COS

GHAPITBBXU.

Rapport des amplitudes

AUUUt,

Aoomaliet.

lO"

ai» 39' 3o"

Oi9«

o,3ii

o,3io

C'est ici le moment de compléter la note du § 5M , elle établît et le tableau actuel confirme qu'en prenant deux angles », »' distants de go degrés , on obtient deux systèmes dont les anomalies <fr, 4' sont supplémentaires , et les valeurs p, p' réciproques. Mais pouratteindre tous les cas particuliers de ce genre, on doit se poser les questions suivantes. Trouver toutes les valeurs »' qui donnent soit pour 4' des valeurs supplémentaires de 4, soit pour p' des valeurs égales ou réciproques à p. Occupons-nous de la première de ces recherches, en supposant que l'angle », qui sert de point de

POLARISATIOBI ELLlPTt^E ET CIRCULAIRE. - THÉORIE. 65

départ soit ûul, ou, en d'autres termes, chel-chons toutes les valeurs 0»% qui donneront

L'équation qui donnera &>' est visiblement

•..„»A » — 2«/i'sin9 tang * = — tang ^ = - — — X

2<ifl' cos f cos 2 w' — (a' — fl'» ) sin 2 w'

Si nous y exprimons cos 2oa' et sih a «a' en fonction de Ung 20»', il vient

[ aaa' cos ff — («=»— a'») tang 2a>' ]»= 4 n V'cos" y ( iH- tang» 2»') ,

équation qui, réduite et ordonnée, donne

[ffli — a'» Y—i aW* cos» (p] tang» na'

— ^aa' [à* — a'»)cosf tang 20»'= o,

et fournit les solutions

( I ) tabg 2 «' = o ,

(2) tang 2»'=.

2aa "î Ta ^^ T

4a»fl'»

La première donne

mais u' = o donnerait, contrairement à ce qui est cherché, ^ =^ f ^ donc, de ce côté , la vraie solution est

qui donne bien

et qui de plus échange entre elles les valeurs A , A'. Passons \ la seconde.

En se rappelant que

2 tang X

tang 2x = -■ ' i

^ I — tang* X

on voit qu'elle donne

Tazimut 6>^ vaut donc 2 û et est situé au delà du grand axe de Tel- IL 5

QQ CHAPITRE Xll.

lipse, ilans l'azimut symétrique de celui qui nous sert de point de départ. Comme les constituants donnés sont quelconques, ce résultat doit être considéré comme éubli généralement, et il est prouvé, ainsi qu'on pouvait s*y attendre, que, dans des plans équidislants de ceux qui passent par les axes, les constituants ont les mêmes amplitudes. En effet, cette valeur de w' donne

COS' w

" (flt — II'* j»-4- 4 aV' cos* ff

et ces valeurs portées dans les expressions A', A'* donnent, après d'énormes réductions ,

A»=fl% A'»=fl".

Ainsi, dans l'azimut,

nous trouvons un systènie équivalent du système donné a, a, f , caractérisé par les mêmes amplitudes a, a' et par l'anomalie supplémentaire TT — y.

On pourrait construire un tableau analogue au précédent , en prenant pour point de départ non plus les valeurs de p, «p caractéristiques d'un système quelconque, mais le rapport R des vibrations principales. Les formules à calculer sont alors plus simples, puisqu'elles sont ce que devieanent ks formufes générales dn § 5!>4, quand on y pose

c'est-à-dire

A /R'cos' w-H sin'w 2

V ~ ^ *" V R» sin' w + cos» « ' '*"^ ♦ — — j- , V •

r-RJ"""

§ 361. — Gomment les polariscopes font éclore les divers systèmes et comment ils donnent la direction des axes.

La mise en évidence d'un quelconque de ces systèi&es de vibrations rectangulaires se réalise visiblement, quant aux intensités du moins, avec un polariscope biréfringent* Fait-on passer sa section principale par l'un des axes de

POLAnJSATlON ELLIPTIQUE ET CIRCULAIRE. - THÉORIE. 67

Tellipse, on obtient les rayons principaux : en tournant de 4s degrés, on tombe sur les rayons égaux. Les polariacppes rectilîgnes restent donc de précieux auxiliaires en polarisa^tion elliptique j ils y ont en effet pour mission de déterminer Torientation des axes de Tellipse décrite. Avec un nicol , on tourne jusqu'à ce que Fintensité du rayon transmis soit ou maxima ou minima : dans le premier cas, sa section principale passe par le grand axe, dans le second elle passe par le petit. Comme Toeil est mieux doué pour saisir Téga^ lité de deux images simultanément visibles que pour re-* connaître entre des images qui se succèdent la plus intense, la précision de ces déterminations est plus grande avec un prisme biréfringent, on le tourne jusqu'à ce qu'il donne deux images égales ; à 4^ degrés de là seront les axes.

§ 363. — Un domient la même intensité qn'aveo on polarisé

partiel.

Comme il n'est pas de système où l'un des rayons soit nul, la variation d'intensité de cbaque image ne va jamais jusqu'à l'extinction. Or il est curieux que ces changements d'intensité d^un elliptique qu'on regarde à travers un analyseur soient soumis à la même loi que ceux des po*^ larisés partiels et se fassent encore d'après la loi de Malus. Comptons, en effet, Tazimut o) à partir du grand axe de l'ellipse, et nous aurons pour les intensités A', A'* des deux images (§ 354)

A* = a; cos»w h- A',^ sin' w = A', * -h (A J — a\ ') cos»«, A"=: a; sin»» -f- A'/cos»» = A', ' H- (Aj — A\^) sîn'w,

formules complètement analogues à celles que donnerait en pareil cas un polarisé partiel.

§ 363. — Restanration des elliptiqneg. — Universalité des

quarts d'onde.

L'existence des rayons principaux justifie ce qui a été dit S 330 sur la possibilité de restaurer un elliptique quel^

68 CHAPITRE XIÏ.

conque avec un quart d'oude et sur Texistcncc de deux orientations restauratrices. La restauration a lieu, mais dans deux azimuts diiférents, dès que l'un des deux plans principaux du quart d*onde passe par Tun des axes de Tellipse. Soit, en effet, le dextrorsum Ai, A', de la fig. i88. Si la section principale du quartz quari d'onde coïncide

avec Taxe Ai, cette vibration sera retardée de p l'anomalie

des deux vibrations principales sera donc annulée et la res^ tauration aura lieu dans l'azimut s donné par

taDg^ = — •

Si maintenant cette section principale coïncide avec A', ,

le retard de A', sera élevé à - et la vibration restaurée se

dirigera dans le système d'angles opposés XOT, XOY, faisant avec Taxe A', un angle s' donné par

tang/irr-r,

ou bien avec Taxe Ai l'angle — s donné par

tangf = — Y"^»

On peut donc poser les règles suivantes :

Considérez Vaxe de f ellipse mis en coïncidence a%^ec la section principale du quartz restaurateur et éloignez^' vous-^en par une rotation dextrorsum, cette rotation vous portera dans les quadrants où apparaîtra la vibration res~ taurée. L'artgles qui, dans ce quadrant, sépare la vibration restaurée de l'axe de relapse coïncidant , a pour tan-* gente le quotient de Vaxe non coïncidant de F ellipse par Faxe coïncidant. Pour un sinistrorsum, la règle reste la même y mais les quadrants oà s'installe la vibration sont désignés par une rotation sinistrorsum.

Comme cette règle compte l'angle s avec une droite qui change dans les deux cas, on préférera peut'-être la suivante

POLAlRISATION elliptique et circulaire. - THEORIE. 69

qui le compte constamment avec un même axe de Tcllipse, Taxe A] par exemple : La restauration a lieu dans T azimut "àz 5, le signe + contenant au cas où la section principale coïncide avec l'axe Ai et le signe — au cas où, elle passe par taxe A' . Pour un sinistrorsum les azimuts sont au contraire =p 5. A ce dernier point de vue, les deux sortes d^elliptiques se distinguent donc, ainsi qu^on Tavait annoncé (S 330) , par le signe de s. La polariscopie elliptique devait être essentiellement mensuratrice. Puisque l'ellipticité admet une foule de degrés, il lui fallait distinguer chaque elliptique par quelques caractères numériques. Nous avons montré (5 359) comment les plus simples étaient au nombre de deux, à savoir II et R ^ nous savons maintenant les déterminer par Texpérience. il est donné par un prisme biréfringent. Une fois connu, cet azimut ù, sert de point de départ pour obtenir par le concours d'un quart d'onde et d'un analyseur (qui peut être le même prisme biréfringent), un autre angle s dont la tangente n'est autre chose que R. A et j étant des angles comptés sur le même limbe, à savoir celui du prisme biréfringent, on préférera sans doute leur donner la même origine. Si on appelle Z l'angle de position de l'alidade mobile quand il y a restauration, on aura

et la valeur de fi dépendra de l'équation

R = Ung(2 — a).

Il n'est pas inutile de remarquer que si la faculté restauratrice d'un appareil quart d'onde est complète et s'étend à tous les elliptiques, celle d'un appareil à retard unique y

distinct de - est au contraire limitée, et ce n'est pas seulement vis-à-vis les circulaires qu'un tel appareil serait désarmé. Rappelons-nous, en effet, comme la formule finale du $ 360 le montre d'ailleurs avec une grande netteté, que les innombrables anomalies propres aux divers constituants d'un elliptique sont toujours comprises entre deux limites 4>t

70 CHAPITRB XII.

et ir — 4>,, TuDC inférieure et Tautre supérieure à -y et

nous comprendrons que la restauration devienne impossible dès que l'anomalie fixe tombe en dehors des limites 4>j et TT— <I>i.

§ 364. — Équations des eUiptiqnts tn fonction des

constituants principaux.

Puisque les constituants d'un elliptique quelconque sont toujours échangeables contre deux rayons qui di fièrent de

7) ou encore contre un système de constituants ^aux, il s'ensuit qu'on peut engendrer tous les elliptiques soit, conformément à ce qui a été dit § 339, par la seule variation du rapport R des deux amplitudes principales, soit encore par la variation exclusion de la phase 4>| (§ 356). Quand donc, à un point de vue théorique, on prendra d^ autorité un rayon elliptique sans qu'il soit extrait, par quelque action physique, d'un rayon primordial, on pourra sans restreindre la généralité de la question le représenter soit par les deux équations

(i) x=:Acos27r-» r=A'cos(2ir- ]5=A'sinair-

qui donnent k l'ellipse la forme

soit par le système plus rarement empfoyé

(a) x=:? tfcosaTT-t x = ^^'Osl:in= — ♦, )•

Â ce point de vue, les elliptiques sinistrorsum sont constitués

par une valeur de 9, égale à dans le premier cas, et à

<l>i -h. TT dans le second, et ils ont pour équations

(3) j:= AcosîîTr-, r = — A'sin27r-(*),

C^) En thèse générale, changer 1c signe de Texpression totale d'un mou- Tcment vibratoire revient & y ajouter n. Mettre un sinus en place d'un 00-

POLARISATION ELLIPTIQUE ET GIRCULAIHE. - THÉORIE. ^ l

OU bien

(4) x = acos2n-i ^= — aco5(2 7r- — 0,J;

mais tandis que (i) et (3) donnent la même ellipse, les systèmes (2) et (4) donnent des ellipses égales, il est vrai, mais non superposées. Faisons, en effet, dans la formule

2 aa^ ces 9 iang2a = — ; yf

tour à tour

<p = *,, y r= <t, -+- TT,

nous trouverons deux valeurs supplémentaires pour 2 II, et conséquemment complémentaires pour il. Mais les valeurs de A% A'* montrent qu'il y a échange des axes; les axes homologues des deux ellipses sont donc distants, dans le cas général, de

Df — ûH-9o = 9o — 2a-h9o=: 180 — 211.

Dans le cas particulier qui nous occupe, où Ton a

ft=45 ils sont rectangulaires {fig. 189).

§ 365. — Cas particulier de la polarisatioji circulaire.

Puisque les axes sont rectangulaires, Tellipse devient un cercle si Ton a à la fois

a = a' et coSf = a,

c*estrà-dire

• ^z *• es ^ ^ • • • • ^2 2

conformément à ce que nous avons admis (§ 3tô)» Alors

sinuf revi«ot k on rotranohar — Faire les deax choses k'Ia IblS) c'est accroître

la phase de--

7 a GHAPITRB XII.

les deux rayons composants, en posant dorénavant 2 tt ==:4f

^ont

x = acosÇ, j^ = a8inÇ,

et r équation de la courbe devient

Dans le cas général, la vitesse de gyration varie périodiquement atteignant son minimum au sommet du grand axe et son maximum au sommet du petit. Ici on prévoit qu'elle sera uniforme. Ce point, facile à démontrer, admis, on obtient cette vitesse en divisant la circonférence 2 7ra par

le temps T d'une révolution. Or ce quotient —r- est précisément le coefficieut des vitesses égales des deux rayons élémentaires ; donc dans un rayon circulaire la ^vitesse est constamment égale à la valeur maximum qu'elle possède à certains moments dans chacun de ses deux composants. Nous retrouvons les deux sortes de rayons circulaires.

Le dextrorsum répond à un retard de -r et le sinistrorsum à un retard de —r- \ mais on peut encore échanger le retard

-7- du rayon OY contre une avance j attribuée à ce rayon.

C'est-à-dire qu'on a pour les deux sortes de circulaires les équations

x = acosi, j^ = âsinÇ et

xs=acosSy X= — asinÇ.

Quant aux hélices subordonnées à ces deux classes de rayons, d'elliptiques elles deviennent circulaires.

Avec un seul 'paramètre, ces échanges qui rendent si variée la physionomie d'un elliptique ne sont plus possibles. On peut sans doute engendrer le même circulaire avec deux autres constituants situés dans des plans différents : mais quelle que soit la situation de ces azimuts rectangulaires,

POLARISATION ELLIPTIQIiB ET CIRCULAIRE. — THEORIE. 78

les constituants n'ont pas changé. Ce qui revient à dire qu'on peut donner aux deux plans telle situation qu41 plaira, avec la seule attention de placer le rayon relardé, de telle sorte que la rotation ait lieu dans le sens convenable. Cest ce qu'on voit en introduisant dans les formules générales qui donnent Â'^ A'*, ^, 4^, les suppositions a = a'^ <f = 90°, car elles donnent

ce qui montre que, si la différence des phases ne change pas, les phases elles-mêmes varient dans cet échange et sont diminuées précisément de Tangle tù qui sépare le nouveau plan ZOX, de l'ancien. Dans le cas du sinistrorsnm, on trouve ^ = — w, c'est-à-dire que le rayon OX', au lieu

d'être retardé, se trouve avancé de X — • Si Pan^Ie a> dont

tourne le système des composantes était négatif, ce serait au dextrorsum qu'appartiendrait Faccroissement de phase ct>. On peut par de simples constructions analogues à celle des fis* ^47 ^^ 148 non pas mesurer le quantum d'avance ou de retard, mais constater si c'est l'un ou l'autre qui se produit. C'est à cette invariabilité de l'anomalie qu'est due visiblement la propriété qu'a tout quart d'onde de restaurer un circulaire sans condition d'orientation.

Soient Ai,Â', les amplitudes des deux constituants principaux d'un rayon elliptique. Si Ai est la plus grande, on peut en faire deux parts, l'une A', formant un rectiligne qui donnera, avec la plus faible, un circulaire d'intensité 2 A',' et l'autre Ai — A', formant une vibration résiduelle alignée dans le sens du grand axe. Ce qui est précisément l'équivalence admise § 336.

Il importe de rappeler ici que la polarisation rectiligne n'est, comme la circulaire, qu'un cas particulier de l'elliptique. Le rayon résultant est rectiligne quand l'anomalie des deux rayons rectangulaires est un multiple exact de tt. Dans ce cas, les formules du § 354 nous donnent zéro pour Tune des quantités Ai, A',, et la vibration elliptique est ré-

^4 CHAPITRE XU.

ductible à une vibration polarisée^ dont Tangle de situatien Q>y dépendant de l'équation

tangan = ±: = ± 2 — ^^-5

vaut visiblement Tangle il déduit de

tangA = ±- = db — • P «

Le signe changeant avec celui de cos^, la vibration qui, pour un multiple pair, se trouve dans le quadrant XOY,

passe dans le quadrant XOY quand le multiple est impair. Après ces ébauches de discussion introduites passim dans le cours de ce chapitre, abordons d'une manière formelle et plus complète la discussion des formules du § 354.

§ 366. — DiacuBsion.

La discussion va consister à suivre les transformations que subit Tel lipse caractéristique du rayon elliptique, quand on fait passer avec continuité les paramètres a, a^, ^ par tous les états de grandeur possibles. Nous rappelons que les signes de cos <f et de sin f ont de Tintérét , puisque, suivant que le cosinus est + ou — , c*est le grand ou le petit axe qui est situé dans Tangle XOT (§ 5tfff); puisque, quand le sinus devient négatif, la gyration cesse d*étre dextrorsum pour devenir sinistrorsnm (§ StfO). Cependant si , au lieu de s'attacher iodividuellemcnt à Ai , A', , on ne s'occupe que de leur rapport R : le signe de ce rapport , marchant avec celui de sin f (§ 5tf 9, note), dispense de recourir à cette dernière quantité ; tout comme si Ton admet pour a des valeurs négatives, cet angle caractérise constamment le grand axe et rend inutile de consulter cos ^ (§ 5IS5, note). Il s^agit donc, en réalité, d'étudier les altérations de signe et de grandeur introduites dans les expressions tang 2 n et R des §§ 555, 559 , par les variations de p et (p. R variera depuis 4- 00 jusqu'à — 00 et a depuis -H go degrés jusqu'5 — 90 degrés. Quant à 9 , s'il Suffisait à la rigueur de le maintenir entre H-ir et — tt (§ 550), le développement des phénomènes rend préférable de le laisser croître dans les deux

POLARISATION ELLlFnQCE IT CIRCULAIRE. — THÉORIE. 76

sens, à partir de zéro , jusqu'à une limite qui, généralement peu élevée, pourra néanmoins, dans certaines expériences exoep* tionnelles ( § 57S), être singulièrement reculée. Variation de tf, ^ = o donne

P i*». tang2nr=2j — »

d*où ^

I a' tangn = - = — )

P « 2®. R .= 00 . Quand f grandit , tang 2 a diminue ainsi que R.

(p = 90** donne a = o et fait prendre à R sa valeur minima -; •

Au delà n devient négatif et R reprend les mêmes valeurs, de sorte que les deux ellipses engendrées par ^ et tr — ^ sont identiques et symétriquement placées par rapport aux axes coordonnés ainsi que rindique Isifig, 190; enfin quand f = n^ on retrouve

R = oo et tang a = >

ce qui accorde h A pour seconde limite une valeur égale et de signe contraire à la première. Si ^ continue de croître, R devient négatif et Ton obtient une série de sinistrorsum dont les ellipses sont les mêmes que celles des dextrorsum précédents , l'identité ayant lieu, sous le double rapport de la position et de la grandeur^ pour les valeurs ^ et 2 vr — ^ . En continuant de faire croître f , on réobtiendrait dans le même ordre et indéfiniment ces deux séries d*elliptiques inverses dont les grands axes oscillent

entre +aet — A=:+ arc tang -;• Si Ton voulait, de plus, étudier

les résultats amenés par des valeurs négatives de f, on verra sans peine que deux valeurs égales et de signe contraire de ^ donnent deux elliptiques inverses caractérisés par la même ellipse. On peut convenir d^appeler elliptiques symétriques ceux qui, p étant le même, répondent Tun à 7 et l'iiutre à tt — 9 ; elliptiques inverses, ceux qui répondent l'un à ^ et Tautre à — fOuà2fr — 7; et enfin elliptiques symétriques inverses, ceux qui sont engendrés l'un par 7 el l'autre par Tune des deux valeurs, distantes de 2 tt , tt -i- <p ou

y6 CHAPITRE XII.

— (n — f). La noie du § 549 se trouve donc justifiée, et nous pouvons ajouter, pour la compléter, que , dans les quatre cas qu'elle pose , l'elliptique primitif est échangé contre son elliptique symétrique inverse. Celle du § 5tf 0 Test également , et nous voyons que les deux changements quelle suppose amènent Telliptique symétrique.

§ 367. — Cas des constitnants égaux. — Retour sur une transformation d'un elliptique.

Si l'on se plaçait dans le cas particulier de a = a\ les formules à discuter seraient

tang 2 a = 00 , R= cot - ^ (S 559, note)-

On voit donc que dans ce cas tang 2a = Q0 , quel que soit ^ , et qu'ainsi les axes de Pellipse sont invariablement orientés dans les azimuts + 4^ ^^ — 4^- Dans ce cas, les circulaires s'intercalent comme les rectilignes entre les elliptiques successifs. Pour f = o, on a une vibration rectiligne orientée dans Tasimut + 45. 7 gran-

dissant, Telliptique s'arrondit et devient circulaire quand ^ =r —

Au delà cos ^ est négatif, aussi l'elliptique a-t-il sou grand axe dansTazimut — ^5. L'ellipse se réduit à ce grand axe et le rayon redevient rectiligne quand <f = it. Après viendraient les elliptiques sinistrorum séparés en deux groupes égaux par un circulaire sinistrorsu m. Si f était négatif et croissant en valeur absolue à partir de zéro, on débuterait par les sinistrorsum. Cette immobilité des axes des divers elliptiques qui se succèdent quand ^ varie a été invocpiée par nous (% 556). P^ous pouvons actuellement donner une autre forme aux tableaux de ce paragraphe et du suivant. En effet , dans ce cas, on a pour l'intensité du rayon circulaire (§ 552 ) 2/7* (1 — cos- m j et pour celle du rayon résiduel

2 a' cos — /7f OU simplement, en posant 0=1 et en prenant ^ale

à l'unité l'intensité du rayon incident, 1 — cos- m et cos - m. Les

deux tableaux ci-joints conviennent, le premier au mica quar^

d'onde , et le second au parallélipipèdc.

POLARISATION ELLIPTIOUB ET GtR(3ULAlRB. - THÉORIE. 77