COMMUN QUE LA PÉRIODE

Deux mouvements vibratoires situés dans deux plans différents donnent en général une vibration elliptique. — Deux sortes de rayons elliptiques. — Leurs équations. — Conventions qui subordonnent des hélices dextrorsum et sinistrorsum aux rayons de même dénomination. — Équations qui permettent de trouver les caractéristiques d'un quelconque des systèmes de rayons polarisés rectangulaires qui peuvent engendrer un même elliptique. — Rayons principaux, — Rayons égaux, — Relation des rayons principaux avec les axes de l'ellipse décrite. •— Relations analogues qui unissent les autres systèmes aux diamètres conjugués de cette ellipse. — Dans des plans équidistants des axes on obtient des constituants égaux dont Tanomalie est supplémentaire. — Dans des plans rectangulaires on obtient des constituants à amplitudes réciproques et à anomalie également supplémentaire. Comment les analyseurs réalisent les divers systèmes générateurs d'un rayon elliptique. — Comment ils déterminent les axes. — Il vaut mieux les trouver par les rayons égaux. — La loi de Malus conservée pour les elliptiques. ^ Restauration des elliptiques. — Elle conduit à la détermination de R. — Ce que deviennent les équations des elliptiques quand on y introduit soit les rayons principaux , soit les rayons égaux. — Le cas de la polarisation circulaire. — Un elliptique équivaut à un circulaire plus à un rectiligne. — Discussion des formules. — Elliptiques v^métriques directs et inverses, — Elliptiques complémentaires directs et inverses, — Elliptiques rectangulaires directs et inverset.

§ 349. — Gomment la vibration du rayon huoiaeaz pont être

elliptique.

Ne considérons que deux rayons, et, nous autorisant des faî ts usuels, supposons d'abord leurs azimuts rectangulaires. En figurant dans chacun de ces plans les sinusoïdes caractéristiques des deux mouvements, et composant à Taide

48 CHAPrniB xii.

d'une succession de parallélogrammes» soil les vitesses simultanées , soit les deux écarts correspondants , on reconnaît sans peine, ainsi que nous l'avons déjà vu § 321, que le mouvement résultant est gyratoire et soumis â la même période que ses composants. Mais quand on veut approfondir cette étude capitale, on doit recourir au calcul. [Voir la Note consacrée au développement d'une méthode géométrique.)

Prenons [fig* i8i) pour plans coordonnés ZOX, ZOY les deux azimuts rectangulaires et supposons que la particule O, qui va subir les deux mouvements que lui apportent les deux rayons superposés suivant Taxe OZ, ait pour position de repos Torigine même des coordonnées. Plaçons la vibration du rayon polarisé, qui est en avance dans le plan ZOX, et celle du rayon retardé dans Tazimut ZOY; letu*s équations seront

a:z=z a COS 2lir ->

j = rt'cosf aff| — yj

on en tire

a ir - = arc cos -» ^^^ — f^arccos-=^;

éliminant le temps et passant aux cosinus, on trouve, après élévation au carré et réduction , pour la courbe décrite par la particule d'éther,

X* , y^ cos« . ,

donc cette courbe est toujours une ellipse*

La courbe étant fermée, le mouvement est périodique: nous aurons la durée Ti de la période en nous en référant aux valeurs isolées de x et de ^, et cherchant le temps t' qui redonnera et à Tune et à l'autre les mêmes valeurs. Comme j' développé contient le sinus et le cosinus de l'arc

POLARISATION ELLIPTIQUE ET CIRCULAIRE. -^ THÉORIE. 49

aw-î on voit que le nouvel arc a tt- devra surpasser 2 7r -

de STT, d'où t! — £, c'est-à-dire Ti = T. La durée de la période n*a donc pas changé.

Ce mouvement résultant constitue ce qu'on nomme un rayon polarisé elliptique. Suivant la valeur de f , la gyration a lieu dans un sens ou dans l'autre, et il est utile de distinguer deux sortes de rayons elliptiques. Reprenons, en e£fet, avec un retard quelconque et sur la fig. i8i cette construction de parallélogrammes successifs qui nous a servi k distinguer les deux sortes de circulaires (§ 321), et ayons soin , pour plus de clarté, de placer, dans le premier, la particule à la limite A de son excursion parallèle aux x : on voit que, pour quelqu'un placé au-dessus du plan XOY, le mouvement se fera dans le sens de l'aiguille d'une montre, nous l'appellerons dextrorsum. Il irait, dans le même quadrant YOX, des Y aux X et serait sinistrorsum , si l'anomalie <p restant positive était comprise (fig^ i8a) entre tt et an, ou encore si, f devenant négatif, le retard, moindre d'ailleurs que -9 appartenait (fig. i83) au rayon x (*),

§ 350. — Équations des denx sortat de rayons elliptiques.

Nous savons que les phases peuvent être accrues ou diminuées d*un nombre exact de circonférences, et qu'ainsi la différence de deux phases peut toujours être ramenée entre o et a TT. Il y a plus : si l'on consent à prendre des anomalies négatives, on peut, par ce même artifice, la ramener entre o et TT, car quand f est compris entre tt et air, ajoutons iit et alors la phase du deuxième rayon sera

2ff-4-aff— <p=af- — [— (air— tp)],

(*) Comme conséquence éTidente, ajouter on enlever une demi-circonférence à la phase d'an des rayons, transforme le rayon résultant en uu elliptique de gyratîon contraire. Voir % 306.

5o GHAPITRB XII.

et il aura pour anomalie l'arc an — <f moindre que n el pris négativement. On a alors, pour représenter les deux classes de rayons elliptiques , les deux systèmes d'équations

j,, r = a'cosf2ir|ip:yj

le signe — s*appliquant aux dextrorsum et le signe -f- aux siiiidtrorsum, et <f restant compris entre o et tt [*).

§ 35i. — HèlioM daztronnm éL siaiitninui, subordoBAées au rayons de même déBomlnaticm.

Les positions résumées par une ellipse, qu'occupe successiyemenl dans le plan des xy la particule d'éther, se développent ultérieurement dans les autres particules du milieu propagateur, et, à un instant donné, l'ensemble des déplacements du point O se retrouve dans une série de points primitivement alignés le long de Taxe OZ. On conçoit que ces points vont être enroulés sur un cylindre droit qui a pour base Tellipse décrite par O, et y formeront une hélice elliptique ayant X pour pas. La considération de ces hélices est utile et constitue un nouvel aspect du phénomène souvent très-commode.

Admettons avec Ampère qu^uue hélice est dextrorsum quaikd , pour un obser vatetu* placé en dehors du cylindre , la spire, dans la partie antérieure, monte de la gauche vers la droite (c'est le cas des vis et des tire-bouchons). Admettons de plus, et cela aura lieu dans les appareils les plus usuels, celui d'Amici par exemple, que le rayon chemine suivant OZ, c'est-à-dire de bas en haut : alors on voit que la position E devancera sur le cylindre la position F dans la

( *) Retrancher v intervertit la gyration ( $ 349, la note), changer le signe de 9 Tintervertit également. Si 'donc on fait les deux choses à la fois, les nouvelles équations

jc = fl cos a ir =; » X = a' cos

où ranomtlie a pris une valeur supplémenUire, représenteront un rayon de mi^mo gyration. Voir li> §56G.

POLARISATION BLLIPTIQVB BT CIRCULAIRE. - THÉORIE. 5 1

fig, i8i, et sera précédée par elle dans \^fig^ i83, de sorte que chaque espèce de rayons engendre des hélices de même dénomination [fig. i84 et i85).

II est évident que toutes ces correspondances seraient dénaturées, si, les j' positifs étant pris en arrière, les positions analogues, au lieu d'être A, B, devenaient A , B' [fig- i8i): ou bien, si le rayon se propageait de haut en bas. Il fallait faire un choix, nous avons été guidé dans le nôtre par le désir d'utiliser des conventions existantes. Nous y serons fidèle dans la suite de ce Traité.

§ 352. — Les vitesses conduisent aux mêmes résultats.

Intensité d'un elUptiqne.

On peut également recourir à l'ensemble des équations V,= ^sinaTT;-;, y^= ô'sinfair- — (j) j

pour exprimer un elliptique. Pour voir le sens de la gyration, on choisit le moment où l'une des deux vitesses , V, par exemple , est nulle^ et l'on cherche la direction de V^. On voit ainsi que ^ positif et plus petit que tt répond encore aux gyrations dextrorsum, tandis que les gyrations contraires sont engendrée» soit par r^ir et <^ 29r, soit par j négatif et ^ — ir. Les deux classes de rayons sont donc, à ce point de vue, données par les deux systèmes d^équations

V,= Asin27r-, V,— A'sinf27r-qi(pj

dans lesquelles encore ^ ne surpassera point «.

La vitesse résultante est tangente à la courbe et a pour expression manifeste

Sa considération est utile quand on veut obtenir l'intensité d'un rayon elliptique. Admettons, en effet, que le travail accompli se compose toujours, comme au § 12, de la somme des éléments de travail, quelle qu'en soit Torientation; Tiniensité sera

1 ç^dt= I é»sni»a7r-f//-f- / A'»sinM27r-;— (j)|/*,

52 CHAPITRE XU.

cVst-ù-dire que rintensité est la somme des intensités des deux rayons composants.

En général, Taddition des intensités n'est légitime que pour des mouvements successifs. Dès qu'il s*agit de mouvements simultanés, l'intensité (§§ 02-85) surpasse la somme des intensités ou est surpassée par elle. Une première exception a été offerte par deux mouvements vibratoires situés dans le même plan, quand leur

différence de route est ^- Une deuxième exception nous est offerte

ici par deux vibrations situées dans deux plans rectangulaires. Quelle que soit leur anomalie, la somme de leurs intensités donne celle du rayon résultant {*).

En effectuant les deux intégrales, on trouve pour Tintensité

( *) Cette constance nous explique réclairement uniforme de i*écran dans l'expérience de Young modiBée du $ S32. Mais quand, intermédiairement, les deux rayons ont leurs plans de polarisation inclinés l'un sur Tautre d un angle autre que 90 d^rés , alors Tintensité redevient variable avec la difTérence de route, et les franges renaissent d'autant plus énergiques qu'on s'eloigne davantage de la rectangularité. En effet, si « est l'angle des deux plans , on a pour le carré de la vitesse résultante

&*8in« a ir - A -f. è" sin" (^i^t"?) ^'

-i- a 56' sin a 7 ;= sin ( ^ w s; — ?) cos a dt ,

et pour intensité la somme des intégrales donnéi^s par ces trois expressions, étendues aux limites o et T, c'est-à-dire

î (fc«H- i'«)H- T66'cos« cos y, expression qui, a étant constant, varie avec f depuis le maximum

I<6«-h&'«-»-26&'coBa)

jusqu'au minimum

î(fc«-hfr'«-aWco8a).

Si Ton a fr = fr' et a = \b , le maximum et le minimum valent el sont proportionnels à 1,707 et o^ag^.

POLARISATION ELLIPTIQUE ET CIRCULAIRE. — TUÉORIE. 53

ouy profitant de la relation qui unit bel a (§ fli),

On peut donc, en négligeant un facteur constant, prendre la somme a^ + a''^ pour mesure de Tintensité d*un rayon elliptique. Ainsi disparaît le seul avantage qui paraissait devoir s'attacher à la considération des vitesses, et désormais nous nous bornerons aux excursions, puisqu'elles offrent les avantages bien réels d^étre mises facilement en évidence dans les figures et de conduire ici à la trajectoire.

§ 353. — Expériences sur la compoaition des vibratioiis

rectangulaires.

On peut avec M. Lissajous rendre visibles, romnje il suit, les ellipses dues au concours de deux vibrations rec tangulaires de même durée. Soient deux diapasons portant chacun, sur la face externe d^une de leurs branches, uu petit miroir plan (^g» 338, PI. XIF) : si Ton dispose ces miroirs parallèlement et en regard Tun de Vautre, on pourra obtenir que le trait solaire lance sur le premier atteigne ensuite le second, et subissant, après ces deux réflexions , Taction d'une lentille convergente, aille se résumer sur un écran en un point brillant P. Qu on ébranle alors les diapasons, et le point lumineux, soumis par le mouvement du premier à une excursion horizontale, et par celui du second à une excursion verticale^ décrira autour de P une courbe sensiblement plane. Quand on a la précaution de rétablir la symétrie des branches en adaptant à celles où ne s'opèrent pas les réflexions, des pièces pareilles aux miroirs, les ébranlements durent, comme à Tordinaire, un certain temps, et, si les vibrations sont assez rapides, la persis-^ tance des impressions rend permanentes les courbes décrites. Avec des vibrations plus lentes, on peut n'avoir qu'une visî-^ bilité partielle de ces courbes, et voir Fillumination les parcourir dans un sens qui indique le sens de la gyration.

Telle est Texpérience fondamentale appliquée, avec le plus grand succès, par M. Lissajous à l'étude de la composition des vibrations sonores quelconques. L'optique

54 GHAPITEB JUI.

n'ayant que faire d'une auasi grande généralité, rendons horizontal Taxe du diapason D, vertical celui du diapason ly^ et les ayant choisis de même ton, parfaisons leur unisson en surchargeant le plus aigu par des petites boules de cire , nous serons alors dans le cas du § 349, et nous obtiendrons une ellipse dont la forme et la position dépen-* dront de la différence de phase accidentellement introduite lors de Tébranlement, Si Ton veut être maître de cette différence, il faudra attaquer les diapasons par un moyen mécanique convenable : c'est ce qu'a fait également l'auteur de ces belles expériences.

§ 354. — Un même elliptique peut résulter d'une infinité

de systèmes constituants.

Un même elliptique peut être engendré par une foule de systèmes de polarisés rectangulaires. Pour s'en convaincre, il suffit de projeter sur deux nouveaux plans rectangulaires chacune des vibrations primitives , on obtiendra sur chacun de ces plans deux ondes réductibles à une seule par les formules connues § 52, et l'on aura ainsi passé du premier système à un deuxième, formé de deux rayons qui n'ont plus ni les mêmes amplitudes ni la même anomalie, mais qui cependant donneraient la même ellipse, et forment ainsi un système équivalent au premier.

Dès lors on est conduit à se demander si , parmi tous ces systèmes de rayons capables de constituer un même elliptique, il n'en est pas quelqu'im plus simple que tout autre et se recommandant surtout par une plus grande accessibilité aux déterminations expérimentales. Un tel système, s'il existe, pourrait être défini système principal^ et ses paramètres paramètres principaux du rayon elliptique ; et dans la recherche des lois on pourrait trouver des avantages dans son emploi.

Si (ù [*) est l'angle d'un des nouveaux plans avec le

(**) L«§fijieroEit positifs quand ilsirontdesXaiizYdaosleqwadnuit XOY.

'POLARISATION ËLLIPTIQUS ET CIRCULAIRE. — THÉORIE. 55

plan ZX, ou aura {^g* i86) ^

a/=: xcosw -j-^sino», y =' — orsiaw -f-^cosw,

c est-à-dire en remplaçant x eiy par leurs valeurs x' = fl cos 2ir - • cos w H- a' cos ( 2 tt — — f ).sin w >

j' = — acosa^r -• sin «> -f-a'cos(2îr- — y)cosw

La phase tp et Tintensité A* du rayon j/^ données par la règle

de Fresnel, seront

a' sin 0» sin 9

UmiE u» as— y — . - ** ■ j

^ acos6> + ^siûwcosf A' = a' cos* ta H- fl'* sin* w + 2 n a' sin w cos w cos f .

Pour le rayon jr' on aura de même

a' cos» sin f

tang y = ' ' 9

^^ — a sin Oii + a' cos « cos f

A'* =ir a* sin* « -h a'' cos' «> — • /ta' sin 2 oi cos y.

L'anomalie ^^ — ^ des deux nouveaux rayons sera donnée par

.N «'co*4i»ino(aoo««-h«'»m«»co»») — a'8inà»sino(-^a8inû-f•a'coffeaco6u^

lang(^'— ^)= 7^ 2^ — 7-T ^r r^-i ; 2-^ 75 ; r-ï — ^'«

Réduisant et posant f^' — ï(* = 4>, il vient

aa'sino ® afl'cos2 6icosy — j(û*— a''')sia2« ^ ^

»^«^»^ ■■«■■—«»«»«— ^^K««^»1—^É^^^»—JlM«J^^>i^^^*^i^»^^»i^^<—l»«i*—fc»J^

(" ) A chaque ^eur a» répond une ▼•leur ùi\ donnée par la relation

qui change le signe de tang(^' — tp) et donne un système dont ronomalie est supplémentaire de celle du système a,a\tp' — ^ =4. Les innombrables systèmes se correspondent donc deux à deux de cette manière , et la relation

montre qu'ils utilisent les mêmes directions. Mais on aurait une idée fausse de cette correspondance si l'on ne remarquait que la valear &»' échange, entre elles, les valeurs A, A', de sorte que ceasystènMseoniugttéft reetangulaires sont réellement A.A'.^ et A^A.7r— 4. Toutefois, quand les amplitudes A, A' sont égales , le système conjugué rectangulaire n'offre plus qu^unc différence, à savoir celle de TunomaHequi reste supplômenUiirc.

56 GHAPiniB XII.

Nous avons oris la difTërence ^ — ^ , attendu que le rayon OXMoit continuer d'être en avance pour que la rotation ait toujours lieu dans le même sens.

§ 355. — n y a tonjoun mi couple de constitoants distants de^- Voulons-nous que le système ait l'anomalie - ou le retard -71 alors

Ung(>p — >p')=oo, doù tangaa = -^-^ ^>

et les intensités h\ A',* seront ce que deviennent leurs expressions générales quand on y donne à o) la valeur A tirée de l'équation précédente. Le lecteur qui effectuera cette substitution aura soin de commencer par introduire dans A*, A'*, cos aco à la place de coscoet sin a>, il trouvera (*)

k\^ = \(a^^a!^)zçilyj'

(* ) Le double signe s'interprète comme il sait. L'éqaation

^ a aa' cos o

admet pour Û. une infinité de Taleurs. Mais ces yaleurs ne donnent que deux directions distinctes , et Toilà pourquoi on n'a que deux Taleurs A , A' correspondant l'une à la première des Taleurs de û. et l'autre à la deuxième.

Si -4^ ^ est positif, ce qui ne peut arriver que quand on a à la fois

le premier angle 3 XI est < go , donc cos au est positif. Or il vaut

donc le radical doit y être pris \ . ^..suivant que { , ou, en d'au

\ négatif ^ | « < a' '

très termes il doit avoir le signe de cos f. Quand au contraire — ^ ^p est

négatif, ce qui suppose l'ensemble des conditions

POIABISATION BLLIPTIQOB ET GIRGULAIRB - THÉORIE. 67

§ 366. — n y a tonjonn im couple de constitiiants éganz.

Voulons-nous avoir deux rayons égaux, alors on posera

c'est-à-dire

(«' — fl'' ) cos a Al = — la a! ces ^ sin 2 fl| , d'où

laDff 2 a, = z t

^ 2a a' cos f

et , par conséquent ,

tang a ( n — û, ) =00 ,

ce qui montre que ces nouvelles directions sont à 4^ degrés des précédentes. Dans ce cas on trouve

Quant à la différence de phase, elle devient, apràs des réductions faciles,

, , , , . db 2 rt fl' sin •

V^ ( a» H- a" )» — 4 a» o''sin' ff Nous la désignerons par 4>t .

négatif ^ 8U1-

auquel cas le premier des angles a û est ^ 90 et par conséquent le premier angle il> 45| cos a £t est négatif et le radical doit être pris | .^

^a'^ c*est'à'dire que dans tous les cas, le radical et cos p auront

le même signe.

Or, dans les expressions k\ k\ * ce radical apparaît et n'y apparaît même que comme dénominateur de cos 3^ et sin 3 XI. Son signe y sera donc fixé par les mêmes considérations , et A| cessera d'être le plus grand axe pour devenir le plus petit quand cosf sera négatif.

Dans ce qui précède, nous avons admis que Ton prenait, pour le premier

angle 3 XI, toujours un angle positif. Or quand — | ^ est négatif, si

nous a" — a'-

convenions de prendre pour premier angle Tangle négatif. Alors le signe supérieur suffirait et AJ, caractérisé par Tangle dont la valeur absolue est la moindre, serait constamment le grand axe. On le justifie sans peine».

58 GHAPmiK %u.

§ 357. — Propriétés de ces deux couples reaiarqiiablef.

Voulons-nous que le système ait la plus grande ou la plus faible anomalie, nous trouvons^ en égalant à zéro la différentielle de tang 4» pour (i>« ,

tang 2 Oi>s =S ;; 1

^ ^aa ces f

c'est-à-dire la même valeur que pour A| , de sorte que Tanomalie 4^1 des rayons égaux se trouve être soit un maximum, soit un minimum. Ce qui a été dit (§ 354, a*"* note) montre que c'est l'un et l'autre.

Voulons-nous enfin avoir deux rayons constituants qui diffèrent le plus possible en intensité , Tun étant maximum et r autre minimum, si toutefois Tassociation de ces deux rayons extrêmes est compatible avec la rectangularité de nos plans. Il faut écrire que les différentielles des expressions A', A'*, prises par rapport à ct>, sont nulles. On trouve ainsi pour Tune

(«' — a'' ) sin 2u — 2.aa' cos y cosa ta ,

et pour l'autre la même expression prise en signe contraire ', on n'a donc qu'une équation , et comme les divers angles tù qu'elle donne sont distants de 90 degrés, il s'ensuit que les rayons extrêmes sont bien réalisés dans deux plans rectangulaires. On reconnaît enfin que cette équation unique n'est autre que celle qui nous a donné déjà le système doué de

l'anomalie —

§ 358. — Relations des constituants principaux avec l'ellipse

décrite.

Avant de conclure , il faudrait connaître , par rapport à l'ellipse que décrivent tous ces systèmes équivalents , la situation des plans qui caractérisent ceux d'entre eux qui sont les plus simples.

L'équalîon de cette ellipse est {§ 349)

j?" j^' 2 cos 9 . ,

POLARISATION ELLIPTIQUE ET CIRCULAIRE. — THÉORIE. 5g

Pour avoir ses axes, on passe à un autre système de coordon* nées rectangulaires à Taide des formules connues

ar = 4/cos<k> — ysîn», y=x'sin o>-h^cos«,

et on détermine o) par la condition que le terme en xy disparaisse. On trouve ainsi Téqualion

- (a* — û'*)siii 2 w = a a' cosf ces 2»,

identique avec celle qui nous a donné A. Donc c^est quand les deux plans ou ton ramène les vibrations passent par l^s axes de l* ellipse, que Von a soit les deux vibrations maxima et minima, soit les deux constituants distants

n y a plus : en formant les valeurs des nouveaux coefficients des termes en x^ et j'', on obtient

7 (tf" cos' 61 -4- fl' sîn' » — aa' eo%9 sîn 2 «)

fl'fl'»

( fl" sin* 6) -4- û'cos' » -H fl a' cos ^ sin 2 «)«

Les carrés des axes de Tellipse sont donc

«'' cos* w H- fl' sin* « — û a' cos ^ sin 2 w

«*fl'*8in*f

â'cos' 6>~Ha'* sin' «>+a a' cos «p sin 2 w

En réduisant ces fractions au même dénominateur, on voit qu'elles sont proportionnelles aux expressions générales A*, A'* des intensités, qui prennent les valeurs A', A'," dans le cas actuel de eo = A ; ainsi quand les deux plans passent par les axes de V ellipse ^ outre les deux particularités précitées^ les vibrations offrent celle d^a^oir leurs amplitudes proportionnelles aux deux axes.

' Le deuxième système est loin d^ètre aussi remarquable. Si les constituants y sont égaux et si leur amplitude com-

6o CHAPITRB Kll.

mune se rattache simplement à celle du système primitif, si , de plus , l'anomalie y prend une valeur extrême, cette valeur est compliquée et sa complication constitue pour ce système une infériorité bien réelle. On pourra sans doute y recourir (§ 361), mais d'une manière subordonnée et uniquement pour trouver la position du premier système qui en est à 45 degrés. Bref, le premier système est pour nous , sans conteste, le représentant principal d'un rayon çllip^ tique.

§ 359. — Relations avec les diamètres conjugués.

Ces rapprochements entre les axes de Tellipse décrite, et les éléments du système principal ne sont pas les seuls que Ton puisse établir. En effet, 1° la somme des carrés d'un système quelconque A' + A'' est visiblement constante et vaut a' -h a'', comme on pouvait d'ailleurs le déduire de ce que l'intensité du rayon elliptique ( § 5tf 2 ) ne saurait dépendre de Taspect sous lequel il nous plaît de le considérer ; 2*^ si nous passons de tang 4» au sinus de l'anomalie, nous trouvons

217/1' si n ep sm * = — ^ .

V[(fl* — fl'')sin 2w — 2aa'cos 2«cosf p-f- 4ûV'sin*^

Or, si l'on efTectue le produit AA' avec le double soin de n'y laisser que le sinus et le cosinus de l'angle double 2 o> et d'y introduire sin' f , on trouve qu'il est égal à la moitié du précédent radical, d'où l'on conclut que le triple produit des amplitudes de chaque système par leur anomalie est constant et vaut aa! sin f . En faisant un retour sur les propriétés des diamètres conjugués de l'ellipse, on voit que ces deux relations ne sont autres que celles qui unissent les longueurs des diamètres conjugués de notre ellipse avec l'angle qui les sépare, de sorte que le bénéfice de théorèmes et de constructions bien connus se trouve acquis à l'étude de la polarisation elliptique. Toutefois, comme les diamèires conjugués autres que les axes cessent d'être , ainsi qu'il arrive aux vibrations de chaque système, à angle droit, tout semble se borner pour eux à des rapports de grandeur, et leur position dans Tellipse n'indique pas spontanément la direction des plans générateurs du système de vibrations corrtfspondânt.

POLARISATION BLLIFnQUB BT GIAGULAIRE. - THÉORIB. 6 1

Pour trouver cette correspondance, supposons

TT « = -

ce qui rend les rayons donnés a , a', constituants principaux du rayon elliptique, les formules générales qui donnent les caractéristiques A, A% ^y d'un système quelconque de rayons non principaux, situés dans les azimuts o» et «> +90, se simplifient et deviennent

A' = à^ cos* M -h a"^ sin' ta , A'* = a' sin' 0» -H a'' cos' w ,

naa'

tang * = — — -T

^^ («'— fl'*Jsin2

De son côté , la théorie de l'ellipse donne, pour les caractéristiques Ox , a\y a' — a, d^m système de diamètres conjugués situés dans les azimuts a, a', les relations

' fl* sin* a H- «'' cos' a ' a' sin' a! H- a" cos' a'

langatanga' = ^,

il s'agit de voir si à tout angle a correspond un angle «1 capable de rendre égaux chacun à chacun A et a, , A' et a\^^ elct' — a. En posant A'=: a' , on arrive sans peine aux relations

. , «'sin'a , «'"cos'a

sin* oi> = , . , r r- 1 cos' u = , . , 9

a' sm* a -h u^ cos' a a} sin' a -^ a'* cos* a

qui donnent

(c ) tang' w =: ^ tang' a.

Eh bien, on arriérerait à la même équation si l'on partait de chacune des deux autres équations

A" = a\ % tang * = tang (a' — a ).

Bornons -nous à le démontrer pour cette dernière équation.

L'équation

«'* Ungatang[a -f-(a'— .a)l= ^

6a GHAPITRB Ml.

donne en développant

lang[a-f'(a' — a)], et , en résolvant ,

^^ ' (fl* — A'*)tanga

Si nous prenons pour a la valeur tirée de Téquation de condition (c), il vient

tang(a' — a) = — .— ; 7;r— : »

^^ ' («' — a'jsmueosw

c*est-à-dire précisément la même valeur que pour tang 4. Il en résulte qu'il y a, ainsi qu'on pouvait le prévoir» correspondance entre les diamètres conjugués et les systèmes de rayons rectilignes généraleurs de l'ellipcique, et que cette correspondance a lieu pour des azimats a , •» liés par la relation

Ung» » = ^, tang» a ,

en d'autres termes , la règle à suivre pour approprier à la question de physique les diamètres conjugués de l'ellipse est la suivante :

Construisez ou calculez l* angle 6* donné par

tang » = H — ; tang a ,

dans cet azimut et dans l'azimut rectangulaire prenez deux polarisés rectilignes d'amplitudes ai , a', , attribuez-leur une anomalie 4» égale à f angle aJ -^ a séparateur des diamètres conjugués ai, a', » et vous aurez mis en place y sans l'emploi des formules, et par la seule considération de l'ellipse décrite, l'un des systèmes de consti* tuants non principaux du rayon elliptique. La seconde valeur

a tang w = ; tang a

conduira de même à un second système caractérisé par les mêmes amplitudes ^ ■ ,a', , et par une anomalie supplémentaire

ir — (a' — a).

Pour ne pas s'égarer dans cette appropriation de considérations

1>0LAR»ATI0N ELLIPTIQUE R CmCULAIRE. - THÉORIE. 63

purement gcométriqaes à des questions d'an ordre si différent, on^ saura qu'en polarisation elliptique l'absolu n'est guère moins inaccessible en général pour les amplitudes que pour les phases ; de sorte qu'ordinairement on doit se borner à considérer le rapport -p^=^ p <Jc* amplitudes avec la différence * = t|>' — -ji des

phases. Chaque système de constituants n'est donc pas déterminé en grandeur par quatre jïaramètres, mais par les deux seuls p et 0, ou bien par trois, si l'on y joint, comme élément de situation, l'angle » que fait une des vibrations composantes, celle qui est en avance , par exemple, avec une ligne fixe. Quand la nature de la question ne rendra pas préférable la considération d'un système

particulier de constituants , on adoptera le système des rayons principaux. Dans ce cas, les paramètres se réduisent à deux, à savoir, un rapport d'axes R (*) et l'azimut Ci de la première vibration.

§ 360. — On groupe dans on tableau certains des constituants

d'un elliptique.

Le lecteur qui voudra se familiariser avec cette variété d'aspects que peut revêtir un elliptique, n'aura qu'à étudier le tableau sui-

vaut. On Ta construit dans l'hypothèse a =z^a\f = j- La

Jig. 187 donne l'ellipse décrite.

(*) Le rapport des axes -r}- est, en chassant le radical du dénominateur,

a^-ha**H-aa*a"cos'y+-(4i*-f-<i^»)v/(a' — a^«)''-f-4a*fl^'cos'y

a a* a'* siu' e

2 p* siri* çï

le signe de E dépend donc du dénominalAur et par suite, tant que a et a' sont pris positifs, de sinf). Quand ^ surpassera 180 degrés , sin ^ sera négatif, et nous savons qu'alors la gyration est intervertie (§549). Donc un iig»ê négaitfpùmr R indiquera des rayons sinistrorsum. Quand a = a', on a

COSO 0

*• sr cot i.»