d7. ^d^ , 7<^Y —Yid
yi— rï« V*— />» V
X d%-^ yd^-^ zd^(^=z dW, oidoL-Jr ? ^3 -+- Y û^Y = o,
c la condition
Une de ces équations devant être la conséquence des deux res, si l'on ajoute les deux extrêmes, (6)' et (9)', après les )ir multipliées respectivement par des coefficients indéterminés
') AMrtHE, Ann. de Chim. et de Phys.y [a], t. XXXIX, p. ii3; i8a8. ') A. Smith, Phil^ Mag., t. XII, p. 335; i838.
j6\ CHAMTBE ÏXm]
A et B, et qu'on identifie avec (8)', on
Jrz= Ax -H —
(lO
i = BK.
Il suffira alors d^éliminer les six inco entre les sept équations (6), (8), (9), (i i
Si Ton multiplie les équations (11) resi et qu*on les ajoute en tenant compte de (
(les mêmes équations élevées au carré représenlanl par /* la somme x^-h-j"^
Avec ces valeurs de A et B, la premier NÎenl
La même Iransforinalion répétée pour conduirait à des expressions analogues, pa ion peut écrire
Il suffit mainleiianl d'ajouter ces équalio:
tipJIées respectivement par x, y^ z en tenant compte de (8), pour obtenir l'équation de la surface d'onde S
Si Ton remplace l'unité par -^^ —y le terme en x^ est
Répétant la même opération sur les autres termes et supprimant le diviseur commun r^, on a
Enfin, si l'on chasse les dénominateurs et qu'on supprime le facteur commun r^ = x^-^y^-^ z^^ on trouve encore
^ ( r^a^x^'^-b^y*-hc^z^) — a^(b^-hc^)x^
On obtient ainsi trois formes différentes (i4)i (14)' et (14)" pour l'équation de la surface d'onde; c'est la dernière qui avait été donnée par Fresnel.
343. Sur/ace d^onde réciproque ('). — Soient S la surface d'onde (/?^. 172), PM le plan tangent, OP = V sa distance au centre, OM = r le rayon vecteur du point de contact M.
Si Ton prend sur la normale OP une longueur /•'= 0M'= ^>
le lieu des points M' est la surface polaire réciproque S' de la surface d'onde S. Le plan tangent M'P' à cette surface est perpendiculaire au rajon conjugué OM et la normale OP' est égale à -•
L'équation de la surface S' s'obtient immédiatement; car, si l'on remplace dans (6) les cosinus a, p, y par les coordonnées x\y ^
(') Plucker, JourncU de Crelle, t. XIX, p. i et 91 ; 1839.
z^ du point M' qui leur sont proportion
Celle équation ne diflere de (14)' que longueurs r/, t el c par leurs inverses — 9
La surface S', polaire réciproque de S il'onde qui correspondrait à Tellipsoïde de i
KM]uel est polaire réciproque de rdlipsoïde (]oUe surface S' joue par rapport aux ray que la surface S par rapport aux normales ( propa«;alion des ondes planes.
3 il. Prnprirtrs de ht surface d'onde.
dislance PM du pied de la normale au plan (!()nlacl avec la surface S: A, ;jl, v les cosini droite; 7/, 'i', v' les cosinus du ravon vecleui des chemins OM et ( )P.M sur les axes de co<
(Ki)
ov,
(Comparant avec les équations (11) dans les
r, y^ z par /a , /-^^ /y' et A par V, Il en résulte
Vi c;^ K V^-6-
On voit, d'après les équations (-j), que les directions A, a, v et /, /îi, n sont parallèles. La projection PAIdu rayon OM sur le plan de l'onde est donc parallèle à Taxe correspondant de Tellipse d'intersection E de Tellipsoïde de polarisation. Par suite, le plan de vibration d'une onde plane, ou du rayon correspondant, est le plan projetant du rayon sur Tonde.
Si l'on ajoute les équations (17) après les avoir élevées au carré, on a, en tenant compte de (10 ),
,,ox 'v.r '' V ^ f 1
L^angle s du rayon OM avec la normale 01*, ou ïanglr de conjugaison, est donc
Quand on se donne la direction a, [:i, y d'une onde plane, les vitesses de propagation V| et Va, qui sont les inverses des axes de Fellipse correspondante dans l'ellipsoïde de |)olarisation, soni déterminées par réquation(f)). On en déduira p^, puis r'^=z\'^-hy' et enCn la direction a', jï', ''' du rayon par les é(pialion^ (i(»).
Les plans de vibration des deux ondes correspondant à lu niéuM! direction sont rectangulaires.
Inversement, si Ton connaît la directi(»n a', [i', v' d'un ia\on OM {Jig' '7'^)" ^" déterminiîra à l'aide de la surface d'onde réciproque S', c'est-à-dire par l'équation
56^ CIIAPITBB IX.
les distances normales U| = OP*, et Ut = i
correspondants « c^est-à-dire les vîlesses 9
deu\ rayons qui se propagent suivani la mt de vibration OP, M', et OP',M', sodI encoi
Fig. 173.
Enfin les points de contact M', et M'^ d surface S' qui sont perpendiculaires à la d les normales r',= OM', et rj= OM'j aux on
dantcs et leurs vitesses de propagation V| =
A toute propriété de la surface S relative respond ainsi une propriété de la surface 1 aux ravons, et inversement.
3lo. Ri* fiuiciions coniques. — (^omnie on ondfs parallèles aux plans cycliques de l^ellii ont la même vitesse de propagation V = h.
Si l'on |>rend Féquation <lela surface d'ond les points pour lesquels le plan tangent est i s'obtiendront en égalant à zéro la dériNée membre par rapport à r, ce (]ui donne
Kn dehors de la solution y = o qui correspc dans le plan des xz^ lesquels satisfont évider celte é(|uation représente un ellipsoïde et 1 forme
Il est manifeste que cet ellipsoïde a les mêmes plans cycliques .. que Tellipsoïde de polarisation (3)'. Les ondes planes parallèles aux plans cycliques, et dont l'équation est
coupent Tellipsoïde (21) suivant une circonférence; la courbe de contact avec la surface d'onde est donc circulaire.
Pour avoir l'équation du cône qui passe par la courbe de contact, il suffit de combiner (21) et (22) de manière à obtenir une fonction homogène par rapport aux coordonnées.
L'équation
représente deux cônes à section droite elliptique pour lesquels le plan des xz est un plan de symétrie.
Quand on y fail^ = o, le rapport — représente la tangente de
Tangle de l'axe des z avec l'une des génératrices du cône situées dans le plan de symétrie.
Si l'on considère seulement les valeurs positives de ce rapport qui correspondent aux directions situées dans l'angle xOz^ réquation qui en résulte
a«(6*— c')/ t)' — («*-H c*) \/{^^^^n^){b^^^^ ^ + c-(fl»— b^) - o,
détermine les deux angles G et D de l'axe optique 01 (Jig- lyà) et de la droite OJ avec l'axe des z. On a donc
tangC = y/ ^^^--^,, cos-C = ^^^--^^^ sm«C = -. :,
L'angle 25 == C — D du cône est
//* — c* ^ V ( *:!* langas = — ^— langC = ^
L*a\e optique 01 de la surface d'onde de la surface d'onde réciproque S', puîsq V correspond une seule valeur de /•'.
De même, Taxe optique Ol' de la sur Fombilic Q de la surface S.
Les angles C et D' que font avec Taxe O^ aboutissant aux points de contact du plai surface d'onde S' s'obtiendront en rempla et c par leurs inverses dans les expression et D. On a ainsi
taDgC'--\/7^i ^ -
tangD — — tangC =: - tangt tt l'angle '>-'^'=^ D' — C du cône l'OJ' est
ah
Lorsque le cristal est placé dans un mi lie perpendiculaires à l'axe optique émergent uni(|ue (|ui est celle des axes optiques ex té de s<''|)arali()n est un i)laii perpendiculaire à axes 0|Uirjues et (jue n soil riiullce de réfrac rieur, l'angle >(], des axes opti<]ues extérie eontlilion
ti siiiL, — - 7 siiUi — T h
II peut arriver, en particulier (]uand l'anj^le (pie l'angle (], soit imai^inaire; il est alors p server la direction des axes optiques exlérieii pendiculaire à la bissectrice Ox. En appela
DOUBLiS RÉFRACTION.
optique 01 avec celte bissectrice, on a
sin'A =: COS*C =:
et l'angle d'incidence Ai de l'axe optique extérieur est
Si un rayon de lumière tombe sur le cristal dans la direction exlérieure de l'axe optique, les rayons réfractés dans le cristal forment un cône circulaire lOJ ; c'est le phénomène de la réfraction conique intérieure. L'axe optique 01 est appelé quelquefois l'axe de réfraction conique intérieure.
Fig. i7'|.
Inversement, si un rayon intérieur est parallèle à la direction OQ de l'ombilic, les normales aux ondes planes correspondantes sont les génératrices du cône circulaire FOJ' relatif à la surface d'onde réciproque S\ et les rayons réfractés forment un cône correspondant ; c'est la réfraction conique extérieure. L'axe de cette réfraction conique est l'axe optique OF de l'onde réciproque.
Ces propriétés curieuses de la surface d'onde ont été découvertes par Hamilton (*).
Comme le plan de vibration passe toujours par le rayon et la normale à l'onde plane correspondante, si l'on considère sur une sphère la circonférence IJ {fig* 175) qui représente les rayons de
(«) Sir W. Hamilton, Irish Trans., t. XVII, p. 182; i83a.
■372 CHAPITRB I\.
réfraction conique intérieure, le plan de vibration d'un rayon M passe par l'axe optique 01 i^fig- 174) et son plan de polarisation par la droite OJ diamétralement opposée, qui correspond au deuxième point de contact du plan tangent singulier dans le plan des axes. Lorsque le rayon M décrit la circonférence U, le plan de vibration tourne de 180® autour de l'axe optique 01 et le plan de polarisation tourne de 180° autour de la droite OJ.
Fig. 175.
De même, pour les ondes planes qui correspondent au rayon intérieur OQ, les plans de vibration passent par Taxe optique 01' de Tonde réciproque et les plans de polarisation par la droite OJ'; celte polarisation se retrouve dans la réfraction conique extérieure.
3W5. Direction de la vibration par rapport aux axes opti(ji/es, — La vibration est évidemment définie par les angles quo l'ait la normale aux ondes avec les axes optiques. Soient
OIj cl Olj ijiff' ï7^>) les axes optiques;
ON la normale à une onde plane P;
E l'ellipse d'intersection de Tellipsoïde de polarisation par un
plan parallèle à Tonde ; C, et Co les circonférences d'intersection du même ellipsoïde par
(les plans perpendiculaires aux axes optiques OIj et OL.
Les rayons vecteurs ODj, OD2 des points d'inlerseclion 1), et 1)2 de ces circonférences avec Tellipse E sont égaux entre eux et
à y, puisqu'ils sont les rayons des cercles C| et C2. L'axe OA de
Tellipse E est donc bissectrice de Tangle D,0D2.
Soient OF, et OFo les intersections des plans NOI, et NOK avec le plan de Tellipse E.
DOUBLE RÉFRACTION. SjS
La droite ODj , étant perpendiculaire aux droites ON et OIj , est perpendiculaire au plan NOIj et, par suite, à la droite OFj; de même OD2 est perpendiculaire à OF2. Les angles D,OFj et D2OF2 étant droits, les angles DjOFi et D,0F2 sont égaux, ainsi que les angles AOF| et AOF2.
Les plans de vibration NOA et NOB des deux ondes normales à ON sont donc bissecteurs des deux plans NOI< et NOI2, c'està-dire des plans qui passent par la normale ON et les axes optiques, ou les axes de réfraction conique intérieure.
Si Ton considère, au contraire, les rayons dirigés suivant une droite OM {fig* 177)) on sait que le plan de vibration est le même que pour une onde plane P', perpendiculaire à cette droite, par rapport à la surface d'onde inverse S'.
Les plans de vibration des deux rayons sont donc bissecteurs des plans MOF^ et MOI'^, c'est-à-dire des deux plans qui passent par la direction des rayons et par les axes de réfraction conique extérieure.
574 CHA^ITftS IX»
347. Vitesse de propagation d^une onde en fonction des angles de sa normale avec les axes optiques. -^ Eo chtssant les dénominateurs dans Féquation (6)» elle devient
ou, remplaçant p* par i — a* — y*,
On peut exprimer les cosinus a, ^ et y en fonction des an^ Qi et Os que fait la normale ON {fig' 176) à Tonde avec les axes optiques 0I| et OI2. 'Désignant par ai et yi, —ai etyi les couinas directeurs des axes optiques QI| et Ol^y on a
cos6i = H- ««t-H YYi> cos8iH- cos0,= aYTi) cosOs== — a»! -h YYi f cosO, — cosO^^ 3>ai; par suite
j I /cos6, — cos6jY a' — c* /cos8, — cosOiV
j I /cosOj-j- cosO,\- a* — c' /cosOj-h cosO^Y
'^ "" ïî \ 2 / ~ ^^ — c* V 2 ; '
Substituant ces valeurs dans réquation (aS)', il en résulte
a-— c' 4- a'c*H ^ — [a*(cosOi4- oosOj)* — c*(cosô, — oos6j)*] = o.
Le terme constant peut s'écrire
a'c*4- ^^ 7 (oos^0,4- 00s' 6.) H oosO. cos6,.
La quantité qui se trouve sous le radical dans les valeurs des racines de cette équation est un carré parfait, car elle se réduit à
(«*— c*)*(i -h cos'O, cos*e,--cos'Oi— oos*ô,)z= (a*— c»)* sin'6, sin*6,.
DOUBLE RÉFRACTION. 5y5
On a donc
2V*=a*4-c*4- (a^— c*)cosO, cosOjih (a*— -c*) sinOj sinô, = rt* -h c»4- (a*— c') cos(0,q= e,).
Les vitesses V| et Vj relatives à cette direction donnent alors
1 Vî-i- Vîr=a*-4-f*4-(rt- — c2)cosO, cosO,.
348. Vitesses de propagation suivant les rayons. — En appelant 6', et O'jj les angles d'un rayon avec les axes de réfraction conique extérieure, ou les axes optiques de la surface d'onde réciproque, U la vitesse de propagation des ondes par rapport à cette surface d'onde et remarquant que Ur = i, on peut, dans les valeurs
précédentes, remplacer V par - et les longueurs a et c par leurs inverses ; il en résulte
On retrouverait évidemment, comme cas particuliers, les résultats connus pour les cristaux à un axe.
En faisant, par exemple, c = bj les deux axes optiques se confondent avec la droite Ojc et l'on a
(24)' V'*— y*— (a*— />*) sin»0,
Si Ton fait, au contraire, b=^ a, les deux axes optiques se confondent avec la droite O:;.
349. Signes des cristaux à deux axes, — Pour trouver dans les milieux à deux axes quelque phénomène comparable à ceux qui servent à distinguer les deux espèces de cristaux à un axe, il faut examiner la manière dont varie la vitesse de propagation d'une onde plane qui reste perpendiculaire à l'un des plans de symétrie.
Si i*OQ(le considérée est d^abord perpendiculaire à Taie mojeo O vet qu*OD rincline en la laissant parallèle à O^, Tan desrajons est ordinaire et sa vitesse c est inférieure à celle du rayon eitraordinaire; Tinverse a lieu si Tonde reste parallèle à Ox, puisque la vitesse a du rayon ordinaire est plus grande que celle du rayon eitraordinairé. La droite O^ ne présente donc aucune analogie avec les directions particulières des cristaux à un axe.
Si Tonde est parallèle à Taxe moyen Oy^ la vitesse b du rajon ordinaire est plus grande ou plus petite que ceUe du rayon extraordinaire, suivant les cas, puisque le cercle et Tellipse se coupent dans la section principale correspondante de la surface d'onde.
Supposons maintenant que Tonde, étant d'abord perpendiculaire à O^^ reste parallèle à Ox, la vitesse a du rayon ordinaire est toujours plus grande que celle du rayon extraordinaire et leur différence va croissant avec Tinclinaison; la direction O ^ est donc cooh parable avec celle de Taxe dans les cristaux à un axe positif.
Si Tonde, d'abord perpendiculaire à Ox, reste parallèle à 0:. la vitesse c du rayon ordinaire est cette fois inférieure à celle da rayon extraordinaire, et leur diflerence croît avec Tinclinaison; par suite, la direction Ox est comparable à celle de Taxe dans les cristaux négatifs à un axe.
On peut ainsi considérer la bissectrice O^ des axes optiques comme posità^e et la bissectrice Ox comme négatiie. On dit alors que les cristaux à deux axes sont positifs ou négatifs suivant que la bissectrice de Tangle aigu des axes optiques est positive ou
négative, c'est-à-dire qu'elle coïncide avec Taxe maximum - ou
avec Taxe minimum - de l'eUipsoïde de polarisation.
Dans les cristaux positifs, Tangle G des axes optiques avec la
droite Oz doit être plus petit que 4 >** et Ton a
Les cristaux sont donc positifs ou négatifs suivant qu'ils sali?fonl à Tune ou Tautre des conditions
c'est-à-dire
3S0. Différence de marche des ondes planes. — Supposons qu'une onde plane tombe sur une lame perpendiculaire à Taxe positif du cristal. Appelons i Tangle d^incidence, <f Tangle du plan d'incidence avec le plan zx des axes, r Tangle de la normale à l'une des ondes réfractées avec la normale à la lame, et posons
. . sinr p -= sini = -"y"»
cosr
d'où il résulte
Les cosinus directeurs a, ^ et y de la normale à Tonde sont alors
a = sinr cos© = p Vcosc», P r= sinrsintp r= pVsinç, Y = ces r = // V.
Si l'on substitue ces valeurs dans l'équation (28), après l'avoir divisée par V^, elle devient
(a- 4- p*)[c*p*(^* cos'ç H- a* sin*o) 4- a*^*//']
=: p*(6*cos*^ -+- a' sin*ç) 4- c*p*-h (a*+ ^*)i/*— i,
OU, en ordonnant par rapport à u et posant
c'*= b^ cos*ç 4- «* sin*^, ^tftt||i aî[a«4- b^ — p«(c»c'»4- a*6»)] 4- (1 — p-c«)(i — p^c'^) = o.
La quantité qui se trouvera sous le radical dans l'expression des racines est
P«=(a«— 6«)«— 2p«[(a»4-6»)(c«c'*4- a*^«) — 2flr»^*(c«4- c")] 4-p*(c»c'»— a«6«)*;
par suite
, >,, ,,, , a^-^h^-p^c^c'^-^a^b')±V (ao) a^o^u^zzz !— i .
On pourra ainsi calculer les valeurs //' et u" des racines et déterminer la différence de marche A = e{u' — //'') relative à l'épaisseur M. - I. 37
578 CHAPITftE I
e de la lame (oi ). On a d'ailleurs
Lorsque Tangle d^incidence est assez en p^ soient négligeables, on peut écrire;
r 1= rt* — 6- — y —
I^ somme i/ -r- u" différanl 1res peu d<
cidence normale — r r =^ — 1—^ on pei
a h ah *
dans l'expression de P par ab{(( -h b) =
Si le plan d'incidence est parallèle auv sin ç = o, c'^ '-=^ ù^j el
A i I ^ib(a* — c*) I I e 0 a ' a{a -i- b) /;
ou son si 1)1 cm en l
iV)
(les résultais sonl conformes à ceux que ineiil par la scclion principale de la suria< dos ZJ\ On aurait, en cfTel,
f/- co<^-r -f- (•- sin-/'
ce qui donne, pour des angles d'incidence
ti — u izi
Les expressions (27) et (27)' sont équivalentes au degré d'approximation adopté; car, si Ton pose
c* a ab — c'
il en résulte
a fb c . \
On voit que cette quantité s est très petite, puisque les rapports
— et - sont l'un plus grand et Tautre plus petit que l'unité.
Il suffira de permuter les lettres dans les expressions (26) et (aj) pour obtenir les valeurs relatives à une lame parallèle à l'un quelconque des plans de symétrie.
