THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR ^ÉLASTICITÉ DE CERTAINS MILIEUX

Épisode de physique moléealaire. — Axes d'élasticité. >- Les milieux cristallisés en ont trois. — Surfaces d'élasticité. — Surface des yitesses. — Ellipsoïde inverse des vitesses. — Nécessité de considérer les ondes. — Décomposition d'une onde en deux ondes parallèles; — \^ quand elle coïncide avec un des trois plans principaux; — q^ quand elle est quelconque intérieure. — €e sont les axes de la courbe d'intersection donnée par le plan de Tonde dans l'ellipsoïde inverse. — Comment ces axes mesurent la vitesse de propagation des ondes. — Calcul de leur longueur. — Surface d'élasticité à deux nappes. — Sa génération par l'ellipsoïde inverse. — Comment son équation n'est autre que celle qui donne les deux axes.

§ 625. — Calcnl de la réaction développée dans un milien élastiqne snr une particnle qni abandonne sa position d'équilibre.

L'action d'un point B sur un point A vaut/ (p)', p étant la distance qui les sépare (fig* 3o5). Comme elle est manifestement dirigée suivant la ligne AB , si l'on appelle Ç, >? , ^, x,y, z leurs coordonnées par rapport à trois axes rectangulairesy quelconques d'ailleurs, elle aura pour composantes, suivant ces axes ,

L'action de tous les points B, B'. . ., qui sont dans la sphère d'activité de A, donne une force totale. qui a pourcomposantes

5o2 CHAPITRE \\V.

La sommation porte sur les variables

et sur la variable subordonnée |g, et est dépositaire de la constitution plus ou moins hétérogène du milieu autour du point A. On a d^ailleurs évidemment

Que A soit déplacé, ses coordonnées deviennent jr ■+- ùx^ y+^y^ z-hAzy et sa distance au point B, p-h^p* L'action actuelle de B sur A, déduite par la formule de Taylor de son action primordiale, aura pour composantes

et l'ensemble des points agissant sur A donnera, en omettant les premières sommes qui sont nulles,

et cette manière d'user de la formule de Taylor implique que les variations Ax, Aj, Az, Ap sont petites, ou, en d'autres termes, que le déplacement est très-peu de chose vis-à-vis les distances mutuelles des particules.

Pour lire dans ces expressions, il faut y introduire la liaison qui existe entre les variables p, x, j, z. On a

p Ap r^ (Ç -. j:) A jT - (>, - ^) A j^— (Ç ~z)Az.

THÉORIE OB LA DOOBLB RÉFRACTIOll. 5o3

Usons de cette relation pour éliminer ^p et nous aurons

'^■Œ r Ax+ (5-*)' ^ '+ (g -') (i -J-) ft.r -^ (t-^) (S-')A»1 Y ^ y '^/Wr-(''-.y)(g— ^)'^*'-('>-.rr^r - {r>-x\<i-*)^'}

^=2-rfrL ? J

s 626.— Déplacements sniveat les axes.— Premier théorème.

Quand le déplacement vaat Axetqti'il a lieu suivant l'axe des x, la force totale développée a pour composantes, suivant les trois axes,

Y,=y- '^yipn'>-r)(l-')^^ , y/(p) (.. -r) (g-x) ^ ^

et ron reconnaii que la force totale ^X' -+-TJ H-ZJest, proportionnelle au déplacement actuel Ajr. Comme la direction de Taxe des x est quelconque, on peut dire qu'en

général la force totale ^X*-f- Y"H-Z* est proportionnelle

au déplacement général ^ûx*-*- A/^-^ A-»*. Continuons Vexamen des cas particuliers.

Quand le déplacement vaut A^ et qu'il a lieu suivant

5o4 CHAPIT&B \\\.

les ^, la force lotale a pour coinposaDles

x.= y - '^ (5-^)(''-j^) Ay -4- yûû (^-^) (" -y) ^

Qu'il ait lieu enfin suivant Taxe des Z et qu'il vaille A^, on aura

Un premier théorème qui ressemble à d'autres théorèmes connus et qui est du ici à ce que les valeurs générales de X, Y, Z, sont linéaires, consiste en ce qu'on a

c'est-à-dire que la composante, suivant un axe, produite

par un déplacement quelconque ^Ax*-f- Aj'^H- A2", est la somme des trois composantes que donnent suivant cet axe trois déplacements successifs dirigés suivant les trois axes et ayant pour ^valeurs respectives les trois projections ^x, ù^y Az du premier déplacement sur les trois axes.

§ 627. — Les neuf coef&ciente réductibles à nz. — Deuxième

théorème.

Les neuf polynômes qui , dans Xi Yi Zi , X9 Y» Z| * X3 Y» Zs ) multiplient Ax, Ar, Az, une fois les sommations effectuées, ne contiendraient plus de variables^ ils consti-

TUÉORIB DK LA DOUBLB RËFRACTIOII. 5o5

lueol donc de véritables paramètres caractéristiques de la constitution générale du milieu : générale tant que, comme cela arrive dans les cristaux, elle est la même autour de chacun de ses points. Représentons -les par des lettres et no nous préoccupons pas pour le moment des moyens indirects par lesquels (à défaut d'une réalisation directe que rignorance où nous sommes sur p cif(p) rend impossible ), on parviendra peut-être à les obtenir.

Six de CCS coefficients étant visiblement égaux deux à deux, nous n^aurons que les six coefficients

F V r ^fie) ("-jrjq-x) fie) in-x)[i-x)-]

^'-Zl--iif y^ +^ i^ — J'

F- V r ''•^^P) (;-»•) (g-x) /(p) {K-z) ii-a:)-]

Nous avons désigné par A^ B, C les trois essentiels qu'on retrouve toujours, quels que soient les axes choisis. D, E, F disparaîtront avec un certain choix d'axes coordonnés, et ils sont loin d^avoir la même importance, puisque c^est moins le milieu, que sa position par rapport aux trois axes, qu'ils caractérisent.

Les composantes générales de la force totale peuvent donc

s'écrire

(i) X= AAx^-EA/-h F Aï,

(2) Y—- EAa:4-BAr-f-DA2,

(3) X~FAa:-l DAr +-C As;

5o6 CHAPITRE \XV.

or, celle réduciion de neuf coeiBcienls à six, ou, en d'autres termes, cette égalité entre certains coefficients, constitue un deuxième théorème qui peut s'énoncer ainsi :

La composante suivant un axe, ctlui des X par exemple^ des forces mises enjeu par un déplacement suivant un autre £txe, celui des Y par exemple , est égaie à la corn-posante engendrée suivant ce deuxième axe y par un dépla^ cernent égal opéré suiuant le premier,

§ 628. — Axes d'élasticité. — Équations dont ils dépendent.

Le but principal vers lequel nous tendons, est d'établir Texistence de trois droites rectangulaires telles, que les déplacements opérés suivant elles engendrent exceptionnellement des forces dont la résultante totale soit dirigée dans le sens même du déplacement. Elcrivons donc les cosinus qui fixent et la direction de la résultante el celle du déplacement.

Les premiers sont

COS> = ^ COSp =r

ces V = , y

ou encore

cos>== — ^ ■* cosp = — . ■■ ■ ■- >

K VAx' 4- Aj» -h A«» K \/Ax>4- Ar*-I-A2'

ces V =

Kv/A.r»-4- A/» -h Aï»

si Ton se rappelle {§ 626) la proportionnalité de la force

totale au déplacement v^Ax* -h Aj^ -h Az*, el si l'on représente par K la valeur que prend la force engendrée pour un déplacement égal à Tunité, R étant d'ailleurs variable avec la direction du déplacement.

Les derniers sont

A-r ^ Ar

co8a=:- cosÇ =

VA j,'' + Aj» -t- Az» y/Air* -+- A^' 4- A»'

THÉORIE DB LA DOUBLB RÉFRACTION 5oy

COS7 =r

Pour trouver la relation des X, /ix, v et des a, S, 7, et voir si cette relation peut, dans certains cas, devenir celle de Fë^alité, on sait qu'il faut reporter dans les équations générales (i), (2), (3) du problème, les valeurs de X, Y, Z, Aor, Ay^ ùz tirées des valeurs des cosinus; nous aurons,

en omettant le facteur commun sJAx^ -+- Ay* -h Âz^y

Kcos> = A cosa -4- Ecos6 H- Fco§7, KcciSfA=Ecosa +Bcos6 +DCOS7, K cos V = F cosa -H Dcos6 H- C CO87.

Pour voir si les deux directions a, 6, y, X, fx, v peuvent coïncider, posons

et cherchons si les trois équations

(4) (A — K)cos« -f- Ecos6 -f- FCOS7 cr o,

(5) Ecosa+ (B — K)co»6-HDco»7 = o,

(6) FcosaH- Dcos6 4- (C — K)cos7 = 0,

admettront pour a, 6, y un ou plusieurs systèmes de valeurs acceptables. Elles contiennent, outre ce, 6, y, l'inconnue variable K. Mais on a la quatrième équation

cos' a •+■ cos' 6 4- co»*7 = 1 .

§ 629. — Il en existe toiqouni trol». — Troisième et quatrième

tliéorème.

Or ces quatre équations ne diffèrent pas de celles qu^on obtient, soit quand on recherche les trois axes principaux en mécanique, soit quand on veut trouver les axes d'une surface du deuxième degré. Et, en se bornant k cette der-* nière ressemblance, on voit que la force K joue spontané ment le rôle de l'inconnue auxiliaire introduite alors.

On aurait donc, en cherchant d'abord Téqualion en K, une équation du troisième degré, qui aurait ici, comme

5o8 CHAPITRE X\V.

dans la question géométrique analogue, ses trois valeurs réelles et de plus positives. Chacune de ces valeurs, reportée dans les équations (4)9 (5), (6), amènera pour les cosinus, des valeurs comprises entre -h i et — 1 , el, par conséquent, une direction a, 6, y, c'est-à-dire en tout trois directions. D'où nous concluons deux derniers théorèmes.

.En général^ la force totale dés^eloppée sur une par/ icule quia été déplacée, nest pas dirigée dans le sens du déplacement. C'est ce que nous avions déjà vu (§ 626) pour les doplacoments opérés suivant les X, les Y ouïes Z, puisque chaque force avait donné trois composantes, et c'est ce qui pouvait dès lors paraître établi pour d'autres directions, puisque les axes étaient quelconques.

Cependant^ il y a toujours trois directions et rien que frois^ telles que la résultante des forces déplacées coïncide aK*ec la direction du déplacement. Ces trois directions sont rectangulaires comme dans la question analogue de géométrie et s* appellent axes d'élasticité.

Le troisième théorème appelle une expression, à savoir celle do r angle compris entre le déplacement et la résultante, cet angle U est défini par

XAx-f- YAr-4-ZAz cosU =

\/X' 4- Y» 4- V V^A.r' H- \y^ -+- Az'

XAjr-hYA/-hZAg "~ K(Aj:'-+-A7'-+-A«') '

(>t , si le déplacement est égal à Funité, on a

KcosU = XAj:-h YAj-hZAz.

§ 630. — Des snr&ices d'élasticité. — Rôle de la transversalité-

Soient, autourd'un point du milieu, toutes les droites imaginables, on peut convenir de prendre sur ces droites des quanti tés, soit proportionnelles, soi tinversement proportion* nelles avec la force élastique totale mise en jeu par un déplacement constant (égal à l'unité par exemple) opéré dans cette dii*ection. Les extrémités de ces rayons vecteurs formeront

THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. Sop

une surface qui montrera l^ensemble des valeurs que possède Tel asti ci té dans les diverses directions. Comme on peut construire telle puissance de Télasticité qu'il plaira, on peut dire, en thèse générale, quHl y a une foule de surfaces d'élasticité-.

Mais comme il y a, dans la force mise en jeu, deux particularités, à savoir une certaine intensité et une certaine dé\fialion 13, cette construction ne tenant compte que de la première serait incomplète, et ne traduirait aux yeux que moitié du phénomène. D'ailleurs, comme l'élément angulaire U varie suivant une loi compliquée, on peut dire qu'il n'est pas possible de trouver une construction où soient en évidence les deux particularités du phénomène.

Heureusement, à cause de la nullité optique des vibrations longitudinales, il arrive qu'on peut décomposer cette force totale en deux, Tune K cos U dirigée dans le sens du déplacement, l'autre KsinU dirigée perpendiculairement et négliger entièrement la dernière; de manière que, n'ayant plus d'élément d'orientation, une surface peut résumer le seul élément (intensité de la composante utile) qui désormais variera.

$ 631. — Surface du sixième degré , — du quatrième degré à nue nappe. - Ellipsoïde inverse.

Comme on a

KcosU = XA.r +YAJ4-ZA3,

celte surface a pour équation

Remplaçant X, Y, Z, par leurs valeurs générales (§ 627), el Ax, ^yy Az, par les valeur? cos«, cosê, cosy, que leur donne l'hypothèse d'un déplacement égal à l'unilé, il vient

/• rrr A COS' a + 2 E COS a COS ê -f- 2 F COS a COS 7

B ces' i^ + 2 [) cosê COS 7 -f- C cos- 7.

Si nous appelons x^y^ z, les coordonnées du point extrême

5io CH4PITRB XXV.

(le la distance , ce seront les coordonnées couranies de la surface , ou aura

cosa=;;-i

f, cos6==^> cos7 = -» /•= v^x'-f-*'-f-rS r r r

et Féqualion polaire donnera pour Téquation de la surface en coordonnées rectangulaires

= î (Ax»-»-Br*4-C«*-f-2Ej?r-+-2Fxa-h2Dj^z),

équation qui est du sixième degré.

On sait qu'en mécanique on remplace souvent des vitesses par des hauteurs de chute , et réciproquement. Si nous remarquons que la force FcosU entraîne^ d'après la formule

-sll-sl

FcosU

une valeur de V correspondante, et si l'on se rappelle le rôle important que jouent en réfraction les vitesses de propagation, on comprendra 'qu'en optique on ait intérêt «î considérer, en place des forces, ces vitesses concomitantes liées aux phénomènes d^une manière plus accessible. Bref, on peut vouloir prendre sur chaque rayon vecteur une longueur proportionnelle à la vitesse, c'est-à-dire a la racine carrée de la force ; ce qui donne la surface

r=^KcôsÙ:= V^XAx-4- YAj-hZAz ou bien

r' :i= A ces' a -4- B cos'6 -f- C cos'7 -h 2 E cosa cos? -h 2 F cos« COS7 -h a D cos6 C0S7,

c'est-à-dire, en cooi*donnée$ rectangulaires ^

( X* -+- j'- -h z»)» = Ax"- -H Bj' -i- Cz' -h lY^xy -h 2 Fxz H- 2 Dj z,

surface du quatrième degré, qui est la surface d'élasticité de Fresnel.

Au lieu de prendre sur chaque rayon vecteur une quaa-

THÉOKIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. 5ll

Lîté proporiionnelle k la vitesse, prenons une quantité qui en soit la réciproque. Nous aurons

/* = =" ou /^ =s ■ »■

VKcosU KcosU

ou encore

c^est-à-dire flnalement

surface qui n^est plus que du deuxième degré et qui s'appelle l'ellipsoïde inverse des élasticités 5 on devrait dire évidemment ellipsoïde inverse des racines carrées des élasticités, ou mieux ellipsoïde inverse des vitesses.

Quand les axes principaux sont axes coordonnés, les calculs qui viennent d'être faits et les équations des surfaces qui en ressortent se simplifient. II faul en effet qu en posant dans les équations i, 2, 3, tour à tour Ay = o, Ae = o, ou bien Ax = o, û s = o, ou enfin Ax = o, Ay = o, ou n'ait qu'une composante, à savoir X dans le premier cas et Y, Z dans les deux autres : ce qui exige que les trois coefficients D, E, F soient nuls. Ou obtiendrait donc ces résultats plus simples en posant, dans les formules précédentes,

mais nous croyons utile de reprendre rapidement la question.

§ 632. — Les snrfeces d'élasticité rapportées aux axes

principaux.

On suppose que les axes coordonnés sont les axes d'élasticité du cristal. Si A, B, C, sont toujours les trois forces mises en jeu suivant les trois axes, par un déplacement égal à l'unité opéré suivant ces axes, ces forces ont pour expressions équivalentes wa*, û)i', wc*, «, i, c étant les trois vitesses de propagation correspondantes, dites ^vitesses principales y et b) un coefficient de proportionnalité.

5i2 chapithb XXV.

Soit un déplacement égal à Tuiiilé, opéré dans une direction quelconque cr, o, y. C'est romme si j'avais eu, suivant les axes, les déplacemeuts cosa, cos6, cosy. Saurais donc, suivant ces axes, les trois forces

o>a' cosa, u b^ cos6, o» c* cosy, et une résultante

wK = w v^ fl* cos'a -h b^ ces' 6 -h c* cos'7

dont la direction est fixée par les trois cosinus

à* cosa b^ cos6 c' cos S CUSÀ = -===.1 C08p= — - — » cosv= — —

L'angle U que fait cette résultante avec la direction du déplacement sera donnée par

fl' cos'a -h 6' cos' 6 -4- c' CCS-' 7

cos U == —

Si je voulais construire cette première surface d'élasticité si incomplète, je prendrais dans la direction a, 6, 7, la force totale développée, sans tenir compte de sa direction propre et j'aurais pour équation de la surface /* = K, c'està-dire

,— la' x^ -h A* j' -+- ^* s'

OU bien

[x^ + r* -Jfz'y — a'x^ -h b^y^ H- c'%\

Mais il sullit pour les besoins de Toptique de construire les forces projetées sur les directions des déplacements, c est-à-dire les quantités K cos U, de sorte qu'on a

r = fl' ces* a -f- 6' cos*6 -|- c' cos'7, ou bien

; ■ rt'.r» -h 6» r» -h c» r»

ou enfin

Mais, à la force K coslj, correspond une vitesse Vpropor-

tHBORIE DB LA DOUBLE RéFRAGTlON. 5l3

tionnelle à )a racine carrée de cette force« on a donc

V =r^ K coslî = ^ a' cos' a -h ft' cos'6 -f- <? cos*7,

«t si Ton prend sur la direclion du déplacement des quantités proportionnelles aux vitesses, on aura, en passant à l'équation en x, y , z^

c'est la véritable surface d'élasticité.

Enfin, sur chaque direction, prenons une réciproque à la vitesse, et nous aurons

V û' ces' a -f- ^' cos" 6 -f- c' cos' 7

ou bien, et ce sera Y ellipsoïde Ln\*erse des vitesses que nous désignerons sous le nom de premier ellipsoïde ,

a» or' -4- A'j^'4-c»a»=i.

§ 633. — Nécessité de considérer une onde. •:— On la choisit

« plane.

Voilà bien des surfaces d'élasticité , et cependant la meilleure n'y est pas. C'est qu'en eflfet le point de vue précédent est très-imparfait.

Jusqu'ici nous n'avons considéré que les forces nées des divers déplacements, sans nous occuper, soit des mouvements périodiques produits par ces forces dans la particule déplacée, soit surtout de la communication de ces mouvements aux portions du fluide déplus en plus éloignées. C'est cependant en abordant ces conséquences du développement des forces élastiques que l'on entre sérieusement dans la question d'optique qui est toute dynamique et qui n'existe qu'en germe dans le point de vue purement statique qui précède.

Il y a plus : pour approprier sincèrement ces éludes aux phénomènes de double réfraction, il faut, sous peine de lï. 33

5 1 4 cHAPnrRB \%\.

faire du la dillVaclioii dédouble réfraction, (X»n$idërer non pas une seule parûcule oscillante, mais une foule de particules qui, situées dans un même plan, soumises à des déplacements égaux et parallèles, et ainsi animées des mêmes forces , constitueront la chose simple par excellence en optique, c'est-à-dire une onde plane polarisée.

En prenant ainsi «ne luide plane, on voit qu^il est possible d^user avec sécurité du principe de la transversalité , et que le moyen employé jusqu^ici pour discerner, avec une vibration isolée , la composante longitudinale pourrait bien être incorrect.

Car une vibration isolée laisse indécise la directicm du rayon , qui ne sera pas en général situé , comme on Ta admis , dans le plan formé par la vibration et le déplacement. Au lieu de deux composantes K cosU et K sin U , on en aura en général trois, une dans le sens du déplacement, Taulredans le sens du rayon et la troisième perpendiculaire aux deux autres. La deuxième (distincte de K sin U), doit seule être rejetée : quant aux deux antres, situées dans le plan de rond«> elles sottt toutes deux iraMversales.

Cependant nous montrerons qu'il est possible d'user seulement de rayons polarisés^ qui n'offrent exceptionnellemenl que les deux composantes K cos U et K sin U , que l'on sait heureusement ramener à ce cas simple, lecasgé^ néral , et qu'ainsi tout ce qui a été dit sur les surfaces d'élasticité est légitimement acquis à la question.

§ 634. — Qmon éûe contient deux axes d'élasticité. Ayant, dans une onde plane intérieure au milieu, des particules déplacées parallèlement et oscillant à la suite de ce déplacement, comment se propagera dans les couches subséquentes ce mouvement primordial? Après un certain temps, quelles particules, i Texclusion des autres, en seront dépositaires? Pour le voir, commençons par un cas particulier, celui où le plan de Tonde est l'un des trois plans principaux.

Chaque molécule, écartée, dans une direction quelconque,

Ttt£ORIE DE LA DOUBLE RiPRACTIOR. 5 1 5

de sa position d'équilibre , communiquera, en y revenant, son agitation ^ux particules des plans subséquents , mais Tétude directe de cette transmission est très-complexe, parce que, dans cette direction quelconque, les particules, solli* citées par des forces non dirigées suivant lenrsdéplacements^ ne reviennent pas en ligne droite à leurs positions d'équilibre, et transmettent aux molécules sons-jacentes des mouvements plus ou moins curvilignes analogues à ceux qui les animent elles-mêmes. Mais si nous remplaçons chaque déplacement par deux autres, parallèles aux deux axes d'élasticité compris dans le plan de Tonde, et si nous considérons à part leur propagation, nous voyons : i^ que cha-^ cun d'eux déterminera dans les particules , des mouvements recti lignes qui seront communiqués , sans que leur direction s'altère , aux tranches d'éther sous-jacentes ; n^qae les élasticités et les vitesses qui président à ces deux communications étant différentes « il y aura, après un certain temps, deux séries de particules, situées dans des plans parallèles entre eux et k l'onde primitive, qui posséderont exclusivement tout le mouvement originaire-, 3° que les vibrations des deux faisceaux engendrés, et aussi leurs plans de polarisation, seront à angle droit.

§ 685. -^ Denziàme cas. — Le plan de Tonde intérieure excitatrice est quelconque.

Ce plan coupe la surface d'élasticité suivant une courbe ovale, et l'ellipsoïde inverse suivant une ellipse. Comme cette intersection ne contient aucun des trois axes d'élasticité, il n'y a chez elle aucune direction de déplacement qui puisse donner une résultante dirigée suivant le déplacement. Mais pour avoir une oscillation rectiligne de la particule, et consécutivement transmission d'oscillation rectiligne, il suffirait que cette résultante, dirigée en général hors du plan , ne penchftt ni k droite ni à gauche, qu'elle se projetât sur le déplacement , car elle se décomposera alors en deux. Tune normale au plan, dès lors non avenue, et l'autre K cos U seule utile, dirigée suivant le déplacement et

5i6 ' CHAPITRE XXV

ppéranl sa iransmissioii comme s'il s'agissait d'un axe d'ëaslîcîlé.

On établit (§ 636) qu'il y a toujours pour chaque section deux de ces directions singulières j et qu'elles sont rectangulaires. Les deux directions singulières rendent aux vibrations dirigées dans ce plan le même service que de!i axes d'çlasticité. Chaque vibration se remplace par deux autres dirigées suivant elles, et ces deux composantes cheminant dans le milieu, sans se désorienter, mais avec des vitesses diflférentes, on voit que toute onde plane polarisée se transforme en deux ondes planes parallèles entre elles et à l'onde première , et polaiîsées à angle droit, ce qui est uu théorèmebien général ; que de plus, leurs intensités relatives sont ces* CL et sin* a, ce qui étend la loi de Malus à tous les cristaux. D'ailleurs, quelle que soit la direction de la vi}>ration dans cette onde plane , ce sont toujours les deux mêmes ondes polarisées qui en ressortent, ce qui montre que ces résultats établis sur une onde polarisée ne conviennent pas moins à une onde naturelle.

Pour établir l'existence de ces directions et calculer les forces élastiques, et, par conséquent, les vitesses qui leur sont propres , chacune des trois précédentes surfaces d'élasticité peut également servir. Quelle que soit celle que Ton choisisse, il faudra : i" la couper par un plan dont la position sera Gxée par les angles /, m , /i de sa normale ^ a^ prouver qu'il y a dans les sections plusieurs rayons vecteurs (il y en aura deux rectangulaires) , tels que si on les prend pour directions.dedéplacement, la force élastique développée se projette sur eux 5 enfin 3** calculer leurs longueurs dont les carrés, analogues aux quantités a', i", c* caractéristiques des axes d'élasticité, exprimeront soit les élasticités développées par ces déplacements privilégiés, soit les carrés des vitesses corrélatives. Fresnel opérait sur sa surface d'élasticité du quatrième degré. Mais il y a tout avantage a faire ces calcul s sur une surface dont les propriétés soient déjà connues et à choisir l'ellipsoïde inverse. En eiTct,-on peut

établir alors sans calcul reKÎstence des directions singulières, montrer qu'elles ne sont autres que les axes de Tellipse d'intersection et n'avoir à faire qu'un calcul , celui de la grandeur de ces deux axes.

f$ 636. — Les directions singulières sont les axes de l'ellipsoide

inverse.

Dans le plan de la section, Télaslicité, mesurée par les <*arrés des réciproques des rayons vecteurs, est la même à droite et à gauche pour les deux axes , et n'est la même que pour eux. Imaginons par un de ces axes le plan normal h la section, ce plan coupera , suivant leur axe homologue, toutes les ellipses d'intersection déterminées par les plans parallèles k la section diamétrale (car on sait qu'elles ont toutes la même orientation). Par rapport à ce plan normal, les rayons vecteurs et, par conséquent, les élasticités seront donc également symétriques à droite et à gauche. C'est-à-dire que, si le déplacement a lieu suivant un des axes de la section , la force élastique totale sera comprise dans le plan normal et se projettera dès lors sur cet axe. Et puisque rellipsoïde est inverse des vitesses, ce seront les réciproques des axes qui mesureront les vitesses de pr^pa-^ gation,

§ 637. — Calcul de la longueur de ces axes.

Le plan quelconque a pour équation

X ces / -h j CCS /n -h s ces n = 0.

On sait que, pour avoir Tinlersection, il faut, non pas le combiner avec l'équation de la surface

mais introduire dans cette dernière , au lieu de .^^ y^ z , les trois valeurs

z =y sin 9,

xz=zx' ces y -h ^' cos d sin |>,

r = jc' sin ^ — /' cos ô cos f (Ai,'. 3o6 ).

5 1 8 GBAPITRB \XV.

f et d sont définis par les ëcpalioiis

qui deviennent ici

cos/

^^ ^ cos m

de sorte que les valeurs de x, y, -z sont de fait

jr' cos m — /' cos / cos «

JP = : 9