I. = ( V A^cos*! 4-fV A-sin
Frcsnet comptait les anomalies à partir de la phase Ç -|- 2ir -'-
En ks comptant à partir de Ç h- ait — - — ? oons y gagnerons,
c}ira(i lie» d^étrc \m quadrinôme, ^ ^frsino soit itn trinôme. O» a donc
r GOSftCOSécOStf SIBflCSiné'COS^COfip 1^
L— cosasin^siii<?cosp' — sinacosô sinrcos{p •+-/>' )J r — si»asin6coscsinp — cosasin^ sincsinp'"!' L — sinacos^sincsin (p H- p') J
Les seize termes issus du développement des deux carres donnent : i^ sept carrés réductibles à quatre indépendants des ano«nalics p, p';. 2° neuf doubles produits dont six se réduisent à trois par la formule
cos ( /99 db /z ) = cos /it cos ir ip sin /?t sin /i ;
^ des six restants quatre se réduisent ù dmix par la formule
cos 2m = cos* m — sin' m j
4^ en remplaçant dans les quatre doubles produits rcstMits ïe%
cosinus des anomalies A par f — 2sin'- A, on se trouve avoir
pour le terme constant huit termes, et comnve on vcii sans peine qu*its se réduisent au terme unique
eos*(a H- A -h c) = co8'7 (*)»
(* ) Rétablissons, dans les deux termes «fieetés de cos a-c et oos :ia.f ce» cosinus par cos'tf — sin* c, ces' a — sin^oc, nous aurons le décânôme symétrique suivant, dont les termes sont numérotés:
( I ) eoa* a cos* h cos* c
( 2 ) H- sin* a sin* h cos' e
( 3 ) -h cos' a sin' h sin* e
( 4 ) -+- sin' oc. cos' b sin' e
POLARISATION CHROMATIQUE DES CIRCUL. ET DBS BLLIPT. ioj
il en résultç l'expression simplifiée
I, = co»'7 -h sin 2a sin 2 À cos 2ù sin' - p
-+- cos 2a sin 2 6 sin 2 c sin' - p'
H- sin 2a cos' 6 sin 2 c sin» -- (p -h p') — sin 2 a sin* & sin 2 c sin» =-•
§ 526. — On retronTe les formnles dn rectiligne et dn
circulaire. — Discussion.
La formule précédente peut redonner celle d'une seule lame et cela de quatre manières. Il suffit, en effet, d*annuler tour à tour trois des quatre derniers termes. Ainsi sin2c = o, c'est-à-dire, c=iy — € = o=rgone laisse que les deux premiers termes
cos'7 + sin 2a sin 2 & sin' - p ,
et donne, ainsi qu'on s'en rend aisément compte, la teinte de la première lame. L'hypothèse précédente annihilait la deuxième lame, l'hypothèse sin 2 a = o va annihiler lu première : elle donne.
( 5 ) — a 8in a C08 a sin h cos b 00s' c
( 6 ) -H ft sin a cos k siù h cos b sin* c
(7 ) — a sin 6 cos b sin e cos c cos' a
(8) -I- Q sin ft cos ^ sin c cos c sin* «
( 9 ) — 3 sin a cos ae cos' b sin c cos c
(lo) -+• 2 sin K cos oc sin* & sin c cos c.
Or (i)(3)(7) donnent (R) cos* « cos* (& + c),
(•^)(4)(8) (S) sin*asin*(*-Hc),
(5) (6) (T) — sin a 00s a sin 3 6 cos 3 c,
(9) (10) (U) — sin ^ cos a sin 3 c cos a &,
(T) (U) (V) — asîaoc Gosasin (6h-c) cos(6 + tf),
(R) (S) (V) [cos a cos (&h-c1 — sin a sin (*H-c)l*
=: cos' (a -f- 5 -f-c). c. Q. r. ».
3o8 CHAPITRE MX.
en effet,
L = cos' 7 -H sin 2 ^ sin 2 c sin' - u\
c'est-à-dire le même résultat que si la deuxième lame était seule, sin b = Oy c'est-à-dire 6 = a donne
1, = cos' 7 -H sin 2 a sin a c sin' ^}
OU bien, la teinte d^une lame formée par l'ensemble des deux associées parallèlement. Enfin Thypothèse
6 = 6 — a = go, qui donne à la fois
sin 2 6 = o , cos 6 = o ,
constitue les deux lames à Tétat de duplication croisée et donne
I, = cos' 7 — sin 2 a sin 2 r sin'
la, formule générale devient celle d*un circulaire lancé à travers une seule lame, si Ton y pose
et, par suite,
ô = € — 45 > cos2Ô = sin26, sin 2 6 = — cos26.
C'est ce qu'établit le calcul suivant :
I, = cos'7 cos2Scosa (7 — €)
Je
»»(€ — 45) sin 2 (7 — e)sin' (45 -h^'\ - sin» ( 6— 45) sin 2(7 — €) sin* ^45 — ^'V
cos^
mais
cos' (m db 45) = - (i If: sin 2 m) ,
sin' (/»i±45) = -{irbsinam)
En faisant les substitutions autorisées par ces formules et réduisant.
POLARISATION CIIHOMATIQUË DES CIRCtL. ET DES ELLI1>T. 3o9
on trouve
Ie=r cos'7 co»2 6cos2(7 — €) H- -sin2 6sin2(7 — 6)
-f- - siD2 (7 — 6) sinp' = cos'7 00527-4- -sin2f sinp'
3;=- (i-Hsin2csînp');
le signe -h du second terme provient du changement de configuration. Ici, à cause de 0]>E, nous avons affaire à un sinistrorsum. Et, en effet, les équations primitives
x' =r cos45cosS,
y =. — sin45 cos ( S I
TT
fournies par les hypothèses a = 45, p = -> reviennent à ces autres
Si donc ovt réalise les conditions du ^ ttSS avec les micaà quart d*onde, ici il faut recourir aux parai lélipipèdes, ou bien tourner les micas de go degrés.
§ S37. >- Cas où le polarisatenr elliptique est un quart d'onde.
Les elliptiques s'obtiennent ordinairement, à Taide des quarts d^onde, orientés de manière à donner des composantes inégales» et apparaissent dès lors par leurs constituants principaux. Ce sera donc répondre aux conditions expérimentales usuelles que de tirer encore des formules générales ce cas intéressant. Il suffit pour
cela d'y poser p = ±-« La réduction du terme constant, tel que
le fait l'introduction de c.so' m place de sin^^? réclame seule
3 1 0 CUAPITHE 3UX.
I -4- COS 2 *y quelques jalons; elle s'opère en remplaçant co5'7 par -j
puis COS 9 7 par cos2 (a -h ^ + «) ettléveloppant. Les cinq termes qui le constituaient d'abord se réduisent ainsi à deux, et Ton a
I, = - (1+ cosaa COS26 cosac)
cos2a sin2 6 sin2<?cosp'dl-sin2asin2csinp'.
On p4sse au cas à/^k de^trprsum ?n preoaa^ te signe nioips de p = • Le signe du terme en sinp' en est senl changé.
§ 528i — La teinte d'un elliptique ne passe pas par le blanc.
L'expression élémentaire de la teinte d*un elliptique, qu'on la prenne § ïï^hj § 5!ltt, ou bien § 597, comprend plusieurs termes (trois dans le premier cas, quatre dans le second et deux dans le dernier) qui dépendent des anomalies f , p ou p, p' variables avec la nature du rayon. On passe au cas du rayon blanc en sommant chacun des termes de l'expression élémentaire. Si les termes constants donnent ainsi du blanc, les autres donnent une certaine teinte résultante ; et comme il n*y a pas de facteur qui leur soit commun, et en permette l'annulation simultanée, on peut dire qu'en général chaque image est colorée et ne présente pas ces passages par le blanc obtenus avec une seule lame. Mais la teinte du circulaire représentée par deux seuls termes continue de les offHr.
§ 529. Variations dé la teinte issne d'un elliptique.
Quand on n'a qu'un terme variable avec la couleur et qu'il ne contient qu'un facteur affecté des anonuilies. Les changements introduits dans les autres facteurs, fonctions de a, 6, 7 seuls, n'altèrent pas le rapport des rayons diversicolores générateurs de la teinte. La teinte est donc inyariable et prend seulement , suivant l'état de ces derniers facteurs, des intensités plus ou moins grandes. C'est le cas d'un rectiligne et d'un circulaire. Mais dès qu'il y a plus d'un terme affeclèides anomalies, deux par exemple
//f sinV -h /Jsin'—^
POLARISATION CHROMATIQUE DBS CIRCUL. RT DES KLLIPT. 3 1 I
le rapport des intensités propres à deux couleurs sera
et changera visiblemeot quand oi et n prendront deux nouvelles valeurs /u'i n\ Ge» considérations générales pernoettent de vider sans peine, ainsi qu'on va le voir, toute question de ce genre,
M. Biot pensait qu^en prenant deux lames de noèoie nature et de même épaisseur, si Ton assemblait leurs axes sous Tangle de 45 degrés» et si de plus on rendait la section principale du polariscope parallèle ou .perpendiculaire à la vibration primitive, on devait obtenir l'invariabilité des teintes. Or, en intrciduisant les conditions
p' = p\ 3 = 45, 7=?|lj'
et partant C3=ip:45 — «> on trouve pour l'expression de la teinte I« Tune des quatre expressions
cos* ^ ip j «in 4a *in' p»
su»* C -T- «•
ip ^ sin 4 a sin' p.
qui contiennent chacune deux termes variables avec \, La teinte doit donc changer quand, tournant Tensemble deS deux lames, on fait varier le paramètre commun a seul conservé. Maïs, ainsi que l*a fietil remarquer Fresnel, cette condition expérimentale ne donne que de faibles changements de teinte. En elfet, si nous prenons
pour point de départ la teinte 2!*^®* ^"^ répond aux valeurs
de a tirées de ùm^A^n (elle est la même que pour une seule des deux lames), les variations de cette teinte découleront des
variations de jS\x\^ol sin'p et atteindront leur maximum quand
on aura sin 4» = 1 *, Or, d*une part, ce maximum ne dépasse
pas 7; et, de Tautre, les rayons qui, satisfaisant «h r> = /? - . domi^
3 1 2 CHAPITAE XIX.
Dent ou manquent ds^ns le premier terme 1 cos'- ou sin' ~ ]) et
par conséquent déterminent plus particulièrement la nature de la teinte, se trouvent rendre nyl sin p, sont dès lors absents de la teinte additionnelle et n'éprouvent ainsi aucun changement d*intensité lors des variations de a. Les variations de teinte sont donc dues exclusivement aux autres rayons. Il importe de remarquer que, suivant la configuration , le deuxième terme agira vis-à-vis du premier additivement ou soustractivement. Le premier cas donne manifestement plus de blanc, une image plus éclairée et une couleur moins pure; la Soustraction, au contraire, amoindrit les sept valeurs du binôme propres aux sept couleurs et partant leur partie commune, ce qui donne une teinte plus pure. L'expérience vérifie tous ces détails. Dans les formules du § tfStf les quantités p, p' sont analogues entre elles. Dans celles du § 524, tf peut provenir d'une quelconque des actions elliptisantes connues, et peut être une fonction de X bien différente de p. Ainsi, tandis que p est sensiblement inverse de X ; f , s'il provient d'un'parallélipipède, est presque constant pour les diverses couleurs. On conçoit donc un idéal oà f serait rigoureusement constant, chaque rayon subissant un retard marqué par une même partie aliquote de son ondulation, et il n'est pas sans intérêt de voir ce que deviennent les formules dans ce cas relativement simple. Bornons-nous à remarquer que l'expression élémentaire I. du § 584 garde deux termes fonctions de la variable pi et que même, dans ces conditions, la teinte fournie par un elliptique contigue d'être multiple.
§ 530. — Nature de la teinte. — Cas du circulaire. — Diflérences avec le cas du rectiligne.
La teinte d'un rectiligne est
I, = cos' 6 + sin a a sin 2 6 sin' -*
Puisqu'elle ne change pas, prenons-la dans les conditions
qui donnent
I — cos p
i'I lui assignant pour carartrristiqiu; ^ cos (*>
POLARISATION CHROMATIQUE DES GIRGUL. ET DES BLLIPT. 3l3
Celle d'un circulaire est
1 H- sin 2csin p',
ou bien
I + sin 2 6 sin p ,
et devient dans les conditions précédentes, à savoir c ^= 4^,
