Théorèmes généraux

Théorème \. — U action d'une onde complète en un point P est identique, sauf une différence de phase, à celle d'une demi'Zone ayant pour centre le pôle A.

Théorème IL — L'onde Si qui passe par le point P est l'enveloppe des ondes élémentaires émises par les différents points A, A', . . . rfe l'onde S, pour un même chemin b.

En effet, les vibrations des points A et A' {fig* lo) sont concordantes; celles des points P et P doivent être aussi concordantes si ces points appartiennent à une même onde, et A'P' = AP = 6, puisque les vibrations de P et de P' peuvent être considérées, au même titre, comme produites respectivement par les pôles A et A' de Tonde primitive S.

Les distances PA et P' A' sont des minima par rapport à la sur face S ; on a donc

P'A>P'A' ou P'A>PA.

La distance AP du point A à la surface S| est donc un minimum, c'est-à-dire une normale, et l'onde S| est l'enveloppe des ondes élémentaires décrites des différents points de la surface S avec un rayon 6. Le raisonnement serait le même si la distance PA était un maximum par rapport à la surface S.

On peut énoncer la même propriété sous une autre forme iqui se généralise plus facilement.

Corollaire I. — Vonde S| est le lieu des points où les vibrations de l'onde S se propagent au bout d'intervalles de temps égaux 0= ti — t, chacun d'eux étant un minimum, ou par des chemins égaux b=y{ti — ^), chacun d'eux étant aussi minimum.

Corollaire IL — On peut considérer l'onde S dans une

quelconque de ses positions, réelle ou virtuelle, antérieures à Vonde Si «^ à une époque quelconque.

Supposons, par exemple, que la lumière émise par une source O (^fig^ 1 1) tombe sur un système optique qui la fasse converger en un point O'.

Fig. II.

Les ondes émanées du point O sont sphériques et s^éloignent de leur centre; après avoir traversé le système optique, elles sont encore sphériques et se propagent vers le nouveau centre O'.

On peut évidemment déterminer la vibration du point P, à

PA l'époque ^, soit par Tonde réelle S à l'époque / ^> soit par

PA' une onde fictive S' à l'époque / ^ • Dans certains cas, cette

complication apparente simplifiera les raisonnements.

Théorème III. — On peut remplacer une onde par V ensemble de ses plans tangents, ou par un ensemble quelconque de surfaces tangentes.

L'onde S est l'enveloppe de ses plans tangents. Imaginons une infinité de systèmes d'ondes planes respectivement parallèles à tous ces plans tangents, et prenons dans chacun des systèmes l'onde tangente à la surface S. Au bout du temps 0 = ^i — t, ces ondes planes se seront propagées à la même distance normale b et seront tangentes à la surface S|. La surface Si est donc l'enveloppe de toutes les ondes planes tangentes à l'onde primitive S.

Sous cette forme, la propriété pourra s'étendre immédiatement

3o CHAPITRE I.

à la réflexion, à la réfraction, à la double réflexion et à la double réfraction.

Le même raisonnement s^applique au cas où Ton remplacerait Tonde S par un ensemble quelconque de surfaces dont elle serait l'enveloppe.

Théorème IV. — Propagation rectiligne de la lumière.

On peut dire que la vibration se propage en ligne droite, du point A au point P, suivant une normale à Tonde S, car la vibration du point P n'est pas modifiée si l'on supprime par un écran toute l'onde S, sauf la /?ara'e efficace, voisine du pôle A.

L'étendue de l'onde efficace est d'ailleurs extrêmement petite. Sur une onde plane, par exemple, en supposant que l'arc AM == 5 (/Z^. 12) corresponde à i^ooo zones élémentaires, pour une dis-

Fig. 13.

tance b de 5o°™, on a

p — 6= 4ooo - = 2000X = i™"*.

Le triangle PAM donne

Un cercle d'un centimètre de rayon renferme donc 4ooo zones élémentaires et l'onde efficace en contient un nombre beaucoup moindre, surtout quand on tient compte de l'angle apparent de la source (24, en note).

En résumé, il est légitime de supposer que la lumière se propage en rajons rectilignes, dans tous les cas où les ondes efficaces sont respectées, c'est-à-dire où l'on considère des points situés à quelque distance de l'ombre géométrique des écrans. Lorsque l'onde efficace est interceptée en partie ou en totalité par des

PRÉLIMINAIBES. 3l

écrans, il n^est plus permis de substituer les rayons aux ondes et l'on observe des phénomènes de diffraction,

26. Réflexion, — Supposons que deux milieux transparents et isotropes, dans lesquels la lumière se propage avec des vitesses différentes V et V, soient séparés par une surface 2 {fig* i3), et

qu'une source située dans le premier milieu produise des ondes S qui viennent frapper la surface de séparation. Ces ondes retourneront en partie dans le premier milieu après avoir touché la surface S pour produire la lumière réfléchie , et pénétreront en partie dans le second milieu pour produire la lumière transmise ou réfractée.

Pour connaître la vibration réfléchie en P, on considère une onde incidente S, et l'on détermine le pôle A par la condition que le chemin PBA soit un minimum. Ce chemin minimum est évidemment, par raison de symétrie, dans un plan qui passe par la normale à la surface S au point B. Posons AB -+- BP = h.

Les zones élémentaires seront déterminées de la manière suivante.

Au point M d^une courbe continue tracée par le point A sur la surface d'onde, on mène la normale MN et l'on joint NP; on répèle la même opération pour un point M' choisi de telle manière que la différence des chemins M'N'P — MNP soit égale à une demi-longueur d^onde : ces deux points sont correspondants sur deux zones élémentaires voisines.

La distance p = MB -h BP est encore une fonction de l'arc AM = 5, qui passe par un minimum égal à b pour ^= o; tant que l'arc s reste très petit, on peut donc écrire (23)

et, pour les deux points M et M',

D^autre part, Taire de la surface limitée par le lieu des points M, pour lesquels la distance p est constante, est aussi, par les mêmes raisons que précédemment, proportionnelle à s^. L'aire d'une zone élémentaire a pour expression

Toutes les zones élémentaires ont encore la même surface. Aux motifs invoqués plus haut (2t) pour expliquer l'action décroissante des zones successives au point P, on peut ajouter que la réflexion sur la surface I modifie la vibration : cette modification tient d'abord à ce qu'une partie seulement de la force vive des vibrations incidentes passe dans la lumière réfléchie; en outre, la vibration est transformée d'une manière progressive au voisinage de la surface géométrique de séparation I et le résultat final est le même que si elle avait éprouvé sur cette surface un changement brusque qu'il n'est pas nécessaire de préciser pour le moment. Dans tous les cas, le changement produit dépend des angles que font avec la surface les droites MN et NP et, à mesure que Tordre de la zone augmente, il arrive bientôt que les changements sont très inégaux aux diflfércnts points d'une même zone.

Remarquons encore qu'à une zone limitée aux points M et M' sur la surface S correspond sur la surface S une zone dont les contours passent par les points N et N'.

Sans qu'il soit nécessaire de répéter les raisonnements, on peut donc énoncer les théorèmes suivants :

Théorème V. — La vibration réfléchie en P est identiquCy sauf une dijjérence de phase, à celle qui serait produite par une demi-zone ayant pour pôle le point A, ou par la demi-zone correspondante ayant pour pôle le point B.

Théorème VI. — Uonde réfléchie S| est V enveloppe des ondes élémentaires décrites des points B, B', . . . de la surface^ et qui correspondent à des chemins égaux.

En effet, les vibrations des points P et P' {Jig* i4) étant concordantes sur Tonde réfléchie S< , on doit avoir

AB -i- BP =: A'B' 4- B'F = ^ = Y(^, — 0-

Fig. 14.

Si \Sf

D'autre part, le chemin P'B'A' est un minimum par rapport à la surface S, ce qui donne

P;B-hBA>P'B'-hB'A' — PB-f-BA ou P'B>PB.

Le chemin BP est donc un minimum par rapport à la surface S<, de sorte que cette surface est Tenveloppe des sphères décrites avec les rayons BP, B'F, etc.

Corollaire I. — La surface S< est le lieu des points oie la vibration y après avoir touché la surface S, arrive au bout de temps égaux 8 = ^i — tj chacun d'yeux étant minimum, ou par des chemins égaux, chacun d'eux étant minimum.

Corollaire II. — Le rayon réfléchi BP est normal à l'onde réfléchie S|, comme le rayon incident AB est normal à ronde incidente.

27. Lois de la réflexion. — Nous avons déjà vu que le rayon incident et le rayon réfléchi sont dans un même plan normal à la surface S au point où se fait la réflexion.

Si l'on considère dans ce plan deux rayons incidents, AB, A'B' ijig- i5) qui tombent en des points B et B' dont la distance £ est infiniment petite, les angles d'incidence seront tet i-\-di, et les angles de réflexion des rayons correspondants BR et B'R', ^^ et i , 4- dit .

L'onde incidente S qui touche la surface S au point B est normale M. — I. 3

aux rayons AB et A'B'. L'onde incidente réfléchie Sj qui passe par le point B' est normale aux rayons B'R' et BR. En abaissant les perpendiculaires BQ sur A'B' et B'Q< sur BR, les points Q et Q, sont, à des infiniment petits du second ordre près, situés sur les

Fig. i5.

ondes S et S< ^ pour que les vibrations des points B' et Qj soient concordantes, il faut qu'on ait QB' = BQi, c'est-à-dire

£ sin ( / -4- di) = 6 sîn z'i ou sin / = sin /, .

L'angle de réflexion est donc égal à l'angle d'incidence, quelles que soient la forme de la surface réfléchissante et celle des ondes incidentes.

Corollaire III. — Si Inonde incidente est plane, ainsi que la surface réfléchissante, il est clair que les ondes réfléchies sont planes.

28. Réfraction. — Dans le calcul des phénomènes de réfraction, il faut faire intervenir, non pas les chemins parcourus, maïs la durée de propagation.

Soient V et V les vitesses de propagation dans le premier et dans le second milieu, S la surface de séparation {fig* i6) et S une onde incidente.

Pour déterminer la vibration d'un point P dans le second milieu, nous déterminerons sur la surface S un point B, tel que le chemin AB -h BP, pour aller de l'onde S au point P, soit parcouru pendant un temps minimum

AB BP

Une zone élémentaire MM' sera définie par la condition que la

difTérence des temps