I.mm'a*b'*—2l.mm'aba'b' cos[(a — ?) — («'—?')] > o
Si l'on remplace le second terme par la quantité plus grande lYtmm! aba'b' , on a encore
Zmm'a^b'^— il.mm' aba' b' :=. l,mm'(ab' — a' b)* > o.
La condition (8) est donc a fortiori satisfaite. Enfin, lorsque l'on a
AB-(G«4-D«) = o, il en résulte
le système équivaut à une vibration permanente unique, pour laquelle la direction et le rapport des axes sont donnés par les équations
tang20 = ^^— g,
2D 2v/AB — G*
Cette vibration est circulaire quand aD = A-f- B; elle est rectilignc quand D =: o et, par suite, C^ = AB.
333. Direction des vibrations. — Le phénomène des interférences laisse indéterminée la question de savoir si le plan de vibration, qui passe par le rayon et la vibration d'une lumière polarisée, est parallèle ou perpendiculaire au plan de polarisation ; cette question a donné lieu à un grand nombre de travaux sans
55o CHAPITRE VIII.
conduire à une démonstration définitive. Toutefois Fresnel (•)avMi déjà montré que certaines conditions de symétrie et différents phénomènes physiques semblent devoir faire prévaloir l'hypothèse que ces deux plans sont rectangulaires.
i"" Dans un cristal à un axe, comme le spath d'Islande, la vitesse de propagation des ondes planes est constante ou variable avec la direction, suivant que ces ondes sont ordinaires ou extraordinaires. Or rien ne distingue deux ondes parallèles d'espèces dilTérentes si ce n'est la direction de la vibration, laquelle estrectiligne dans les deux cas. Si, comme il paraît évident, la vitesse de propagation dépend de la direction de la vibration par rapport à l'axe de symétrie du cristal, la vibration ordinaire doit faire ud angle constant avec cet axe. Comme cette vibration est polarisée dans la section principale, c'est-à-dire dans un plan normal à l'onde et parallèle à l'axe, elle ne peut faire un angle constant avec Taxe que si elle est perpendiculaire à la section principale ; la vibration ordinaire est alors perpendiculaire à l'axe, quelle que soit la direction du plan de l'onde et, par suite, elle est perpendiculaire au plan de polarisation.
Pour l'onde extraordinaire, la vibration est située dans la seclion princi pale et son inclinaison sur l'axe est variable avec la direction (le l'onde.
2" Les propriétés de la tourmaline conduisent à la même conclusion. Ce cristal est opaque sous une faible épaisseur pour le> rayon3 parallèles à l'axe ; puisque les vibrations sont transversales, il éteint donc rapidement les vibrations perpendiculaires à Taie et Ton doit admettre (jue le coefficient d'extinction d'un svslèmo de rayons ne dépend (jue de la direction des vibrations par rapport à Taxe de symclrle du milieu. D'autre part, une lame parallèle à l'axe ne laisse passer que le rayon extraordinaire et éteint le ravon ordinaire. Cette propriété ne s'explique physiquement que si les vibrations ordinaires restent perpendiculaires à Taxe, c*est-à-»lire si elles sont perpendiculaires au plan de polarisation.
3" Enfin plusieurs autres phénomènes physiques, tels (jue le dichroïsme, la rétlexion, la réfraction, la difl^usion, etc., condui-
(*) l^'aESNEL, Œuvres, t. I, p. 637.
POLARISATION. 55l
sent encore aux mêmes conclusions, relativement à la direction des vibrations dans un milieu isotrope.
On doit signaler cependant une difficulté relative aux cristaux. L'onde ordinaire étant toujours normale au rayon dans les milieux à un axe, les vibrations restent dans le plan de Tonde, qu'on suppose le plan de vibration perpendiculaire ou parallèle à la section principale. Pour l'onde extraordinaire, qui est en général oblique au rayon, la vibration serait bien encore normale au rayon et dans le plan de l'onde si on la supposait perpendiculaire à la section principale, c'est-à-dire dans le plan de polarisation; mais, si la vibration est dans la section principale du cristal, l'une au moins des deux conditions précédentes ne peut être satisfaite.
En réalité, la théorie de l'élasticité montre que la vibration du rayon extraordinaire est oblique au rayon et au plan de l'onde ; elle peut être située soit dans l'angle de la normale au rayon avec sa projection sur le plan de l'onde, soit môme en dehors de cet angle. Il en sera de même pour les deux ondes d'un cristal qui ne possède pas d'axe de symétrie.
La double réfraction étant toujours très faible, l'angle du rayon extraordinaire avec le plan de Tonde diffère très peu de 90®, de sorte que l'on peut, sans erreur sensible, considérer la vibration comme étant dans le plan de Tonde ou normale au rayon. La vibration du rayon extraordinaire est alors dirigée suivant la projection du rayon sur le plan de l'onde.
55j> ciiapitkb ix.
DOUBLE RÉFRACTIO
33 t. Tentatives pour généraliser la loi double réfraction du spath d'Islande, dont la Erasme Bartholln (*), se retrouve avec les m tous les cristaux qui possèdent un axe de sjr a vérifié, dans un certain nombre de cas sii mène s'explique d^une manière complète en caractéristique se compose de deux surfaces < et un ellipsoïde de révolution, tangentes suri
La loi dlluygens ne fut pas adoptée par Ni temps dans Toubli jusqu^à ce qu'elle fût coi riences de Wollaston ('). Dans l'hypothèse d considérer la double surface d'IIuygens comn auxquels les molécules lumineuses parvienne égaux; la vitesse de propagation du ravon ext: raison inverse du ravon vecteur correspondan
Laplace (*) a montré que le principe de la . met alors de déterminer la direction des deux en résulte aussi que Taclion du milieu sur les ordinaire est constante, tandis que sur les r extraordinaire elle varie par un terme propor sinus de l'angle que le ravon fait avec Taxe (^
Dans les cristaux (jui ne présenlenl pas la on a cru pendant loui^lemps que Tun des ray< la loi de Descarlos et restait ordinaire, el Toi
(') K. IJAnTiioLiN, l'Jxperim. ciistaUi hUindiri; Ai (') Hhewstlh, PliH. Trans. L. IL S., p. 190- ^^^^. (') AVoLLASTON, P/n'i. Trans. L. /{. S., |>. 'î^i, iSoj. (') LAri.Aci:, Mcm. Je lu i" classe de l'Institut, i. X. (') Voir i. IIkuschei., Traite d'Oplitjue, \.vd(\. U'axïc.^
raliser la construction d'Hujgcns pour traduire la marche du rayon extraordinaire, par exemple en remplaçant l'ellipsoïde de révolution par un ellipsoïde à trois axes inégaux.
335. Expériences de Fresnel. — Fresnel ( * ) a montré d'abord qu'il n'y a plus de rayon ordinaire dans la topaze et que les vitesses de propagation des ondes réfractées sont toutes deux variables avec la direction des rayons.
Nous résumerons rapidement ces expériences capitales.
Désignons par Ox, Oy et O2 trois directions rectangulaires, respectivement normales aux trois plans de symétrie de la topaze, dont l'un est parallèle aux faces du clivage. Une lame parallèle à l'un des plans de symétrie se comporte, au moins pour des rayons voisins de la normale, comme si elle était taillée parallèlement à l'axe dans un milieu à un axe ; les deux rayons réfractés sont polarisés dans les deux autres plans de symétrie.
On taille dans un même cristal deux lames A el B {fig- 168)
Fis. 168.
respectivement perpendiculaires à deux directions Ox et Oy ; on fait dans chacune d'elles une coupe perpendiculaire à la .direction commune Zy et on les rapproche l'une de l'autre. Ces lames sont travaillées ensemble et leurs faces simplement doucies pour qu'on puisse leur donner sensiblement la même épaisseur; en les plaçant sur un verre plan et appuyant sur elles la surface légèrement convexe d'un prisme, on peut déterminer par les positions rela-
(') Fresnel, Œuvres, t. II, n*»' XXWIII et XXXIX.
m chapithb is.
livcs des anneaux de méniG ordre, de |)arl et d'uutrc de U ligne de jonction, ta difTérencc de leurs (épaisseurs : celle difT^rcncc n'élût ijue de deux ou trois ondulations.
Les lames sont alors enduites d'une couche légère de lérélieaihînc et serrées entre deux plaques de verre à faces parallèles- L* ii-rêbentliine rend d'abord te douci transparent (239), connue si let faces avaient et'! polies ; en outre, l'essence (jui comble le vidilaissé par la difTL'rence des épaisseurs rétablit sensiblement 1V|ilitédes chemins optiques, puisque l'indice de réfractioa du liquide diffère très peu des indices de la topaze.
L'appareil ainsi préparé, on te place devant les féales d'^ouog dans une expérience d'interférences. Si les deux l'entes sont couvertes par le même cristal, A ou B. on n'aperçoit encore qu'un svslème de franges, sans modification appréciable, à moins que rcnseiublc des lames n'ait une forme légèrement prismatique.
Si les faisceaux de lumière traversent respectivement les deui morceaux A et B de topaze, on aperçoit au contraire dcuisjr»tèmcs de franges, dont l'un occupe la position primitive, i part un petit déplacement il'une fraction de frange qui s'explique par U couche supplérocniaire de térébenthine correspondant à h dilTrrence des épaisseurs ; le centre de raulre système est déplacé, n contraire, d'un grand nombre/» de longueurs de franges, une vingtaine, par exemple, pour une épaisseur de 4"" â j""".
On reconnaît en outre, avec un analyseur, que le systî'me cco- Irat est polarisé parallèlement à l'axe commun Os des deux li>pazes, c'est-à-dire dans le plan zO.v pour la lame A et dans U plan =0(' pour la lame B, tandis que le système latéral est polarisé dans un pian parallèle à la ligne de jonction, c'est-à-dire d»at le plan jrOj-pour les deux lames. Les vitesses de propagaliui» parallèles à x dans la lame A étant b et c. pour les rayons polarisés dans les plans xOy et ,rOs, les vitesses parallèles à 0/ dans la lame B sont cela pour les rayons polarisas dans les plans yOs et^yO:!:. Si donc il existe un rayon ordinaire, sa vitesse e»l c et la direction z est l'axe du cristal.
En combinant la lame B avec une troisième lame C de ménf épaisseur perpendiculaire !t la direction Os, on aurait encore nn système de franges central polarisé parallèlement à la direction Ox commune et un système latéral correspondant à un ai
placement; il y a donc suivant la direction Oz deux vitesses de propagation différentes a et b'.
Par suite, la vitesse de propagation ne reste constante pour aucun des rayons et il n'y a pas de rayon ordinaire.
Enfin, si Ton combinait les deux lames A et C, on obtiendrait également un système de franges latéral correspondant à la différence des vitesses a et c et un système sans déplacement, d'où il résulte que les vitesses b et b' sont égales.
Fresnel a vérifié directement cette conséquence par une autre expérience : dans un phénomène d'interférences avec les miroirs ou les fentes d'Young, on emploie de la lumière polarisée et l'on intercepte le faisceau par la lame C dont on incline les plans de symétrie à 45** sur le plan de polarisation. On n'aperçoit d'abord qu'un système de franges; mais, si l'œil est muni d'un analyseur parallèle au plan primitif de polarisation, il apparaît deux autres groupes de franges à droite et à gauche, pour lesquels le déplacement des centres correspond à la différence des vitesses a et b'. Or ce déplacement correspond au même nombre p de franges que dans la première expérience où il était dû à la différence des vitesses a et b. Les rayons qui sont perpendiculaires aux plans de symétrie se propagent donc avec trois vitesses différentes a, b et c, groupées deux à deux.
336. Double prisme de topaze. — Pour mettre ces variations de vitesse en évidence, Fresnel a fait tirer d'une même topaze deux prismes taillés dans des directions différentes ; on les a réunis par une surface plane et travaillés ensemble pour leur donner sensiblement le même angle réfringent. Ils ont été ensuite collés à la térébenthine entre deux prismes de crown d'un seul morceau disposés de manière que les faces opposées, par lesquelles entre et sort la lumière, fussent parallèles entre elles et au plan bissecteur de l'angle réfringent des cristaux accouplés. Les prismes de topaze se trouvent ainsi presque entièrement achromatîsés, mais la déviation reste encore supérieure à i5° pour un angle réfringent de 92®, 5.
On vise au travers de ce système une fente parallèle à l'arête des prismes. Chacun d'eux fournit deux images ; s'il existait un rayon ordinaire, la déviation pour l'une d'elles serait indépendante
536 CH\PITftB IX.
de la direction de la laille par rapport aux plans de symétrie. En observant alternativement au travers de Tun ou Tautre prisme, oa en les plaçant tous deux devant l'objectif d*une lunette, deux des images seraient toujours superposées, tandis que cette coïncidence n'a lieu que dans des cas exceptionnels. En outre, comme les indices des rayons diffèrent très peu, il est évident que la distance angulaire des images est proportionnelle à leur différence; en mesurant cette distance dans le cas du minimum de déviation, on pourra donc évaluer la différence des vitesses de propagation, dem à deux, des rayons qui traversent le cristal dans une direction perpendiculaire au plan bissecteur de l'angle réfringent.
337. Ellipsoïde de polarisation. — Il n'est donc plus possible de conserver la sphère d^Huygens et d'essayer de transformer l'ellipsoïde pour une généralisation ultérieure. Fresnel ( * ) a tourné cette difficulté d'une manière très heureuse en montrant que, par la considération des ondes planes substituée à celle de l'onde caractéristique, on peut représenter par un seul ellipsoïde de révolution, que Cauchy a appelé plus tard ellipsoïde de polarisation, toutes les propriétés des cristaux à un axe.
Considérons, en effet, l'ellipsoïde
dont les axes OA et OB, = OB {fi g* i<>9) sont respect] vemeni - et j; cherchons son intersection avec un plan P^ qui passe par l'axe des j' et dont l'équation est (2) ^cosO -h 5 sinO -- o.
Celte intersection est une ellipse dont l'un des axes OB parallèle i\y est égal à t- et dont l'autre axe OC, situé dans le plan xz, est donné pur l'inlerseclion de la droite (:>.) avec l'ellipse
En multipliant successivement cette dernière équation parsin-^
( ' ) Fresnel, Œuvres, t. II, p. a80.
et cos*6 et tenant compte de la précédente (2), on en déduit
./•-(a* siii*6 4- b^ cos-6) = sin*e, ^'(a*sin*6 h- />*cos*0) =:cos'0;
OC ~x^-^z^z=
a* sin*0 -h 0^ cos*Ô
On reconnaît à ces expressions que les axes OB cl OC de Tellipse d'intersection représentent (50) respectivement les inverses des vitesses de propagation V et \" des ondes planes ordinaire et extraordinaire parallèles au plan P^,.
Fig. itig.
En outre, Tonde ordinaire est polarisée dans le plan jcz perpendiculaire à Taxe OB. Si l'on admet la conception deFresnel (333) relative à la direction des vibrations dans un rajon polarisé, Taxe OB çst parallèle aux vibrations de Tonde ordinaire.
L'axe OC est aussi dans le plan de vibration de Tonde extraordinaire ; mais il n'est plus permis de dire en toute rigueur cpril soit parallèle à la] vibration extraordinaire, puisque, celle-ci ne pouvant être en même temps normale au rajon et située dans le plan de Tonde, on ignore pour le moment quelle est sa véritable direction.
Dans tous les cas. Taxe OC est parallèle à la projection, sur le plan de Tonde, de la vibration extraordinaire.
338. Définition géométrique de la surface d^onde. — Il suffit maintenant, pour aborder le problème des cristaux à deux
axes, de généraliser cette propriété en admettant avec Fresnel que Tellipsoïde de polarisation a trois axes inégaux et une équation de la forme
(3) a^x'-^b^y*-hc*z^ — i.
Les axes de cet ellipsoïde sont respectivement - > j- et - ; nous
supposerons a'!> b'!> c.
Toutefois, Fresnel n^a pas tardé à abandonner cette méthode d^induction physique si remarquable pour essayer de constituer une théorie mathématique de la structure moléculaire des corps qui fût capable de conduire au même résultat. En s^appuyant sur un ensemble d'hypothèses dont quelques-unes au moins sont très contestables, il a trouvé que les propriétés mécaniques d'un milieu peuvent être représentées par un ellipsoïde auquel il a donné le nom d'ellipsoïde des élasticités et qui jouit des mêmes propriétés que rdlipsoïde de polarisation par rapport à la propagation des mouvements vibratoires.
L'exactitude de ses travaux ultérieurs à ce sujet pouvait ainsi paraître subordonnée à celle de sa théorie de Télasticilé ; c'est seulement après la publication de Mémoires inédits, dans les Œmres de Fresnel, que Ton put connaître et apprécier la véritable marche de ses idées.
Si l'on appelle a, jï, y les cosinus des angles que fait, avec le> axes, la normale N à un système d'ondes planes, on obtiendra le? deux vitesses de propagation correspondantes en menant par le centre de l'ellipsoïde de polarisation un plan Po
et déterminant les axes de l'ellipse E d'intersection. Les vitesse? de propagation V, et Vo sont respectivement égales aux inverses de ces axes, el le plan de vibration d'une onde est parallèle à l'axe correspondant de l'ellipse ; les deux plans de vibration sont rectangulaires.
La surface d'onde est l'enveloppe des plans menés à des distances de l'origine égales aux vitesses de propagation. C'est donc l'enveloppe des plans
- avec la condition que la valeur de V représenle l'inverse de l'un , des axes de Tellipse E,
339. Sections principales. — Sans qu'il soit nécessaire de déterminer l'équation de la surface d'onde, on en connaît déjà les sections principales.
En effet, si les ondes sont parallèles à l'axe des ^, on a a = o;
l'un des axes de l'ellipse E est alors constant et égal à - ; le second
axe bf est donné par l'intersection de la droite ^j^ -|- y^ = o avec l'ellipse
dont les axes sont -r- et -• Il en résulte, pour les deux vitesses de
propagation,
La section de la surface d'onde par le plan Ats yz {Jig. 170) est donc une circonférence de rayon a et une ellipse dont les axes c et b sont dirigés suivant les axes de coordonnées y et z. L'un des rayons suit la loi de Descaries et se comporte comme un rayon
ordinaire avec l'indice de réfraction /i, = -.
La vibration de ce rayon ordinaire est parallèle à l'axe des x ; le plan de vibration yz du rayon extraordinaire est perpendiculaire à Taxe des x.
De même, la section de la surface d'onde par le plan des zx est une circonférence de rayon b et une ellipse dont les axes a cl c sont respectivement parallèles aux coordonnées z et x. L'un des
rayons est encore ordinaire avec l'indice /î^ = y
Enfîn la section par le plan des xy est encore une circonférence de rayon c et une ellipse dont les axes b ci a sont parallèles aux coordonnées x ci y. Dans ce cas, le rayon ordinaire a
pour indice n^ = -.
Ces quantités /i,, aî2 et /î3 sont les indices principaux de réfraction du milieu.
36o CHAPITRK I&.
