DOUBLE RÉFRACTION CIRCULAIRE
ARTICLE P
DÉTERMINATION DES CONSTANTES DE LA DOUBLE RÉFRACTION CIRCULAIRE PAR LES PRISMES ET PAR LES ROTATIONS.
Comment on peut tirer d'un rectiligne, soit un système unique de circulaires égaux, soit une infinité de sysUraea d'eUiptiques yégtus ott inégaux, i«et;ingulaires, symétriques ou môme quelconques.— Équttiong de ces constituants. — Leur forme varie avec Tazimut de la vibration rectiligne. — Cas des elliptiques inégaux rectangulaires semblables. — Comment un retard empêche, s'il s'a£fUd*elltptiques, la recotittitntion 4q rectiligne et en change sautemeat r««imul s'il a'agii d« oirc«lairea% -^ CalcuAs de la déviation d'un triprisme et d'un biprisme circulaires. ~~ A égale longueur ces déviations sont égales. — Aspects multiples du paramètre i. — Faiblesse de la double réfraction circulaire du quartz. — Grandeur de la dispei^ion. — La rotation du plan de polarisation reconnaît trois causes. — On doit éliminer la rotatimi due à une altération dans la période et on y arrive en rendant cette altératioiicwnmnneanx deux circnUiireBi. -^ Rota* tion par inégalité de vitesses. — Substances dexWogyres et lévogyres. — Formule qui lie la rotation tabulaire a au paramètre $. — Loi de M. Biot et son interprétation. — Mesure rationnelle, de la réfringence, de la dispersion et de la double réfraction.
Parmi les nombreux moyens de produire la polarisation circulaire ou elliptique, îl eu est un dont nous avons jusqu'ici simplement signalé Fexistence. Il s'agit de la double réfraction circulaire qui^ par un dédoublement analogue à celui réalisé en double réfraction orâinaire, fournit d'im seul coup, au lieu de deux reetiligbes rectangulaireè^ deux circulaires inverses. Il nous faut actuellement établir les équivalences sur lesquelles repose ce curieux dédoublement, étudier à fond les appareils qu'on y emploie, les ap-
DOUBLE RÉFHACTIQN CIEGUL AIRE. 1 99
parences variées quVlle p^ul rcvéUr ^l mesurer enfin Ifs constantes numériques qui la caractérisent. Le ohapilie XVII est consacré à cette importante élude.
§ 458. — Décomposition d'un rectili^ne en deux isirculairee
inverses.
Soit une vibration recliligpe située, par exemple, dw^ Tazimut 4^ degrés^ décomposons*la en deux autres douées des mêmes nœuds, situées respectivement dans les plans ZOX, ZOY, et conséquemment égaies. Chacun de ces mouvements pourra èure jnemplapé dans son plan par deux autres qui diiïéreront de 7 e4 qui seront égaiu^ si le retard de
Tuu comme Favauce de Vautre valent % {S^)- ^'' ^^^'
juguant le rayon retardé d'uQ des plans avep 1^ rayoa avancé de Tautre, on obtiendra deux circulaires, à savoir, un dextrorswn avec la combinaison qui contient la vibration avancée du plan ZOX et un sinistrorsum avec Tautre système. Donc un reçtilignç çguiyaiU à deux circulaires é^aux, iV intensité moitié et de gy rations contraires.
§ 459. — D'an rectiligne en deux elliptiques inverses. ->
Elle esl
Au lieu de pailager par moitié rin^tervalle -7» prenons^ pour l'avance et ^ pour le retard*, alors les composants
des deux systèmes, tout en gardant Tanomalie -t cessent
d'offrir la condition d^égalité. Ils formeront donc deux elliptiques dont ils seront les composantes principales. Donc un rectiligne peut se décomposer en deux elliptiques
cgaux, dUntensité - et dp gyration contraire,
■Si l'intèrvaMe cessait d'èlre y?, et s'il étail partagé égal(jncnt, les r.ayons des deux spièoues serajeiil .seulement
aoo chapithb XVII.
^aux et rectangulaires et les deux elliptiques apparaîtraient
sous leur seconde forme simple ( § 356) . Si , cessant d'être 79
il ëtait partagé différemment dans les deux plans ZOX , ZOT, ou bien si on lui donnait une valeur différente dans chacun de ces plans, ou enfin si Tazimut du rayon primitif n'était plus 4S degrés, on obtiendrait une infinité d^autres couples d^ elliptiques également équivalents au rectiligue.
§ 460. — Calcul des eUiptiqaes d'un roGUligse. Traduisons ce qui précède par le calcul :
Rayon primitif X =: a cos air - = a cosS?
Ses deux composants. « = -r=.cosÇ, y:=-T=cos|. Le premier composant donne
ar»= -j- cos >^ cos ( Ç H- 4») ,
Xa= — sin + cos ( { •+■ 4^ j
Le dernier
/, =-r=cos4»cos (Ç-h+)>
r» =*-T= sin ^ cos ( Ç -h + ) •
Le système Xi /t donne l'elliptique dextrorsum, et le système Xi ji Telliptique sinistrorsum. L'intensité de chacun de ces elliptiques est
— (cos* ^ -+- siu* 4*) = —
La /îg". ai8 montre ces deux elliptiques dont les axes homologues sont rectangulaires. Les points correspondants que la particule éthérée occuperait sur chaque courbe, si elle était seule , sont placés comme py p'^ et symétriques par rapport à Tazimut de la vibration primitive.
DOUBLE RiFRAGTION CIRCULAIRE. SIOI
g 461. — Cas des circnlaires.
Si l'on pose ^ == 79 les équations deviennent celles des
deux circulaires d'un rectiligne. Parmi les diverses manières de les écrire nous signalons celle-ci :
Ces écjuations répondent au cas où Taûmuldu rectiligne transformé est -+• 45®. Quand ce plan coïncide avec le premier azimut ZOX, elles prennent la forme plus simple
aTi = - cos \ ï JT, = - CCS E
r,= -sinÇ I ^,= --smÇ
Justifions ces dernières équations des deux circulaires d'un rectiligne par la synthèse suivante qui forme un mnémonisme facile pour les retrouver.
Soit le rectiligne X = acos^-, en le dédoublant dans son plan sans changement de nœuds ^ il donne
.r , = - COS ç , x, = - cos \ ;
prenons dans le plan ZOY les deux vibrations égales et contraires
r» = - ces Ç J = - sin Ç , r , = sm I ,
^i>/i> donneront le dextrorsum et x,, fx le sinisirorsuni.
202 GUAPITAB XVII.
On peut évidemmcul chercher par la même syiilhèse les deux elliptiques d'un reclilîgue sîtué dans Tazimut zéro, on trquve
« ri a
j^,= -COS(Ç— 4») ] ^,=:^cos(Ç~4/) = -COS(Ç-4*+7r)
équations de deux elliptiques symétriques inverses {fig» 219) qui deviennent rectangulaires quand on prend d = a. Si Ton veut avoic un système d'elliptiques simplement
rectangulaires, on prendra ^ = - et Ton donnera aux
rayons situés dans le plan ZOY une amplitude d = ha distincte de celle des premiers rayons. Alors en j^osant
-:= I, cas auquel le rayon dcmiié devient
X = 2 ces Ç ,
on a les expressions très-simples
X, = cos \ \ X, = ces Ç
^, = X- sin Ç j J^i = — * sin \
§ 462. — Équation des elliptiques qu'on sait réaliser.
Les cas de dédoublement qui précèdent nous fournissent des elliptiques égaux. Eh bien, il ressort des travaux de MM. Airy et Jamin que dans les circonstances bien rares où Ton assiste à cette sorte de dédoublement, les elliptiques nés du rectiligne ne sont que semblables et rectangulaires, ainsi que le montre ki fi^, 220. Préparons-nous à Texposition de leurs beaux travaux, en donnant encore les formules qui résolvent ce cas.
La vibration donnée étant dans le plan ZOX, si le premier elliptique est
rrt X eus
DOUBLE nÉPRACnON GIHGULAIRB. 20'i
le deuxième aura ci'aboi*d pour deuxième vibration
r, =r — ^ COS ( s ) = ^ COS ( 5 •^" - ) •
Pour avoir une ellipse semblable à la première, il faut que sa première vibration soit
jc, ^ ^' cos Ç ,
de sorte que la vibration donnée aura été décomposée en deux autres dont les coefQcients sont i et /% ce qui lui assigne pour amplitude i -f- A-'. Voulons-nous lui donner l'ampliUide i et l'équation
X = cos s ,
alors ses conposaDies stroot
les deux vibrations égales et contraires introduites dans le plan ZOT seront
it les deux elliptiques
.C0sÇ,i ,,-=:__j.^cOSÇ I
5COs(ç^^)| r. = --p:ppeo.(ç^ï
convenons de les désigner par le nom à^ elliptiques réoiprofues,
^ 463. — Comment un retard «hange les points correspondants.
On saura que quaad, soit le système des circulaires, soit Tau quelconque des systèmes compris virtoellemeBt dans un rectiligne passent de Télat possiUe a Fétat de réalité, il y a toujours entre ces deux rayons et par le fait même des circonstauces qui produisent une telle transformation,introduction d'un retard. Alors les points corrcspou-
ao4 GUAPITAB XVII.
danls py ]jl [fig* 218, aip, 220) chaiigenl et cessent d'être symétriques par rapport à Fazimut primitif. Le retard atteint-il le sînistrorsum, par exemple, au point /9 correspondra un autre point plus ou moins reculé suivant le retard, tel que p" , On prévoit que quand il s'agira d'elliptiques, ce changement de correspondance rende impossible la reconstitution du rectiligne primitif, et qu avec les circulaires égaux elle n'ait plus lieu dans l'azimut primordial. Qu'il nous su£Bse de signaler ces conséquences remai*quables du retard, sur lesquelles on reviendra bientôt.
Ce qui vient d'être dit nous montre que la double réfraction circulaire peut se manifester diversement et produire, outre des déviations (§ 322), une rotation du plan de polarisation. Nous pouvons ajouter. qu'elle apparaîtra sous un troisième aspect en produisant dans les franges de Young ou dans les anneaux colorés des lames minces des phénomènes de transport. Nous allons l'éludier tour à tour à ces trois poinu de vue, en commençant par celui de la transformation d'un incident en deux rayons distincts, point de vue auquel d'ailleurs a déjà été consacré le § 322.
§ 464. — Calcul de la déviation dn triprisme (>%. 221).
Grâce à l'étude déjà faite, nous connaissons l'appareil, la marche qu'y suivent les rayons, et il ne nous reste qu'à trouver l'expression de la séparation angulaire des deux faisceaux. Soient v, n la vitesse et l'indice du rayon ordinaire, tels qu'ils s'obtiennent inaltérés à travers une lame de quartz parallèle à l'axe ^ on doit admettre, et les mesures ne démentent pas ce dire, que les deux circulaires se partagent également, l'un par excès, l'autre par défaut, la très-petite différence qui sépare soit leurs deux vitesses, soit leurs deux indices, et qu'ainsi on a pour le plus rapide
DOUBLE nfiFRAGnON GlliGULAlftfi. 2o5
el pour le plus lent
Cela posé, si nous raisonnons sur le rayon qui traverse le moins rapidement le prisme intermédiaire, rincidenco en a étant A, Tangle de réfraction A — y dépendra dr l'équation
sm(A— r) = -y 1\ ""^»
en b l'iacidcnce esi
( *) Soil en efletV la vitesse dans le vide, on a
n = -, n'=— 7 rr= " :»
et approximatÏTeinent (vu la petitesse de ^)
On a de même
de sorte que la partie aliqiioie J est bien la môme pour les vitesses et pour lesindices. Elle seraitencore la môme pour les longueurs d'onde. Ainsi soient,
Jila longueur d*onde tabulaire,/ = - celle du rayon ordinaire dans le quartz,
1^1 1" celles des deux circulaires , on a
on aurait de même
en d'autres termes on a indistinctement
2o6 CHAFiTaB \vn.
ei l'angle de réfraction A -h y -+- z sera donné par
sin (A •+■ / 4- 2) = j»in(A4-r).
En c enfin Tincidence est y -^ z et Tangle extérieur y -h z -ht sera donné par
sin (/-+•« -+-r)=«f 1 — -j sin(/ -h «),
et cet angle y -h z -|- e exprime la déviation subie par ce
circulaire.
Pour en calculer les diverses parties , nous remarquons que si dans la formule
sin A = /i sin B ,
B diiftre de A d'une très-petite quantité. =p: e, on peut échanger la relation rigoureuae
sin A = /i sin ( A qp t ]
contre la formule approximative
sînA =/t($in Ai^ncosA)
laquelle donne
8 = 31 — — '— tanc A.
Pour en tirer j^, il faut y faire
ou bien
ce qui donne
y = 5 tang A -~ d tang A.
DOUBLE RliFRAGTtM OmClILAIRE.
Pour PII tirer z, n vaut
ao7
et 1 on a
ce qui donne, puisqu'on CvSt dans le cas du signe. moins,
z r= ^tangA.
La troisième formule enfin porte sur deux angles trèspetits; si donc on y remplace les sinus par les angles, elle devient
Il en résulterait
mais il nous suffit d'en tirer l'expression de la déviation
/i ( j -h «) = 2i7(^langA.
On trouverait pour la déviation subie par l'autre circulaire
la même valeur. Comme elle se fait en sens contraire,
Tangle A séparateur des deux circulaires en est le double
et vaut
A ==4^^ tang A.
Vh biprisme de dimensions égales dévie autant. — Au lieu d'un triprisme, il est plus économique de ne faire qu*un bîprisïne {fig* 222) formé de deux quartz d'espèce contraire dont les faces externes soient perpendiculaires à Taxe cristallograpbique. En effet, à égales dimensions ce biprisme donnera par ses deux réfractions, grâce à l'obliquité plus grande de la surface de séparation des deux quartz, le même angle de duplication que le triprisme avec ses trois réfractions. Soient en effet L et H la longueur PQ et la hauteur PRdu triprisme, auquel cas l'angle  est donné
par
I L tangA = --.
Ici l'angle A', et par conséquent l'incidence en a , dépendra
>108 GHAPITRB XVII.
tikî
lang A' = - = 2 tang A.
La réfraction fournit en a l'équation
i-hsin A' = ^ sin (A' — z) ,
d'où
3 = d tang A' ;
on b on aura
2+rz=/i3 = A^ tang A' = a/î d tang A .
En doublant il vient, comme avec le triprisme,
A = 4/2^ tang A.
Dans le triprisme de Presuel A valait 76 degrés , ce qui assigne à Tangle Â' du bîprisme équivalent la valeur 82^54'. En prenant les valeurs de /i propres aux divers rayons (§ 144) et celles de S obtenues par une autre mé* tbode ( § 468) , on trouve les nombres du tableau suivant. Nous avons placé en regard les angles de duplication que donnerait un bi prisme de WoUaston d^un angle réfringent^ tel {2® 59' Si") que la double réfraction du rouge y fût la même que dans le biprisme circulaire. Le contraste des angles 2^59' et 83 degrés d'une part, et des angles corres-* pondants du tableau de Fautre, montre combien la double réfraction ordinaire surpasse la circulaire, et combien au contraire la dispersion circulaire surpasse l'autre. Nous y reviendrons, surtout sur le dernier contraste.
. * / » • cft Duplication du biprisme
Ra,e. A «4"^ tang 760. '^ de WoUaston
t>Oi)BLG RÉFRACTION GIRGULAIRB. VtOg
S 465. - Rotation dn plan de polarisation : i^ par
altération de T.
Nous connaissons trois manières de changer le plan de polarisation du rectiligne contenu dans l'ensemble de deux circulaires égaux et contraires. La première, dont nous ne savons pas régulariser Temploi, mais qui nous domine et nous impose certaines obligations, consisterait à altérer une fois pour toutes la durée d^une des révolutions de Tun de ces circulaires. Si Tabrévation représentée par un certain angle a porte sur le dextrorsum (fig. 2a3), la particule oscillante qui, partant de q^ y reviendrait, sous l'influence de chaque mouvement, après la durée T de la période, ne sera plus portée qu'en r par le sinistrorsum. La résultante des deux vitesses simultanées, tangentes au cercle commun décrit, Tune en q et l'autre en r, sera donc dirigée suivant la bissectrice de Tangle qOr] de sorte que la résultante rectiligne des deux circulaires se trouvera, à la suite d'une telle
perturbation, déplacée de Uangle -dans le sens dextrorsum.
On évitera ces rotations dont l'intervention désordonnée transformerait en un rayon naturel le rectiligne promis, si on a soin que les deux circulaires soient toujours extraits d'un même rayon primitif naturel ou polarisé.
§ 466. — 2o par inégalité de vitesse. — Plan de croisement.
Nous sommes maîtres des deux autres moyens de faire tourner le plan de polarisation, ils se ressemblent en ce que tous deux proviennent d'un retard introduit entre les deux circulaires; mais tandis que dans l'un ce retard est géomé-* trique et dû à une différence absolue de roule, dans Vautre il est physique et dû à une différence dans les vitesses avec lesquelles se meuvent les rayons, entre deux certains plans normaux à leur direction commune. Le premier met en jeu des différences absolues de route qui ne peuvent, du moins avec la lumière blanche , dépasser une limite très-petite , si bien qu'il n'est pas aisé de rendre constant le retard dans
