POLARISATION PAR RÉFLBXIOII CRISTALLINE

Le mieux est d'introduire taogi, on arrive ainsi à réquation bicarrée

(i-h a» b^ — a»— 6') tang* 1 -h (a — «*— 6') Ung»i 4-1 — ^=0

qui donne Téquation numérique

o,346i8^tang^( + i ,1801 tang^i — 0,2439 = o;

d'où Ton tire

M. de Senarmont opérant sur une face dont le parallélisme à Taie n'était en défaut que de 7 minutes, a trouvé

Si le milieu ambiant avait pour indice L, il faudrait dans l'équation (2) remplacer a par aL et b par bit» En prenant pour L l'indice i,336 de l'eau, on trouve

M. de Senarmont obtient sur la même face 33 degrés ; enfin avec rhuile de faines le calcul donne

et le même observateur indique que l'incidence observée lui semble surpasser 4^ degrés.

L'équation A = — k formée des termes qui avaient disparu dans /i = + ^ est, dans l'air,

cos /^ sin' I = sin r sin /^ cos r, ou bien

cos/ = i}6cosr, ou enfin

(1— a'sin»i) = a>6»(i— *»sin»i);

dans un liquide, elle sera

(i— fl'L' sin*i) = L* a» *» (i— A'L» sin^i) : on en tire

**"'=a'L>(,-ï760- Avec le spath et l'huile de funes, la valeur de sin/ cesse de sur-

l^O CHAJPITBB XV.

passer TuDÎté) et Ton trouve

valeur identique avec celle qu*a trouvée M. de Senarmont pour la face précitée.

§ 435. — Gomment pour obtenir ches le spath /i = — ^ il fiant le plonger dans nn liquide convenable.

Si Ton voulait trouver à partir de quelle valeur de l'indice L on commence à avoir sini moindre que l'unité, et, par conséquent, la réalisation de A = — A-, il faudrait résoudre par rapport à L réquation

ou bien .

en prenant les données du spath et posant L' := 2, elle devient

on trouve sans peine que z = i, z = 2, puis z = i ,7 , z = i ,8 donnent des résultats de signe contraire, qu'enfin z =: i ,7g et z = 1,8 donnant l'un -h o,ooai et Tautre — 0,0024 ^^ P^^ynôme prend pour z = i ,795 la valeur insignifiante — o,oooo5. 1 9795 peut donc être accepté comme valeur de la racine utile à la question. On en déduit

ce qui justifie notre dire sur l'impuissance où est l'eau de donner avec le spath parallèle à l'axe la seconde solution.

§ 436. — Cas des cristaux positifs. — Calcul pour le calomel. Dans le cas des cristaux positifs Téquation // = X- s'obtient en

égalant à : — )- — ; la valeur de x donnée Q 431 et se trouve

^ sm(/-hr) ^

cire l'équation bicarrée

— [ab (i— ab) -h h (a ■+- b) (^'— «')] sin'/ -h « (^ — «) = o

pour le protochlorure de mercure; si Ton prend les chiffres qui ont été préférés (•§ 448), elle devient

0,03339 sin' ' — ^ ' 22232 sin'/ -+- o,o5oî3 = o

POLARISATION PAR RiFLBXIORi CRISTALLINE. i^i

et donne

L'équation A = — k , beaucoup plus simple , donne

sm' / = ri ^ — TT — ,-. 9

ou bien, en passant aux chiffres, sin'i ^ 1 . De sorte qu*îci encore cette solution fait défaut dans l'air. Au contact d*un liquide la formule serait

sin' i z= ■ ■ ■

et rindice limiu dépendrait de Téquation

53 [b^ a» ) L< -f- a {a\^ ^b^^a^)l?-^a=zo qui , mise en chiffres , donne

§ 437. — Cas du cristal perpendiculaire à Taxe.

Quand le cristal est taillé perpendiculairement à Taxe, la solution h = A répond à 1= o, que le cristal soit positif ou négatif. Tout plan d'incidence étant ici section principale , ce sera toujours la vibration ordinaire qui sera livrée au facteur moins rapide

r— V: {- Nous en concluons que la solution /? = — X- obte-

sin(«-h/*)

nue an delà de Tangle de Brewster n*aura lieu que chez les positifs. Les expériences d'aucun physicien n'ayant embrassé jusqu'ici ce cas , il nous semble inutile d'y insister.

§ 438. — Cas des cristanz opaques et des biaxes.

Quand le cristal, devenant opaque, revêt les propriétés des métaux^ une anomalie se déclare entre les composantes principales dès que l'incidence cesse d'être normale. Le rayon résultant est donc elliptique, et les égalités h=rdbk indiquent simplement que les axes de l'ellipse sont dans les azimuts ± 45. La méthode expérimentale qui consistait à constater, dans l'un de ces azimuts , l'extinction d'une des images polariscopiques, cesse d'être applicable, et il faut chercher d'autres moyens de correspondre avec rescas d'égalité de /i et X. C'est ce qu'a fait M. deSenarmont, et

rj^ CHAPITRB XV.

nous exposerons dans le chapitre XXIII la méthode intuitÎTe à Taide de laquelle il décèle et le passage de -r par l'unité quel que

soit fy et les autres particularités de ces phénomènes.

Si le cristal est biaxe, et si sa surface contient, comme chez le sulfure d'antimoine , deux des axes de la surface de Tonde, Tétudo des deux cas simples où le plan d'incidence passe par ces axes , n'éprouve aucun changement sérieux. En effet. Tune des vibrations reste ordinaire et l'autre se réfracte encore en correspondance avec une ellipse. II est vrai que cette ellipse cesse de toucher le cercle ; mais on prévoit que les valeurs de P, cosr', cos/t ressembleront à celles qu'on vient de -trouver. Nous laisserons au lecteur le soin de poursuivre ces indications et nous nous contenterons de donner les incidences obtenues par M. de Senarmont. Dans ses expériences, l'axe c (§ 4ft8) était parallèle au plan d'incidence comme s'il eût été l'axe optique d'un cristal positif.

Les incidences fournissant A z= X- ont étâ

dans l'air /= i8° 3o',

dans l'eau. .. '. 24°,

dans l'huile. . . 27°.

Ces déterminations comportent quelque incertitude, car en

mesurant (chapitre XXIII) le rapport j sous diverses incidences ,

on voit qu'il varie assez lentement avec / autour de sa valeur égale à l'unité.

§ 439. — Angles de polarisation. — Les cas simples.

Le cas le plus simple a lieu quand l'axe étant dans le plan de la face, le plan d'incidence lui est |>erpendiculaire. Des deux rayons soumis alors aux lois de Descartes, c'est l'ordinaire qui a sa vibration dans le plan d'incidence et qui peut refuser réflexion. L'incidence

particulière qui amènera ce refus dépend visiblement de tang{=: j-

et vaut

Si le plan d^incidence coïncide avec la section principale, c'est pour la vibration extraordinaire que le refus devient possible.

POLARISATION PAU RÉFLEXION CRISTALLINE . i j3

Gomme Tamplitude du rayon réfléchi 9*exprime alors par une frac* tion dont le numérateur est cos i cos r' — PcosV, y Tangle de polarisation sera donné par Téqualion

P cos* /, = cos i cos /^.

Il est deux autres cas qui conduisent à la même équation , à savoir quand Taxe étant normal à la face, le plan d*incidence est quel* conque, et quand Taxe étant quelconque , le plan d'incidence se confond avec la section principale.

Nous avons mis en chiffres cette dernière formule pour le cas du § 431. L*équation amenée à ne contenir que sin i est du sixième degré, mais elle ne contient que les puissances paires de rinconnue. Si donc on représente sin' i par « , on a à résoudre une équation du troisième degré. En y mettant les données numériques du spath, elle est

o,oo3a2i «» 4- 0,08926 s' -4- 0,2686 z — 0,24794 = o.

Nous obtenons un changement de signe e^^ passant des = 0,^35 à »=o ,738. Ces deux valeurs conduisant à f=:59*'i'el i=5çf i3', on peut admettre que leur moyenne iiiz 59** 7' est la valeur cherchée. Seebeck, dans des expériences faites avec le plus grand soin, trouve seulement / =r ± 54^2'. Arrêtons-nous sur ce désaccord ( c'est le premier que nous rencontrons ) qui sépare Texpérience et la théorie de Fresnel . Nous disons la théorie de Fresnel et non la théorie des ondes, attendu que cette dernière parait être en dehors du débat. On saura, en effet, qu'en modifiant les idées de Fresnel, Mac-Cullagh et Neuraann ramènent entre les limites des>erreurs expérimentales, les différences qui séparent les résuU tats de Seebeck de leurs valeurs calculées.

§ 440. — La théorie de Neumann. — Expression qu'elle assigne a l'angle de polarisation dans une section principale.

Pour ces géomètres distingués : 1® la vibration extraordinaire reste perpendiculaire au rayon et devient oblique sur le plan de Fonde qui cesse de la contenir ; 2® les éthers diversement denses sont remplacés par des éthers diversement élastiques ; 3** le plan de polarisation contient la vibration. Expliquons-nous sur ces modifications. La troisième nous parait joindre à Tinconvénient d'être combattue par les expériences du § ftS4 celui de ne rendre

I j4 CHAPITEB XV.

aucun service réel au débat qui etl en jeu. On ne saurait trop j regarder quand il s'agit de déroger aux idées de Presnel > et on ne doit le faire que poussé par une impérieuse nécessité. L'exemple de Cauchy confirmerait au besoin dans cette Toie de prudence ; car, après avoir placé comme eux la vibration dans le plan de polarisation, il n'a pas cru devoir persévérer dans cette opinion et n*a pas tardé à revenir à lidée qui les met à angle droit. La deuxième nous parait fondée, mais Fresnel était loin de Tignorer : Tidée d^utie élasticité variable et nécessairement variable chez les biréfringents et la connaissance des ressources qui en découlent étaient choses parfaitement familières à ce grand homme , ainsi que le témoignera suffisamment sa théorie physique de In double réfraction. Seulement il a eu le tort de ne pas traiter d'un point de vue unique la réflexion et la double réfraction, ces deux moitiés d'un même phénomène. La première modification seule serait donc à la fois neuve et importante (*). Elle permet de remplacer» dans la deuxième équation du § 450 , cos / , par cos / et conduit ainsi à la formule

cos I — P cos /

COS « -t- p cos r^

En y introduisant les valeurs de P et cos r^, qui conviennent au cristal perpendiculaire jt Taxe , on trouve

cos A — ^ ^< — «' sin' I

ar =

cos/-t-^ ^

S'agit-il du cristal parallèle à Taxe et du cas où le plan d*iiicidence coïncide avec la section principale , ce sera au § 451 qu'on prendra les valeurs de P et cos r^, et Ton aura

cos i — a ^i — b* sin' i

COSf

{*) Rien ne prouve qu*une théorie de la réflexion fondée sur la considération det éthers diversement élastiques ne puisse être établie, sans abandonner sur aueun antre point les idées de Fresnel. 11 ne s'agirait de rien moins que d'un remaniement de sa théorie de la double réfraction , dans lequel on tiendrait compte simultanément des mouvements réfractés et réfléchis; peut-être trouverait-on comme conséquence cette ortbogpnalité de la vibration sur le rayon qui constitue le premier principe d0 Neumann. Il y a Ih de quoi tenter assurément les jeunes physiciens géomètres.

POLARISATION PAR RiFUSXION GAISTALLINB. 1^5

Veut-oD enfin» comme meilleure preuve de Textréme. simplicité introduite dans les calculs, poursuivre le cas simplement indique à la fin du même paragraphe, comme alors Tangle compris entre le rayon vecteur et Taxe vaut L — /, on aura

tf»6>

~~ a' cos' (L— r') -h b^ sin' (L— /)*

Développant et introduisant tang r% il vient

(a* cos' L-+- fr' siii* L ) -i- 2 sin L cos L (a* — &' ) tan|; r'-h( a* siii' L-i- 6*co»' L ) lang r' »

c*est-à-dirc, en introduisant les quantités A, B, G du § I6tf,

« P» cos» / =

A tang' r'— 2 B lang r'-^A" Or le § 170 donne pour la section principale

, sin / B

tang r = —

Aab^^A — sinV ^ Substituant et opérant les réductions, on a

P» cos' r' =

sin' i R'

A«'^'(A-f-sin'i) A

et partant, une valeur de x qui ne contient plus avec / que les pa* ramètres caractéristiques du cristal. Veut-on trouver Tangle de polarisation, on égalera cette valeur à cos' i , ce qui donne l'équation

A<i«^'(A4-sin'i)

sin' / 4- fl' *M B'— AA^)(AH-sin'/) '

mais on a

cos' r " -

donc

B'-AA"=-^--j-,

fl*6'

Aû»*»(A-hsin'i) , ,,, , ; , .,

cos' i = ■. ,. ;. . . ,.; = — û' ^' Ah- sm' /

sin'i— (A-l- sm'i ) ^ '

sin*i — (A -4- sin'i) Résolvant par rapport à sin' /, on trouve

i-hAa'b'

Sin' / =

remplaçant A par sa valeor, on obtient enfin

sin« I = ' '- ^-^ —

Comme ;- et — r donnent visiblement les anc^les de

polarisation pour les cas particuliers où Taxe est, soit dans le plan de la face,, soit normal à la face, il en résulte que la valeur quelconque se rattache à ces deux valeurs remarquables par un théorème élégant.

Avec le spath on a

on en déduit pour ces deux cas particuliers

Une face naturelle donnant

on obtient pour ce cas plus général

Les nombres trouvés par Seebeck pour les deux derniers cas sont 60® 33' et 57° lO'»?* Quand on possède un mode d'expérimentation suffisamment précis pour répondre des différences qui sépa^ rent deux théories, la méthode expérimentale peut décider celle qui est exacte. A ce point de vue, ce serait celle qui met la vibration hors du plan de Ponde et la fait normale au rayon qui serait la bonne. Il conviendrait assurément de voir jusqu'à quel point les principes de Fresnel repoussent Porthogonalité de ces deux directions. On ne saurait trop regretter que Tilluslre Cauchy, si compétent sur ces matières délicates, n^ait pas trouvé le moment de nous dire son dernier mot à cet égard, et de soumettre à une discussion critique les importants travaux de Mac-Cullagh et de Neumann.

Pour ceux qui voudraient savoir de combien l'angle compris entre la vibration et le rayon peut, chez le spath, s'éloigner de 90 degrés, nous dirons que cet angle ^, représenté dans les figures

2i4 et !ii5 par NuE, a pour cosinus le quotient — • En rempla-

çant Na et Ea par leurs valeurs, on obtient, quand l'axe est dans

chaDgerj

POLARISATION PAR RÉFLEXION CRISTALLINE. i yj

!« plan de la face,