MN=: AB-CV

rVst'àdire que M el N, réciproquet des carrés des Bx^a de l'ellipse , sont les TaloHfs de v' fournies par l'équation bicarrée

»,« (A -t- B) v'-h AB - C'=^o.

520 GUiVPlTRB XXV.

Si Toii multiplie V^ par Tunité prise sous la forme

CCS* / -f- cos^ m -+- cos* n ,

Téquation peut s'écrire

( V» — b^) ( V^ — c=^) cos' / H- ( V» -+- fl») (V* — c') cos'm

^ (V» — a^) (V» — b^) cos'n = o, ou encore

COS*/ ces* /M C05^/l

et nous allons voir que cette équation bicarrée, quelle que soit sa forme, doit être considc^rée encore comme une surface d'élasticité.

§ 638. — Sur&ce d'élasticité à deux nappes. — Sa génération

par rellipsoîde. — Son équation.

On peut, surtout quand on substitue aux forces élastiques K cos U les vitesses correspondantes, trouver que nos surfaces d'élasticité ont été jusqu^ici mal conçues. En effet, dans ces surfaces, les forces élastiques ou les vitesses sont comptées dans le sens du déplacement. Or ces vitesses ne se développent nullement dans le sens de Tébranlement ('*'), mais bien , vu la transversal! té, dans un certain sens perpendiculaire à Tébranlement , dans la direction normale au plan de Tonde'. Nous n*avons donc introduit qu'à demi la transversal i té dans nos surfaces ; nous T avons introduit dans la manière de compter la force , mais nous n*avons pas indiqué le sens dans lequel elle propage la perturbation. Pour obtenir ce résultat désirable, il faut transformer, comme il suit, Tellipsoïde inverse.

( " ) La force élastique développée par un déplaceiùent opéré dans une direction quelconque, aingulière par exemple, a deux influences, elle agit sur le mouTement oscillatoire de la particule déplacée, elle agit sur la propagation de ce mouyement oscillatoire. On n^a pas à s'occuper de la première, puisque Toscillation a une durée marquée par celle du mouvement oscillatoii^ extérieur dont elle n'est que la répétition. La seconde dépend au contraire exclusivement des qualités du milieu, et se résume dans ce qu'on ap' pelle la yitesse de propagation. Or cette vitesse est transversale et doit s'estimer perpendiculairement au plan de Tonde.

Coupez-le par un plan quelconque, élevez au centre de la section une normale , prenez sur cette normale deux valeurs respectivement égales à chacune des deux valeurs distinctes que donne pour les réciproques des axes de Tellipse Téquation bicarrée; vous aurez ainsi les deux vitesses qui servent exclusivement à la propagation de tous les mouvements compris dans ce plan. Le lieu géométrique de ces couples de points constitue une surface à deux nappes qu'on appelle IsLSurJace d'élasticité à deux nappes. Puisque /, m, n sont les angles qui caractérisent la direction de ces vitesses devenues rayons vecteurs de la surface , il est visible qu'en considérant Y, /, m , n comme quati*e variables , F équation bicarrée qui précède est Téquation polaire de la surface d'élasticité. En appelant Ç, m, Ç les coordonnées de l'extrémité du rayon vecteur V, on a

cos'/=— » ros2/ii = ~5 cos'ft = ~',

d'ailleurs

BrefTéquation polairedônne, pour l'équation rectangulaire de la surface d'élasticité à deux nappes, l'équation suivante qui est du sixième degré

surface dont nous reparlerons à propos de la surface de Tonde avec laquelle elle a la plus vive analogie.

On pourrait craindre que cette nouvelle surface ne dé- *

laissât certains déplacements , puisque dans chaque plan il n'y a que deux déplacements d'utilisés; mais il n'en est rien. Seulement les déplacements successifs sont introduits autrement que nous ne Tavions fait dans les anciennes surfaces d'élasticité. Il est certain que tous les déplacements possibles et toutes les forces et vitesses correspondantes ont leur tour dans cette nouvelle étude; et Ton s'en convaincra si l'on démontre ce théorème dont nous aurons encore besoin plus tard (§ 641 ) : Un rayon vecteur quelconque d'un

52a GUAPITAK \XV.

ellipsoïde joue le rôle d'axe pour l'une des sections dùt^ métrales qui le contiennent. CommeiU douter d'ailleurs que les mêmes forces ne soieui en jeu dans les surfaces d^élasticiié à une -et à deux napjies , quand on leur trouve ce caractère coraïaun , que c'est la racine cari>ée de la force projetée sur le déplacement, que Ton construit. Mais si ce sont bien les mêmes forces que construisent les deux surfaces, la mise en œuvre y est diAîérente : Tune les construit dans la direction du déplacement, l'autre perpendiculairement au plan de Tonde à laquelle est subordonnée cette force de propagation. Cette dernière esta deux nappes, parci* qu'il y a deux forces de propagation au service des mouvements divers d'une onde plane; la première n'en a qu'une, parce qu'un rayon vecteur ne peut jouer le rôle d'axe que par rapport à une seule section , ou , eu d'autres termes, n'est qu'une fois direction singulière.

Le point capital de la double réfraction consistait à concevoir comment un rayon lumineux se décomposait nettement en deux rayons distincts. Puisque la lumière est du mouvement , nous avons pu remplacer le mouvement primitif par un système quelconque de deux mouvements équivalents. Le difficile était de tomber sur un système binaire tel, que chacun d'eux, sans se dénaturer, se séparât spontanément de l'autre, et résidât au bout d'un certain temps dans des particules distinctes. Les axes pour les plans principauXy les directions singulières pour les plans quelconques, nous ont donne les vibrations des deux rayons formant ce système utile. La ditlérence d'élasticité suivant ces directions, telle est la cause qui sépare les deux portions du mouvement. Enfin c'est au principe des interférences intervenant comme au § 28 qu'il faut attribuer la concentration du mouvement dans chacune des deux ondes. Il nous reste à approprier maintenant ces résultats aux divers cas qui se présenteront. Cette appix)priationscfait très- simplement et d'une manière générale à l'aide d'une surface importante connue sous le nom de surface de ronde.

THÉORIE DE LA DOUBUfi AÉFRAGTION. 5a3

ARTICLE IL