CC' = C'C
Cl z:^ Civ-«| — C«| i^i n^ •
les distances successives des points homoL
Si Ton représente par a^ I*aniplitude dans le plan normal Oi par les M| ouvert la d<Wiation D, Tamplitude de la vibrai lignes d'ouvertures parallèles à la premi demment,
A 1= rtj
sin -
dsinD
en posant 0 :^ ait
11 en résulte une série de minima nuls (
sml) 1= ^ - , i\ e
sauf pour les valeurs de q qui sont les mi nent des minima principaux.
IIIFFRACTION. 35?
Pour des déviations très faibles, il y aura dans le plan foca) (^g. 109) un système de lignes noires parallèles aux droites C, i'.,
et à la dislance cunstanle ^1 sauf la suppression des lignes qui
correspondent à «y ^= o. N, aN
Vig. 109.
On aura, de même, un autre système de lignes noires parallèles à la droite CC, à lu distance constante ^ — > sauf encore la suppression de celles qui correspondent à des maxima principaux.
Ces deux systèmes détermineront plusieurs espèces de rectangles différents ; le rectangle central est semblable aux rectangles lies ouvertures, les côtés homologues étant perpendiculaires.
Si les directions CC et CC, des deux séries d'ouvertures font
un angle H, le plan focal est encore traversé par deux systèmes de
... , ,. H). RX , ,,
lignes mtires, aux mêmes distances -jr^- et ^ — que précédemment. ° Ne N,»;, ^ "^ '
mais respeclivement perpendiculaires aux directions CC'etCC,.
Le cas de trois ouvertures identiques non en ligne droite se
traiterait dr même comme la diffraction d'un triangle (220).
PENTtS ET STRIES MR tl.LÉI.BS.
235. Deux fentes. ~ Avec deux fentes égales et parallèles, de longueur /, de largeur r/, séparées par un intervalle opaque de largeur d' , la distance des points homologues est e ^^ d -\- d' .
Pour une lumière incidente normale, la différence de phase des vibrations émises par les deux fcnies dans un plan perpendiculaire est
(^/-^rf')sinD ^sinD
Uamplitude de la vibration due à l'a
dsin
siin: — r—
'^ dsinu
Famplilude résultante est (231)
SIIITT — ;
A - - •->. fi j— — n— cos
I^s minima sont tous nuls. Ceux de dans les directions
à l'exception de /? = o; ceux de seconde
sinl)*^ — ^
Les maxima de première et de second directions
si ni)', {'?.p — I — tj, sinD.» ^- it/ — •
Si les distances d et d' sont dans le n entiers m et m\ il y a des directions dani (le seconde classe coïncide avec un niinii il suffit qu'on ait
Les maxima de seconde classe d'ordre coïncident avec les nnnima de premièn .)/;/, ... et disparaissent.
En Taisant, par exemple, /;/ r— >. et seconde classe d'ordre T), lo, iT), ... di tombent sur les minima de première class
Deux lignes noires de largeur dj sépai
DIFFRACTION. 359
donneraient la inème diflraclion que les deux fentes, puisquVlles forment un système complémentaire.
Si chacune des fentes (ou des lignes qui forment écran) n'est pas terminée par des bords rectilignes ou renferme une série d'inégalités, connue serait un trait tracé sur verre, de sorte que les rayons qui émanent des différents points subissent des retards îrréguliers, la diffraction correspondante est changée en diffusion et les interférences de première classe disparaissent. Dans ce cas, chaque fente émet de la lumière dans toutes les directions^ mais, pourvu que les deux fentes restent identiques, les interférences mutuelles ne sont pas supprimées et Ton observe encore les maxima oi les minima de seconde classe.
236. Grand nombre de fentes ou de lignes parallèles à distances inégales. — Avec un grand nombre de fentes (ou de lignes) de diamètres différents, parallèles et à des distances quelconques, l'intensité de la lumière diffractée dans une direction déterminée lîsl la somme des intensités correspondant à chacune des fentes séparément. C'est encore une diffusion.
Si les fentes (ou les lignes), tout en restant parallèles, sont de mémo diamètre et distribuées au hasard, l'intensité de la lumière diffractée est pour chaque direclion proportionnelle au nombre N des ouvertures (ou des lignes) et de même nature que celle d'une seule ouverture; on ne voit alors que les phénomènes de première classe et les maxima prennent beaucoup d'éclat.
Young (*) a proposé d'utiliser celte expérience, sous le nom cVériomètrey pour mesurer le diamètre de fils très minces. Un certain nombre de fils semblables réunis en paquet sont placés sur le trajet de la lumière d'une fente. Les déviations des minima
observés, - -, sont proportionnelles à la longueur d'onde et en
raison inverse du diamètre des fils.
237. Nombre limité de fentes égales et équidistantes, -- Enfin les interférences de seconde classe reparaissent lorsque les fentes parallèles sont égales et équidistantes.
(') YouNfl, Pliit. Trans. L, li. 5., i>io'i, p. i.
3Go CHAPITRE V.
Si Ton remplace l*ampUtude a (222) par sa valeur reliUve t une fente unique, l'amplitude de la vibration résultant de N fentes est
é/sinD . ^. esinD sinir — ; siDiNir — r —
A=/ff
é/sinD . esinD T — r sin ic — s —
On a alors :
i" Ues minima nuls de première et de seconde classe dans les directions
en exceptant pour/> la valeur zéro et pour q les multiples de N: ';t° Des maxima de première classe
sinD;=:(2/>-+-i — ep)^;
W"* Des niaxima secondaires de seconde classe
sinD;=r (2(7^-l-6p)^^; '!" Enfin des maxima principaux
sinD« = n- z^'xn — • •^ e 26
Un maximum principal peut encore disparaître quand les longueurs d et d' des vides et des pleins sont dans le rapport (l«* <leux nombres entiers m et m', c'est-à-dire si Ton a
a e n a -\- a m -h ni
Les maxima principaux dont l'ordre est multiple de(m-r'"' lomhent sur les minima de première classe dont Tordre est multiple; de m.
Lorsque le nombre N des fentes est très grand, les maxima secondaires deviennent insensibles et il n'y a de lumière appréciabU'
DIFFRACTION. 36l
que dans la direction des maxima principaux, pour lesquels l'amplitude est proportionnelle au nombre des ouvertures. Les résultats ne sont pas changés, au moins en dehors de la normale, quand on remplace les ouvertures par des écrans et inversement, c'està-dire quand on permute les pleins et les vides.
Si la distance e reste constante, l'intensité de la lumière diffractée dans une direction déterminée est la même fonction de la largeur des vides ou des pleins. Elle est nulle quand Tune de ces largeurs est égale à zéro et passe par un maximum ou un minimum (généralement un maximum quand les vides sont égaux aux pleins).
Si Ton appelle E la longueur totale Ne de la surface couverte de fentes, on a pour un maximum principal, en remarquant que
. , ^, ÎN^ . rfsini) ^ -, EX . ^sinD A = ih A/ — — ,- SI n 7: — . :rz±i fl : — — sin t: • — .
ou
A =- zi /A — sm/ir - • ^ HT, e
La condition du maximum d'amplitude, en valeur absolue, est
ci . 2p ~h \
Pour le premier maximum principal (/î = i), la condition /?=o ou id:=^ e donnera donc un maximum de lumière.
Toutes choses égales, l'intensité d'un maximum principal, à part les variations du coefficient y, est en raison inverse du carré de l'ordre de ce maximum.
Si la lumière incidente est oblique à Técran, mais dans un plan perpendiculaire aux fentes, et qu'on étudie la diffraction dans le plan d'incidence, on devra encore dans tout ce qui précède remplacer le sinus de la déviation par la somme des sinus des angles d'incidence et de diffraction. On aura ainsi, pour les maxima principaux, par exemple,
n - ^^ sin/ H- sin/', e
et lorsque la déviation D'= /-}- i' est minimum, c'est-à-dire que
3G-2 ClIAPITRB %
l'écran est bissecteur de Tangle des raj clifTractés,
sin — •=r. n — •
Remarquons encore que le denii-angi principal peut être considéré comme successifs de seconde classe.
Kn appelant £*' et £^ les angles de difFrai le cas de Tincidence oblique, on a
Ne ~ E
sini" — sine'^i a ca
et, comme les angles i' et i^ sont 1res pe
E cos C
Pour rincidence normale, cet angle cosinus de la déviation
En couvrant un objectif par un syst é(|uidistantes, Tangle de pénétration rela et une déviation assex faible est donc le i ivclangulaire de même larj^eiir (218'.
Si Ton opère au mininuun de dévialio
et l'angle i" — i^ est plus petit que pour 1
Si Ton dispose récrau de manière que
normale, Tanglc /' est nul et Tangle de p
ce sont les condilioiis les plus avaiilai^eu
238. Définition des rcsraux. - Vvix dilVérentes lois par exp<Tienee, appelai un ensemble d'ouvertures ou de traits pg même distanee; on a adopté en France le(|uel il a été désigné par Habinet.
Les inlerférenees de seconde classe s'c
DIFFRACTION. 363
les fentes sont irrégulières ou qu'on les remplace par des traits opaques de nature quelconque, pourvu que ces traits et fentes soient identiques entre eux, parallèles et équidistants. La diflraclion de première classe relative à chacune des ouvertures pourra être une simple diffusion, mais on retrouvera tous les effets de seconde classe et en particulier les maxima principaux.
La propriété la plus remarquable des réseaux consiste en ce que les maxima principaux restent seuls lorsque le nombre des ouvertures est un peu grand. Si donc on prend pour source de lumière une fente parallèle aux traits, les différentes lumières homogènes qui la constituent éprouveront pour les maxima principaux des déviations différentes. On obtiendra alors dans le plan focal de Tobjeclif (ou au foyer conjugué de la fente si elle n'est pas très éloignée) une série de spectres purs, pour lesquels la déviation croît avec la longueur d'onde. Avec la lumière solaire et des réseaux assez lins, on pourra distinguer dans ces spectres les raies obscures de Fraunhofer, comme dans les spectres de réfraction, et eu mesurer les déviations avec une grande exactitude, puisque la perfection des images est de même ordre dans les deux cas.
On obtient un réseau, soit en traçant des traits parallèles au diamant sur une lame de verre, soit en enlevant dans une couche métallique mince déposée sur verre une série de filets parallèles, soit en traçant des traits sur une surface métallique polie. Dansée dernier cas, les phénomènes de diffraction s'aperçoivent comme de la lumière réfléchie. On les voit d'ailleurs aussi par réflexion sur une lame de verre striée ou sur une surface quelconque, opaque ou transparente, qui porte des traits équidistants.
Un certain nombre d'objets naturels produisent, avec plus ou moins de perfection, le phénomène des réseaux. Telles sont les stries transversales des muscles dans les vertébrés. Les plumes de quelques oiseaux ou les ailes des papillons doivent aussi la vivacité de leurs couleurs à la régularité et au grand nombre de stries parallèles dont elles sont sillonnées.
La diffraction dans les réseaux a une importance capitale pour la mesure des longueurs d'onde et l'analyse spectrale de la lumière : nous Texaminerons à part avec plus de détails, par une méthode un peu différente.
Des réseaux.
239. Ondes para géniques, — Lorsqu'un réseau est formé d'un très grand nombre de traits, ia diffraction a lieu presque uniquement dans la direction des maxima principaux. II se forme alors de véritables ondes latérales, ou onàes para géniques, dont on peut déterminer les lois directement par une méthode ingénieuse due à Babinet (*), et qu'il est facile de généraliser.
Supposons qu'une surface plane, qui porte un grand nombre de traits parallèles identiques et équidistants, soit éclairée par delà lumière normale. La diffraction n'est sensible que dans un plan perpendiculaire aux traits, puisque dans toute autre direction la diffraction est nulle pour chaque ouverture séparément. Soient C, C|, Câ, . .. {fig- iio) les points homologues des fentes suc-
Fig. 110.
cessives dans le plan principal. Tous ces points peuvent élre considérés comme des centres d'ébranlement à vibrations concordantes; ils produisent chacun une série d'ondes sphériques.
Pour une droite OP telle que la différence des chemins successifs CM, C,M,, C2M2, ... soit d'un nombre entier «). de longueurs d'onde, les vibrations émises respectivement aux point'^ M, M,, M2, ... par les ouvertures C, Ci, C2, ... sont concordantes; l'ensemble de ces vibrations constitue une onde paragénique. Cette formation d'ondes régulières par l'enveloppe de> ondes éléinonlaires concordantes qui proviennent des ouvertures successives à diverses époques est tout à fait analogue à la formation des ondes réfléchies ou réfractées par l'enveloppe des ondes
C) Babinet, Ann. de Cliim. et de Pkys., [2], t. XL, p. 178; 1829. Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, l. LVI, p. 4»» » i863.
DIFFRACTION. 365
élémentaires correspondant à la même époque et qui proviennent des difTérents points de la surface de séparation de deux milieux.
En réalité, les ondes émises par les différentes fentes sont cylindriques et Tonde paragénique P est un plan enveloppe des ondes cylindriques correspondant aux époques
/, t-h/iTy /-i-2/^T, ....
En appelant e Tintervalle des points homologues de deux fentes, la déviation D correspondant à Tonde paragénique d*ordre n est donnée par la relation
G, M, -CM n\
sinD 1=
CC| e
Le facteur n peut prendre toutes les valeurs entières, positives ou négatives, inférieures à r •
La valeur n =o correspond à la propagation directe.
Pour toute autre direction, il y aura entre les vibrations émises parles différentes ouvertures interférence d^autantplus complète que le nombre des traits du réseau est plus grand.
Lorsque la lumière incidente est oblique et dans le plan principal, il n'y a encore de diffraction sensible que dans ce plan.
Les ondes incidentes P (Jig' m) donnent des ondes paragéniques P, définies par la condition que les vibrations des points M', M',, Mj, ... produites respectivement par les ouvertures C, C|, C2, ... soient concordantes, c'est-à-dire que les chemins successifs MCM', MiC^M',, ... diffèrent d'un nombre entier n de longueurs d'onde.
En appelant i Tangle d'incidence et T Tangle de diffraction, il en résulte
(1) /iX =z é;(sini H- sinf ).
Cette équation exprime une loi particulière de formation des ondes, qu'on peut appeler loi de paragénie et qui est analogue aux lois de réflexion ou de réfraction.
La déviation du rayon diffractè est
Elle est minimum, conformément à la i
quand le plan du réseau est bissecteur de V
et diffracté.
rig. III.
Enfin, quand le rayon incident est obli
condition ,3 r- ,3,-i ^3=: o (209,5^) mont
est une des génératrices d'un cône; en ap
des rayons incident et diffracté avec le
plan principal, la direction des ondes pan
la condition
n'kz-r{s'inji— siny,
210. Réseaux tracés sur des surface étendre la loi de parâgénie, comme les lois fraclion, au ras où la source de lumière esl où \r réseau est tracé sur une surlace cou
Soit S (Jig* I I '2) la source de luniirre,!
li;;. II».
lace du réseau par un plan peîrpondiculaii la source; C, C,, C^, ... les points hoinolo sives, leur dislance constanle c étant sup l'onde sphérique incidente cpii passe par paragénique d'ordre n. La condition
M^G, C,M; - ni
DIFFRACTION. 867
donne encore, à des infiniment petits près négligeables,
/< X — : e ( sin z -+- sin i' ) .
La loi de paragénie est donc indépendante de la forme des ondes incidentes et de la surface du réseau.
Pour obtenir Timage S' virtuelle ou réelle de la source par difiractioD (^fig» 1 13), appelons i et * -h rfi, /' et l'-f-rfi', les angles d'incidence et de diffraction relatifs à deux rayons voisins SM et SM', p et p' les distances SM et S' M de la source et de son image, R le rayon de courbure OM de la courbe S.
Kig. ii3.
La loi de paragénie donne d'abord
ces i rii -h ces i' di' - o.
Soient a, i! et jS les angles MSM\ MS'M' et MOM'; les triangles SDM et ODM', S'D'M' et OD'M, donnent
