I -f- sin p = I — cos ( p
Sa caractéristique ^l ^^^ ( P "*" 9^ ) ^*' ^^^^ ^^^^ ^*'^ **" rectili-
gne pour une lame plus épaisse d*un quart d'onde, ainsi que cela ressort des considérations synthétiques du § 5!ll. Disposons sur le support de l'appareil d'Amici : i^dans l'azimut — 4^ "'^ ™^^^ quart d'onde ; 2*^ dans le même azimut — ^5 la lame sensible de quartz. Si le polariscope est à l'extinction, on a du bleu verdâtre, c'est-à-dire [voirie tableau du § fiéfi] la teinte extraordinaire de
l'épaisseur i258 =: p H — «Si l'on fait tourner le mica de 90 de-
grés, de manière à mettre sa section principale dans l'azimut + 4^9 et à se donner un dextrorsum , la teinte est rouge-orangé, et ré-
pond à l'épaisseur i258 •En tournant maintenant de 90 te
quartz sensible , on retombe sur l'épaisseur p H — 9 et Ton réob-
tient le bleu verdâtre.
Avec un circulaire, la teinte s'échange contre sa complémentaire quand , par la variation de 6 ou de a, la différence 6 — a prend les valeurs 90, 180... Comme le terme constant vaut i et ne peut devenir nul , c'est par le blanc qu'a lieu le passage d'une couleur à l'autre. Nous savons déjà qu'avec unrectiligne l'aspect des phénomènes peut être bien différent. Ainsi, comme il y a deux facteurs dans le terme fonction de l'anomalie, les changements de teinte ne sont plus limités à quatre, et chaque teinte dès lors peut durer moins d'un quadrant. En effet, si la variation de b n'en donne que 4> distants de 90® comme avec un circulaire, celle de a en donne en général 8, à savoir les 4 pivrôdenls et 4 nouveaux qui ont lieu pour les valeurs
X = O = 90 = 180 :=r a-jo =r ^ = 6 -f- 90 ~ Ç -f- 180 = ^ + 270;
de sorte que si ^ diffère de 45*^ les 4 secteurs d\iiie de$ deux couleurs surpasseront ceux de sa complémentaire. Ainsi encore, la lumière qui ménage les changements de teinte, lumière représentée |Yar cos'6 , n'est plus invariable et peut revêtir des intensités trèsdiverses et diminuer tellement, que le passage des teintes se ferait par le noir ahaolu» ai nous n^avîons pas ru, $ t74, que Thypothèse cos 6 = o ne laisse plus qu'une teinte par suite de l'annulation des quatre secteurs dévelus à l'autre.
§ 631. — Cas de l'elliptlqae. -> Une seule manière d'aToir
la teinte cosiplémentaire.
Avec nn elliptique , dans lé cas général de ^ variable (§ tft4) , le seul moyen d'échanger I« contre !« consiste J^ faire
A' =: go -t- ^.
Si donc on déplace le polariscope de go°, on développera, en le tournant à partir de ce nouvel azimut, les teintes complémentaires de toutes celles qui avaient apparu dans le précédent quadrant.
Mais quand f est constant et vaut -« auquel cas c'eat la formule
finale du ^ 597 qui prévaut , on peut amener le changement de signe simultané des deux termes actifs en posant soit
«' = go -+ a , soit c' = c -h go®.
La dernière supposition répond, comme dans le cas général, à la rotation du polariscope. Mais la première répond à celle du polarisateur. Et comme varier a de go° change sur la même ellipse la gy ration du rayon elliptique , il en résulte que les elliptiques inverses, engagés tour à tour dans une même expérieiKc, donnent des teintes complémentaires. La bilame de M. Bravais donnera du même coup ces teintes, et il ne serait pas difQcile de les amener en superposition, de manière à voir jusqu'à quel point elles donnent du blanc.
S 532. — Anneaux des lames biréfringentes perpendiculaires à l'axe obtenus avec la lumière polarisée circulairement.
Partons de rexprrssic»n finale du § 827 appropriôo an cas d'un
POLARISATIOH CHROMATIQUE DKft GIRGUL ET DES ELUPT. 3l3
circulaire par l'hypothèse a == 4^ ^^* devenue ainsi
1,= -[i •+• 8ina(7 — 6) sinp'].
Pour l'appliquer au phénomène qui nous occupe, il faut : 1® que l'azimut 6 de la section principale du cristal au lieu d'être le même pour tous les points de la lanie varie tout autour de la normale et varie comme le plan d'incidence avec lequel elle se confond ^ 2® que le retard p' naguère coDstapt devienne une seconde variable dont les variations s'exercent en s'éloignant angulairement de la normale, c'est-à-dire dans ua sens perpendiculaire à celui de 6. Or de ce que 6 entre dans le coefficient du terme générateur de la teinte, on aura, au lieu d'une teinte plate, des dégradations d'intensité autour du point central. De ce que sinp', caractéristique dç la teinte, change avec l'incidence, celle-ci changera en passant d'un des cônes concentriques à un autre. Qn voit donc qu'on aura des courbes isochromatiques à intensité variable. Pour les trouver dans le cas d'une lumière simple, ou pourrait, comme au § 878, partir des conditions qui déterminent la meilleure interférence, soit soustractive , soit additive; elles seraient
p H — = TT = 27r == o *r ....
Mais comme ces courbes sont visiblement les lieux géométriques des maxima et des minima de la lumière constitutive d'une même image, on les obtient encore en égalant à zéro la différentielle de I« par rapport à p', ce qui donne
sin 2 {7 — 6) cosp' = o,
ou bien, comme on devait s'y attendre, des cônes circulaires droits caractérisés par
, TT 3ir
Un rectiligne donnerait
sin 26 sin 2 (7 — 6) sinp' = o.
Les anneaux des circulaires présentent avec ceux des recliligues plus d'une différence. Ainsi l'intensiré no s'y dégrade que par les
3l6 CHAPITRE \IX.
variations de 7 — 6 et nullement par celles de 6. Ainsi Thypothèsc 7 =r go® qui, pour le rectiligne, rend carré parfait le coefficient de cos p', et partant empêche soit Pavénement de la teinte complémentaire , soit, si la lumière est simple, rechange sur une même courbe d'un maximum contre un minimum , ne soustrait pas ici sin 2 (7 — 6) aux variations de signe : d'où il résulte que, même pour cette configuration, les cercles se divisent en quadrants alternativement vifs et obscurs ; et comme l'œil rassemble plutôt les quarts de cercle de même intensité, Tapparence circulaire est perdue et remplacée par les courbes des fi^- 168, 169. Eufin, dans cette configuration, au lieu de la croix noire on a dans les azimuts
6 = 7 = 74- goy la lumière blanche -> intermédiaire par Tintensité
entre les maxima et les minima, et dès lors trop peu contrastante pour que la croix grise qu'elle forme théoriquement saute aux yeux. Quant à la grandeur des cercles , elle dépend des paramètres a^h et de l'épaisseur e du corps biréfringent , et s'obtiendrait comme au § !I78, en remplaçant dans les équations
p = - = 3 - • • • |i par sa valeur 7 — s sin' 1 prise en fonc-
r tion de i , et mettant à la place de f lui- même le quotient - du rayon
ilu cercle par la distance du tableau sur lequel s'opèrent les projections.
§ 638. — Cas de la Inmière elliptique.
Ici encore on aura les maxima et les minima éclielonnés dans un même azimut, en différentiant par rapport à p' l'expression finale I« du § 5127. Ce qui donne l'équation
tang
,^,^ um|^
sin
Les courbes ne sont plus des cercles, parce qu'au lieu d*être constant, p' varie d'azimut à azimut, à cause de ^.Quelles qu'elles soient, on peut les construire par points en cherchant pour divers azimuts 6, suffisamment rapprochés, les solutions de l'équation précédente, passant ensuite des valeurs de p' à celles des incidences i
POLARISATION CHROMATIQUE DE» CIRCUL. ET DBS ELLIPT. iij
correspondantes, et enfin de ces dernières aux longueurs des rayons vecteurs r. Ainsi pose- 1- on
auquel cas Téq nation (bornons-nous au signe supérieur) devient
tangp'= r-j-2 TF-.y
on voit que les valeurs
donnent pour tang p' les valeurs
-hi, -f-V^, 00, — V^2, —I,
et assignent dès lors à p', et par suite à 1 , des valeurs croissantes. D'ailleurs en posant
ce qui remplace les azimuts variables 6 par d'autres comptés avec OX', réqaation de condition devient
tang 0= : ;— ST r = — »
^' sm (26' — 90) cos2^'
et fournit des valeurs égales dans des azimuts équîdistants de OX^ la courbe n'est donc plus circulaire. Elle a, quand son ordre n*est pas élevé, la forme décrite /ig. 258. Airy, qui s'en est occupé, a de plus trouvé que son intensité variait beaucoup des maxiraa b^ b' aux minima a, a\ Bornons- nous sur ce dernier point aux réflexions qui suivent.
La lumière totale, dans une direction quelconque, com> prend du blanc représenté par deux termes dont Tun varie avec 6 et une teinte résultante représentée ))ar deux autres termes variables tous deux avec €. L'intensité dépend de la quantité de blanc et aussi du signe de la somme analytique des deux derniers termes, puisque la partie colorée est, suivant son signe, tantôt additive et tantôt soustractive. A cause du facteur commun sin 2 c, cette partie disparaît là où la condition sin 2c = o est satisfaite, c'est-à-dire dans les azimuts €==7=:7-+-go;et comme elle disparait quel que soit p', les courbes sont coupées par une croix
3l8 CHAPITRE XIX.
qui a pour intensité la valeur prise par les deux premiers termes pour 6 = 7, et se trouve plutôt grise que blanche. De part et d'autre des branches de cette croix le signe du binSme colorigêne change, mais comme 6 et p' changent de valeur, il lîe s'ensuit pas que les teintes passent à Tétat complémentaire. Avec une lumière simple les quatre termes concourent de la même manière pour former Tintensité. Introduisez-y les hypothèses
« = 2.0,5. v = 90 et ung,' = -j-^-i^^,
cette dernière indiquant qu'il' s*agit d^une ligne isochromatique, vous obtiendrez l'expression
p cos 2 6 cos (26 — 45 )
-p sin 26 ^sin' (26 — 4^ ) -+
va
le signe -h du radical étant assigné aux courbes des minima par la considération de la dérivée seconde* Eh bien , si prenant le signe — on cherche les deux valeurs de I« correspondantes aux azimuts
on trouve
'♦=^(^-*" 4=) = °'707> I*=H I — -7rj=o,i46,
et Ton justifie le précédent dire d'Airy qui s'applique en efîet à ces courbes; mais pour celles des minima, c'est en b^ 6' qu'a lieu le minimum.
Les expériences qui nous occupent ont été déjà signalées au § 548w Instruits, par le calcul, de leurs pailieularités, il s'agit d'y revenir et de constater leur concordance avec la théorie. Pour nous placer dans les conditions de la configuration type^ rendons horizontal l'axe de la première tourmaline de la pince, et mettons l'autre à l'extinction, puis insérons entre elles : i*^ un mica quart d'onde dont la section principale soit dirigée dans l'azimut ^ 67 , 5 et qui fournisse ainsi un elii|)tique sinistrorsum ; 2** un spath d'Islande perpendiculaire à Taxe. Nous aurons bien la courbe en
POLAHISATION CHROMATIQUE IM» GIRCUL. KT DES ËLLIPT. itg
forme de semelle de la fig, 258, et son grand axe aura rorientation que nous lui an>ns donnée. En recourant à Talcool salé, on aperçoit des courbes înnombrablet dont la première seule a la forme décrite. En b^b' il y a bien les mÎAima ' d'intensité signalés par
Airy.
§ 534. — Calcul des trois lames siivoessiTes.
Nous avons vu (§ 546) que cette dislocation des anneaux issus des circulaires pouvait, ainsi que les croix plus ou moins grises^ disparaître quand on inter|>osait convenablement un nouveau quart d*onde entre le cristal et le f3olariscope. Il s*agit de revenir ici par le calcul sur ce curieux phénomène et sur ceux analogues, mais plus compliqués, que présentent en pareil cas les elliptiques.
La marche à suivre est bien simple Adopte- 1- on la méthode du § 5S2(, il suffit d'étendre à une lame de plus le travail des décompositions successives. S'effraie- t-on de la complication des po^ Ijnômes qu'il faut élever au carré, au lieu d'accumuler pour la fin tous les calculs, on pourra les eîTectuer de proche en proche comme au § 584, et alors il faudra remanier une fois de plus IVlliptique. Chaque méthode a ses avantages ; la première a une al lure analytique pins nette, mais l'autre arrive quelquefois bien plus vite au but,
Beportons-nous au ^ iS9tf et à layS^. sS^. S'il y a une lame de plus en jeu, les composantes qu'elle fournira ne seront antres que celles attribuées alors au polarîscOpe Comme nous n'avons écrit que les extraordinaires, et qu'ici on n'a pas moins besoin des ordinaires, nous allons en donner le tableau complet avec l'indication de leurs retards respectifs.
Coeflicient k.
Chemin décritr
Anomalie^.
COS a cos b cos c
— sin a sin ^ cos r
— sinacosAsin c
— cos a sin b sin c
+ sin a sin b sin r
— cosacos&sinr -* sinacos^cosr
— cos ûé sin 6 cos c
zéro
Pour avoir les huit composantes de T image extraordinaire du polariscope actuel, il suffit de multiplier par cos d les quatre premières composantes du tableau, et par sin d les quatre dernières. Soient k^ ces nouveaux coefficients ; l'intensité I« vaudra
( 2 ^, cos^V-t- (2^. sin*y,
chacun de ces carrés ayant huit termes, qui se réduiront à sept dans le dernier, si Ton rapporte les anomalies à la phase
2îr /
de l'une des composantes. Comme les réductions n^ont lieu que de polynôme à polynôme, il faut en effectuer les développements, ce qui donne trente -six termes pour le premier, et vingt- huit pour l'autre. Quoiqu'on arrive sans peine à réduire singulièrement ces soixante-quatre termes , nous ne poursuivrons pas ici l'étude du cas général, et nous nous rabattrons de suite sur le cas où les deux lames extrêmes étant des quarts d'onde , on a
T.'K (o — e) If « w
§ 585. — Cas où les lames extrêmes sont des quarts d'onde.
Ces hypothèses réduisent à six les termes de chacun de nos polynômes, à savoir deux termes constants, deux en sin p' et deux en cos p'. De sorte qu'en représentant chacun de ces six binômes par une seule lettre on a
I^= (M -h N sin p' -H P cos p')' 4- (R -f- S sin p' -f- T cos p' f = M»-|-R'-h(N»-|-S') sin'p'-i-{P'-+-P)cos'p'-i-2 (MNh-RS) sin p' -H 2 (MP H- RT) cos p'H- 2 (NP -f- ST) sin p' cos p';
or on trouve
NP-hST = o, N' 4- S' == P» H- T%
et le terme constant se trouve être
il s'agit de le réduire. Comme quatre de ses douze termes sont deux à deux égaux et de signes contraires, nous n'avons affaire
POLARISATION CHROMATIQUE DBS GIRGUL. BT DES ELLIPT. 321
qu'à un octonôme dont les termes sont tous un produit de quatre facteurs qui sont les carrés des cosinus et des sinus des divers angles qui entrent dans la question. Si en leur place on introduit les cosinus des angles doubles, d'énormes réductions conduisent à
-(l+ COS2aCOS 26COS 2C C0S2l/).
Restent les deux termes en sin p' et cos p' que des réductions plus spontanées ramènent chacun à un binôme. Bref on aura -
cos 2aCOS2^00S2CCOS2</
•(sin 2 a sin 2 c cos 2 1/ H-cos 2 a sin 26 sin 2</)sinp' (sin 2 osin 2^— cos 2a sin 2^ sin 2c cos 2</}cosp'.
Si Ton remplaçait les parallélipipèdes par des micas sans en chan> ger Porientationy ou, ce qui revient au même, si, ayant accommodé les uns ou les autres à la configuration type, on les tournait de 90 degrés, il faudrait poser dans les expressions générales
ou bien dans la formule particulière (A)
De quelque manière qu'on s'y prenne, on trouvera que le signe du coefficient de sin p' en est seul changé. Veut-on atteindre le cas de
