CfUiPlTAE X\V

La surface d'élaslicué à deux nappes lions donnait par couples les plans tangents à la surface de Fonde, et nous venons de construire les deux points de contact correspondants à chaque couple. La solution est complète : car les deux rayons engendres par la double réfraction seront OQ', OQ', , leur angle est la face hypoténuse Q'OQ', du trièdrc Q'OP'Q'^ : car chacune des vibrations principales O^, Oq^ se transportant parallèlement à elle-même dans le milieu , il en résulte que FQ', F, Q'i » rendues par la rotation parallèles à O^ et O^i , représentent sur la surface de Tonde, ou mieux sur ses plans tangents , les directions des vibrations des deux rayons : car on voit que les deux polarisés issus de notre onde plane polarisée ou naturelle ont des plans de vibrations rectangulaires représentés par les deux plans OPQ', OF.Q', . Mais on ne doit pas oublier que, tandis que les deux axes d*une ellipse d'intersection sont dans un même plan, les deux vibrations qui leur sont parallèles , résident sur deux plans tangents parallèles, mais distincts, menés Tun à Tune des nappes et l'autre à la deuxième. On voit même : i** que les rayons OQ', OQ/ sont obliques sur leur vibration, puisque ce sont les angles QT'O, Q,F 0, et nullement FQ'0,F,Q',0, qui sont droits; a° que la direction de la vibration sur le plan tangent en un point de la surface de Tonde est celle de la projection sur ce plan du rayon vecteur, OQ'ouOQ, , caractéristique du rayon lumineux. Qu'il nous suffise pour le moment d'indiquer ces résultats, sur lesquels nous devons revenir dans la discussion.

§ 642. — Ëqnatioii de la surface de l'onde.

A la section du premier ellipsoïde, qui a pour axes O^, O^i , sont subordonnées dans le deuxième ellipsoïde deux sections qui ont l'une OQ pour axe et Vautre OQi. Lf»s deux points Q'yQ'i de la surface de Tonde qui s'en déduisent sont pris sur des perpendiculaires «i ces dernières sections, précisément comme les points de la surface d'élasticité à deux nappes le sont sur les normales aux sections

ttttoniE DE L\ DOUBLE RéFilACTlO\. 53 1

du premier ellipsoïde. La seule dififërence consiste en ce que sur les normales aux plans d'intersection du second ellipsoïde, c*est la longueur des axes, et non plus leur réciproque qu'il faut prendre. On peut donc dire que la surface de Fonde est au deuxième ellipsoïde ce que la surface d'élasticité à deux nappes est au premier, et passer de cette dernière à la première sans aucun calcul et par un simple mutatis mutandis.

Or Téquation polaire de la surface d'élasticité à deux nappes est

ces*/ cos'ui cos*/i x^^^ .

remplaçons /, m, n, caractéristiques d'une section quelconque du premier ellipsoïde, parL^ M, N, caraciéristiquesd'une

section correspondante du deuxième, a*, 4*, c* par—» j-t

-z' Si W est la lenteur d'un axe de la section L, M , N,

le rôle de V est dévolu à la quantité — et l'équation de la surface de Fonde est

cos»L cos^M cos'N

ou bien

I f I III

■W»~fl» W»~'« W»~r»

a»cos*L 6*cos*M c'cos'N

ou, si Fon garde pour les quatre variables W, L, M, N les anciens symboles V, /, m, /i,

a^ cos* / b* cos* m r* ces' ;i

va — fl« V'—*" V^— c'

et Fon voit, puisque cette équation ne difière de celle d'élasticité que par l'introduction, aux numérateurs, des facteurs a*, />*, c*, combien est vive Fanalogie des deux surfaces.

Celle dillérence a louuTois un heureux résultat^ on lui

b'i'i CHAPITRE XXV.

doit de n'avoir plus une équation du sixième, mais sculc^ ment du quatrième degré, quand on remplace les coordonnées polaires V*, cos*/, cos'm, cos* «, par leurs expressions

j:*-f-r'-4-2' ar'-hj'»-+-z' x^-hj^-i-z-

on obtient ainsi Téquation

qui, les dénominateurs chassés, donne par un calcul simple OU bien , délaissant le facteur étranger x' ^- j^* + z*,

§ 643. — Réfldzioiis sur la méthode précédente. Les remarques suivantes dissiperont les doutes qui pourraient s'élever sur la méthode précédente. Sur la normale que donne une section du premier ellipsoïde, on compte deux longueurs égales aux réciproques des axes, et Ton a {fis- 3^8) deux points P', F^ de la surface d'élasticité. Sur la normale que donne une section du deuxième ellipsoïde , on compte deux longueurs égales aux valeurs mêmes de ses axes, et Ton a deux points Q', Q', de la surface de Tonde. Or ces deux points ne sont pas un système correspondant des premiers. Pour avoir les deux points Q', Q\ correspon* dants aux deux P, F, , il faut recourir à deux sections distinctes du deuxième ellipsoïde; tout comme pour avoir les ondes planes correspondantes aux deux rayons superposés OQ', OQ', [fig^ 3i4), il faut recourir à deux sections distinctes du premier ellipsoïde. Ces sections subordonnées se trouvent dans les deux cas à Taidedes triangles OQP, OQ,P, et sont normales aux deux côtés qui n'ont pas été amenés en superposition , c'est-à-dire aux hypolénusrs OQ, OQ,

dans l'un des cas , et aux côtés OP, OPi dans Fautre. Dans l'un des cas, les ondes ont une normale commune et les rayons diffèrent*, dans Tautre, au contraire, ce sont les rayons qui se confondent. Bref ce sont là précisément, au point de vue des ellipsoïdes, les deux premiers des quatre cas que nous avons distingués (§ 163). Mais ce défaut de correspondance, qui, dans le troisième cas, est encore plus formel , puisqu* alors le premier ellipsoïde aussi bien que le second fournit deux sections distinctes , ne saurait influer sur le calcul de l'onde qui sera exact si, n^importe dans quel ordre, elle résume tous les points qui lui appartiennent. Au surplus la puissance qu'a Ja surface de Tonde pour résoudre les divers cas de double réfraction, lui vient précisément de ce que les rayons cessant en quelque sorte d'avoir une association désignée à l'avance, se prêtent par la nature de cette surface à recevoir celle qui dépend de la règle énoncée (§ 148) et justifiée dans les paragraphes suivants. Nous supposions alors, il est vrai, les ondes longitudinales, mais on comprend sans peine que cette règle n'ayant d'autre, origine que Taccordet le désaccord dus à la diversité des che*mins soit indépendante de Tespèce de mouvement vibra»toire qui anime les particules et convienne parfaitement aux vibrations transversales. Quant au nombre et à Fimr portance des attributions de cette surface^ on en jugera par le résumé suivant. Elle donne :

1^. Par ses plans tangents les ondes réfractées;'

2°. Par ses points de contactlesdirectionsdesdeuxrayons^

3°. Par les rayons vecteurs aboutissant aux points de contact les vitesses des rayons^

4^. Par- les normales abaissées du centre sur les plains tangents les vitesses des deux ondes;

5°. Par les projections des rayons vecteurs sur le$ plans tangents les directions intérieures des vibrations;

6°. Par le plan de ces normales et des rayons le plan de la vibration .

Elle est surtout précieuse quand le^ deux triangles uti-

lises , tout en tournant de 90 degrés, cessent d^avoir, cowuae dans les deux cas simples > un de leurs côtés superposés. En effet, tandis que dans le cas général le point de yue des ellipsoïdes perd sa fécondité, elle, au contraire, ne cesse pas d^oflrir sa construction graphique des jdans tangents.

Fresnel savait construire la surface de T^nde par les plans tangents a l'aide de la surface d'élasticité à uBe nappe, en la traitant comme nous avons traité T ellipsoïde inverse (§ 638) : il savait la construire par points a Taide du second ellipsoïde, comme nous venons de le faire, mais il supposait que ces deux constructions distinctes ne pourraient se relier que par des calculs compliqués. Plucker^ en substituant, à la surface d'élasticité, l'ellipsoïde inverse et en saisissant les rapports de réciprocité qui unissent les deux ellipsoïdes et les deux surfaces à deux nappes, a franchi de la manière la plus simple ce pas difficile.

§ 6M. — Théorème de Magnoa.

Comine autre preuve des relations intimes qui existent entre les surfaces d'élasticité, celle de Tonde et les deux ellipsoïdes, démontrons avec Magnus que, si, du centre commun à toutes ces surfaces l'on abaisse des perpendiculaires sur les plans tangents au deuxième ellipsoïde , le lieu géométrique des pieds de ces per* pendiculaires reproduit la surface d'élasticité à une nappe.

Deuxième ellipsoïde

plan tangent au point ( x'jr'x')

, , yx yr »'z

perpendiculaire abaissée de l'origine sur le plan tangent

coordonnées du pied de cette perpendiculaire obtenues en supposant que les coordonnées X , Y , Z du plan et celles X| , Yi , Z| do la normale ne différent pas :

i ^fV

~z'~^ p» jë'' u£ 1

On en déduit

( z'^ y» jr'»\» , ^ «'> r'* Jî''

c'est-à-dire

et l'on a pour les valeurs de x', y, 2' en X ,, Y i, Z,

*— z;+YîH-x;'

^ •""ZÎH-YÎ-hXj; â»X,

jr

ZÎ-+-YÎ-hXÎ

En mettant ces valeurs dans l'équation (2] , on obtient pour re^ latioD générale entré les coordonnées Xi , Yt , Z|, ou, ce qui revient au même, pour le lieu géométrique cherché, Téquation

«'Xî -h *' Yî -hc^z? = (x; + Yî 4-z;)s

cVst'à-'dire la surface dVIasticité de Fresnel (5650),

§ 645. — Coup d'œil rétrospectif. — Pourquoi n'y a-t^-il pas

réfraction triplât

Avant d'aborder la discussion des formules, jetons un coup d'œil rétrospectif sur le problème délicat que la surface d'élasticité ne résolvait qu'à un point de vue très-étroit et dont la surface de Tonde donne la vraie solution. Répondons à quelques objections ; signalons quelques imperfections-

11 semblait naturel de décomposer chaque vibration suivant les trois axes d'élasticité qui transporteraient les composantes ainsi obtenues sans les dénaturer. On le ferait ainsi si ce n'était rinanité des mouvements longitudinaux , et au lieu d'une double> les cristaux .offriraient une triple réfraction. Mais ici il faudrait finalement débarrasser ces trois rayons de ce qui n'est pas transversal. Y réussirait-on comme par la méthode suivie qui élimine dès le début les mouvements étrangers?

La- solution qui précède repose sur le calcul des forces totales d'élasticité développées par le déplacement d'une seule molécule. Bientôt après, pour éliminer à coup sûr le longitudinal et se mettre d'ailleurs sur le véritable terrain de l'optique où l'on a sans cesse affaire à des faisceaux de rayons, on déplace simultanément et parallèlement toutes les particules d'un plan. Il est évident que les forces moléculaires développées ne sont plus celles calculées d'abord. Chaque particule est débarrassée des forces qui naissaient des particules situées, comme elle, dans le plan de l'onde, puisqu'il n'y a plus entre elles de mouvements relatifs. Les actions venant des particules sous-jacentes qui éprouvent, comme celles du plan de l'onde, des mouvements simultanés, sont autres^que si ces particules étaient restées ù leur place. Nous admettons, et Fresnel s'est ingénié à le prouver , que les nouvelles forces développées sont proportionnelles aux anciennes.

§ 646. — Distinction des élasticités statique et dynamique.

L'inégale vitesse de la lumière dans les divers milieux a été attribuée (§58) plutôt ù une différence de densité qu'à une différence d'élasticité. Il nous répugnait d'admettre que deux éthers contigus, malgré l'action incontestablement inégale qu'exerce sMr eux la matière des corps qui les coercent, ne fassent pas en

équilibre d'élasticité. Il semble qu'ici nous nous contredisions en admettant dans un même milieu une foule d'énergies élastiques. Nullement ; car il faut distinguer l'élasticité statique , passive et permanente, d'un éther ou d'un gaz en repos, de l'élasticité dynamique, active et passagère qui se développe dans un milieu troublé. Cette dernière peut et doit élve variable non-seulement dans les divers milieux , mais encore dans les diverses directions d'un même milieu, s'il est hétérogène. Il est seulement juste de remarquer que cette élasticité , mise en jeu ])ar un déplacement, nous l'avons calculée sans tenir compte de Tétat de mouvement qui accompagne le * déplacement. Nous avons d'ailleurs insisté (§ 440) sur la nécessité de revoir ce point qui est le côté faible de la théorie de Fresnel.

§ 647. — RéYiaion des principes de cette théorie. — Antres prenves de l'inégale élasticité.

Les principes fondamentaux sur lesquels repose la théorie de la double réfraction sont :

i*'. L'admission d'une constitution du milieu, variable autour d'un point , mais seniblablement variable autour des divers points. C'est à lui qu'est due la propagation , sans désorienlation , des vibrations, quand elles sont excitées suivant les directions singulières.

2°. Des excursions des particules assez faibles pour que les résultantes d'élasticité soient dans chaque direction proportionnelles au déplacement; ce qui implique que les distances des particules sont irès-grandes par rapport à leurs déplacements. Fresnel ne voyait dans cette manière de conduire le calcul qu'une première approximation , insuffisante à l'égard de certains phénomènes tels que, par exemple, le défaut de coïncidence dans une même substance des axes d'élasticité pour les diverses couleurs.

3*^. Le principe de la superposition ou de la coexistence des divers mouvements, principe qu'on pourrait appeler celui du remplacement d'un mouvement vibratoire par d'autres équivalents.

4*'. L'inanité en optique des composantes longitudinales.

5°. La corrélation des forces totales avec certaines vitesses et

l'identité de cette corrélation avec celle V = i/- que le son présente dans des conditions analogues.

6**. Le principe des interférences qui éteint le mouveoient partout ailleurs que sur certaines surfaces qui sont bien , comme le voulait Fermât , les lieux des mouvements de première arrivée.

De ces principes auxquels les questions soulevées (§ M^) permettront sans doute d*en ajouter d'autres ('*'), le premier et le (|uatrième seuls > par suite des développements qu'on t reçus les autres, demandent quelques explications.

L'inégale élasticité dans les divers sens résulte surabondamment de Fensemble de la cristallographie et pins |iarticnlièrement des expériences de Savart sur les figures nodales des plaques cristaîliséesy et de celles de Mitscherlioh, de Senarmont, Wiedemann sur la conductibilité de la chaleur ou de Télectricilé dans les cristaux. L'importance capitale en double réfraction ât^ cette inégalité ressort vivement des expériences sur le verre comprimé ou trempe chez lequel on voit apparaître, au fur et à mesure que leur constitution homogène est troublée, des phénomènes de double réfraction de plus en plus tranchés. La méthode de M. de Senarmont, appliquée aux bois, montre qu'ils sont doués d'une hétérogénéité très-intense et fait regretter que par défaut de transparence leur double réfraction reste latente. Toute substance organisée est hétérogène et conséquemment biréfringente ; on le voit très-bien sur la corne , qui est uniaxe, sur la nacre de perle, qui se comporte comme un cristal biaxe très-régulier. Il'sufBt d'en noyer une lame mince entre deux verres dans la térébenthine et de la regarder au microscope d*Araici.

Mais s'il est bien prouvé que toute hétérogénéité entraîne double réfraction , on doit distinguer les corps dont la constitution reste pareille aux divers points et ceux qui ont une hétérogénéité variable, soit par organisation, soit simplement par orientation. La théorie de Fresnel ne s'applique pas à ces derniers > ou plutôt ne s'y applique que rudimentairement , puisque si, en chaque point, il reste trois axes d'élasticité , leur direction varie de point à point, et qu'ainsi s'évanouit l'avantage capital d'une orientation .inva-

(^) Cest ainsi que Fresnel signale cet autre principe qui joue un r<Me manifeste dans sa théorie : « L'élasticité mise en jeu par les déplacements relatifs des molécules reste toujours la même dans le même milieu tant que la direction de ces déplacements ne change pas, ei quelle que soit d*ailleitrs celle du plan de Tonde. » Il s>bl mémo attaché à en montrer TexactiUide che^ la topaze.

THÉORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. 5ig

riable. Quant aux cristaux, tous, ce me semble, même ceux du dernier système , doivent accepter cette théorie. On se demandera, il est vrai , comment peuvent être disposés dans ces derniers cristaux si dissymétriques les trois axes rectangulaires d'élasticité ; mais l'impossibilité de répondre dans tous les cas à cette question tient à l'ignorance où nous sommes des relations générales qui unissent pour les cristaux biaxesles constantes cristallographiques et les constantes optiques.

§ 848. — Inanité dn longitudinal.

Quant à l'inanité des vibrations longitudinales sur laquelle nous avons déjà eu l'occasion d'insister, Fresnel en a fait Tobjet d'une démonstration fondamentale que nous allons reproduire en lui enlevant toutefois l'incorrection qui y a été signalée par M. Verdet.

On sait que le mouvement vibratoire d'un point lumineux donne

V = fl sm 2tr ->

et que, gardant son caractère dans les points du milieu homogène où il se propage , il devient

V == u, sin 2

Ce qu'on ignore , c'est la direction de la vibration par rapport au rayon. Gomme la direction de cette vibration dans la particule lumineuse doit être quelconque , il est naturel d'admettre qu'il en est de même de la vibration du milieu propagateur. Nous pouvons donc remplacer cette vibration par trois autres rectangulaires : la première OX dans le sens du rayon et les deux autres transversales» situées dans deux plans rectangulaires dont l'un sera le plan de polarisation. Fresnel admet même pour plus de généralité que chacun de ces trois mouvements élémentaires peut posséder une perte de phase spéciale ; ce qui, nous le savons par la polarisation elliptique, prévoit le cas où la vibration serait curviligne, de sorte que, si ces pertes sont u, p, tv et les trois amplitudes a, 6, 7, notre rayon polarisé a pour expression

oc Sin 2 TT

[t — —y^^'^^yT — -)

7Sin27r I —y

Un deuxième rayon , né de la même source , polarisé dans un plan perpendiculaire au premier et qui aura pu parcourir un chemin X distinct de y, aura de même pour ses trois composantes

a'sin 2 TT

^sin.ir^- —)'

Chaque système do vibrations contenues dans le même plan cour donné donne un rayon résultant dont Tintensité sera

a* -h a ' -h 2 a a cos 2 tt I 1 ^ — } ,

62 ^ 6'^ 4- 2 6 6' cos 2 W ( — rj 1 ) ,

(JC^ •—» X iv' — w\ — ï ' i — )"

La résultante des trois systèmes^ ou, ce qui revient au même, celle de nos deux polarisés, vaudra la somme des trois intensités, c'est-à-dire

x' — X -^- v' — u , jt' — X 4- f' -^ ••