partie réelle du coefficient loul , et
a n cos f
^/l'SÎQ'l — I J
factein* réel de la partie imaginaire de ce même coefficient ; on trouve pour la somme des carrés de ces deux amplitudes
et comme le rgyon transmis est nul et la réflexion totale ;;
(^ 403), cette épreuve se trouve réussir.
Il en est de même pour le rayon polar4së perpendiculairement au plan d'incidence. On a
(n'-f- 1 )'-h(n*-4- 1 )' sin* 1—7 (w'-H 1 ) («♦-f- Q sin' iV4 n* cos» i sin' /— ft «* eos* *
(«'— i)*ti— («V-Osin»/]»
(n*— I )*-H (w*— 1 )* gJB* I— a (n*-h 1 ) (n*— 1 )« ski* i (I— K-+-i)sin'<-]« ''
et Ton retrouve encore dans l'ensemble de ces deux rayons l'intensité i commune au rayon incident el au rayon réfléchi.
POLAR. ClhCUL. BT RIXIPT. P^H AÉFLBXIOI^ TOTALE. io3
§ 884. -- AmpUftiidM des deu oonstitnanto.
Les formules de la composition de deux mouvements vibratoires situés dans le même plan, établies § 52 , dans rhypotbèse des vibrations longitudinales, résolvent visiblement en lumière, le cas où les rayons constitués sont polarisés dans le même plan. Or, ces formules nous apprennent que, dans le cas particulier où ces constituants diffèrent
de -^9 la phase xp du rayon résultant dépend de Tum^ des deux équations
coacfi=:g, sin4^«=~
V appartenant au rayon qui est en retard» et b au rayon qui est«n avance, c* est-à-dire ici k celui des deux constituants du rayon réfléchi qui a la même phase que le rayon ind^ dent, admettons que ce soit le rayon qui répond k la partie réelle du coefficient , et nous en conclurons qu'un rayon incident i de phase zéro, polarisé dans le premier azimut, engendre un rayon réfléchi d^intensité i dont la phase ^ dépend de l'une des équations
I — il* -4- % «' COS" / I -H il*— 3 /l' %VB?i
cos y = —
— olh cos / ^7ï*sin*/ — 1
m w — ^ t 1 1.1 !■■ Il . i -■ .
Quand le rayon incident est polarisé dans le deuxième azimut, il donne par réflexion totale un rayon d'intensité i et d'une phase <{/ liée â l'indice et à l'angle d'incidence par Tune des deux relations équivalentes
(««H- i) — («*-+. i)sinW ^ (/f»-i)[i — (/i«-hi)sin*r]
sin +' ^ — attcpsiVi»'sin»/~t ,
(«*— i)[i— (/ï'-Hi)sin*i]
.§ 385» — Ce que seront les mesures de ^^-y. Ainsi trouvée par udc méthode qui est toute dMnspiratioti, cette
1 o4 CHAPITBK Xm.
curieuse sohition du problème de la réflexion totale doit recevoir une confirmation expérimentale. L*idée la plus naturelle est assurément de mesurer sur chacun des deux rayons réfléchis, issus d'un rayon tour à tour polarisé dans les azimuts principaux , les changements de phase dus à la réflexion totale et de les comparer à ceux des formules précédentes. Ces mesures, dont s'est occupé depuis M. Babinet , Fresnel comptait se les procurer en faisant interférer deux rayons qui auraient subi , sur deux surfaces continues ,, deux réflexions intérieures qu'on eût pu rendre tour à tour tontes deux totales, on bien Tune totale et Tautre ordinaire, et en mesurant le déplacement qu'eût produit dans les franges un tel changement. Son appareil est sans doute compris [fig. 198), un bloc de verre comprenant quatre faces dont deux très-inclinées eussent fonctionné comme miroirs. Il eût suffi , pour passer de la réflexion totale à l'ordinaire, de mouiller avec un liquide l'un des miroirs; mais nos demi-lentilles (§ 5tf ) nous semblent offrir, pour ces expériences, de grands avantages. \Afig. igg montre successivement un nicol , une lentille L cl'un court foyer, la plaque qui porte les deux demi-lentilles/, t et un petit prisme isocèle rectangulaire dont l'arôte est verticale, et qui reçoit sur sa face hypoténuse en /, /' les deux sommets des demi-cônes, de manière que l'application d'un petit papier mouillé puisse faire cesser pour Tun d'eux la réflexion totale. Si la distance des moitiés T , / est couTenable, d'une part les deux images #, i* seront suffisamment écartées, de Tautre la région commune aux deux demi-cônes s'étendra loin du prisme et les franges horizontales auront une grande largeur. Suivant que la section principale du nicol sera verticaîe ou horizontale, la vibration sera polarisée dans le premier ou dans le second azimut, et Ton pourra vérifier, soit les va- ^eurs de ^ , soit celles de ^p^ A en juger par quelques essais, ces mesures doivent rél|;»ir, quoique l'inégale intensité des deux faisceaux rende, dès quil y a humectation, les franges très-pâles. On y remédiera en interposant sur la route des denx faisceaux les deux moitiés d'une tourmaline, et en profitant de leur indépendance |X)ur donner à Tune l'orientation de plus grande transmission, et à Tautre une orientation telle, que le faisceau trop énergique y subisse une réduction convenable. Pour guider ceux de nos lecteurs qui voudraient s'occuper de ce point intén^ssant, nous dirons que la déviation causée p.ir l'entrée, la reflexion in-
POLAR. GIRCUL. ET BLLIPT. PAR RÉFLEXION TOTALE. Io5
térieure et la sortie , a pour expression
A = 9o~ai,
que l'angle intérieur z {Jig, 200) vaut ^5 + n Comme Tangle limite, entre le verre (/i = i,5i) et l'eau («= i^336) est 59*82, Tangle /', qu*on ne devra pas dépasser, si l'on veut éviter que la réflexion ne reste totale après le dép6t du liquide, dépend de l'équation
qui donne pour i la valeur 22** 16 et pour A, 45** 28^ Au lieu de polariser initialement la lumière, il sera plus simple de l'employer naturelle et d'armer finalement Tœil d'un nicol, doué tour à tour de chacune des deux orientations principales.
§ 386. — Conditions de la drcnlarité dn rayon réfléchi
étalement.
Puisque ^ diOere de t{i, si Ton se donnait à la fois les deux réflexions dans les azimuts principaux ^ Tensemble des deux rayons réfléchis pourrait former un circulaire. Il suffirait de placer le plan de polarisation à 4^ degrés des deux azimuts principaux, afin d^avoir deux rayons égaux; 2** de donner à Tangle ^ — ^f/, par le choix d'une incidence
convenable, la valeur -• Cette dernière exigence mérite
seule d'être développée, mais avant d^établir la formule qui donnera ces valeurs de i, il convient de discuter les expressions qui donnent ^ et ^.
§ 387. — Diacusaion de ^ , ^'.
Discussion de ^, -^^ Ne nous occupons (K)ur le moment que des valeurs absolues. En posant
smf = -9
on trouve
sin>p = o, cos^* = I»
/*=go donne
sin >|; = o et cos^ = — I .
I o6 CIUPITRB XIU.
intermédiaircmcnt poar
il vient .
rosil = I : ;
t on en conclut que Tavance du rayon, nulle à l'angle limite L
et avant lui , grandit continûment jusqu'à la valeur - qui
répond h l'incidence rasante.
Discussion de \^\ — Le dénominateur étant négatif entre I = L et I = 90, limites du problème, sîntj/ est positif et reste tel pour toutes les valeurs de / . 1 = L donne
sin>|i' = 0 et cQCi^' =r — i ;
pour I :=x 90", on a
sin^' = o, 0054*' =1.
O'ailleur^ quand on pose encore
/ï*sin'/ — I =r «%
Oh trouve pour cosij*' Texpresaion
<]ui débute par des valeurs négatives. Nous concluons donc que l'anomalie perdue on apparence (§ 390) par la deuxième vibration, croit) de Fangle limite à Tincidence rasante» depuis /r jusqu'à 21:,
Nous avons réuni dans un tableau les valeurs de cp, ^ calculées pour des incidences croissantes de 5 en 5 degrés, à partir de l'angle limite i= 41*^28'. Une dernière colonne contient l'excès de ^ — 180 sur ^, excès qui, nous le verrons bientôt, représente l'avance de la deuxième vibration Mir la première.
POLAR. GIRCUL. ET ELUPT. PAE &ÉFLEXION TOTALE. 107
5o îio'3o''
45 56 So^maxi.
g6 ty
§ 388. — GonuBiaiil la réflexioii chaa^e le Mni de JsnpaUiui et Tanomalie d'nn rayon elliptique.
Dans la réflexion normale sur un miliau non eriatallisé, les deux composantes principales sont n^essairemçnt traitées de la même manière et leur anomalie doit fitre nulle. Au fur et à mesure que Tincidence croit, ces composantes ont avec le miroir une relation de plus en plus dissemblable et acquièrent une anomalie continûment croissante. Les formules de Fresnel et aussi Texpérience montrent que son maximum s'élève à tt. Cependant on admet quelquefois qu'au lieu d'être nulle au début, Tanomalie vaut ff, et qu'ainsi , quand elle atteint sa seconde limite, elle est devenue 27r. Il s'agit de concilier ces deux manières de voir et de les réduire à une simple diversité de point de vue.
Soit (fig: aoi) un rayon lO incident sur le miroir MM\ soit sa vibration comprise dans le quadrant inférieur de gauche YOX et l'œil placé derrière le miroir vertical sur lequel l'incidence est d'abord normale. Si la deuxième vibration OY éprouvait un retard, le rectiligne incident deviendrait elliptique dextrorsuui. Eh bien, quand ce relard apparaît dans le réfléchi, comme l'observateur est obligé
lo8 CHAPITRE XIII
de tourner de i8o degrés et de se reporter en I du côté où le rayon incident arrive, sa gauche passe du côté où était sa droite et le réfléchi constitué par les mêmes comjiosantes est sinîstrorsura. Ainsi, suivant qu^on regaide un rayon dans un sens ou dans l'autre, en supposant toutefois (la réflexion produit ce résultat) que le rayon vient toujours vers Toeil, on obtient, d'un même retard introduit entre deux composantes de ce rayon, des gyrations contraires : tout comme s'il s* agissait successivement de deux incidents dont les composantes principales auraient les anomalies f et f + tt.
Or, dans les appareils de réflexion, celui de M. Jamin par exemple (§ 398), quand on vise tour a tour au rayon direct et au réfléchi, cette di(Térence artificielle issue du retournement et étrangère au phénomène physique s'introduit et les retards apparents surpassent les retards vrais de tt. Suivant donc qu^on s'en tiendra, dans l'énoncé des résultats, au point de vue expérimental, ou qu'on préférera le point de vue théorique^ on gardera ou Ton retranchera ce irde retournement y et Ton aura des résultats qui différeront de cette quantité.
Ce TT de retournement n'est pas particulier à F incidence normale, il se maintient a toutes les incidences; et il intervient, au delà de Tincidence brewstérienne, avec cet autre TT (§ 239) qui provient du renversement de la vibration ou mieux, comme nous le verrons (§410), d'un développement rapide et presque instantané de la variation totale de phase ir. Comme il faut en même temps ne pas perdre de vue ce qui constitue, pour la deuxième vibration, les orientations directes et inverses (§ 239, a* note), on nous saura gré sans doute de diriger par quelques exemples l'emploi de ces considérations délicates.
Soit (fig. aoa, PL X) une réflexion de -4- sur — et Tanglc d'incidence moindre que Tangle brewstérien B, les deux composantes de la vibration réfléchie sont directes et ont les directions OX', OY', s'il n'y a pas de relard, leur résultante est dans Ir quadrant X'OY' = XOY. Si OY a été
POLAR. CIRCUL. BT ELUPT. PAR RÉFLEXION TOTALE. 109
relardé, 011 a un sinistrorsum ; passe Fincidence B, la deuxième vibration est renversée et se dirige suivant OY'^; si donc on a le même retard^ OX^'^ et OY" engendreront un dextrorsum.
Dans une réflexion de — sur 4- (fig* ao3), avant Tincidence B, les deux vibrations sont renversées et deviennent OX', OY', on a donc un sînistrorsum, tandis que ce double renversement eût continué de produire sur le rayon incident un dextrorsum. Au delà de B, OY' devient direct et l'on a un dextrorsum comme dans la réflexion de -H sur — . Nous avons raisonné jusqu'ici dans Thypothèse où la seconde composante serait retardée. Si elle était avancée, ce serait avant Tincidence B qu'on aurait le dextrorsum, et après, le
sinistrofsum.
Quand le rayon subit deux réflexions successives, les deux effets de retournement s'élèvent à aTr ou, ce qui revient au même, s'annulent, et cette altération particulière des phénomènes cesse d'exister.
§ 389. V— 4' — TT est Teffet dû à la réflexion totale.
Comme, en réflexion totale, on est toujours au delà de l'angle limite L (*) , on peut dire que le tt de retournement géométrique y détruit pour la pratique, le tt de renversement brewstérien aussi bien quand les réflexions sont en nombre impair qu'en nombre pair. Quand il s'agit de valeurs théoriques , au contraire , comme elles contiennent le 71 brewstérien , il faut en retrancher 180 degrés^ la diflerence ^ — 1 80 , ou mieux ^' — ^ — 1 80, sera l'effet dû à la réflexion totale ] mais Cette remarque ne lève cependant pas toutes les difiicul tés.
( * ) On a en effet pour l'angle brewstérien intérieur B
tangB=-9 d'où «inB=— =•
" yi-hit*
Or
sin L = - r
dune B est toujours moindre que L.
1 lo GHAprrnB xiu.
§ 390. — Lds deux Tibntîons principales sont avancées par la réflexion totale. — Expérience décisiTe.
Nous avons vu, en elîet (§ 335) , que dans les conditions géométriques des figures précédentes , le réfléchi issu dVn parallélipipède était sinistrorsum ; il faut donc que la deuxième vibration y acquière ou un relard plus grand que 77, ou une avance moindre que tt. Consultons sur ce point délicat la théorie et les formules.
Le signe de sin ^ étant négatif (§ 38i) ^ il semble naturel d'en conclure, d'accord en cela avec la théorie des tranches, que ^ est une avance, et non un retard comme on l'avait supposé. Relativement à ^ dont le sens est positif, il faut remarquer que quand on arrive à la réflexion |otale, le renversement de la vibration dû à l'incidence brewstérienne est accompli depuis longtemps, qu'ainsi pour avoir les effets dus seulement à la réflexion totale , il faut retrancher de Teflet collectif cette quantité n ; mais en retranchant n de -de^j/, sin (^' — tt) sera négatif, et il sera vrai de dire que, pour la deuxième ausii bien que poor la première vibration, la réflexion totale prodiût une avance.
Ainsi , au rebours de ce qui arrivera en réflexion métallique, la réflexion totale avancerait les deux vibrations, mais inégalement^ de manière à avancer dillérentiellement la deuxième , d'une quantité qui , partant de zéro , croîtrait
jusqu'à un certain maximum moindre que-» et décroîtrait
ensuite jusqu'au point de départ zéro, qu elle réatleindraît sous Tincidente rasante. (Renvoi aux expériences de M. Jamin, §403.)
Pour se décider entre un retard et une avance, on peut, comme il suit, en appeler à l'expérience. S'il y a retard, il faut que pour deux réflexions il surpasse rc et vaille , par
'exemple, tt -4- z. Cela donne pour une réflexion - H — > c'est-
à-dire un retard moindre que tt. Donc une seule réflexion totale engendrerait un dextrorsum. Y a-t-il, au contraire,
POLAR. GIRGUL. ET BtLtPT. PAR RÉFLBXIOK TOTALE 1 1 I
une avance, elle sera inférieure à tt , et^ pour une seule réflexion, à — Et alors une seule réflexion engendrera, comme
deux réflexions , un sinistrorsum. Les travaux les plus récents sur cette matière , quoique entrepris sur une seule réflexion, se taisent sur ce point et semblent même continuer d'accorder avec Fresnel un retard à la deuxième vibration. Pour savoir à quoi nous en tenir sur un objet aussi capital, nous avons déposé comparativement et tour à tour sur la plate-forme de l'appareil de Norrémberg un mica quart d'onde orienté de manière à donner un rayon doué d'une ellipticité légère et de gyration connue, et, un prisme de Dove. Le plan d*incidence dans ce dernier était parallèle à Taxe du mica, et l'on avait interposé (§ 327) , en avant du polariscope, la lame sensible. Or, quand le mica donnait la teinte rosée, le prisme donnait la teinte verdâtre. Donc il avance la deuxième vibration {*),
§ 391. — Calcul des valeurs de i qui circolarisenf par 2 , 3 , . . . , réflezionB.
Le tableau du § 387 nous révèle Texistencc de deux incidences : Tune un peu inférieure et l'autre un peu supérieure a 5o degrés, qui donneront chacun une avance de^i
ou bien, à la suite de deux réflexions, l'avance désirée--
Pour trouver directement ces incidences, ou, plus généralement, pour obtenir un circulaire i la suite dep réflexion» pareilles, l'avance ^|/ — ^ — i8o, propre à l'une d'elle», devra satisfaire à T équation
qui donne
