le sinus de la dc'vialion l) par l'angle lui-même.
En appelant rfn= 20 le diamètre de l'objectif, l'angle apparent £ du rayon de la tache centrale, vu du centre optique, est définie
par le premier minimum pour lequel — =0,61; on a donc
m À aX , X
l — -- - Tn -j. X o,0i —.1 ,2Q-^
Si Ton remplace la longueur d'onde X parla valeur cl*', 56 qui correspond à la partie la plus brillante du spectre, qu'on exprime l'angle 0 en secondes (i''= ^qqqhm) ^^ ^^ diamètre d de l'objectif cil ccnlinièlrcs, il vient
DIFFRACTION. J I 5
ce qui donne un angle de i'',4 pour un objectif de lo*^" de diamètre.
L'image d'une étoile dans une lunette, au lieu d'être un point brillant, se présente donc comme un disque (32), dont le diamètre est en raison inverse de l'ouverture de l'objectif, et qui est entouré d'anneaux irisés sur leurs bords. Cet élargissement des images avait été déjà observé par W. llerschel dès 1782 (*). Fraunhofer (^) a constaté également que, « lorsque la lumière est diffractée par des ouvertures rondes de différents diamètres, les diamètres des anneaux colorés sont en raison inverse des diamètres des ouvertures » et que « les distances des rayons rouges extrêmes des différents anneaux au centre forment une progression arithmétique dont la différence est plus petite que le premier terme ». Ces résultats sont absolument conformes à la théorie.
Le problème de la diffraction d'une ouverture circulaire a été traité d'abord par Sir G. Airy, puis par Schwerd, qui l'a soumis également au contrôle de l'expérience, et par Knochenhauer (').
Deux étoiles voisines ne peuvent se distinguer dans une lunette que si leurs taches centrales ne sont pas confondues de manière à former une plage commune. Comme l'intensité de la lâche centrale est déjà réduite à 0,3^ au milieu du raj'on, on conçoit que les images de deux étoiles d'égale grandeur pourront se détacher l'une de l'autre quand le milieu de la tache de la première sera sur le premier anneau noir de la seconde, car l'intensité minimum entre les taches est 0,74 î un objectif de 10*^"* est donc capable de séparer sûrement une étoile double de i'',4.
Dawes (* ) a contrôlé par une longue série d'observations cette influence du diamètre de l'objectif. Il appelle pouvoir séparateur d'une ouverture instrumentale l'angle minimum de deux étoiles qu'elle peut distinguer; le produit de cet angle par le diamètre de l'ouverture est une constante de séparation. D'après ses observations, une ouverture de i pouce permet au plus de séparer une étoile double dont les composantes, de sixième grandeur, sont à la distance de 4^56, soit i^',i6 pour une ouverture de 10*^°',
(«) W. Herschel, Phit, Trans. L. /?. S, y p. Sa; i8o5.
(') Fraunhofer, Schumacher s astr. Abhand.j t. I, p. 58; 183.3.
(') Knochenhauer, Die C/ndulationst/ieorie des Lichtesy p. 22; Berlin, i83|).
(♦) Dawes, Afem, 0/ the Roy. Astr. Soc.j vol. XXXV, p. i58; i8j6.
3l6 CHAPITHE V.
c'est-à-dire un angle plus faible que ne l'indiquerait rempièlement par moitié des taches centrales.
215. Emploi des diaphragmes. — 11 est intéressant de chercher comment il serait possible d'améliorer le pouvoir séparateur d'un instrument par des diaphragmes de forme convenable qui cacheraient une partie de l'ouverture.
On voit d'abord que, si l'on couvre la partie centrale par ua écran circulaire de rayon pi, l'amplitude de la vibration est égale à la différence des valeurs relatives aux deux rayons pi et s, c'està-dire proportionnelle à la différence A(p) — A(pj), ou
Il est clair que la déviation du premier minimum sera moindre que pour l'ouverture entière et qu'on améliore ainsi la visibilité des étoiles doubles; mais, par contre, on augmente Timportance des anneaux qui suivent et Ton troublerait sans doute l'image d'un objet dont l'angle apparent est appréciable.
Quand on ne laisse libre, par exemple, qu'une ouverture annulaire très étroite au bord de l'objectif, l'amplitude de la vibration correspondante c/A (212) est nulle pour m =0,49''^ environ, au lieu de la valeur o,Gi7: qui correspondrait à l'ouverture entière.
D'une manière plus générale, si l'on fait usage d'une série d'écrans qui laissent libres des ouvertures annulaires concentriques de rayons p, et p2i ?< ^^ p^j etc., l'amplitude de la vibration résultante sera
A(p,) - A(?,) + Wt)- H9\) +-■■-
On peut enfin couvrir l'ouverture par des écrans percés de trous équidistants sur des cercles concentriques, etc.
216. Formation des images. — Lorsque la source a des dimensions apparentes notables, les ondes produites par les différents points ont des vibrations indépendantes; la quantité de lu- 'nièrc qui éclaire un élément du plan focal est la somme des
1. '^Misités qui correspondent à tous les éléments de l'image géomé-
inlt * dont l'action est appréciable, en y comprenant les effets de
en et.
trique on.
diffracti quantité de luuiière est représentée par la somme des
Cette
DIFFRACTION. 3l7
volumes du solide de diflraclion, relatifs à tous les ëlémenls de l'image géométrique, qui ont pour base l'élément de surface considéré. On peut ainsi, par le calcul ou par des constructions graphiques, déterminer la distribution de la lumière dans le plan focal ; nous nous bornerons à deux cas particuliers :
1° Supposons d'abord que la source est une ligne lumineuse d'éclat uniforme, dont les dimensions transversales sont inappréciablesy et dont l'image géométrique a une courbure très faible par rapport à celle des premiers anneaux de diffraction, les seuls dont il y ait lieu de tenir compte.
Pour un point situé auprès de l'image géométrique et loin des extrémités, on voit aisément, par la superposition des intensités relatives à tous les points lumineux, que l'intensité est proportionnelle à la section du solide de diflFraction par un plan parallèle à l'axe et à la distance m qui correspond à la distance angulaire du point considéré à l'image géométrique. M. André a calculé cette Table pour les différentes valeurs de m, en prenant pour unité l'intensité sur l'image géométrique elle-même, qui correspond à la section méridienne du solide de diffraction.
Image (Tune ligne.
Intcntilé.
(nt«Dsilé.
Inlcnsilé.
OfO
I , oooo
4oi
4iG
ZÙ
0,OIO'(
3oo
ii4
o,ooi5
3l8 CHAPITRE V.
Le mode même de construction montre que l'intensité nVsl jamais nulle. A mesure qu'on s'éloigne de l'image géométrique, la lumière diminue d'abord lentement et varie d'une manière continue, en passant par une série de minima et de maxima, pour devenir insensible au delà de m = 6.
H est à remarquer que, pour le premier minimum, le rapport
— = — ^ = 0,56 est plus faible que pour le premier anneau
obscur dans l'image d'un point, mais l'intensité o,o3 est encore supérieure à celle du premier anneau brillant, et elle reste à peu près constante jusqu'à ;7?=3, c'est-à-dire pour une dislance moindre que celle (m = 3,5i) du deuxième anneau obscur.
L'image d'une ligne est donc élargie par diffraction et bordée de franges parallèles peu distinctes. Les images de deux lignes brillantes très rapprochées peuvent encore se distinguer quand le centre de Tune d'elles est sur le premier minimum de l'autre, car l'intensité du point intermédiaire est 0,8; la pénétration d'une lunette sur un pareil système de lignes serait
Si la source a la forme d'une fente de plus en plus large, 1^ effets se superposent cl rinlcnsité en un point est représentée paw le volume d'une tranche du solide de diffraction déterminée pa^ deux plans parallèles à l'axe dont la distance correspond àl'angB apparent de la source; on en obtiendrait la valeur par la somni des termes du Tableau précédent compris entre deux valeurs m dont la différence serait constante. Le phénomène se transforn»ainsi d'une manière continue.
2" Lorsque la source est une surface d'éclat uniforme, noi» ^ supposerons encore que son contour géométrique a une faible courbure. Dans ce cas, l'intensité dans le voisinage du bord estr(?' présentée par le volume du solide de diffraction situé d'un cotédi* plan défini par la valeur de m qui correspond à la dislance à^ point considéré au bord géométrique. Pour les points situés sur l'image elle-même, à quelque dislance du bord, l'intensité est représentée par le volume total du solide de diffraction.
DIFFRACTION. 3icj
n prenant celle inlensilé pour unité, ]a Table suivante donne ntensités qui correspondent à différentes valeurs de m :
Image dC
une surface
Iniensilc.
Intensité.
0,5ooo
(jjSJ
Inlenslté
'éclairement diminue d'une manière continue depuis m = — 6 |u'à m = -I- () ; l'intensité est moitié moindre pour m = o que la surface elle-même, ce qui était évident, et la courbe des nsilés est sj'métrique par rapport au point qui correspond au J géométrique.
i deux surfaces d'égal éclat se touchent par leurs bords paral- 5, l'éclairement du champ est uniforme; quand on les écarte e de l'autre, les images ne paraissent distinctes que si la somme inlensitcs qui correspondent à la moitié de la distance de leurs Js géométriques diffère notablement de l'unité. Il est plus difc de définir le pouvoir séparateur des lunettes dans le cas ac- , parce que l'impression produite sur l'œil dépend beaucoup de at intrinsèque des images ; il faut aussi que l'espace plus sombre me largeur apparente assez grande pour être distingué, i la distance angulaire des deux surfaces correspond à m = i ,8
- zzzo,57, l'éclairement du point intermédiaire, dont la dis-
e aux bords géométriques correspond à m ^^^ 0,9, est o,53. doit admettre qu'alors la distinction des images n'est pas dou-
e cl le pouvoir séparateur serait -
lo.\%
3l8 CHAPITRE V.
Le mode môme de construction montre que Tintensité n'est jamais nulle. A mesure qu'on s'éloigne de l'image géométrique, ia lumière diminue d'abord lentement et varie d'une manière continue, en passant par une série de minîma et de maxima, pour devenir insensible au delà de ni = G.
il est à remarquer que, pour le premier minimum, le rapport
0,56 est plus faible que pour le premier anneau
obscur dans l'image d'un point, mais l'intensité o,o3 est encore supérieure à celle du premier anneau brillant, et elle reste à peu près constante jusqu'à m =3, c'est-à-dire pour une distance moindre que celle (m = 3,5i) du deuxième anneau obscur.
L'image d'une ligne est donc élargie par diffraction et bordée de franges parallèles peu distinctes. Les images de deux lignes brillantes très rapprochées peuvent encore se distinguer quano le centre de Tune d'elles est sur le premier minimum de Fauirei car l'intensité du point intermédiaire est 0,8; la pénétration d'ur*^ lunette sur un pareil système de lignes serait
Si la source a la forme d'une fente de plus en plus large, 1 effets se superposent et Tinlcnsité en un point est représentée p le volume d'une tranche du solide de diffraction déterminée p deux plans parallèles à l'axe dont la distance correspond à Tang apparent de la source; on en obtiendrait la valeur par la somm des termes du Tableau précédent compris entre deux valeurs m dont la diflcrence serait constante. Le phénomène se transform ainsi d'une manière continue.
s*" Lorsque la source est une surface d'éclat uniforme, no supposerons encore que son contour géométrique a une faibl courbure. Dans ce cas, l'intensité dans le voisinage du bord est présentée par le volume du solide de diffraction situé d'un côté d plan défini par la valeur de m qui correspond à la distance d ])oint considéré au bord géométrique. Pour les points situés s l'image elle-niémc, à quelque distance du bord, l'intensité est rd^ présentée par le volume total du solide de diffraction.
DIFFRACTION. 3l9
^aant celle inlensilé pour unilé, la Table suivanle donne si lés qui correspondenl à différentes valeurs de m :
Image d'une surface.
Intensité
o,5ooo
Inlensité.
Inionsitp.
iremcnl diminue d'une manière conlinue depuis m = — 6 ?z ^= -f- () ; rintensilé est moitié moindre pour m = o que irface elle-même, ce qui était évident, et la courbe des s est symétrique par rapport au point qui correspond au •métrique.
X surfaces d'égal éclat se touchent par leurs bords paralclairement du champ est uniforme; quand on les écarte l'autre, les images ne paraissent distinctes que si la somme isités qui correspondent à la moitié de la distance de leurs ométriqiies diffère nolablement de l'unité. 11 est plus difdéfinir le pouvoir séparateur des lunettes dans le cas ac- 7c que l'impression produite sur l'œil dépend beaucoup de Iriiisèque des images ; il faut aussi que l'espace plus sombre irgeur apparente assez grande pour être distingué, istance angulaire des deux surfaces correspond à m = i ,8
0,57, l'éclairemenl du point intermédiaire, dont la dis-
X bords géométriques correspond k m =^ 0,9, est o,53. admettre qu'alors la distinction des images n'est pas dou-
le pouvoir séparateur serait -
iV',8
3l8 CUAPITRB V.
Le mode même de construction montre que Tintensité n'esl j jamais nulle. A mesure qu'on s'éloigne de l'image géométrique, la lumière diminue d'abord lentement et varie d'une manière continue, en passant par une série de minima et de maxima, pour * devenir insensible au delà de m = H.
Il est à remarquer que, pour le premier minimum, le rapport
— = -^— = 0,56 est plus faible que pour le premier anneau
obscur dans Timage d'un point, mais l'intensité o,o3 est encore supérieure à celle du premier anneau brillant, et elle reste à peu près constante jusqu'à m =3, c'est-à-dire pour une distance moindre que celle (m = 3,5i) du deuxième anneau obscur.
L'image d'une ligne est donc élargie par diflraction et bordée de franges parallèles peu distinctes. Les images de deux lignes brillantes très rapprochées peuvent encore se distinguer quand le centre de Tune d'elles est sur le premier minimum de l'autre, car rintensité du point intermédiaire est o,8; la pénétration d'une lunette sur un pareil système de lignes serait
i.r\7 56 ^îî^ (i 6i ~ d '
Si la source a la forme d'une fente de plus en plus large, les efl'els se superposent et Tintensité en un point est représentée par le volume d'une tranche du solide de diffraction déterminée par deux plans parallèles à Taxe dont la distance correspond à Tangle apparoni de la source; on en obtiendrait la valeur par la somme des termes du Tableau précédent compris entre deux valeurs de /;/ dont la diflérence serait constante. Le phénomène se transforme ainsi d'une manière continue.
2" Lorsque la source est une surface d'éclat uniforme, nous supposerons encore que son contour géométrique a une faible courbure. Dans ce cas, l'intensité dans le voisinage du bord est représentée par le volume du solide de diffraction situé d'un coté du plan défini par la valeur de ni (pii correspond à la distance du |)oinl considéré au bord |j;éomélrique. Pour les points situés sur rima«;e ene-méme, à (juelque distance du bord, l'intensité est re- ])résenlée par le volume total du solide de diffraction.
DIFFRACTION. 3l9
En prenant cette intensité pour unité, la Table suivante donne les intensités qui correspondent à différentes valeurs de m :
Image d'une sur/ace.
intensité
giai
Intensité
o,5ooo
Intensité
o,OloH
L*éclairement diminue d'une manière continue depuis m =^ — 6 jusqu'à m = -h 6; l'intensité est moitié moindre pour m r= o que sur la surface elle-même, ce qui était évident, et la courbe des intensités est symétrique par rapport au point qui correspond au bord géométrique.
Si deux surfaces d'égal éclat se touchent par leurs bords parallèles, l'éclaireraent du champ est uniforme; quand on les écarte l'une de l'autre, les images ne paraissent distinctes que si la somme des intensités qui correspondent à la moitié de la distance de leurs bords géométriques diffère notablement de Tunité. Il est plus difficile de définir le pouvoir séparateur des lunettes dans le cas actuel, parce que l'impression produite sur l'œil dépend beaucoup de l'éclat intrinsèque des images ; il faut aussi que l'espace plus sombre ait une largeur apparente assez grande pour être distingué.
Si la distance angulaire des deux surfaces correspond à m = i ,8
ou — =0,57, l'éclairement du point intermédiaire, dont la dis-
lance aux bords géométriques correspond à m r^ 0,9, est o,53.
On doit admettre qu'alors la distinction des images n'est pas dou-
teuse et le pouvoir séparateur serait —7 —
320 CUAPITHE V. j
Dans son célèbre Mémoire sur la construction des télescopes, Foucault (*) a donné le nom de pouvoir optique à la propriété ! que Dawes appelait plus tard pouvoir séparateur. Pour déterminer cette constante, Foucault visait un système de lignes blaoches séparées par des intervalles noirs de même diamètre et il faisait varier les dimensions des traits ou leur distance à Tinstniment pour atteindre la limite à laquelle on commençait à les distinguer. Il a ainsi fixé par expérience à l'^yS le pouvoir optique correspondant à une ouverture de lo*^".
Ce nombre est un peu plus élevé que celui de Dawes, mais les deux résultats sont de môme ordre; leur difTérence parait tenir uniquement a ce que les observations du contrôle ne sont pas de même nature. La séparation des étoiles doubles, en particuliert dépend beaucoup de leur éclat.
Les écrans annulaires placés sur les objectifs donneraient lieu à des cfTcts analogues. Sans y insister davantage, on conçoit combien Tétude de la diffraction dans les instruments d'Optique est importante pour Inobservation d'un grand nombre de phénomènes astronomiques, tels que les étoiles doubles, les occultations, les passages de planètes sur le soleil, etc.; nous renverrons sur ce point au travail de M. André.
Quand on veut utiliser une lunette pour distinguer les détails d'une image dont les dilférents points n'ont pas le même éclat, le problème est encore plus complexe, parce que le pouvoir séparateur dépend de la forme même de ces détails, ainsi que du rapport (|ui existe entre leurs éclats intrinsèques, et de l'intensité générale (le lu lumière.
217. Ouverture elliptique, — Supposons que l'ouverture soit une ellipse
Pour obtenir la diffraction dans un plan OQ {fig> 98) normal aux ondes incidentes et faisant l'angle cp avec l'axe des i, on peut, en déplaçant les ordonnées perpendiculaires à OQ, transformer
(') Foucault, Ann, de l'OOs. de Paris, t. V, p. 219; i858.
DIFFRACTION. 321
celte elHpse en une autre ellipse dont le grand axe AA' est donné par Péquation
OA 1=1 a' cos* a 4- 6' si n'a.
Comme on peut aussi transformer cette nouvelle ellipse en un cercle en multipliant les ordonnées par un facteur constant, les sinus des déviations dans le plan de diffraction OQ sont en raison inverse de OA.
Fig. .j8.
En désignant par k^ un facteur constant, le rayon vecteur r de la courbe qui correspond à un phénomène déterminé dans le plan d'observation satisfait donc à la condition
Cette courbe est une ellipse semblable à l'ellipse d'ouverture ; les axes homologues sont rectangulaires et suivent la loi des anneaux donnés par une ouverture circulaire.
On peut encore traiter ce cas d'une autre manière en rapportant Tellipse à deux axes conjugués égaux Ç' et r/ qui font entre eux Tangle 0. Le grand axe primitif a de Teilipse étant situé dans l'angle aigu des nouveaux, l'équation de l'ellipse sera
sinO avec la condition
tanfç- =^ -• ^2 a
Les coordonnées du phénomène de diffraction, rapportés aux axes X ei y respectivement perpendiculaires à r/ et S', seront les mêmes que pour une ouverture circulaire de rayon «'. Pour un phénomène de nature déterminée, on aura donc une ellipse
x^-^- y* = p- M. -I. il
32'i CIIAPITRK V.
semblable à Tellipse d'ouverture et dont les axes homologues sodI rectangulaires.
Les règles indiquées précédemment permettront de traiter és^alement If cas de Tincidence oblique. Tant que les déviations sont petites, la diffraction relative à une ouverture circulaire ou elliptique, pour des rayons incidents dans une direction quelconque, est la même que pour l'incidence normale avec l*ellipse de pro- j jeclion du cercle ou de Tellipse considérée sur un plan perpemll- i culaire au\ rayons incidents.
218. Ous^erture rectangulaire. — Pour une ouverture rectangulaire, en forme de fente, dont la longueur est /= 26, la largeur d =^ 'xa et la surface a* = Id^ la phase de la vibration diffraclée est encore définie par le centre de l'ouverture.
Dans un plan perpendiculaire à la longueur / de l'ouverture, l'amplitude de la vibration est
. , C^" 5sinD ,^ j, l\ . asînD
jib \ cosîîir — T — a; '=f^ .^ ^^ sinar
7c sinD
ou, en posant
r/sini) sin.r
A=//^/Il— /crll.
Les directions d'intensité nulle correspondent évidemment à la condition
où p est un nombre entier dilTérent de zéro, c'est-à-dire aux directions pour lesquelles la largeur du rectangle contient un nombre pair d'arcs élémentaires, comme ou l'avait vu déjà (128).
Tant (|ue les déviations restent très faibles, les minima successifs sont à la distance angulaire constante -19 dont le double - est
Tanglc apparent de la tache centrale.
Les niaxima s'obtiendront en égalant à zéro la dérivée du facteur Il par rapport à x, ce qui donne
J7C0SJ:: — sinxrziio ou or =: tangj?.
DIFFRACTION.
Les valeurs de x correspondantes sont déterminées par les points de rencontre de la droite^! = x avec la courbe y 2 = tang^r.
Celte dernière est formée d'une série de branches asymptotes aux droites
ri
Le point O {Jig' 99) qui correspond àx = oouD = o est unr
Ftg. 99-
solution, comme on le savait déjà ; les abscisses des autres point: M, M', M'', . . . peuvent être représentées par
X=:{2p-h I — Sp)-)
le terme tp tendant vers zéro à mesure que/7 augmente.
Comme les minima correspondent aux valeurs x = piz, on voit que les maxima sont d'abord plus rapprochés du centre que le milieu de deux minima successifs, mais ils tendent à devenir exac tcment intermédiaires aux minima.
Toutes choses égales, l'intensité est proportionnelle à (t-*, conformément à la règle générale (205, T); les maxima successifs sont sensiblement en raison inverse de (2/7 4- i)'-^.
La Table suivante, dans laquelle on a représenté par m Tangle — > donnera une idée du phénomène :
o,oo3R
o,oiS8
îîi
o,9oo3
o,8io0
iG i>
itKÎ
o,."^3oi
iK
Il »
3,5 ic
o,oo83
Pour deux sources voisines telles que le centre de chaque image
soit sur le premier minimum de Pautre, Tintensité du point inler-
10' 3 médiaire serait 0,81 et la pénétration de Tinstrument ' »
Dans plusieurs expériences de spectroscopie en particulier, les faisceaux se présentent ainsi naturellement limités comme ils le seraient par une ouverture rectangulaire. Des écrans convenables placés sur la section du faisceau permettraient encore d'améliorer la pénétration de l'instrument.
Dans un plan parallèle à la longueur / de la fente, les déviations D' qui correspondent aux minima nuls successifs sont déterminées parla condition /sinD' = /)')x 5 pour des déviations très petites^ la
distance angulaire des minima successifs est^«
Pour une direction quelconque faisant avec les axes Ç et r, des angles dont les cosinus sont a et ^, on a
et l'amplitude de la vibration résultante est
^C0S2ir
^5-4-?iQ
DIFFRACTION. 325
L^'ntégration ne présente aucune difficulté, car on a
aç COS 2 7C r— ^— = — Slll a 11 ^r- COS 2 11 V- •
A ira A A
En répétant la même opération pour la variable 7|, il en résulte
ou, en posant
. >. ^^' . aa . ^3
W = irr-a, (^znityp,
. . sin// sin i»
Appelant encore '^l'azimut de di (Traction et D la déviation, les cosinus a et ^ sont respectivement sinDcoscpet sin D sin '^, et
<fcoso . -^ Is'inrp . -.
u^rzTz — ;- — ^sinD, i' =nr — i — ^sinD.
Les quantités rfcoscp et /sin'^ représentent les projections des côtés <i et / du rectangle sur le plan de diffraction ; ces deux projections ont la même valeur h = —— quand le plan dediffrac-
tien est perpendiculaire à une diagonale du rectangle. Dans ce
cas, on a
M = r =1:11 Y smD,
. . sin' M A=/cx — —.
Les directions des minima nuls sont les mêmes que pour une fente de largeur A.
Sur la sphère de rayon R, les coordonnées du point P correspondant sont ^ = Ra,^ = Rj3, et Ton peut écrire
, TZ d . Tzl
. riA nA „,,
•^ Tzd Tzl •^
HX^ ÏÏX^
Les facteurs H et K représentent les valeurs qui correspondent
3xi\
sur les axes aux dislances x el y. Les mînima délerminent donc dans le plan focal un réseau formé par deux systèmes de droites respectivement parallèles aux côtés du rectangle d'ouverture. En écrivant cette expression sous la forme
A crlI.dK
on voit que Tamplilude de la vibration, sauf les variations du fa^ leur y* qui sera constant pour des déviations très faibles, est le quotient, par Tamplitude relative à la normale, des amplitudes relatives aux distances x ely dans les plans de symétrie. Il en est de même pour les intensités. On peut dire que la diflTraction se fait en deux opérations successives, parallèlement aux deux plans ; (le symétrie.
Quand les déviations restent très petites, le réseau des minima dans le plan focal est formé par des droites dont les distances
--J- et -y- sont respectivement en raison inverse des côtés parallèles rf et /du rectangle d'ouverture. Les droites de chaque sv-itème qui passent par le centre C (Jig' loo) étant supprimées, il
Fig.
reste une tache centrale rectangulaire semblable à l'ouverture,
dont les cotes — - —j' sont respectivement perpendiculaires
aux cotés homologues de Touverlure. On voit par la figure quell»*
DIFFRACTION. 827
sera la forme des trois autres systèmes de rectangles déterminés par les deux séries de lignes noires.
219. Ouverture en parallélogramme. — Soient encore la cl 26 les côtés du parallélogramme et 8 Tangle qu'ils font entre eux. Si l'on prend deux axes x et y respectivement perpendiculaires aux côtés 26 et 2a, on voit immédiatement (207) qu'il y aura dans le plan focal, pour des déviations très petites, deux séries de droites d'intensité nulle parallèles aux axes y el x [fig- i o i ), dont
, ,. , . RX Ra
les distances comptées suivant ces axes sont r— r et —, — r— 7-)
^ 2asinO 2£^sinO
Fig. loi.
à l'exception des deux droites qui passent par le centre.
Le parallélogramme central est semblable à l'ouverture et les côtés homologues sont perpendiculaires.
Les distances normales de ces lignes, — ^ et — ; > sontles mêmes
la
ib
que dans le cas du rectangle.
Tant que les déviations restent très faibles, la diffraction relative à un parallélogramme ou un rectangle pour une direction quelconque des rayons incidents est la même que pour l'incidence normale avec le parallélogramme de projection de l'ouverture sur un plan perpendiculaire aux rayons incidents (209, XIV).
220. Ouverture en triangle. — Dans le cas d'une ouverture triangulaire, dont les côtés sont a, b et c {Jig* 102), nous consi-
dérerons d^abord la diffraction dans un plan perpendiculaire à II médiane de Fun des côtés a. En prenant pour origine un point 0 de celte médiane, on a évidemment F = 09 puisque les cordes de la surface parallèles à la médiane sont symétriquement distribuées de part et d'autre (206, VII).
Fig. 103.
Appelant a A la projection du triangle sur Taxe des \ situé dans le plan de diffraction, o! la longueur de la médiane, la surface da
triangle (j = «'A donne A = -7* Le triangle peut être transformé
par un déplacement des cordes parallèlement à Taxe Ov^ en un rectangle dont la diagonale est a! et, en posant
Il Z=1T.
T sin D = - ^ — , sin D, A A a'
Tamplltude de la vibration a pour expression (218)
sin'w
En désignant par/? un nombre entier différent de zéro, les minima sont nuls pour la condition
sin D =n w - =11) — A.
Dans le plan focal on aura donc, sur les droites perpendiculaires aux. médianes, des minima nuls, dont la distance constante est proportionnelle à la longueur de la médiane correspondante.
Considérons encore la diffraction dans un plan perpendiculaire à l'un des côtés c du triangle, en prenant ce côté pour axe des t,.
DIFFRACTION. 3*^9
En appelant C| la hauteur du triangle parallèle à Taxe des ;, la corde / relative à Tabscisse Ç est
En posant
airsinD ^ f,
w = r ou o = /n;,
les intégrales F el G sont alors
F = c/ (i j^Çsinm?,
G := c / ( 1 ]ci^ cos m $,
On a d'ailleurs
f^c^sinml =: cos m? H rsinm^,
fldlcosm^ :rz-h -^ sin/wï 4- -^ cos m 5; il en résulte
ni ni^
F z=: — - — (niCi — sinmc.), G n^ — 5 — (i — cosmci), m^Ci ' rn^Ci
Comme le produit CC| est le double de la surface t du triangle,
si Ton pose
mCi r.sinD
Il — = 7Z — r — >
on peut écrire
F = — ; (2// — sin2£/) =: — T (w — n'inu cos m), 2 m' ir^
G= — z (1 — cos 2//) =^ 7 — T— (M.
L'intensité de la lumière diffractée ne peut être nulle que si l'on a en même temps F = o et G = o, ce qui n'a jamais lieu. Les directions d'intensité maximum et minimum sont défmies
(») Bridok, Phil, Mag.j [/}], t. XVI, p. Sai; i8j8.
33o CHAPITRE V.
par la condition F dV -\- G dG = o, qui se réduit à
tt = tang//.
Ces directions sont les mêmes que pour une ouverture rectangulaire de largeur C| (218).
On peut maintenant ramener au même cas le calcul de la vibralion difFractée dans une direction quelconque.
Soient {^/fg- loi^) / la longueur de la corde AM perpeDdicuIaire au plan de diffraclion, C| et — c^ les perpendiculaires abaissées des sommets C et B sur cette droite, enfin 0"| et o-j les surfaces des triangles CAM et MAB.
Les valeurs des intégrales sont alors
, / / si n m(\ si n mr, \
I — cosmci 1 — cosmc
on, en posant
mr.
Il , - -
me* Ut- ,
1^' ^= — (''i — sin w,cosM|) ^ (Ui — sin^/jccsi/j)»
Us
Ou pourrait ainsi, par une décomposition en triangles, traiter le ras d'une oiivorliire quelconque à contour polygonal, mais les rrsuilats deviennent 1res compliqués. Nous renverrous aux observations de Fraunhofer, d'ilerschel, et aux calculs de Rnochenliaucr, Schwerd, etc.
DIFFRACTION. 33l
Systèmes irrégiliers d'ouvertures ou d'écrans.
221. Diffusion, — Lorsqu'il existe dans un plan ou sur une surface continue des ouvertures ou des écrans de très petites dimensions, de formes et de grandeurs difierenles, et disséminés au hasard, la lumière est diffusée dans toutes les directions; Tintensité en chaque point est la somme des intensités qui seraient dues respectivement à chacune des ouvertures ou des écrans.
Il en est de même, d'une manière plus générale, lorsqu'il existe sur une surface ou dans le milieu traversé par la lumière primitive des accidents quelconques distribués au hasard et qui donnent lieu à des différences de marche de valeurs différentes.
Si les dimensions de ces ouvertures ou écrans, ou les différences de marche considérées, quelle qu'en soit Torigine, sont extrêmement petites par rapport à la longueur d'onde, elles ne troublent pas le phénomène d'une manière appréciable et il n'y a de lumière sensible que dans la direction de propagation régulière.
A mesure que ces différences de marche augmentent, jusqu'à devenir de même ordre de grandeur que la longueur d'onde, la diffusion se manifeste d'abord pour les rayons les plus réfrangibles, tels que le violet et le bleu, pendant que la propagation régulière reste sensiblement inaltérée pour les ravons rouges. La lumière diffusée présente alors une teinte bleue ou violette plus ou moins pure; comme cette diffusion est empruntée à la source primitive, la lumière directe sera moins riche en rajons très réfrangibles et les teintes rouges y seront prédominantes.
Lorsque les relards relatifs aux rayons extrêmes des ouvertures ou des écrans sont notablement plus grands que la longueur d'onde, toutes les couleurs sont diffusées. S'il n'existe aucune variation systématique dans les dimensions des obstacles, la fraction de lumière diffusée dans une direction quelconque est indépendante de la couleur et la diffusion est blanche quand on opère avec une source de lumière blanche.
Enfin la propagation régulière finit elle-même par disparaître lorsque les écrans ne laissent sur une surface que des portions libres d'étendue trop faible.
532 CIIAPITEB V.
222. Couleurs des corps» — La plupart des corps nous apparaissent surtout par la lumière diffusée et leurs différeats points se comportent comme un système de sources indépendantes. Ils sontcolorésy en général, quand on les éclaire à la lumière blanche, mais cette coloration ne tient pas le plus souvent aux phénomènes de diffraction.
Si Ton examine par transparence, avec de la lumière blanche, un verre coloré dans sa masse ou un liquide coloré, comme une dissolution de sulfate de cuivre, on reconnaît tout d'abord que U teinte est sensiblement blanche pour une très faible épaisseur, et qu^elle se colore de plus en plus, en même temps que son éclat s^affaiblit, à mesure que l'épaisseur augmente.
^analyse spectrale de la lumière transmise montre que toutes les couleurs sont absorbées très inégalement ; on aperçoit dans le spectre des bandes plus sombres, de formes et de positions variables, dont l'importance augmente avec l'épaisseur du milieu et qui fînissent par envahir le spectre tout entier.
Pour une lumière homogène, dont l'intensité primitive L est réduite à la valeur M après avoir traversé l'épaisseur x du milieu,
la fraction — ^^ absorbée dans une couche nouvelle est proportionnelle à Taccroissement d'épaisseur dx par un facteur m qui représente le coefficient d^ absorption relatif à la longueur d*onde A considérée. On a alors
- -— - m dx, M — Le-"".
L'inlensilé totale de la lumière incidente étant SL, l'intensité de la lumière transmise est SL^?""'"-^ et la fraction de chaque couleur^
qui était primitivement™) est devenue -^ri — z;;rr*
La composition de cette lumière dépend donc de l'épaisseur du milieu et de la manière dont le coefficient m varie avec la longueur d'oude ; la lumière transmise finit par ne plus contenir que les couleurs pour lesquelles ce coefficient est le plus petit.
Quant à la lumière absorbée, elle se transforme en une énergie é(|uivalenle d'autre caractère physique, le plus souvent en chaleur, quelquefois en une modilicalion chimique du milieu, etc.
DIFFRACTION. 333
D'autre part, la fraction de lumière réfléchie sous un même angle d'incidence ne dépend que de Tindice de réfraction et varie très peu d'une couleur à l'autre ; malgré la coloration du milieu, cette lumière reste sensiblement de même qualité que la lumière primilive, c'est-à-dire blanche dans le cas actuel.
Si l'on considère un ensemble de corps de cette nature, comme seraient des cristaux de sulfate de cuivre brisés en fragments assez petits, mais de grandes dimensions par rapport aux longueurs d'onde, la multiplicité et l'orientation variable des surfaces empêchent toute réflexion régulière; il se produit alors une sorte de diffusion. La lumière émise dans une direction quelconque comprend des rayons qui n'ont subi qu'une réflexion et d'autres, en beaucoup plus grand nombre, qui ont traversé les cristaux une ou plusieurs fois et sont revenus vers l'œil, soit par réfraction, soit par réflexion intérieure, soit par réflexion sur d'autres cristaux voisins. Tous ces derniers sont colorés et l'ensemble de la lumière diffusée présentera une teinte analogue à celle de la lumière transmise par le cristal sous une certaine épaisseur.
A mesure que les dimensions des fragments diminuent, le rapport de la surface au poids augmente de plus en plus et fait croître la fraction de lumière diflusée ou réfléchie par la première surface ; en même temps, les rayons qui subissent des opérations multiples ne traversent plus les cristaux que sous une épaisseur moindre et reviennent à l'œil avec des colorations plus faibles. La lumière difi^usée devient donc de plus en plus blanche. Tous les corps colorés par transparence donnent ainsi des poudres blanches quand on les broie à l'état de poussières extrêmement fines.
Pour d'autres corps, dits à coloration superficielle, la fraction de lumière réfléchie régulièrement est très variable avec la couleur. Si l'on appelle /le facteur relatif à la longueur d'onde X, la quantité totale de lumière réfléchie est SL/et la fraction de chaque
L/ couleur rrpp* Si la lumière se réfléchit/? fois sous le même angle,
et qu'elle conserve les mêmes propriétés après chaque rt'flexion, l'intensité finale du faisceau réfléchi est SL//* et la fraction de
chaque couleur / •
Tel est le cas des métaux (or, cuivre, argent), de certains com-
334 cil VPITRK V.
posés minéraux (cinabre, minium, oxvdes de mercure, carbonates (le fer, etc.) employés en peinture et de plusieurs produits organiques dérivés de l'aniline.
l.acom[)Osilion de la lumière dépend ici du nombre des réilexions et les couleurs pour lesquelles le coefficient y* a la plus grande Naleur finissent par devenir prédominantes. L'or, par exemple, qui paraît jaune par une seule réflexion, prend des teintes rougei» (|uand on regarde rinlcrieur d'une coupe profonde, parce queb lumière y subit plusieurs réflexions successives.
Les rayons qui sont le plus aflaiblis par réflexion pénètrent en réalité dans le milieu où ils sont absorbés sous une très faibip épaisseur ; on sait, en efl'el, qu'une feuille d'or extrêmement mince paraît verte par transmission.
Quand on pulvérise les corps à coloration superficielle, la lumière difl'usée ne renferme plus en grande majorité que des rayons réfléciiis une seule fois, et la poudre, vue à la lumière blanche, tend vers une couleur définie.
Une dernière catégorie de corps jouissent de la propriété singulière de difl'user une partie de la lumière primitive en vibrations lumineuses d'une autre nature. Comme Tefiet est localisé à la surface ou du moins dans une épaisseur très petite du milieu. Sir J. llerscbel (*) a désigné ce phénomène sous le nom de di/' fusion rpipoUquc, M. Stokes a constaté que la longueur d'onde des rayons épipoliques est toujours inférieure ou au plus égale à celle des rayons primitifs. Lorsque la lumière ainsi difl'usée disparaît en môme temj)S que Téclairement, les corps sont dits /luon'sccnts : on les appelle phosphorescents quand ils conservent la propriéli' d\*mellre de la lumière pendant un temps plus ou moins long a[)rès que Taclion de la source éclairante a étésu[>primée, (^es elfels de fluorescence et de phosphorescence, qui ne sont pas réellement distincts, s'observent à des degrés diflerenl^ sur un très grand nombre de corps, mais, sauf de rares exce|v lions, ils ne représentent qu'une fraction minime de la diffusion générale. Cette question a ét('' l'objet de travaux importants que nous ne [pouvons étudier ici ; nous citerons en particulier les recherches de M. Stokes et de M. Ed. Becquerel.
(') IIkhscuei, Phil. Trans. A. R. >\, p. i43; i845.
DIFKRACTION. 335
223. Diffusion dans un milieu troublé, — Si le milieu dans Jequel se propage la lumière n'est pas homogène, quoique restant isotrope, c'est-à-dire s'il renferme des particules de substances étrangères, comme seraient des poussières ou des gouttelettes en suspension dans Tair, chacun de ces éléments nouveaux du milieu intervient ; le retard produit sur la vibration transmise dans une direction quelconque varie alors d'un point à l'autre sans aucune loi régulière.
Lorsque ces corps ont des dimensions notablement plus grandes que les longueurs d'onde, ils réfléchissent ou difi'usent la lumière, suivant l'état de leurs surfaces. A moins qu'ils n'appartiennent à la catégorie des corps à couleur superficielle, le milieu qui les renferme paraîtra d'un blanc plus ou moins gris dans la lumière blanche. Tels sont les nuages ou les brouillards, les liquides opalins comme le lait, les dissolutions troublées par des précipités ou des poussières en suspension. Si l'on examine le milieu de plus près, à la loupe ou au microscope, on distinguera les particules qui ont altéré sa transparence.
Lorsque les dimensions des particules sont de l'ordre des longueurs d'onde, les retards qu'elles produisent sont encore variables d'un point à l'autre sans aucune loi régulière. La diffraction a lieu dans tous les sens et le milieu paraît lumineux, mais une différence essentielle se manifeste dans les deux phénomènes.
La propagation directe des ondes n'est pas autrement modifiée que par un affaiblissement graduel. Comme le retard produit par une particule a d'autant moins d'importance que la longueur d'onde est plus grande, la diffraction croît avec la réfrangibilité de la couleur. Si la source primitive est blanche, la lumière directe prend une teinte rouge et le mih'eu paraîtra par diflraction d'une teinte bleue ou violette plus ou moins pure, suivant le degré de ténuité des particules qui en altèrent la transparence.
Des considérations générales suffisent ainsi pour montrer le caractère du phénomène, mais il est nécessaire de préciser ce nnode de raisonnement si l'on veut déterminer la qualité de la lumière diffusée.
Dans un beau Mémoire sur la théorie dynamique de la diffraction, M. Stokes (*) a montré que l'amplitude de la vibration
(*) Stoksb, Trans, of the Camb, Phil, Soc.j t. IX, Part I, p. i; i85i.
CHAPITRB V.
émise par une force périodique eu un point du milieu estenraisoa inverse du carré de la longueur d'onde, et lord Rayleigh (') a dédait de ce résultat analytique une explication remarquable sur la constilution du bleu du ciel. Le problème peut d'ailleurs être traité directement sans avoir recours à la théorie de rélaslicîté.
2î24. Extension du principe d^Huygens. — Pour étudier la diflraction produite par des obstacles renfermés dans un espace d'étendue limitée, nous appliquerons le principe d'Hujgens au volume lui-même.
Supposons que le système soit éclairé par un point lumineux 0 {Jig* io4) et que S soit une des ondes incidentes de rayon B. Il
est clair que la vibration en un point P situé au delà de la surface S peut être considérée comme la résultante des vibrations dues à tous les éléments du volume limité par deux ondes voisines S et S' à la distance A, chacun de ces éléments étant une source de vibrations indépendante, à la condition seulement que la résultante (les vibrations dans un milieu transparent reproduise la vibration réelle au point P.
La vibration dx produite au point P par un élément du volume d\ situé en M', entre les deux surfaces S et S', est évidemment proportionnelle au volume lui-même et en raison inverse de la distance. Si Ton appelle encore b la distance PA à Tonde S, ^ la
(') J.-W. Strutt (L. Raylcigh), PhU, Mag,, [4], t. XLI, p, 107; 1871.
DIFFRACTION. Si;
perte de phase corrcspondanle, t! le changement de phase qui tient à Tapplication du principe d'iluygens, R' et p' les dislances xM'O et M'P, A' la différence des chemins OM'P et OP, o' la perte de phase correspondante, on peut écrire (184)
dx — ;x' %/' sin(io^ 4- a'— .3 - 8'), P
le facteur/pétant égal à l'unité pour les éléments voisins du pôle A et diminuant de plus en plus à mesure qu'on s'en éloigne.
Pour déterminer le coefficient jx', il suffit d'appliquer le raisonnement au cas où le milieu reste transparent et dépourvu de tout obstacle. On n'a plus alors à considérer, comme éléments efficaces, que ceux qui sont situés dans le voisinage du pôle A, a une distance de Tordre de la longueur d'onde.
Dans l'intégration qui donnera la vibration résultante, on est autorisé, par les raisons déjà invoquées plusieurs fois, à remplacer les vibrations élémentaires par d'autres vibrations qui en diffèrent très peu et qui tendent vers zéro à mesure qu'elles proviennent de points plus éloignés du pôle.
On a déjà, en appelant 0 l'angle M'OA,
p'îzr(/>-+-R)»4- 1V«— 2(/>-i-R)IVcosO
ou, avec les simplifications permises,
p'* = (^ -f. W — \\'y-^(b^- R)iro%
M étant le point où la direction OM' coupe la surface S, A la difiVrence des chemins OMP — OP, o la perle de phase correspondante et s l'arc AM, on peut écrire, si la distance li des deu\ ondes S et S' est très petite,
H;(^j-R)Re* R' R ' \'b' ' R
et, par suite (185),
a' ijz 2TZ— :- 0-^ - A^S'.
M. — I. aa
Le volume de la couronne corrcspondanl à l'arc ds est
2 'S (ish = ttA ds^ n-- -7v rfo
el la vibration correspondante
tl.r ^ ^/sm{wt + a'- ? 5) rfS,
y étant un facteur égal à Tunilé pour de petites valeurs de o et qui tend ensuite rapidement vers zéro.
Comparant avec l'expression trouvée précédemment, on voil que, pour retrouver la vibration réelle au point P, il faut qu'on ait (186)
Nous remarquerons maintenant que, pour les différentes lumières homogènes, les épaisseurs h qui jouent le même rôle sodI proportionnelles aux longueurs d'onde ; on peut donc remplacer h par/))., p étant un facteur constant, ce qui donne
•JL •
Ces considérations ne déterminent pas la valeur du facteur//, qui est en eflet arbitraire, puisque Ton peut limiter le volume à une épaisseur quelconque, par exemple d'une longueur d'onde, en faisant/; = i .
Si Ton étend, au contraire, l'intégration au volume tout entier, le coefficient p doit être physiquement variable avec la constitution des vibrations, très petit si les vibrations sur le rayon sont longtemps régulières, plus grand au contraire si ces vibrations éprouvent des altérations rapides par suite des modifications ou de Tangle a])parent de la source.
En tous cas, l'amplitude de la vibration produite par un élément de volume est, toutes choses égales, en raison inverse du carré de la longueur d'onde.
Ce résultat était d'ailleurs évident, comme l'a fait remarquer Lord Kayleigh, car Tamplitude de la vibration due à l'élémenl de volume dV est proportionnelle à l'amplitude a de la vibration
DIFFRACTION. 339
]iii existe dans cet élément et l'expression - — ,-, qui ne dépend
:)lus que de la longueur d'onde, doit être une quantité numérique ;
1 faut donc que le rapport — soit de la forme — r-r- ^ ^^ a p\^
225. Bleu du ciel, — Si l'espace considéré renferme des :.*orps étrangers distribués au hasard, qui interceptent une partie le la lumière, ces obstacles équivalent à des écrans imparfaits, ou \ des cavités correspondantes (187) moins éclairées que dans le passage libre des ondes, et l'intensité de la lumière diffraclée dans une direction quelconque (210) est la somme des intensités relatives à chacune des cavités.
Lorsque ces corps étrangers sont de toutes dimensions, petites par rapport à la longueur d'onde, ils sont invisibles directement, mais ils produisent de la lumière diffractée ou diffusée. Pour deux vibrations différentes, on doit comparer entre eux les corpuscules dont le diamètre est une même fraction de la longueur d'onde; les plus gros n'interviendront ainsi que pour la lumière rouge et les plus petits que pour la lumière violette. Si le nombre N des corpuscules renfermés dans Tunité de volume est sensiblement le même pour toutes les tailles, l'amplitude de la vibration produite
par chacun d'eux est proportionnelle à -r^ et l'intensité totale à
l'expression N-^-
Comme le facteur p est indépendant de la longueur d'onde, l'intensité résultante pour l'ensemble des vibrations qui consti-
tuent la lumière primitive est proportionnelle à S ry
L'air renferme, sans aucun doute, au moins à une certaine hauteur, même lorsqu'il parait le plus transparent, des particules solides ou liquides en suspension, telles que des granules dépoussière, des gouttelettes d'eau ou des cristaux de glace.
Remarquons, en passant, que la suspension dans l'air de ces corps étrangers de densité plus grande ne présente pas de difficultés, car le poids d'un corps est proportionnel au cube r' de l'une de ses dimensions, la résistance qu'il éprouve à se déplacer dans l'air est proportionnelle à sa surface ou à r^. Le rapport du
Sjo CHAPITRE V.
poids ù la résistance de l'air est de l^ordre des dimensions r etpir conséquent 1res petil. Ces corps tomberaient, il est vrai, lenlenicntdans un air câline^ mais les moindres mouvements atmosphéri(|ucs suflisenl pour les relever et ils restent longtemps en suspension. Quant aux goulleleltes d'eau et aux particules de glacf. elles se renouvellent incessamment et ne peuvent disparaître.
Si aucune autre cause n'intervient, cette explication peut trouver un contrôle expérimental dans l'analyse du bleu du ciel.
IjCs inverses des quatrièmes puissances des longueurs d^onde pour les principales raies du spectre lumineux sont, eneflet, proportionnels aux nombres suivants:
A... i,oo<) D... 2,801 F... 6,o36
Lord Rayleigh a comparé au spcctroscopc la couleur d'un beaa ciel au voisinage du zénith avec la lumière du Soleil, difiuséc aa travers d'une feuille de papier blanc, et déterminé le rapport des intensités dans les différentes régions du spectre. En rapportant les mesures au cas où les deux spectres auraient le même éclat aa voisinage de la raie C, les observations ont donné :
Calcul I 1,54 2,f»2 3,34
nhsor\alion.. . . 1 1 ,Gj 2,8^ 3, 60
Les résultats sont assez concordants si Ton tient compte de» erreurs possibles dans une expérience aussi délicate; ils prouvent au moins que la loi théorique donne une teinte très approchée de la couleur du ciel, plus riche peut-être en rayons bleus.
On doit remarquer d^n'lleurs que chaque particule dilFracte non seulement la lumière directe du Soleil, mais aussi celle qui lui pro\ieul des autres particules par une première diffraction; cetle (|uanlilé de lumière latérale n'est pas insignifîante et contribuerait à augmenter la pureté du bleu.
D'un autre coté, si le nombre J\ des corpuscules renfermés dans Tunilé (le volume croît rapidement à mesure que leurs dimensions diniiruienl, les corpuscules de même ordre seront plus nombreux pour les petites longueurs d'onde et la prédominance du violet dans la lumière diffractée deviendra encore plus grande.
DIFFRACTION. 34 1
223. Composition de la lumière transmise. — La lumière directement transmise dans la propagation régulière est ainsi afTaiblie par diflraclion, comme elle Tesl par absorption (222) dans un milieu de transparence imparfaite. Si l'intensité primitive L d'une lumière homogène est réduite à la valeur M après avoir traversé
une épaisseur z de milieu troublé, la fraction — ^r— de lumière
perdue par diffraction dans une couche nouvelle est proportionnelle à i^accroissement d'épaisseur dz par un facteur de la forme
r^9 où m est indépendant de la longueur d'onde. On a donc
— dM m M î ~ Tï
-^j— — ^ dz, ^\ — he >*
Quand Tépaisseur, ou plus généralement le produit mz^ croît en progression arithmétique, l'intensité M décroît en progression géométrique et beaucoup plus rapidement pour les couleurs plus réfrangibles. Si Ton prend une épaisseur :; telle que Tintensité soit réduite de —• pour Textrémité rouge A du spectre, dont la longueur d'onde est /, l'intensité pour une autre couleur sera
M=:L(o,9)vx).
Pour des épaisseurs a^, 3-3, ..., nz^ les rapports -r- sont re-
présentés par les puissances successives des valeurs relatives \\ z. Le Tableau suivant montre combien les changements d'épaisseur modifient la composition de la lumière transmise :
Tableau des valeurs de y- •
MJ
Epaisseurs.
Hai6!i. c 2C. 3 c. .1 z. ... loz.
II 0,239 0,057 0,014 o,oo3 ... 0,000
Cette absorption rapide des courtes vibrations suffit pour expli-
qner la couleur rouge du Soleil à l'horizon. Elle permet aussi de comprendre la faible étendue du spectre ultra-violet de la lumière solaire, tandis que les sources artificielles donnent une échelle de radiation beaucoup plus longue (81).
227. Altération du bleu. — Enfin, on doit considérer que U lumière transmise au travers d'une épaisseur z est ensuite diffusée ou qu'elle est d'abord diffusée, puis transmise, ce qui revient an même. En tenant compte de ces deux eflets successifs, quel qu'ea soit l'ordre, on voit que Téclat apparent E du milieu, relatif à chaque couleur, peut être représenté par une expression de U forme
Toute lumière disparaîtrait alors pour des longueurs d'onde très grandes ou très petites.
Le maximum de ce rapport, qui est le coefficient dC illumina' iioriy aurait lieu pour une longueur d'onde déterminée par la condition )v* = mz. Si l'on appelle Ao la longueur d'onde définie par cette condition, E,, l'éclat et Lq Tinlensité de la lumière priuiiti>T correspondants, on a
Si Ton suppose (|uc Ay est extrêmement petit et qu'on remplace
l'expression r-^ aJ par une quantité finie, on retrouve la loi prcct-
dente (225) ])Our la nature de la lumière émise par le milieu. En général, le rapport du coeflicienl d'illumination pour ww
couleur au coefficient relatif à la raie A est égal ^ ( ^" ) ^ " •
Si la longueur d'onde Ao correspond à la raie H, les rapport ainsi clélcrminés :
A... I ,ooo I). . . 2,.»5ï F... 3,7Ti7
B... i,4>7 K... 3,4io G... 5,11^
<'... i,7i3 b... 3,i9'Ji H... 5,379
montrent que la richesse de la couleur résultante en violet ex l rem»'
DIFFRACTION. 343
H dimÎQué de plus de moilié; la couleur se rapproche du blanc à mesure que la longueur d'onde limite X© devient plus grande.
Le coefficient d^extinclion m croît évidemment avec le nombre des particules étrangères suspendues dans l'atmosphère . Pour une roéme épaisseur ^, la valeur de Xq croît donc dans le même sens. On s^explique ainsi les teintes de plus en plus blanches que prend le bleu du ciel, à mesure qu'il devient plus lumineux, la pureté croissante de la couleur quand on se rapproche du zénith, le ton violet noir sous lequel il apparaît à certains jours de grande transparence, surtout quand on l'observe d'une station très élevée où la lumière n'a pas à traverser les couches inférieures de Tair.
Cette théorie rend compte également des belles colorations bleues observées par M. Tyndall et qui naissent sur le trajet d'un faisceau de lumière dans un espace renfermant des traces de vapeurs de certains composés organiques, ou même dans un liquide troublé par des particules de dimensions extrêmement petites.
228. Propriétés optiques des surfaces, — Dans le même ordre d'idées, il est facile de préciser ce que l'on doit entendre par le poli optique, quand on utilise la surface de séparation de deux milieux pour réfléchir ou réfracter la lumière.
Une telle surface, qu'elle provienne d'un cristal naturel, d'un clivage, d'un corps liquide solidifié ou d'un travail mécanique, n'a jamais une forme rigoureusement géométrique. Elle est couverte d'accidents qui représentent, par rapport à la surface moyenne, une série d'aspérités ou de creux, dont les dimensions doivent être extrêmement petites par rapport à la longueur d'onde pour qu'il soit permis d'appliquer les théorèmes généraux relatifs à la réflexion ou à la réfraction sur les surfaces continues.
Pour en évaluer l'importance, supposons que li soit la hauteur d'une aspérité très petite A {Jîg* io5) et considérons la lumière réfléchie régulièrement sous l'incidence /'.
Les rayons AR et A'R' réfléchis sur le sommet de l'aspérité et sur la surface moyenne S sont dans le même cas que s'ils s'étaient réfléchis sur les deux faces d'une lame d'air (io) d'épaisseur /i, et leur différence de marche est
A — ^ A cos i.
Le rapport de ce retard à la longueur d'onde est notablement
plus grand pour le bleu que pour le rouge. La réflexion régulière sera donc plus riche en rayons rouges.
En outre, la différence de marche A a sa valeur maximum 2 ilt pour /= o et devient nulle pour TincideDce rasante. La diffusion est donc maximum pour Fincidcnce normale et devient très faible pour des rayons voisins de la surface.
Ces considérations, dues à Fresnel (*), expliquent les propriétés des surfaces qui ont été simplement doucies par un premier travail de Topticien. Sous Tincidence rasante, une telle surface donne : des images très nettes j)ar réflexion, puis, à mesure que Tangle d'incidence diminue, les images deviennent moins lumineuses; elles prennent une teinte fauve ou orangée pour les directions comprises entre certaines limites et disparaissent ensuite, ne ' laissant que de la lumière diffusée.
1'* ^ 'Ig. 100.
Dos surfaces manifestement rugueuses, comme une feuille de papier, fournissent des images d'une netteté inattendue sous Tincidcncc rasante.
On utilise cette propriété pour étudier les propriétés des surfaces doucies avant de leur donner le poli définitif. De même encore, quand on veut mesurer la longueur d'un mètre à bouts, dont les faces terminales n'ont reçu qu'un poli médiocre, on en ap|)roclie normalement une pointe aiguë et, à l'aide d'un microscope placé dans une direction qui fait un angle très faible avec la surface, on vise le milieu de l'intervalle de la pointe et de sou image. La visée correspond alors à la surface moyenne de la face terminale.
M. Ogden llood (*) a vérifié numériquement cette influence de> asj>érités en projetant sur une surface polie des poussières assez
(') riusNF.i., Œuvres, t. I, p. 223.
( 0 OuDEN H00D, Phil. Ma g., [',], l. XWIII, p. S^o; i%Cyj,
DIFFRACTION. 3\5
régulières pour que leur grandeur moyenne pùl être évaluée au microscope, cl déterminé Tangle d'inclinaison sous lequel les images rouges commençaient à disparaître. La différence démarche A doit erre alors d'une demi-longueur d'onde, ou
4 cos£
L'expérience a donné :
Nature Diamûtrc h
des ■'■■ ^ .■ ^
poussières. observe. calcule.
Noir (le fumée 0,46 0,7.8
Noir (le paraffine 0,46 0,58
Magn(*sie 0,91 o,8G
Les résultats sont bien de Tordre prévu par la théorie et l'irrégularité des grains ne permet guère d'obtenir une concordance plus rigoureuse.
Ce qu'on appelle \e poli spéculaire des surfaces est donc défini par la condition que les irrégularités laissées par le travail de l'opticien soient très petites par rapport à la longueur d'onde de la lumière, c'est-à-dire notablement moindres que ol*, 5.
229. — Il en est de même pour la réfraction. Les deux rayons réfractés R| et R', {/ig» io5) sont dans les mêmes conditions que si l'un d'eux seulement avait traversé un milieu d'épaisseur A. Leur différence de marche est (il)
A — I A ( n cosr — ces i).
Dans le cas actuel, ce retard a sa valeur minimum Ao^/i(// — 1)
pour e = 0 et il augmente avec l'incidence jusqu'à h yj n- — 1 . C'est donc pour la lumière normale que la réfraction fournira les meilleures images.
En faisant /i == 1 ,5 on aurait Aa = -j c'est-à-dire le quart seu-
lement de ce que donnerait la réflexion; le poli optique est donc
plus facile à réaliser pour les lentilles que pour les miroirs.
Lorsque le milieu situé au-dessus de la surface a un indice de
réfraction n! et que i^ et r désignent des angles correspondants,
la différence de marche est seulement
A i:z /i ( « ces /• — /i'cos/'),
3i() CHAPITRE V.
ce (\in donne, pour rincidcnce normale.
Le rolarJ est très petit quand les indices n et /l' sont très voisins, (lelte propriété est souvent utilisée par les opticiens pour reconnaître si la taille d'un cristal a été faite exactement dans une direc- | tion déterminée, sans pousser le travail jusqu^au bout. La surface étant seulement doucie, on la recouvre d\me couche de baume (|ue Ton écrase avec une lame de verre. Le milieu ainsi obtenu parait bien transparent et Ton peut étudier les propriétés du cristal pour modifier la taille s'il est nécessaire. Plusieurs lames de verre collées ensemble par des couches très minces de baume se comportent comme une lame uni(|ue, à tel point qu^il est très diffîcilf de reconnaître Texistence de surfaces intermédiaires.
De même aussi, un corps transpurent plongé dans un milieu tie même indice de réfraction paraît invisible, quelle que soit sa forme. L'expérience réussit d'une manière remarquable avec une tige di* \erre plongée dans l'acide phénique liquéfié par une très petite (piantité d eau; on ne distingue plus la tige que par les fils on les bulles d'air ([u'elle renferme.
On peut, par cet arlilîce, étudier les propriétés optiques d'un corps de forme quelconque, telles que la double réfraction d'un verre trempé, conmie une larme batavique, ou d'un cristal non taillé, le pouvoir rolaloire d'un morceau de quartz, etc.
î230. Couronnas, — La dillusion est remplacée par une diflTraclion régulière lorscpie les objets (pii font écran sur le trajet de la lumirre, les poussières n'pandues sur les surfaces réfléchissantes r>u réfringentes, etc. ont des dimensions identiques, tout en restant disiril>ués au hasard. L'intensité de la lumière diflVactée est pro- |)(>rlionnellc au nombre des ouvertures traversées par les ra>ons utilisés ou au nombre des (•crans complémentaires.
Les phénomènes de dlIlVaction prennent beaucoup d'éclat quand on opère avec une séri(* «J'ouvertures ou d'écrans circulaires et [>résenlent la [)lus grande analogie avec les couronnes (jue l'on aperçoit (pietquefols autour du Soleil et surtout autour de la Lune.
Dans ce cas, l'eflet étant de même nature que pour une ouverture circulaire, le sinus de la déviation relative h un anneau d^ ordre déterminé (213) est proportionnel à la longueur d'onde et en raison
DIFFRACTION*. 34;
inverse du diamètre des ouvertures ou des écrans. Les sinus des déviations relatives à une couleur homogène varient comme les nombres o; 0,819; '»346î i,858; ... pour les maxima, et comme les nombres 0,610; i^iiO; 1,619; a, 112; ... pour les minima.
Newton a le premier attribué Tapparition des couronnes aux gouttelettes d'eau qui flottent dans l'atmosphère; on les obtient quelquefois, en effet, en regardant une flamme de bougie par réflexion ou transmission avec une lame de verre recouverte d'une buée régulière. Cette explication a été confirmée par Fraunhofer ( * ) qui a mesuré les anneaux obtenus en regardant une source lumineuse de dimensions très petites au travers d'un système de deux verres entre lesquels il avait mis de la poudre de lycopode ou distribué au hasard un grand nombre de petits disques métalliques. Les diamètres des anneaux sont proportionnels à la longueur d'onde et en raison inverse du diamètre des disques ou des grains de poudre.
Les résultats de Fraunhofer relatifs à la position des maxima el des minima paraissaient moins conformes à la théorie; mais Verdet (^) a montré, par des mesures directes avec la lumière rougeet par une interprétation plus exacte des nombres de Fra,unhofer, que la concordance est au contraire rigoureuse.
Delezenne (^) a indiqué un procédé très simple pour mesurer les couronnes du Soleil ou de la Lune. Un tube cylindrique ouvert à Tune de ses extrémités est fermé à l'autre par une plaque percée d'une ouverture très petite; dans l'intérieur du tube est un disque circulaire mobile. Quand on dirige le tube vers le Soleil, Tœil étant derrière la petite ouverture, on peut placer le disque à différentes distances de manière à cacher successivement le Soleil et les anneaux qui l'entourent. La position du disque donne, dans chaque cas, le diamètre apparent du phénomène.
Il suffit encore de mettre au bout du tube un verre transparent sur lequel on a tracé des cercles concentriques. On fait ensuite varier la longueur du tube jusqu'à ce que Tun des cercles se superpose à l'anneau que l'on considère.
Le diamètre de l'image centrale est proportionnel à la longueur
(») FBAUNnoFER, Schumacher's AstroTiomische Abliatidl .<, t. III, p. 33; 1825. (') Vbrdbt, Ann. de Chim. et de Phys., [3], t. XXXIV, p. 128; iSja. (') Delbzenne, 3/c/w. de la Soc, des Se, de Lille, t. XI Y, p. 1; i838.
d'onde. Si les eorpsen suspension dansTair sont assez petits poar donner des anneaux très larges, le bord de la tache centrale est formé en majeure partie par des rayons peu réfrangihles. Il j aura donc autour du Soleil et à quelque distance une zone dans laquelle les rayons rouges seront dominants et qui prend une leiiile d'une couleur cuivrée.
Ces apparences sont assez rares ; cependant elles semblent a\oir ])crsisté pendant quelque temps à différentes époques et surtout pendant les années 1884 et i885 (*). Comme elles se sont produites a|>rès la célèbre explosion de Krakatoa, il v a quelque probabilité quelles soient dues à des poussières extrêmement ténues c|ui seraient restées suspendues dans l'air à cause de leur extrême petitesse et qui proviendraient des cendres rejetées parle volcan. On doit même remarquer qu'il suffît de traces de matière presque impondérables, parce qu'elles auraient pu servir de noyau pour la condensation de Teau sous forme de gouttelettes ou de glace.
On obtient des couronnes presque identiques à celles de b nature par une expérience ingénieuse duc à M. Coulier.
Dans un ballon contenant de Tair, on introduit une petite quantité d'eau et Talmosphère du ballon communique avec une poire de caoutchouc que l'on tient à la main. Quand on comprime la poire, on écliaulle Tair intérieur ; en l'abandonnant à elle-même, l'air se reJroidil par dilatation et il se forme un nuage. Toutefois, .si le ballon a été laissé en repos pendant plusieurs heures ou si l'on y a introduit de l'air privé de poussières en le filtrant à travers une couclic de coton, la décom])ression ne fait pas apparaître de nuage, comme si riuimidité ne pouvait se déposer que sur un «;erme solide ou li<]uidc préexistant dans le gaz, de sorte qu'en l'absence de tout corpuscule en suspension la tension de la vapeur (l'eau dépasserait sa valeur maximum normale. Avec de l'air plus ou moins complètement purgé de poussières, on obtient des nuages très l(*gers, extrêmement homogènes; la flamme d'une bougie vue à travers le ballon montre des couronnes très éclatantes et l'on peut reproduire dans certains cas la teinte cuivrée (pli se montre quelquefois autour du Soleil.
(•) CoRXr, Comptes rendus de l'Académie des Sciences, l. XCIX, p. \^S ei 717; i88'».
diffraction. 3 19
Ouvertures identiques distribuées régulièrement.
231. Ouvertures en ligne droite, — Supposons d'abord qu'un certain nombre N d'ouvertures identiques soient distribuées sur une surface plane à des distances égales suivant une même droite et éclairées par de la lumière normale.
Considérons la diffraction suivant une direction OP {fig. io6),
Fig. 106.
et soient C, C, C, • . . les centres de phase homologues des ouvertures successives par rapport à cette direction. Les centres de phase sont à une distance constante
et nous prendrons pour axe des \ la droite qui les joint.
Si l'on appelle a le cosinus de l'angle que fait la direction OP
avec l'axe des Ç, 0| la différence de phase itz "Y~^ ^^^ vibrations
produites par les points O et C, et û = 27wra la différence de
phase relative à deux ouvertures successives, la vibration due à la première ouverture C est de la forme a sin (w^ -j- 0| ) et les vibrations dues aux ouvertunîs suivantes C, (7, . . . sont successivement asin(a)^ 4-2|-t- 2), asin((of 4- 0, 4- 2ô), ....
En posant, pour abréger, « = w/ + o,, la vibration résultante est donc
a? = a!sinM-+- sin(«4- 8) -+- sin (m -+- 28) +. . .-4- sin[^/ h- (N — 0^]|-
L*aroplitude a est une fonction des cosinus a et ^ des angles que fait la direction OP avec les axes Ç et r^. Les variations de ce coefficient donnent lieu à des phénomènes que Fraunhofer a ap-
0 rsinD ,, esinD
:r — r > K == 2 COS t: — ^
Les niininia de seconde classe sont nuls et ont lieu pour les directions
siiiD zn (27 -h i) — >
7 étant un nombre entier quelconque.
Pour des déviations très petites, ces minima sont équidistanls
35o CHAPITRE V.
pelés de première classe et qui sont définies uniquement parla forme de chaque ouverture. La suite des N termes compris dans la parenthèse dépend uniquement de la distance des ouvertures et du cosinus a; elle correspond à des phénomènes de 5eco/i(/^ classe résultant de la combinaison des vibrations produites par les différentes ouvertures.
La vibration est d'ailleurs de la forme
^ = rïK sin(M — <p),
le facteur K, qui correspond aux phénomènes de seconde classe.
étant une fonction de la différence de phase o, et Tamplitude de
la vibration est
A =:iaK.
232. Deux ouvertures. — Avec deux ouvertures identiques seulement, on a
.r rrr a[s\nu -h sin(// -h 0)] zi: 2acos-sin f « h — )•
On voit d'abord que la phase est la même que si la vibration provenait du milieu de la distance CC, et Tamplitude est
A := 2 r? COS - .
Pour 0^=0, c'est-à-dire dans la direction normale, Pamplitudc est double et l'intensité quadruple de celles qui correspondraient à une ouverture, ce qui était évident.
Dans le plan JJ; parallèle à la ligne des ouvertures, on a
a ^= sinD et
DIFFRACTION. 3jl
dans le plan focal. C'est le phénomène des interférences d'Youn^ avec deux ouvertures identiques de forme quelconque; Tinlerférence est complète quand la différence de marche relative à deux points homologues des ouvertures est un nombre impair de demilongueurs d*onde.
Les maxima de seconde classe ont lieu pour les directions
e sÏTïD lin ql =: 2^-;
ils sont intermédiaires aux minima : le facteur K est alors égal ù ± 2 etK2=4.
11 peut arriver, dans certains cas, que l'un des maxima de seconde classe soit très affaibli ou même disparaisse complètement : c'est lorsqu'il a lieu pour la même direction qu'un minimum nul de première classe.
Si Ton considère la diffraction dans un plan quelconque, qu'on appelle D l'angle que fait la normale OÇ à l'écran avec la projection OQ de la droite OP sur le plan J^Ç et 9 l'angle POQ, on a
azu cosO sinD.
Tant que les déviations restent très petites, cos6 ne diffère pas sensiblement de l'unité et l'on peut encore remplacer a par sinD.
Le plan focal sera donc découpé par une série de lignes noires perpendiculaires à la ligne des ouvertures et à la distance constante
233. Plusieurs ouvertures, — On traiterait de la même manière le cas de 3, 4> • • • ouvertures. Considérons le problème général, en posant
S = sinw 4- sin(w 4- 8) -t- sin(// H- '-îô) -+-. . .4- sin[it -+- (N — 1)0].
Pour évaluer la somme S, nous utiliserons la relation
cos[m -h (/i — i)S] — cos[m -h {n 4- 1)8] = 2 sin8 sin(// -+■ no).
Si l'on donne successivement à n les valeurs o, 1, 2, ..., N — i, on obtient une série d'équations différentes^ en ajoutant toutes
3Sa CIIAPITBB V
ces équations membre à membre et médiaires qui se reproduisent avec des si Gnalement
COS(u — O) H- COSfl — C08[ll H- (N — i)8I
En coupant, dans le premier membre quatrième et le second avec le troisième
S smo = sin I « H ^ Il sio —
rr 2 sin — 0 cos - sin 1 «H
ou
smN-
S =r ^sinl « -H(N
sin -
La vibration résultante a donc pour ei
sin IN —
HZ aS-=z a ir sin 1 « -+- (
sin -
Elle a la même phase que si elle proven
les ouvertures; ce point est, en effet, un c
Le facteur K, relatif aux phénomènes d
sinN-
sin rj
Pour S = 0, on a
Dans la direction normale au plan de Téc proporlionnelle au carré du nombre dos o Considérons d'abord le phénomène dan la ligne des ouvertures, où a= slnD.
Pour - = nizou esinD = /iX, le facteu
forme -9 mais il est facile de reconnaître o
suivant que les nombres JS n et n sont de même parité ou de parités différentes el, dans tous les cas, R^= N^, comme pour la normale.
Les directions
sinD =: /i e
correspondent à des niaxima principaux de seconde classe. La différence de marche A=f?sinD relative aux points homologues de deux ouvertures voisines est alors un nombre entier de longueurs d^onde; il est évident que les amplitudes des vibrations dues à toutes les ouvertures s'ajoutent.
U ordre d'un maximum principal est donné par le nombre n,
La vibration est nulle pour
On doit en excepter toutefois les valeurs de q qui sont des multiples de N, parce qu'alors le rapport ^ serait un nombre entier
n et l'on retrouverait un maximum principal.
Il y a donc, entre deux maxima principaux, un nombre N — i de minima nuls, pour lesquels le sinus de la déviation D varie comme la suite des nombres entiers à partir de l'unité.
Pour des déviations très petites, ces minima sont équidistants.
On obtiendra enfin des maxima secondaires d'intensité en
égalant à zéro la dérivée du facteur K par rapport a ~> ce qui donne
N cosIN - sin sinl\ -ces - zir o,
En posant - =: x, les valeurs correspondantes de x seront données par les abscisses des points de rencontre des deux courbes
jKi— langa-,
CIIAPITHC T».
Depuis la normale jusqu^au premier i à-dire entre les limites jr = o et x = tt, branches OB et O'B' ^fig- 107) inclin rencontre O et O' avec Taxe des x^ \
SI
Fig. 107.
La courbe j.j, tracée sur la figure dan formée d'une série de branches égalemen
des X, aux distances x r^ ^ 7: = -^ - , nu
nima de seconde classe et aux maxima pr
aux droites x -- -^, •
Les points de rencontre () et O' cor principaux que nous avons Irouvés déjà ( in^ne est symétrique par rapport au m deux maxima principaux consécutifs.
Les valeurs de x relatives aux maxima scisses des points M, , Mo. ..., M, , M,,. ... : d'une manière générale par
DIFFRACTION. 355
la quantité tç étant positive ou négative et d^autanl plus petite que
N le nombre 2 y -f- 1 est plus voisin d'un multiple impair de — •
Les déviations sont données par la relation
elles ne sont pas exactement intermédiaires à celles des minima. I^es valeurs correspondantes du facteur K^ sont
sin*Nj? tanf;*N.r n- tang'jr
siu-.r tang*^ i-f-tang'No'
