r- i — ^ — i -i- dt
ou
di
? -f- i' -- a' -f- C 4- di'
ou
di' -^
On en déduit, en substituant dans l'équation précédente,
a cos / — 1' cos /' 1^ Ô ( cos / — ros i' ) .
D'autre part, on a, par les triangles SMM', OIVIM' et S' M M',
pa ^rr. MM' cos i — H p cos /', p'a'i--. MM'cosf'r: R?cos£';
368 CHAPITMB V.
par suite
COS*/ COS*l' COSI-
L'image S' correspond en rëalilë à une laire au plan de diffraction.
Quelques cas particuliers sont dignes
I® Quand / = i', le réseau est au mini ronde paragénique considérée et Ton a | par diffraction est à la même distance c comme pour les prismes au minimum de
Si la surface du réseau est cylindrique parallèles aux génératrices du cylindre, située dans le plan de diffraction, se tro distance que la source, car tous les rayonj points d'une même fente sont dans les méi s^étaient réfléchis sur une surface plane ps
Dans le cas de la déviation minimum, étant superposées se réduisent alors à un | tées sont sphériques et le réseau se compo aplanétique par réflexion ou réfraction. A gène, le réseau donnerait donc des images lion qu'un objectif ou un miroir aplanétiqu limitée par une ouverture rectangulaire de le réseau.
a° Quand p = Rcos/, il en résulte p' = alors sur une circonférence ayant pour diai se trouve sur la même circonférence.
Si Ton a p^Rcos/, il en résulte p'ORco image S' sont donc en même temps exléri cette circonférence.
3" Avec des réseaux tracés sur une surfa a simplement
La diffraction par réflexion conduit e> résultats, à la seule condition de remplace par les rayons réfléchis n'gulièremenl.
DIFFRACTION. 869
La déviation D' des rayons paragéniques étant comptée à partir de la direction des rayons réfléchis régulièrement, on a aussi D'= l'-h i' ' Elle est minimum quand /= i', c'est-à-dire quand les rayons paragéniques reviennent sur la direction même des rayons incidents et en sens contraire.
L'image est à la même distance que la source et, par conséquent, superposée à la source elle-même quand le réseau est au minimum de déviation.
Si le réseau est tracé sur une surface courbe et que la source soîl sur la circonférence ayant pour diamètre le rayon de courbure, rimage de diffraction se trouvera sur la même circonférence.
M. Rowland ( * ) a utilisé cette propriété remarquable en traçant les réseaux sur des miroirs métalliques concaves. On obtient alors des images réelles sans que les rayons aient à traverser des objectifs où ils peuvent être absorbés en grande partie par les milieux réfringents.
211. Détermination des longueurs cT onde. — Quand on observe la diffraction par un réseau des rayons qui proviennent d'un point, ou plutôt d'une fente étroite parallèle aux traits, chacune des lumières homogènes émises par la source éprouve une dévialion particulière qui ne dépend que de sa longueur d'onde et de la distance e des traits du réseau. Avec une lunette pointée sur l'image de diffraction, ou obtient une série de spectres d'autant plus purs que la fente est plus étroite et le réseau plus large, et dans lesquels la déviation va croissant du violet au rouge. Pour la lumière blanche, le spectre de premier ordre est presque complètement isolé, mais les spectres suivants empiètent l'un sur l'autre. En effet, les longueurs d'onde extrêmes du violet et du rouge, ).i et )>2> sont à peu près dans le rapport de i à 2. La déviation du premier maximum pour le rouge, de longueur d'onde A2> est également celle du second maximum pour la longueur
d'onde -^ ^ c'est-à-dire pour le violet. Le second spectre de lumière
visible commence donc aussitôt après le premier, mais la déviation
(') Il.-A. Rowland, Amer. Journ. of Science, vol. XXV, p. 87; i883. — Mas- CAiiT, Journal de Physique, [2], t. II, p. 5; i883.
<iu second maximum pour le rouge, qui ci de marche 9.).2, est plus jurande que la maximum pour le violel, qui correspond 1 plus petite 3 Ai- L'empiétement des spect en plus grand.
Ou peut les séparer les uns des autres, hofer, en les observant au travers d'un parallèle au plan de difFraction. Ce prism rayons superposés au même point et Toe spectres obliques au plan de diffraction, d par le prisme est plus grande pour le viol
On obtiendrait également ces spectres lentille en plaçant un écran au foyer conjt fraction.
Avec les réseaux concaves de M. Kowh meraient, sans le secours d'aucun appareil situé au fover conjugué du réseau lui-méu:
L'emploi des réseaux fournit la mélho« comparer ou déterminer en valeurs absolu de lumières bien définies, telles que les raie discontinu ou les rairs noires du spectre si
Si lo réseau est placé dans une direction aux ra>ons incidents, la lon;^ueur d'onde sera donnée par Técpiation
~ (siiw -r sin i ) — - \ sin i ■
L'ordre n du s|>cclre est connu sans dit par expérience, l'angle d'inci<lenc<^ / par 1' les rayons directs a\ee les ra\ons réiléchis à la déviation IJ', on la mesure à partir d< partir des rayons réllécliis régulièrement, : est didractée par transmission ou par réile?
L'intervalle e de deux traits sera donne», ( E qui existe entre le premier et le - \ - i V N^ -- E, mais il n'est pas nécessaire de . <|uand on veut faire seulement des mesures
Si le réseau est normal aux ravons incidt
DIFFRACTION. Sjl
fraclés, on a simplemenl
(^"l À ^ — si ri D.
On vérifiera, par exemple, que le réseau est normal aux rajons incidents lorsque la bissectrice des rajons de même ordre, diffractés à droite et à gauche, coïncide avec la direction des rayons incidents. Dans tous les cas, la moitié de Tangle de ces deux rayons donne la valeur de D avec plus d'exactitude, les erreurs de réglage se trouvant éliminées.
Enfin, dans le cas du minimum de déviation,
A =1 — sm ■ — j n 2
ol Ton déterminera encore la valeur de D' par la moitié de l'angle formé par les déviations minima à droite et à gauche de rayons diffractés de même ordre.
L'angle d'incidence i restant invariable, le changement de longueur d'onde cÙ^ qui correspond à une variation dt de l'angle de diffraction est
d\ -^ - cosi' di'.
La variation de longueur d'onde cO. est proportionnelle à la variation di' au moins dans une petite étendue angulaire. Le facteur
— cos/' est maximum pour i' = o et il reste sensiblement constant,
même pour des valeurs notables de i' positives ou négatives.
Quand le réseau est normal aux rayons diffractés, le spectre obtenu jouit donc de la propriété que la distance des raies correspondant aux différentes lumières homogènes est proportionnelle à la différence de leurs longueurs d'onde. Si l'on reproduit par la photogra[)hie l'image obtenue au foyer d'un objectif, ou l'image directe des réseaux concaves, on obtiendra donc un spectre normai dans une grande étendue, de |)art et d'autre du rayon cjui était perpendiculaire au réseau.
La relation
di'. —^,dl
c cos l
372 CHAPITRK V.
montre que, pour une variation déterminée de longueur d^ondeja variation angulaire est proportionnelle à Tordre n du spectre el en raison inverse de cost'. Comme Tangle de pénétration est minimum pour /'= o, il y a doublement avantage à disposer le réseau normalement aux rayons difiVactés.
Enfin, sauf le cas de réseaux plans et pour la déviation minimum, la seconde ligne focale du faisceau difTracté n'est pas généralement à la même distance que la première. Les bords du spectre ne sont donc pas nettement définis quand on a mis au point le mieux possible sur les raies elles-mêmes.
242. Réseaux à traits courbes, — Supposons qu'un réseau soii formé de traits courbes équidistants, c'est-à-dire par une série de circonférences concentriques, ou de courbes parallèles équidistantes qui auraient même développée.
Les points C, Ci , C2, ... {fig* 1 14) correspondants des courbes
Fig. 114.
successives sur une même normale se comportent comme s'ils a|)partenaient à des traits rectilignes parallèles et donnent, dans un plan normal aux traits, des rayons diffraclés soumis à la loi générale de para^énie (1).
Il est facile de voir que la diffraction n'est pas sensible dans toute autre direction, parce qu'il y a interférence entre les ravon? émis par les différents points d'une même fente.
Avec une lumière incidente normale et des traits circulaires concentriques, on obtiendra dans le plan focal principal de la lunette d'observation une série de cercles concentriques dêfio'^ pnr la condition (4). Les rayons p de ces cercles seront
DIFFR.VCTION. SjS
Les distances successives des anneaux, obtenus avec des réseaux circulaires sont donc les mêmes que pour les images des réseaux à traits rectilignes.
Lorsque les traits forment une série de courbes à centre, homoihéliques par rapport à leur centre commun, et telles que le rapport de similitude à Tune d'elles varie d'une quantité constante pour les courbes successives, toutes ces courbes seront parallèles et à la même distance aux différents points de rencontre d'un même ravon vecteur. En appelant c la distance des tangentes en ces points et supposant la lumière incidente normale au plan du réseau, le rayon vecteur p de la courbe obtenu dans le plan focal de la lunette d'observation sera encore déterminé par la même condition (5) que s'il s'agissait de traits rectilignes à la même distance e.
Les courbes ainsi obtenues sont polaires réciproques de celles des traits du réseau.
En particulier, si les traits sont des ellipses, les anneaux de diffraction forment des ellipses semblables dont les côtés liomolo- *^iies sont à angle droit avec ceux des traits du réseau.
C'est une propriété analogue à celle qui a été établie pour la diffraction des ouvertures elliptiques (217).
24»J. Hésc.aux à intervaUes variables, — La direction des rayons paragéiiiques est indépendante de la largeur et de la nature lies traits qui constituent le réseau, à la seule condition que les traits successifs aient la même forme et soient rigoureusement cquidistants.
Il arrive cependant dans certains réseaux (*) que les images ne se trouvent pas aux distances trouvées précédemmentet même qu'il se produit plusieurs images distinctes, très voisines les unes des autres et à des distances différentes. Un réseau de Noberl, par exemple, éclairé par des ondes planes incidentes, donnait pour chaque ordre de diffraction trois images différentes, l'une correspondant à des ondes planes, l'autre à des ondes convergentes et la troisième à des ondes divergentes. En observant avec une lunette
(') Mascart, Ann. de i'Éc. JVorm. sup., t. I, p. 250; i864
on pouvait, par un déplacement convenable de Toculaire, obtenir une image nette au foyer principal et deux autres images correspondant à des déviations un peu différentes, Tune en avant et Tautre en arrière du foyer. La position de ces deux images était la même que si Ton avait placé devant Tobjectif une lentille convergente ou divergente d'une même longueur focale f, M. Cornu (' i a montré que ces changements de foyer sont dus à des variations périodiques dans la distance des traits du réseau.
Supposons, en effet, que, dans un réseau à traits rectiligaes tracé sur une surface plane, la distance des traits varie d'une manière continue, et que i soit Tangle d^incidence.
Si Tintervalle des traits est e dans le voisinage d'un point M (^fig* Il 5), situé à la distance x d'un point fixe, Tangle de dif-
fraction /' est dédni par l'équation (i ) qui donne
sin i' T^ n sin^
Au point M', situé à la distance x -h rf.r, Tanglc de diflraclioii
est /' -h di! ^zi=. i' -\- - dx et l'on a
ax
cos £*' di' :=z n\d - de.
Kn appelant y la distance MO du point de concours des ra>ons
(') Coii.xr, Assoc. franc, pour l'avancement des Sciences; Nantes, 1877, P- ''T''-
DIFFRACTION. 375
MO et M'O, le tiian^He MM'O donne
(Ix cos i' — frfi' ;
I — /^X ffe nX de
f it*' oos^ i' dx {n\ — e sin £ )* — e* dx
Pour un petit intervalle MM', le réseau agit donc sur la lumière diffraclée comme une lentille dont la longueur focale / satisferait à l'équation qui précède.
Si la distance c varie d'une manière continue dans toute Télondne du réseau, les rayons paragéniques de même ordre provenant des difl'érents points forment ainsi une caustique analogue aux caustiques de réflexion et de réfraction.
Pour rincidence normale, on a simplement
n X de
f ' nn-'-^e^ dx vi, pour le minimum de déviation,
I n X de
Les traits du réseau S(î reproduisent généralement d'une manière périodique, à cause des défauts de la vis micrométrîque qui a servi pour le tracé, lesquels sont périodiques par le mode même <le construction.
Si les traits ainsi obtenus sont de trois espèces, les uns équidistants, correspondante! une fraction de tour régulière pour le pas de vis, les autres de distance décroissante, les derniers de distance croissante suivant une autre loi, on aura donc, avec un faisceau incident des rayons parallèles, trois images : Tune régulière, correspondant à des rayons difiractés parallèles, la seconde i'ormée par des rayons convergents à la distance y, la troisième par des rayons divergents de la distance f .
De l'autre coté des rayons incidents et pour le spectre de même ordre, la dislance f correspond à des rayons convergents et la distance f à des rayons divergents; enlin la même dyssymétrie se reproduira pour les rayons dilfractés par réflexion. Tous ces
CBAPimB V.
changenienls de fover seroni sjmétrîques par rapport au plan du réseau ; c'est précisément le cas du réseau cité de Nobert.
I/obser\'ation des réseaux tracés à l'aide d'une machine à diviser fournit ainsi le moyen le plus délicat pour constater les défauts de construction de la vis.
Comptons la distance .r du point M à partir du pied P de la perpendiculaire OP = ^ abaissée du point O sur le plan du réseau. Pour <|ue tous les rayons paragéniques de même ordre aboutissent au point O, il faut qu'on ait
xrzLa tang/'
ou
dx
dV
sini cos<
ce qui donne, pour Tincidence normale,
dx
ede
On peut remarquer directement que les vibrations émises pr les fentes successives C, (i^. . . . , C;, {fiS' 1 16) sont concordantes
iMg. I ifi.
au point O si les chemins des rayons correspondants augmenlcnl successivement de //A.
Considérons seuleinenl le cas de Tincidence normale. En apno-
liint .r, .r, Vp les distances du point P aux fentes C, C,, ...,C;,,
et fp la dislanc(» OC^, on a
DIFFRACTION. 877
Si la distance f n'esl pas très petite, le dernier facteur ne diffère pas sensiblement de l'unité et Ton peut écrire, avec une grande
approximation,
j?J — x*z=.2nfp\.
La difTércnce des carrés des distances au point P de deux fentes successives est donc une quantité constante A* et la longueur focale /, exprimée en fonction de cette quantité, est
2/iX aesinD
r^es distances j:^, varient alors comme les diamètres des anneaux
A* de Newton. Le facteur /sinD=: — étant constant, les rayons
«JiflTractés donnent sur une môme droite PO normale au plan du réseau une série d'images pour lesquelles les inverses de la distance f au même point du réseau varient comme la suite des nombres entiers.
Lorsque les déviations D sont très petites, les distances a de ces images au plan du réseau varient suivant la même loi.
214. — Supposons enfin qu'avec le même réseau les rayons incidents émanent d'une source S {fig* 117) située sur la normale au point P à la distance cp du point C. Les rayons paragéniques d'ordre n sont encore concordants au point S', [)Our lequel on a
(?/>—?) -^-^?/>— ?')—''/' >- Les relations
?/,— ?'= ?i'—?'*—^' — ^* = /?^^ donnent, au même degré d'approximation que précédemment,
11 en résulte
I ^nl I
Les distances f et '^'sont donc conjuguées, comme les distances
d^un objel el de son image à un objectif dont la longueur focale serait égîile à/.
Lorsque les déviations sont très faibles, on a aussi
Fig. 117.
Les mêmes propriétés s'appliquent aux réseaux à traits courbes. Avec des traits circulaires concentriques au point P et tels que leurs rayons successifs x^ Xxy . . , ^ Xp varient comme les distances des traits rectilignes considérés précédemment, les rayons paragéniqucs d'ordre /i, pour Tincidencc normale, seraient concordants sur une perpendiculaire au réseau à la distance
flr r^ / COS i' =: r COS D.
Dans le cas actuel, ce point de concours est même une imag<' véritable et non plus une ligne focale.
Pour des déviations très faibles, on aurait sur la droite PS' une série d'images dont les inverses des distances au plan du réseau seraient entre elles comme les nombres entiers consécutifs.
Enfin, en plaçant la source de lumière à une distance h du réseau, sur la normale passant par le centre des traits, Tiniage se trouverait à la distance conjuguée b' .
Pour les points situés sur la normale passant par le centre des traits circulaires, le réseau se comporte donc comme un système
DIFFRACTION. Z'Ç)
optique qui posséderail plusieurs longueurs focales différentes a liées parla relation
La même propriété s'appliquerait à des rayons extrêmement peu écartés de la normale, mais les images ne tarderaient pas à devenir in oins régulières.
245. — D'une manière plus générale, supposons qu'ow se donne une ligne plane quelconque L qui soit le point de concours des images paragéniques d'ordre n dans un réseau plan parallèle à cette ligne, que Ton éclaire sous Tincidence normale, et proposonsnous de trouver la forme des traits.
Imaginons que Ton construise une série de surfaces-canal, à sections droites circulaires, ayant pour directrice commune la ligne L et pour rayons successifs fj / -h n')^, / -h ^ fi\ ...,/-f- /?/<)». L'intersection de ces différentes surfaces par le plan du réseau détermine une série de lignes /, /«, l^. . . ., Ipj parallèles à L, qui représentent le tracé des traits.
En effet, les vibrations émises dans des directions normales aux traits sont concordantes sur la ligne L, puisque les différences de marche successives sont d'un nombre entier de lonfirueur d'onde n\. La différence des carrés des distances de ces lignes successives à la projection de la ligne L sur le plan du réseau est une quantité constante A- 1:= 2//^.
Si la ligne Lest une droite, les surfaces-canal sont des cylindres concentriques, et l'on retrouve le cas des traits parallèles à distances inégales. Si cette ligne se réduit à un point, les surfacescanal sont des sphères concentriques; c'est le cas des traits circulaires concentriques.
Si la ligne L est un cercle, les surfaces-canal sont celles de tores avant même directrice. I^es traits sont alors des circonférenées concentriques ayant pour centre la projection du centre du tore sur le plan du réseau.
La ligne L étant une ellipse, les traits seraient de même, des ellipses semblables concentri(|ues à sa projection, etc.
On pourrait encore étendre ces considérations aux cas d'une incidence oblique sur des réseaux plans ou même aux réseaux
38o CHAPITRE V.
tracés sur des surfaces courbes, mais les résultats deviendraient très complexes sans présenter un intérêt en rapport avec la diflicaké de les vérifier par expérience.
246. Réseaux croisés. — Le problème des écrans successifs (199) est beaucoup plus simple dans le cas des ondes planes, lorsque les écrans ou les ouvertures sont situés sur différents systèmes de surfaces planes.
On doiki, en effet, considérer la lumière qui a traversé un premier système d'ouvertures comme formant une série d'ondes planes d'intensités et de directions différentes; chacun de ces groupes d'ondes planes, en traversant un second système d'ouvertures, se comporte comme de la lumière fournie par une source de nature quelconque et la diffraction qu'il y subit ne dépend que de sa direction par rapport au nouveau système; on continuera ainsi de proche en proche.
Le problème pourra présenter des difficultés d'analyse, surtout si les plans des ouvertures ne sont pas parallèles entre eux, mais il suffira d'appliquer successivement les calculs aux différents groupes d'ondes planes dont on suivra les transformations. Toutefois, il est nécessaire que chaque système d'ouvertures soit entièrement couvert parla lumière qui provient du précédent flans la direction que l'on considère.
Supposons, par exemple, que deux réseaux par transmission à traits recliligues, dont les distances des traits sont respectivement c et r', soient placés dans des ]>lans parallèles, mais de manière que les directions des traits fassent un angle H,
Avec une lumière incidente normale, le premier réseau donne une série d'ondes paragéniques dont l'angle de déviation i dans le plan principal est défini par la condition
ni
e smi.
Pour chacun des groupes, cet angle i est l'angle d'incidence sur le second réseau; les rayons ])aragéniques correspondants sont déviés dans le nouveau plan principal et font avec la normale des angles /' qui satisfont à la condition
n'X -=- e'(sin£ -h siu/').
DIFFRACTION. M8l
Si 'Zf el 'J sont les fractions de lumière transmise clans les deux cas, l'intensité de la lumière finale est une fraction (p'V de l'intensité primitive.
Lorsque les déviations i et i! restent très petites, toutes les images sont distribuées dans le plan focal de la lunette d'observation aux sommets d'un réseau de parallélogrammes dont les côtés, respectivement parallèles aux plans principaux des deux ré-
seaux, ont pour longueurs - et -, •
Les images situées sur les deux lignes qui passent par la normale, c'est-à-dire par l'image directe, sont naturellement plus intenses et l'éclat diminue graduellement sur celles qui ont été plus écartées par l'une ou l'autre des deux dilTractions.
Dans le cas des déviations très faibles, l'Image des rayons paragéniques émanés primitivement d'un point situé à une distance finie est sensiblement aplanétique. Si la source est limitée par un contour de forme quelconque, on obtiendra donc, dans le plan focal conjugué de la source, une série d'images de même forme disposées aux sommets d'un réseau de parallélogrammes, et dont les dimensions relatives à chaque couleur sont proportionnelles à la longueur d'onde.
Lorsque les réseaux sont identiques, les images sont situées aux sommets d'un réseau de losanges et celles qui ont subi deux fois le même ordre de paragénie se trouvent sur la bissectrice de l'angle des réseaux.
Enfin, quand on opère avec la lumière blanche, la superposition des images relatives à toutes les couleurs forme dans le plan focal une série de spectres plus ou moins purs, suivant les dimensions de la source, et qui sont tous orientés sur des droites passant par l'image directe.
Avec des réseaux au cinquantième de millimètre, par exemple, et en prenant comme source de lumière une ouverture circulaire vivement éclairée, on peut ainsi réaliser une des expériences d'Optique les plus brillantes.
CIlAPimB V.
Arc- KN -CIEL.
î2i7. Théorie de Descartes. — Les goulles d'eau suspendues dans l'air pendant la pluie sont gënéralement assez grosses pour donner lieu à des réfraclions ou des réflexions régulières. Si elles sont éclairées par le Soleil, les rayons réfléchis une ou plusieurs fois dans Tintérieur des gouttes ne peuvent émerger indifTëremmenl dans toutes les directions; le nuage paraît ainsi plus lumineux sur certaines régions. Comme la direction limite des rayons réfléchis varie avec la longueur d'onde, le bord de la région brillante est irisé des couleurs du spectre et forme Varc-en-cieL Celle explication très ancienne a été complétée par Descartes (*), quia rendu compte de la distribution des couleurs, et par Newton ('). qui a calculé la déviation des arcs. Il est nécessaire d'en indiquer d'abord les conséquences avant d'examiner la dinraction qui intervient dans le phénomène.
Supposons qu'une sphère de substance réfringente soit éclairée par un système d'ondes planes. Le rayon S© A {Jig- 1 18) dirigé vers
Fig. ii8.
Si-
bt
le centre O de la sphère, et qui subit un nombre quelconque dv réflexions intérieures en A| et en A avant de sortir de la sphère, é'inerge, soit dans la direction primitive, soit en sens contraire, suivant que le nombre des réflexions est pair ou impair.
(') J>i:s(:aiitls, Les nic'tcorcs, iJiscoui'ïj huitième; i-oydc, i(».'>s. {') Nkwton, Optics, Part II, Trop. |\; i-yr)',.
Pour un rayon SM dont l'angle d'incidence csl i cl Tangle de réfraclion r, le ravon réfracté MN fait le même angle /• avec la normale au point N, le rayon réfléchi NP tombe encore sous le même angle au point P et il en sera ainsi pour toutes les réflexions successives. Ce rayon, tel que I^S|, émergera finalement sous l'angle primitif /. Comme on l'a vu dans le eas des prismes (71), la rotalion du rayon est i — /* pour chacune des réfractions à l'entrée et à la sortie; elle est de t: — ir pour chacune des réflexions intérieures, de sorte que, s'il y a k réflexions successives, la rotation totale, ou la déviation D à partir du prolongement des rayons primitifs, est
(i) D z=L 7.{i — r) -h k{T. - 3/) - At: h 21— 2(k -+- i)r,
248. Rayous ejficaces. — En posant k •+■ 1 ==/> et appelant n l'indice de réfraction de la sphère, le changement de déviation rfD, relatif à une variation rti de l'angle d'incidence, est
( 2 ) c/D :r- 2 ( cii — pdr) ^^2\ \ — I di.
\ ' ncosrj
La déviation passe par un minimum, correspondant aux rayons qu'on appelle ejficaces, quand les angles d'incidence et de réfraction I et R satisfont à la condition
( ,i ) p ces I z^ n CCS R - y//t' — sin* I,
(|iii donne
f>- — //' ti^ — I />* . - /j*
Cette condition correspond à un minimum, car la dérivée se conde de la déviation
é/r ai' ncoar //'ces*/'
est toujours positive; sa valeur relative aux rayons efficaces est
/ ^* D \ //» I si n I p-—\ , />* - I / p^~ ~/r-
\di^Ji />* CdsM P' " P \ '' I
3^1 C1IAPITME V.
L'angle I n'est réel que s\ p> n ouk^ n — i . Avec le diamaoU dont l'indice est supérieur à 2, il faudrait au moins deux réllexions intérieures.
La dé\iation minimum est
(5) Djt-^Ar.-^ 2{\-~pR)
et, si l'on appelle r^ l'angle de réfraction limite défini par la condition /^sinr„= 1, la déviation relative aux rayons tangents à la sphère, auquel cas l'angle 21 est égal à t:, est
(6) Do — /?(?: — 2rg).
219. Dispersion. — l^our étudier la manière dont la direction (les rayons efficaces varie avec la couleur, on doit considérer la déviation minimum Da comme une fonction de l'indice de réfraclion. Les équations (5) et (3), jointes à la relation sinl = n sinR, donnent alors
dDf,— 2{dl --pdR),
p sin I d\ "z II sin R dK — cos R dn^
ces I d\ :~ n cos R dR -^ sin R dn ; il en résulte
dl)i .îsinR o. -i n» — fi^
-r- — .- — - tangl — - i / -^^
(i/t cosi n II Y //* — I
Colle c\i)ressioii élaiit positive, la déviation minimum croîl avec l'indice de réfraction 5 elle est donc plus grande pour le \iolcl que pour le rouge et Tespace plus éclairé sur le nuage paraîtra bordé (ruue bande rouge.
250. l)istributi(Ui de la lumière. — Si Ton appelle a le rayon (le la sphère, x la dislance a sin/ des deux rayons SM et S<^A, d^i l'angle do deux |)lans inliniment voisins passant par la droite S^A, () la (pianlilé de lunu(''re (pu correspond à l'unité de surface des ondes incidentes, la quant itc de lumière qui tombe sur un élément de la surface s|)héri(pie au voisinage du point M peut étnreprésentée |)ar
i)d^x d.v ■— (^ it^ii' sin / eosi di.
DIFFRACTION. 385
A part raflaiblissemenl d'intensité dû aux réfractions et aux réflexions intérieures, cette quantité de lumière dans le voisinage du rayon réfracté PS| est distribuée dans l'angle — rfDrfO. La quantité de lumière relative à l'unité d'angle, ou la clarté de la région observée, est proportionnelle au nombre des gouttes qui interviennent dans le phénomène et à l'expression
„ ^ ^%\nico%idi ^a} sin2/*
— ûfD ^ ^ p CCS i
n ces r
Toutes choses égales, l'éclat du nuage à ce point de vue est proportionnel au nombre des gouttes et à leur surface, c'est-à-dire à la surface totale de la nappe liquide utilisée.
Il est à remarquer que Téclat est nul pour sin2i = o, c'està-dire pour les rayons dirigés primitivement vers le centre des gouttes ou qui leur sont tangents.
L'éclat croît très rapidement, au contraire, au voisinage des
ravons efficaces où le rapport ^ se rapproche de l'unité. La
valeur infinie donnée par le calcul pour les rayons efficaces montre que le phénomène est alors d'une nature toute différente, comme on le verra plus loin.
Néanmoins il existe dans cette région une bande lumineuse très brillante. Si l'on tient compte de l'angle apparent du Soleil, qui modifie la direction des différents systèmes d'ondes incidentes, on voit que l'angle apparent de cette bande est supérieur à celui du Soleil. Les différentes couleurs seront donc juxtaposées en empiétant l'une sur l'autre.
251. Arcs de différents ordres, — Si l'on s'en tient à ce premier mode de raisonnement, on peut déterminer la position des arcs de différents ordres, c'est-à-dire des arcs qui correspondent à un nombre croissant de réflexions intérieures.
Tous ces arcs paraissent évidemment circulaires, puisqu'ils sont déterminés par des droites qui font un angle constant avec la direction des rayons solaires.
L'arc de premier ordre correspond à A' = i ou/? = 2. Les indices de réfraction de l'eau relatifs aux principales raies du spectre, pour M. — I. i5
386 cil A PITIE Vm
une température voisine de 1 5®, sont
1,33 17 i,33'i6 1,3343 1,3364 On en déduit, pour les rayons edicacest
Ri-
Cet arc se montre donc àl^opposédu î D'=7r — D| est de 42"i8' pour le rou violet. Le rouge paraît à l'extérieur de 1 sion est de i**55' ou environ î«".
L'arc de second ordre correspond à k :
Comme la déviation est plus jurande ficaces proviennent de rayons |)rimitifs qi partie inférieure de la goutte. La déviali» 9,^0°, l'arc paraît encore à roi)posé du So !)"= Do — TT, est de 50". '^4' pour le rouj violet, de sorte que la dispersion atteint 3 second ordre est beaucoup moindre que que la dispersion est [)resqne doublée et très affaiblis par les doux réflexions.
I^a disposition apparente des couleurs es j)araît à Tintérieiir de 1 arc et le violet à des deux ares dessine sur le nuage unezor de largeur, dans laquelle les gouttes ne pei Tobservaleur aucune lumière avant subi i intérieures.
Les arcs de troisième et de quatrième des déviations de 3 18*^ et de io4'\ c'est-à-c font respectivement avec le Soleil des angle
DIFFRACTION. 387
et de 4o4" — 36o°-=44**' Les gouttes doivent alors être situées entre le Soleil et Tobservaleur; il faut une pluie particulièrement rare pour que toute lumière ne soit pas interceptée et qu'on puisse distinguer les colorations d'ailleurs très faibles de ces arcs.
Dans Tare de cinquième ordre on a D5 ^^ 4^(3" = 3 x 180" — 54"; cet arc est un peu à Textérieur du second et paraît avoir été quelquefois observé.
Les mesures faites sur les arcs-eu-ciel naturels et sur ceux que l'on peut produire artificiellement, soit sur une sphère transparente ou une boule renfermant de Peau, soit sur un filet d'eau tranquille ou une baguette de verre cylindrique (*), ont donné dçs résultats qui s'accordent avec le calcul au moins d'une manière approximative, car il est difficile de déterminer exactement les limites du phénomène.
Avec une baguette de verre, Babinet avait observé déjà sept arcs-en-ciel ; Miller (2) en a distingué douze et Billet (') a mesuré sur un filet d'eau la déviation des dix-neuf premiers arcs.
252. Arcs surnuméraires, — A la simple observation des arcs-en-ciel, on voit aisément que le phénomène est en réalité plus complexe. Outre la bande irisée des couleurs du spectre, on voit à l'intérieur du premier arc et à l'extérieur du second une série de franges colorées qu'on désigne sous le nom d\ircs surnuméraires. Ces franges, qui ont été signalées depuis longtemps (^), paraissent en eflet la répétition de l'arc principal sur une moindre largeur et rappellent les franges de diffraction d'un écran à bord rectiligne.
Young (*) a indiqué le premier que l'on devait chercher l'explication des arcs surnuméraires dans l'interférence des rayons qui émergent parallèlement entre eux après avoir suivi des chemins différents dans la goutte, leurs angles d'incidence /| et i^
(«) Babinet, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. I\ , p. 645; i83-.
(") MiLLEH, Trans. 0/ the Cambr. Phil, Soc.^ l. VII, p. 277; 184».
(•) Billet, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, l. LVI, p. 999; 186,4. — Ann. de V Ecole Norm, sup., t. V, p. (»7 ; i8(>8.
(*) Lanowitii, Phil. Trans. abrid^ed, t. VI, p. (L»3; 172a.
(*) YouNO, Phil. Trans. L. /?. S. y p. 8; 1804.
388 CHAPITMB V.
élant situés de part el d'autre de Taugle limite I qui correspond aux rayons efficaces.
2o3. Caustique des rayons émergents. — Les rayons sortent de la goutte sont tangents à une surface caustique de révolution autour de la droite parallèle à la lumière primitive qù passe par le centre de la sphère.
Pour déterminer la section méridienne de cette caustique, appe Ions b la distance OB {^fig- 1 18) du point B où le prolongemenlda rayon émergent PS| coupe Taxe et q la perpendiculaire OQ.
Le triangle OBP donne
(7) <7=r a sini =r 6sinD.
Les deux rayons émergents PS| et PS',, qui correspondent à des rayons incidents SM et S^M' infiniment voisins, se rencontrent sur la caustique en un point U.
Soit u = BU; le triangle BB'U donne
— cOy sinD On déduit de Téquation (7) (7)' df] z^ sin Ddb -h b cosD dD = a cosidi.
Comparant avec (8) et (2), il en résulte
a cos i
b cosD — M =1
/ /?cos/
\ ncosr
La valeur u est infinie pour i= I, c'est-à-dire que la causuqo^ est asymptote à la direction des rayons efficaces émergents. Si Ton appelle p la distance QU, on a
a ces/
( 9 ) p —z u — O cos D =: -
2 pCOSl
ncosr
Le dénominateur du second membre est positif pour i^^' égal à zéro pour / = I et négatif pour 1 >- 1 ; la valeur de p ^*^ positive ou négative suivant que l'angle d'incidence est plus pel''
DIFFRACTION. 889
OU plus grand que celui des rayons efficaces. La caustique est
donc formée de deux branches, Tune au-dessus, l'autre au-dessous
de Tasymptote. Les exlrémités de celle causlique correspondent
a « = o et £= -•
Lorsque Tangle d'incidence i est infiniment petit, on déduit de
Téquation (•;)
sin[(;,-.).-.(|-.)/J .(^-.)
les valeurs de b et de p sont alors minima.
Pour le premier arc, ou /? = 2, l'indice de réfraclion de Teau étant sensiblement égal à |, il en résulte b =^ a. Le sommet de la causlique se trouve sur la surface de la sphère au point A|.
Pour i= -y on a p==o. Comme le rayon émergent est tan-
gent à la sphère, la caustique est aussi tangente à la sphère au point correspondant.
Enfin, pour les rayons efficaces et la lumière rouge, on a
^ sinD ^
- =• . , = 1,280, a sinl
- = sinl =zo,86i5.
Les surfaces d'onde relatives à différentes époques sont ellesmêmes de révolution, et leurs courbes méridiennes sont les développantes de la caustique.
Comme il est permis, pour le calcul des phénomènes ultérieurs, de considérer cette surface dans une quelconque de ses positions, nous prendrons celle qui passe par le pied C de la perpendiculaire OC (Jig- 1 19) abaissée du centre sur Tasymptote. La courbe méridienne y présente un point d'inflexion ; si l'on rapporte la courbe à des axes rectangulaires Cr et Cv^ dont le second est l'asymptote, l'ordonnée j^ est d'abord proportionnelle au cube de l'abscisse et l'on peut écrire
(.0) y = nx>^j^^.
3^0 CBlPITftE V.
h élant on facteor numérique qui dépend de l'indice de réfraclio
de la goutte et de Tordre de Tare considéré.
II est facile de déterminer la constante A. On voit déjà que, po
les points très voisins de Torigine C, le rayon de courbure p
réduit à
1 v' 'xhx
D'autre part, la valeur de p donnée par l'équation (g) représe aussi très approximativement le rayon de courbure au point
Fig. 119.
Celle équalion peut s'écrire
n cos /• cos i
Le second membre est une fonclion/(£) de Tangle d'incidc qui devienl nulle pour les rayons efficaces.
Pour un rayon voisin, qui correspond à Tangle I donc
Or
£, on
, . p sinr cosi
/: n ces * ;•
smi sini / pcos^i
cos* / cos^ i \ n^ cos' r
DIFFRACTION. Sgi
ce qui donne au voisinage des rayons efficaces
a />' — i sinï
^ip ~ ^ p^ cos*I
Si Ton considère la région de la courbe très voisine du point C d'inflexion, Tare 5 de la courbe CS, compté à partir de l'origine C, peut être confondu avec l'abscisse x correspondante, laquelle, abstraction faite de quantités négligeables, n'est autre chose que la variation — dq donnée par l'équation (7)'; on a donc
(i3) 5 = ^= — dq^zi — eacosï.
Comme la longueur de l'arc s est proportionnelle à la variation e de Fangle d'incidence, l'amplitude de vibration sur l'onde varie d'une manière continue. En éliminant l'angle £ entre les équations (12) et (i3), il vient
, ,, à^ p^ — 1 sInï
"^ 'ipx p^ cos'l
La comparaison des équations (i i) et (i4) donne finalement
Pour l'eau et le premier arc-en-ciel, on fera /i = ^ et /? = 2, ce qui donne h = 4^896.
L'angle limite de réfraction étant r^ = 48*^35', la déviation correspondante est
Do=: 9.{r. — 2;*o) = i66*'4o'«
I^a distance de ces rayons extrêmes aux rayons efficaces est donc voisine de 3o".
î2S4. Franges de diffraction, — La détermination de la lumière apparente au voisinage des rayons efficaces revient au calcul de la diffraclion d'une onde dans une direction voisine de celle qui correspond aux points singuliers de la caustique et présente en général de grandes difficultés.
(•) Celte expression est conforme à celle de M. Boitel {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. GVI, p. 1622; 1888).
39E1 CHAPITftB T.
Oo peut encore, en prenant poor plan de Ggure le plan qui passe par le centre de la goutte, par les rayons incidents ^o^ ^^ la direction CP suivant laquelle on envisage le phénomène, réduire Tonde à Tare d'équateur SCS' et ne tenir compte que des premiers arcs élémentaires.
Comme la surface d*onde est de révolution, les fuseaux correspondants sont limités par des circonférences qui présentent le même caractère pour les deux portions CS etCS' de l'équateur. La substitution de Tare d*équateur au fuseau entraîne de part et d*autre la même diflerence de phase (i90) et il n^y a pas lieud^en tenir compte.
Soit H Tangle de la droite CP avec Pasymptote Cy. La différence de marche des rayons MQ et CP est
Izz^ycos^ — xsinO^: (Hx* — a? tangO)cosO.
Comme on peut remplacer Tare ds par dx, la vibration résultante est, en appelant [x Tamplitude de la vibration émise par
Tunité d'arc,
Ç = i».fdxsin{<at — S),
et les intégrales qui déterminent Tintensité de la vibration sont
F = /^jrsino, G:^ f dxcoso.
Les éléments de ces intégrales diminuent très rapidement à mesure que X augmente au delà d'une certaine valeur, car la variation x' — X relative à un arc élémentaire est
ll{x'^—x'') — (.v'^x) langea— ^, l I
2COs6 ii(jr'*4- arx'-ho:*) — tangO'
c'est-à-dire une quantité qui devient très petite dès que x prend une valeur notable.
11 est alors permis, sans altérer les phénomènes, d'étendre les intégrations de — oc à -h x. Dans ce cas, F = o puisque les termes qui constituent cette intégrale sont deux à deux égaux et de signes contraires pour les éléments symétriques.
D'autre part, les éléments de G ne changent pas quand on rem-
DIFFRACTION. Sq)
place X par — x, de sorte que Tamplitude de la vibration résultante est simplement
A =1 2 p. / c^xcoso.
Si l'on pose
2ir -- • « 7f , 2r . ^ TC
-7-11^ COSO =: - £/', -r- ^SmO =: -5M,
c'est-à-dire
4Hcose\^ uz^xx r ,
la différence de phase est
, /4sin0 xy 4' . ,.
0 z:^ •;» 71 -r- z= - ( a^ — zu).
En représentant par/(3) l'intégrale définie
f{z):=i I COS-(£/' — ZU)dUf
on a
Le rapport — ~ ne diffère pas de l'unité de plus de o,oo55
quand l'angle 6 varie de o° à 3o°; on pourra donc, dans cet intervalle, écrire sans erreur appréciable
Si l'angle 6 est négatif, ce qui correspond aux directions située» dans l'ombre géométrique des rayons efficaces, z prend également une valeur négative — z'. L'intégrale
f{z')— r cos ' (u* -^ z' a) du
est évidemment positive, mais elle diminue rapidement à mfnurc que z' augmente et les éléments les plus importants sont ceux qui
correspondent au premier quadrant, dep donnée par l'équation
I>a lumière s'afTaiblil donc graduellem des écrans à bords rectilignee.
Pour 9]>o, l'intégrale /(w) prend ud tives ou négatives en passant par des mi donc, dans la région éclairée, une série parées par des intervalles obscurs.
2o5. Remarques générales. — La m pend de/(^) et par conséquent de la vari d'ordre déterminé, on a très sensiblement
^ ^ ^ z.hK^Y z(hy
La distance angulaire d'un minimum d rection théorique des rayons efficaces est la racine cubique du carré du rapport d< diamèlre de la poulie.
L'amplitude de la vibration est
<''^ ^^-^KpTï^o)/^^^-'^
// cos
(^omnie Tangle 0 est toujours assez p( j (cosO)'* par runilr, de sorte qu'à un facteu
conditions de rexpérienco, Tamplitude pe
f{z) et riiilensilé \)\\v f-i z).
L'intensité, étant j^roporlionnelle à ( Aa- <|ne les dimensions de la i;oulle et la long» |)ehtes. C'est une nouvelle raison qui dimi tive des couleurs les plus réfrangibles et (ai
1 outes les *;oultes élanl distribuées au mène naturel, l'intensité totale relative à proportionnelle au nombre des gouttes uti!
DIFFRACTION. SyS
236. Calcul des intégrales, — Sir G. Airy ( * ) a calcule'! d'abord par une méthode de quadralures les valeurs de l'intégrale f{z) pour toutes les valeurs de :; variant de deux en deux dixièmes depuis — 4 jusqu'à -f- 4.
Quelques années plus tard, il, a étendu le calcul entre les limites — 5,6 et H- 5,6 à Taide des fonctions F, qui permettent de développer cette intégrale en série {-),
On abrégera l'écriture en posant
ce qui donne
La nouvelle intégrale définie '>^{i') est la partie réelle de
Développant en série suivant les puissances croissantes de r, on peut écrire, entre les mêmes limites,
V ^ Ce' y* (ly -\- '^' Tjeô' dy -r- . . . -^ ^^^r fy^^^^^^y'
Comme on a
f e'y'y"rly^ i ^ /
n -»- 1 /»» n -J j n -4- 1 / tl \ \
on voit que le terme général de V est multiplié par le facteur
Ce facteur est égal àr si n = 3/?, à r'r= — / si /î=3/?-f-i et à i^=z — i si /î rr^ 3/> H- 2. Dans ce dernier cas, les termes corres-
(») G. Ainv, Trans. of the Cambr. PhiL Soc, t. VI, Part III, p. 379; i838. (') /bid., t. VllI, Part V, p. 693; 1848.
396 CHAPimB V.
pondants sont purement imaginaires el suite sans qu^il soit nécessaire de les cale Utilisant les propriétés connues
'•("-r)=Kî);i-"
la valeur de ^(^) est la partie réelle de Vi
Si Ton représente par S et T les deui crochets et qui sont convergentes, on peu
3Wr^|-'SrQ^ -r*rTl
On a d'ailleurs
l' i CCS - -h f sin - =: ^— 0 02
i •* t= cos , — i sin - =1 - 0 0 2
Substituant les parties réelles de ces e reste linalemenl
Les Tables de Legendre donnent
loi,'r( ^ j — o,4'2;96274(
Iogr( ^ ) ~ o, 1 3 1650491
En calculant les séries S et T pour une on en déduira les valeurs correspondantes c
DIFFRACTION. 897
Nous reproduirons seulement la partie la plus importante de la Table d'Airy.
o,ooo3
0 , oo63
-rO, 06193
o,io4i
5oi6
L'intensité est négligeable pour des valeurs négatives de z un peu grandes et ne devient sensible qu'à partir de 5 = — 3. Elle croît d'abord d'une manière continue jusqu'à un maximum représenté par 1,001 pour ^ = 1,08 environ; elle devient nulle pour z =z 2,49 et :; = /\<fS6 en passant par deux maxima intermédiaires pour z =::3,47 ^^ >3 = 5,i4.
La Table d'Airy ne comprend qu'une très petite partie du phénomène; car, avec un filet d'eau, Babinet avait déjà observé seize arcs surnuméraires intérieurs au premier arc-en-ciel et neuf arcs surnuméraires extérieurs au second. Une tige de verre observée dans la lumière homogène montre un nombre considérable de franges et j'ai pu, dans certains cas, mesurer facilement les dévialions des 200 premières.
Pour z'^ o ou t' <C o, les séries S et ï sont formées de termes alternativement positifs et négatifs; on peut alors les combiner de manière à pousser plus loin les calculs, mais il est préférable de traiter le problème par d'autres méthodes.
M. Stokes (') a repris l'étude de l'intégrale d'Airy en la déve-
(«) Stokes, Trans, 0/ the Cambr. PhiL Soc.^ t. IX, Part I, p. 166; 1860.
loppant en série suivant les puissances c
ainsi obtenues sont, il est vrai, divergi termes diminuent rapidement et fourn approchée du problème. M. Stokes a cali qui correspondent aux cinquante premiei la condition /(z)=^o et aux dix prem f'(^z)=: o. Nous comparerons ces résull une méthode plus élémentaire.
2o7. Considérations géométriques. — dans une direction qui fait Tangle 6 avec 1 gents, l'arc d'équateur SS' {Jig' \'ào) de A' symétriques par i*apport au point d'ini
Fig. lao.
Vi « I B'
Si ^ «
La vibration due à l'arc CS est proport:
produite par le pôle, avec une perte de |)has
Al* du polc à une des posi lions S, de Tond nimum (190); la vibralion due à Taxe CS' lionnelle à celle qui esl produite par le pùle
une avance de phase égale à >• En appel
marche des rayons A'P'el AP, ht diflérence
vibrations à combiner esl 0 - : 27:, — -•
On a d'ailleurs
La difTérence des chemins du ravon Cl^n
DIFFRACTION. 899
mené par un point M quelconque de la courbe AS, dont les coordonnées sont X et r, est
X siû6 — y cosO =: .rsinO — IIjf^cosO.
L'angle 0 restant invariable, celte expression devient maximum
pour la condition
x^ (io> tangO — 31I.r»-- A —
et détermine alors le retard CB relatif au point A. On a donc
A m 2a-cosO(tangO — Hjt') = -^-siiiOy/tangO ^= À i • | ,
0 = cèr
Les vibrations émises par les pôles A et A' étant sensiblement égales, si |x, est Tamplitude duc à chacun d'eux, Tamplitudc de la vibration résultante est (153)
2|XiC0S^- =9.a, cost: ^^j — y *
Enfin l'amplitude ;jl, est proportionnelle à la longueur S\ du premier arc élémentaire à partir du pôle et Tintcnsité proportionnelle au carré de cet arc, c'est-à-dire à
Les équations (i i) et (19) donnent
Si Ton remplace tangO par l'angle 0 comme valeur approchée, on peut écrire
L'intensité j de la lumière difiractée est évidemment proportionnelle à l'intensité J de la lumière incidente. En désignant par
4oo
CHÀPITBB V.
p un facteur qui dépend du pouvoir réflecteur sur les gouttes et qui varie lentement avec Tangle 0, on obtient finalement
^-^'M'^fA{i)'-û-
Si l'on pose
irz: m —y
l'intensité peut être considérée comme une fonction de/yietToDa
/2m-hiy
L^intensité est nulle quand m est un entier impair 2/> -fi. L^ maxîma ont lieu sensiblement pour les directions intermédiaires qui correspondent aux valeurs paires 2p de m.
Les Tableaux suivants montrent avec quelle exactitude ces calculsapprochés permettent de déterminer les directions des miniiD> et des maxima.
Âfinima.
Daprèii M. Stokes.
2/4955 4,363i 5,8922 7.2436 8,4788 9,G3oo 10,7161
ii»7l9^ 12,7395
(^alcali»
approchés.
io,7i5o
