M IJ
DIFFRACTION. 4oi
L'erreur de la formule approchée n'atteint pas 0,0 1 pour la déviation du premier minimum et ne 'tarde pas à devenir négligeable. L^écart est un peu plus grand pour les maxima, qui sont en réalité plus rapprochés des rayons efficaces que le milieu des deux minima correspondants.
En remplaçant 2 par sa valeur tirée de l'équation (17) on trouve, pour les déviations relatives à une valeur déterminée de m^
Pour une lumièi:e donnée et des gouttes de mêmes dimensions,
l'intensité des maxima est sensiblement en raison inverse de \/z
ou de la quantité (2 m -|- 1)', dans laquelle m est un nombre pair
2/>, c'est-à-dire en raison inverse de la racine cubique de 4/> -h i • L'affaiblissement est très lent, car l'éclat de la deux-centième frange de diffraction est encore presque le cinquième de celui de la première.
L'observation du phénomène sur une tige de verre cylindrique, dont on peut mesurer exactement le diamètre et l'indice de réfraction, confirme entièrement les prévisions de la théorie. Les erreurs que comporte la formule approchée (21) deviennent même inappréciables au delà de la seconde frange.
2S8. Visibilité des arcs surnuméraires. — Ces franges présentent une particularité curieuse. Quand on les examine à l'œil avec une lumière blanche sur une lige cylindrique éclairée par une fente étroite, on ne distingue d'abord que l'arc-en-ciel principal, et les franges d'interférence visibles sont d'un ordre d'autant plus élevé que la tige est plus épaisse.
La direction à partir de laquelle on a compté la déviation 0 des franges varie en effet avec la longueur d'onde, de sorte que, si l'on considère les systèmes d'interférence relatifs aux différentes couleurs, à partir du rouge extrême, ces systèmes éprouvent une sorte de glissement latéral d'autant plus grand que la longueur d'onde est plus petite. La superposition des franges du violet avec celles de même ordre pour le rouge ne peut ainsi avoir lieu que pour les franges d'un ordre élevé.
4oa CHAriTKB V*
La déviation des rayons edicaces été frange d'ordre délerminë, à partir de h rayons incidents, est Da-I-9.
La déviation est la même pour les fra latives à deux longueurs d'onde voisin cette expression par rapport à la longueui donne la condition
D'après la valeur trouvée précédemmei arcs (249)y il en résulte
(„) ___.= -y'-j^aung
Cette expression montre d'abord que achromatique (129), à la différence \ pri rayon des gouttes.
La déviation Oo relative à la frange ad plaçant m par sa valeur tirée de l'équation
Celle déviation est indépendante du rayoi définie par la nature du milieu.
L'angle apparent 80 d'une frange s'obliei l'angle 8 relative à un accroissement om = toujours de variations très petites, par la dit réqualion (•>.!) donne alors
Le coefficient h (253) variant très peu d si la valeur de m est conslanle, ce qui a 1 frange achromatique, la largeur des frange la racine cubique du carré de la longueur < Icmenl de o, 63 à 1, au lieu de o,5 à i, d*i
DIFFRACTION. 4o3
du spectre; on comprend ainsi que le nombre des franges visibles à la lumière blanche soit sensiblement plus grand que dans les interférences ordinaires.
Le rayon a permet de calculer Tordre de la frange achromatique ou la déviation correspondante 9o par les équations (22) ou (23). En effet, si Ton représente la dispersion de Teau par la formule simple
les valeurs des indices (231) donnent, pour la longueur d'onde A = oH-, 56,
\ dn I 2 B n — K ^
- -jr — -.— =— 2 =rz — 0,01573.
On a, d'autre part, pour le premier arc-en-ciel,
il en résulte
A zn 4,896, tangM=: ^;
r:^ . 0,01 OU,
Pour une goutte de i'""* de diamètre, on aurait in^^ 24, c'està-dire que la frange achromatique serait située plus h)in que le vingtième minimum.
Toutefois Tobservation des arcs-en-ciel naturels est en réalité moins simple, parce que la lumière émise par le Soleil n'est pas formée de rayons parallèles. Même pour une lumière homogène, les arcs surnuméraires commencent à empiéter les uns sur les autres dès que la distance SB de deux minima successifs est égale à l'angle apparent du Soleil, soit environ 3o'. La limite de visibilité de ces arcs est donc déterminée approximativement par la
condition
^''^•^'^3-K"oo8y)H«r
40| ClIAPITftB V.
Pour des gouttes de i "" de diamètre, c
I^ visibilité s'arrêterait au quatrième cause d'extinction est donc prédominante < elle-même ne paraît pas visible dans la ni la valeur limite de m est à peu près en n arcs surnuméraires ne peuvent apparaître assez petites et ils seront toujours colorés que les gouttes aient le mémo diamètre, a jorité, sans quoi les arcs surnuméraires dimensions des gouttes empiéteraient les i les cas les plus favorables, on distingue au | surnuméraires, et toutes les circonstance conformes à la théorie.
259. Arcs-en-ciel exceptionnels. — T premier arc-en-ciel est d'environ 4'^-" pou le violet, on a souvent observé des angles n< <lc 38" à il**, 5 pour le rouj;^e: Bouguer a i Cordillères un arc dont le ravon était seuU
l^nlîn il arrive quelquefois que l'arc para que les irisations rougeàtres du bord sont à culièreinent quand le nuage est très rapproc (ju*(»n aperçoit le phénomène sur une brume
Bravais a cherché à expliquer Tarc-en-ci que les j^onllclettes auraient la forme de v aucun phénomène ne jusliiie cetl<' hypoth renées semblent d'ailleurs pouvoir s'expliqi
Ileniarquoiis d'abord (|ue, pour un phéno minée», s'il existe N «;outl(»s sur le trajet des lensité totale de la lumière est proportionne
Pour une même quantité d'eau dans un esp iWr* est constant. L'int(Mislt<* lolale est donc que les gouttes sont plus petites.
DIFFRACTION. 4o5
La valeur z = i ,0845 qui convient au premier maximum donne, pour le premier arc,
6 = o,5422(Ji;)' = o,5o7(^)'
I mm
Avec des gouttes de > ou loH- de rayon, l'écart du maximum
à partir des rayons efficaces est
0"o,5o7(— ^ — ) rro, 117 =:6«53'.
Les dimensions des gouttes suffisent donc pour rençlre compte des variations observées dans le rayon apparent des arcs-en-ciel; dans ces conditions, aucun arc surnuméraire n'est visible même avec des gouttes uniformes.
Enfin, quand les gouttes sont petites et de dimensions très inégales, il y a bien encore concentration de lumière sur une région du nuage, mais le maximum relatif à chaque couleur n'est plus défini et il varie facilement d'une goutte à l'autre d'une quantité plus grande que l'angle apparent du Soleil; l'observateur reçoit alors dans une même direction des maxima relatifs à toutes les couleurs et correspondant à des gouttes ditterentes. L'impression générale est donc de la lumière blanche et la seule teinte appréciable est la petite irisation rouge qui provient des gouttes les plus grosses. LV/rc-e/i-c/e/ blanc s'explique ainsi sans qu'il soit nécessaire d'avoir recours à aucune hypothèse nouvelle sur la constitution des gouttes; les circonstances dans lesquelles on l'observe sont, en efiet, celles qui conviennent pour la formation d'un nuage de structure inégale.
260. Diffraction au voisinage des caustiques, — Ouv^erture rectangulaire, — Comme complément à cette étude de l'arcen-ciel, nous ajouterons quelques remarques sur les principaux caractères de la diffraction au voisinage des caustiques.
Considérons une onde de forme quelconque, comme celles qui seraient produites par un système optique affecté d'aberrations.
Si l'on prend pour plan de figure l'une des sections principales SS'en un point O {fig* 121), les rayons voisins delà normale OC rencontreront une ligne focale passant au centre de courbure C.
CHlPITftK T.
On peut encore remplacer Tonde par l'équateur SS' lorsque les écrans qui limitent le faisceau dans une dîrectioD perpendiculaire à la section principale considérée laissent libre one étendue beaucoup plus grande que la région efficace de Tonde ou, plus simplement, lorsque la lumière traverse une ouverture rectangulaire de largeur la.
Soient R le rajon de courbure OC, P un point situé à la dislance angulaire très petite H sur une perpendiculaire CP au rayon CO.
Si la courbe S était circulaire, la vibration au point P serait la
Fig. 131.
Fn"
mémo que la vibration produite pour une déviation 6 par la portion d'onde plane correspondant à l'ouverture, et la différence de marche relative à un point M de la courbe dont Tabscisse est / serait égale à Ox.
Par suite des aberrations, celte différence de marche peut être représentée par une expression de la forme
dans laquelle la somme des termes bx- 4- cx^ -h/^* 4- . . . représente rabcrration, c'esl-ù-dire la distance du point M au cercle osculaleur au point O. Le terme en x- est nul dans le cas actuel;
on verrait aisément que les quantités — c et^^ — /représenlenl
les doux premières dérivées de la courbure par rapport à x au point O, c'est-à-dire pour x = o.
La différence de phase est donc
DIFFRACTION. 407
el la vibration au point P
Ç =: ^fsin{iot -1-5) dx,
261. Cas général. — Si le facteur c n'est pas nul, c'est-à-dire si le point C n'est pas un point singulier de la caustique, on pourra négliger les puissances de x supérieures au cube. Lorsque le point O est le centre de l'ouverture, Tinlégrale F=zfsin^clx est encore nulle : la vibration en P a la même phase que si elle provenait uniquement du point O et l'amplitude est
A — [A / ces 0 c^j: zn 2 (JL / ces -Y"' (ca:' -h 0 jr-) djc.
On retrouve ainsi l'intégrale d'Airy.
Si la portion libre de l'équateur est elle-même très grande par rapport à la région efficace, on pourra remplacer la limite a par H- oo; les phénomènes sont alors identiques à ceux de l'arc-enciel. La lumière diminue graduellement du côte de l'ombre de la caustique, où 0>> o, et l'autre côté présente une série de franges avec des minima nuls.
Lorsque le faisceau de lumière est plus étroit, la limite supérieure a doit rester finie. En posant encore
il en résulte
A = 2(irt(4/') "* / ces- (m' — zu)du.
La méthode des quadratures employée par Airy pour le calcul de cette intégrale permet d'en connaître les valeurs quand la limite supérieure est finie. Lord Rajleigh (*) en a déduit la Table suivante :
(•) Lord Rayleigh, Phil. Mag,, [5], t. VIII, p. 4o4; 1879.
Table dtt va/euri de i
a,oS88
5Gt
[3ao
o.oill
ia63
aogS
rJ77
aa66
4ari
«■iaa
5fi7a
!iii!i
6oa4
5mo
5oï8
- o.aSaS
Les valeurs de la Table pour m=\, ou /> = |, correspond
cas où l'aberraùon ca} relative au bord de l'ouverlure est éga
l'iutensité maximum a lieu pour une direction voisine de z ■- Les deux colonnes qui suivent correspondent à des valeui égales à (1,26)' et (i,44)', ou sensiblement 3 et 3. A mesu la valeur de m augmente, les oscillations d'amplitude qui e d'abord du côté de l'ombre disparaissent de plus en plu! maximum principal s'éloigne du bord de la caustique.
Le Tableau donne les résultats suivants pour les valeui relatives aux deux premiers minima de part et d'autre de la centrale, leur différence Sz et l'angle apparent ï de cette frar terminée par la condition
DIFFRACTION.
Angle apparent
6^e /a frange
centrale.
L'angle apparent de la tache centrale est donc plus grand que la valeur - qui correspondrait à la même ouverture rectangulaire
dépourvue d'aberration. Le phénomène régulier d'interférence n^est modifié d'une manière sensible qu'à partir du moment où l'aberration relative au bord de l'ouverture est supérieure à un quart de longueur d'onde.
262. Formation des foyers, — Lorsque les aberrations sont symétriques, le point C est le foyer des rayons infiniment voisins situés dans la section principale considérée; si le point O est encore le centre de l'ouverture, la ligne focale correspondante est alors bordée de franges symétriques. A ce point de vue, le problème est donc plus simple, mais on est obligé d'avoir recours à des intégrales d'une autre forme et la phase de la vibration résultante au point P diflere de celle qui serait produite par le point O.
Le facteur c étant nul par raison de symétrie, on doit prendre les termes en x^ dans la dilTérence de phase, ce qui donne
Lorsque les limites de l'arc s sont encore ± a, on posera
et les intégrales qui déterminent l'amplitude de la vibration sont
4lO CHAPITRE V.
II est à remarquer que ces intégrales sont indépendantes du signe de/. Chacune d'elles doit être prise entre les mêmes liraiies o et 6 pour l'arc r* -f- ry et pour Tare y^ — vy. Comme on a
sin( j^ -H ('/) -H sin( j'^ — vy) zzz 2 siny* cosi'^', cos(/* -\- vy) -h cos( r^ — rv) = 2 cosj^ cosi»/,
il en résulte
«1 /»* , F = 2rt(2/>7r) *l siny^cosiydyy
1 /»* Gz=2a{2pT.) ^1 cosy^ cosiydy,
iF
a{2p'n,) * 1 e^y* ces vy dy :^ 2a(2pTz) ^ Y.
Développant cospy en série
ces
iy — i y^-\ y^ — ,,
2/tl
on voit que le temps général de la fonction Y est
SI la portion libre de l'équaleur est très grande, on peut rem placer a par H- oc, ce qui donne
in
Sn4-I
e-^\jc^n ^/^i- --
(,)/»(.îi /~V
et il serait facile d'exprimer encore les intégrales F et G à Taide des
fondions T ( 7 ) et F f ^ )•
Toutefois celle extension des limites des intégrales ne correspond pas à un phénomène physique dans le cas des lunettes el il est plus ulilede considérer un faisceau limité. Pour avoir une idée des effels d'aberralion, lord Raylcigh détermine seulement la vibration au sommet de la caustique, en faisant 8 ^= o ou i':=o: on a alors
a{2pT.) M e'y*dy.
DIFFRACTION. 4\l
Développant rexponenlielle en série
le terme général de Tintégrale est
— / r^" dy — -r -.
11 en résulte, en remarquant que h = (^ipT.y ^
L 1-29 4'i7 2/^!8/^-hlJ
fi I ^>» (—1)'» ^>»« 1
Lorsqu'il n'y a pas d'aberration, y? = o et Ton retrouve les valeurs connues F = o et G r= aa.
Les deux séries qui déterminent les valeurs de F et G convergent très rapidement. Si l'on donne à la variable p des valeurs égales successivement à |, \ et ^, c'est*à-dire si l'aberration fa^ relative au bord de l'ouverture est représentée respectivement par les mêmes fractions de longueur d'onde, on trouve que l'intensité au centre est réduite aux fractions 0,9676; o,84ii; o,5255 de celle qui correspondrait à une ouverture sans aberration. Cette diminution de l'intensité est nécessairement accompagnée d'un élargissement de la frange centrale; le phénomène est encore modifié d'une manière sensible dès que l'aberration relative au bord de l'ouverture atteint un quart de longueur d'onde.
Le problème pourrait être traité d'une manière plus complète, au moins quand l'aberration est très faible. On a, en efiet,
Y = / c'y' ç.o%Kydy — - j e'r* ( e'^'y -+- e"'*'^" ) dy.
Si l'on développe la fonction
suivant les puissances de v, on voit que les termes d'ordre pair
4ia CHAPITRE V.
représenteront la fonction Y. L'intégration par parties donne suc-
cessivement
V = ^ [e'(6*-^«'6)- i] - I r y^é^'é^rdy.
La dernière intégrale fournie par ces équations successives ne tend manifestement vers zéro que si la limite b est inférieure à Tunité; à moins que la déviation 0 ne soit très petite, les termes du développement décroissent alors assez rapidement, car on a
Pour une ouverture de lo*^"* de diamètre et une déviation 9 = o', I = G, 000029 avec /? = I , il en résulte (> = 1 1 , 5.
Si donc on continue le calcul suivant la marche indiquée, on éliminera d'abord les termes d'ordre impair dans la valeur de Y et Ton obtient finalement, pour les premiers termes, en posant
Fï-f-G» / n} ,/i*— 8i\ sin'o:
'*V ^<'— 6\ 6^Y, 3/1'— 3i\sin2J
On retrouve l'expression habituelle de Tamplitude relative à une ouverture reclangulaire (218) quand on suppose l'aberralion nulle, c'est-à-dire /> = o.
Dans le cas actuel, l'intensité n'est jamais nulle. Si l'on fait,
par exemple, /« = i , ou p= —, l'intensité correspondant à la
valeur x := 27:, qui donnerait le second minimum nul sans aberration, est sensiblement
la position approchée du second minimum réel correspond alors
d X =^ 27î(l -I- Yj.
DIFFRACTION. 4l3
^ Les aberrations ont donc pour résultat, ce qui était prévu, de *aire disparaître les minima nuls et d'élargir la tache centrale.
263. Ouverture circulaire. — Lorsque la section du faisceau 38t circulaire et que les aberrations sont symétriques autour de v'axe, ce qui correspondrait au cas d'un objectif ordinaire, on a, 511 appelant r le rajon vecteur d'un point de l'ouverture,
o = ?j^ (//•'+ Or), ^=z2t:[i.I sin(<D^-+- 8)ré/r.
Avec le même changement de variables ( aS ) que précédemment, es intégrales qui définissent l'amplitude deviennent
G=:a»(2/?ir) * / CCS (j*-+- (7)7^/7,
Pour obtenir la vibration sur l'axe, on fera (^ = o, ce qui donne
G-+-iF = a»(2/7i:) M e^y'ydy.
Développant encore e'^* en série, on trouve facilement
L2 1.2 10 4-' 18 '*' in\ 8/i-f 2J'
^ . Ti I // (-i)" ^»« 1
'^ L6 1.2.3 i4 (2w -h I)! 8/1 -hOj
L'intensité est réduite aux fractions o,g464; o,8oo3; 0,8947 de celle qui aurait lieu sans aberration quand le terme fa^ est égal
respectivement à g> ^ et -• Ici encore, les images sont troublées
d'une manière sensible à partir du moment où l'aberration des rayons extrêmes atteint un quart de longueur d'onde.
4l4 CHAPITRE %
Pour traiter le problème d^une mua cas des aberrations très faibles, il sa fonction
peut s^e^Lprimer par la dérivée de la fou demment, car on a
Le développement connu de V permit et, par suite, les intégrales F et G.
Ces calculs ne présenteraient pas gn des objectifs imparfaits s^améliorent b< serve dans un plan un peu différent de foyer des rayons centraux.
Nous avons vu (215) qu'il est préféra supprimer les rayons centraux, même tique; il en est ainsi, à plus forte rais< ne sont pas négligeables.
On j)eul ainsi se rendre comjîte, avec ! que peuvent produire sur les images les ^ de l'air que renferme le tube d'une lune lion (le l'air à la température t est
o,ooo*2q3
