LA. SURFACE DE L'ONDE

Rapports analytiques et géométriques des ellipsoïdes dits réciproques,— Ellipsoïde direct ou de Fresnel. — La surface de l'onde construite par points à l'aide des ellipsoïdes Inverse et direct. — Son équation déduite sans calcul de la surface d'élasticité à deux nappes. — Théorème de Magnus.— Discussion des principes sur lesquels repose la théorie de la double réfraction.— L'inégale élasticité attestée par des faits étrangers k l'optique. — Incompatibilité d'une composante longitudinale avec certaines expériences d'optique.

§ 639. — Smrface de l'onde. — Ses rapports rtoc Ir suriàoe

d'élasticité à deux nappes.

Si Ton excepte le cas d'une onde incidente parallèle à la snrfaçe du milieu, cas qui rentre sans effort dans les études précédentes 9 le problème de la propagation d'une onde plane se présentera autrement qu'on Ta supposé jusqu'ici .

L'onde primitive donnée dont il faut étudier la transformation ne sera pas intérieure au milieu biréfringent, mais extérieure.

Quand elle est donnée intérieure, on a vu qu'elle se transformait en deux ondes planes, parallèles etentreelles et à Tonde primitive *, mais quand elle va envahir le milieu en arrivant du dehors, le mouvement transmis reslera-t-il réductible à une ou à plusieurs ondes planes? Ce couple d'ondes planes, car il y en aura deux en gémSral, aurontelles entre elles la relation de parallélisme , ce qui prouve^ lait qu'exciter le milieu par une onde plane extérieure, revient à Texciter par une autre onde plane, équivalente à la première 9 mais intérieure.

Même en supposant qu'on consentit à n- exciter le milieu que par des ondes planes intérieures, on conçoit l'utilité d'établir entre tous ces systèmes binaires un mode d'association tel, qu'on put y choisir le couple utile plus simplement qu'avec cette perpendiculaire et ces deux points pris sur elle aux deux distances principales.

Mais cela serait surtout utile quand, ainsi qu'il arrive? dans le cas d'une onde excitatrice extérieure, les deux ondes engendrées cessent d^être accouplées par systèmes parallèles, quand Tune est prise à Tun des systèmes binaires, ec r autre à un deuxième système.

Cette association de toutes les ondes planes que peut engendrer, après Tunité de temps, une onde plane excitatrice prise dans toutes ses positions imaginables intérieures et de fait extérieures , nous est fournie par leur ^xxvtdice env^eloppe qui, empruntant à chacune un élément superficiel, les équivaudra toutes, les tiendra en quelque sorte à notre disposition , et sera prête à les restituer, pourvu qu^on sollicite cette restitution par un procédé légitime 5 celte enveloppe est ce qu^on appelle surface de ronde. Ses rapports avec la surface d'élasticité a deux nappes sont évidents. Cette dernière passe parles points pris sur les normales à chaque section, et ne touche pas les ondes planes. Elle, au contraire, touche les ondes et ne passe pas par les pieds des porpendiculai res .

On doit remarquer que la surface de Tonde constituera mieux qu^un artifice géométrique propre à rendre les ondes planes qu'elle contient toutes en germe, et qu^elle a un rôle physique immédiat et vrai. Que si, par exemple, les diverses ondes planes passant par un point étaient simulta* nément excitées, la surface de Tonde résumerait les parties de ces ondes co-engendrées qui ne seraient pas détruites par Tinterférence , et serait le lieu géométrique des particules du milieu seules dépositaires, après Tunité de temps, des mouvements qui ont afiecté ce point.

Nous allons successivement construire par points la sur* face de Tonde, en trouver Téquation , y recourir pour mettre en place , a Taide de la règle connue (§ 148) , les rayons réfractés dans les divers cas qui peuvent se présenter, puis, dans les chapitres suivants, en faire jaillir, soit les cas particuliers, soit les phénomènes secondaires, ceux de polarisation par exemple, que présentent ces rayons biréfractés.

soit enfin des procédés propres à déterminer les paramètres caractéristiques d'un milieu biréfringent.

g 640. — fillipsoides réciproques. — Équiyalence de leurs

deux définitions.

On peut construire par points la surface de Tonde à Taide de deux certains ellipsoïdes réciproques. Occuponsnous donc de leurs propriétés.

Analytiquement, deux ellipsoïdes sont réciproques quand Fun ayant pour équation

rt'x'-f- 6*^' -h c'a' = I, r autre est

fl» b^ c^

Si w = I, ce dernier ellipsoïde devient

jp2 y> a'

fl' à* c»

sans cesser d'être réciproque au premier. C'est de lui que nous userons en le désignant sous le nom de deuxième eU lipsoïde [*)\ il a ses axes égaux aux trois vitesses principales.

Géométriquement, on déduit d'un premier ellipsoïde, un ellipsoïde réciproque (fig* 307) en menant par chacun de ses points q un plan tangent, abaissant du centre O sur

ces plans des perpendiculaires Op^ y prenant le point Q de

manière à avoir le produit Op x OQ constant et égal a m', par exemple.

(* ) Fresnel ne parait avoir connu que rdlipsoïde direct; il en déduisait à peu près comme nous allons le faire, mais sans aucune justification, la surface de Tonde. Les résultats que nous avons demandes à l'ellipsoïde inverse (§ 636), il les obtenait moins simplement à l'aide de la surface d'élasticité à une nappe. Les auteurs qui appellent premier Tellipsoîde direct ou de Fresnel et second rellipsoïde inverse ou de Plucker, sont donc fidèles à l'ordre historique. 11 nous a semblé préférable de subordonner les roots de premier et second A Tordre dans lequel ils se produisent dans l'exposition théorique des causes de la double réfraction.

526 GHAPiniE \xv.

Prouvons que le Heu des points Q est bien un ellipsoïde dont les axes sont inversement proportionnels k ceux du premier et dirigés suivant les mêmes droites ; cfue, par conséquent, les deux définitions sont équivalentes.

Premier ellipsoïde

plan tangent au point q . ( j/, y, ^)

/ (2) fl'^'»-+-ft\r"-+-<^»" = »;

normale par Torigine {*)

en considérant comme égales les coordonnées X , Y, Z du plan et celles Xi , Yi , Zi de la normale , on trouve pour les trois coordonnées du pied de la normale,

d'où Ton conclut

Le point Q ( Xfl Ys Z« ) est défini par Téquation

Op

(*) Le rayon Yecleum pour coefVieienta angnlairea —» — ,• l^renci» par lu rormu le connue

crtê DD' =

Tanglc qu'il formo avec la normale, et vous trouverei sans peine qne cet angle qOff est le même queTangle IJ donné par la formule du $ 651.

THéORIB DE LA DOUBLE RÉFRACTION. 5^7

Cl par 1rs relations

X, Y, V ÔQ

•M^ ^'^■* ^^1^ ^mm^ ^^ ^i^^ .^^^^1 •

eu remplaçant Xi , Yi , Zi , OQ^ O;; par leura valeurs, 011 trouve

et si Ton remplace , daus réquation ( a), j/, y', z', par leurs valeurs en Xt, Y, , Zi, elle devient

fl' ^»

Que m* soit égal à 1 ou bien CX^ réciproque de 0/> , on a le deuxième ellipsoïde

comm nous l'avions annoncé.

Ayant déduit un point Q du deuxième ellipsoïde d'un point q du premier par la construction précédente; on peut mener actuellement au point Q un plan tangent, abaisser sur lui une perpendiculaire OP, prendre, à partir du point O, sur OP, une distance réciprocjue de OP. On prévoit que Ton reproduira ainsi le premier ellipsoïde , miiis il n'est pas évident que la normale OP coïncide avec le premier rayon vecteur O^ , tout comme le rayon vecteur OQ coïncide avec la première normale O/;, et qu'ainsi la relation directe et réciproque se trouve confinée entre deux droites, le rayon vecteur et la perpendiculaire pour Tun des ellipsoïdes étant la perpendiculaire et le rayon vecteur pour Tautre. Il suffit d'en appeler à la relation

qui devient, quand on y remplace z par Zt, c' par — »

nv par — • »

et qui donne bien z =^ z' quand on y fait

Zj = m' c' z' ;

on trouverait de même j^, od pour les valeurs des deux au^ très coordonnées du point ^j subordonné à P; donc ce point ne diffère pas de q.

§ 64i. — Construction p^ points des deux nappes de la

surface de Tonde.

Supposons actuellement nne vibration dirigée suivantOi/^ nous avons eu déjà Toccasion d'affirmer que parmi les innombrables sections de Tellipsoïde qui passent par la droite 0^9 il en était une qui l'acceptait pour axe, et pour laquelle, par conséquent, Oq étsih vibration principale. Pour en établir Texistence et en déterminer la position, nous remarquons : I** que les axes d'une ellipse ont pour caractère exclusif d'être perpendiculaires i la tangente^ 2^ que les tangentes aux innombrables ellipses sont résumées par le plan tangent. On peut donc , écartant Tellipsoïdc, ramener la question à cette autre empruntée à la géométrie du plan : Ayant une dmite Oq et un plan qui se coupent enq, choisir dans ce plan celle des droites qp, qr^ ... qui donne Oqr droit: or on sait que cette droite est normale au plan projetant de la droite donnée, c'est-à-dire ici au plan du triangle opq. Donc la section , qui accepte Oq pour axe et qui sera pour nous l'onde intérieure , sera la section menée par Oq normalement au plan du triangle. Pour les mêmes motifs, et à cause des relations identiques qu'a le plan Oqp avec les deux ellipsoïdes, le plan mené par OQ normalement à ce même triangle coupera le deuxième ellipsoïde suivant une ellipse qui aura OQ pour axe. Les seconds axes de ces deux ellipses inclinées entre elles de l'angle POQ auront pour direction commune une droite menée en 0 perpendiculairement au plan POQ.

Pour mettre en place un des plans dont la surface de Tonde sera l'enveloppe, il faut mener par le centre O une normale au plan de l'onde, et prendre sur elle, à partir

THÉORIR DE LA DOUBLE niPRACTIOlV. 5^9

de O, une distance —— = OP, puis mener en P un plan

perpendiculaire à celle normale, ce sera un de nos plans •, et pour construire réellement la surface, il faudrait con-»naître le point de ce plan où l'enveloppe le touche.

On réalise tout cela en faisant tourner le triangle OPQ dans son plan (Jig- 3o8) jusqu'à ce qu'il atteigne une posi«^ tion OP'Q' telle, que Tangle POP et conscquemment aussi QOQ^ soient droits. Car le plan langent, projeté suivant P'Q'5 sera parallèle au plan de Tonde excitatrice, en sera distant de OP et sera devenu le plan désiré.

Or tous ces plans tangents, qui se projetaient d'abord sur les plans des triangles suivant les lignes PQ et qui ^ après rotation, se projettent suivant les lignes PQ^, constitueront une surface enveloppe dont j'obtiendrai les éléments super6ciels en supposant que dans cette rotation, j'entraîne, outre le triangle et le plan tangent PQ, l'élément de la surface du deuxième ellipsoïde qui entourait le point de contact Q. Car, vu la continuité, tous ces éléments se convertiront en surface continue qui sera Tune des nappes de la surface de l'onde engendrée ainsi à l'aide de certains éléments du deuxième ellipsoïde juxtaposés par transport;. Quant à la deuxième nappe, elle s'obtiendra de la môme manière avec le deuxième axe de l'ellipse d'intersection, SoitO^i cet axe, il faut mener au point ^1 un plan tangent^ déterminer à l'aide d'une perpendiculaire Op^^ abaissée de D sur ce plan tangent , le plan fondamental O/3, q^. Ce plan , (puisque O^i est un axe) est perpendiculaire au plan de l'ellipse, et, prolongé, il vient passer comme O^^^par la normale OP'à ce plan. Quand donc une rotation, égale à 90 degrés, du triangle O^iPi et du triangle associé oPiQj, se fera dans leur plan commun et autour de Oi/ comme charnière^ la droite Oq^ viendra coïncider avec OP, et la droiteOQ,^, dépassant OP viendra avec l'élément de surface qu'elle arrache au point Qi du deuxième ellipsoïde, constituer au point Q'i un élément de la deuxième nappe de Tenveloppe* IL 34