DISCUSSION.— LES RÉFRACTIONS CONIQUES

tnteraectiou de la surface de Tonde avec les axes et les plans coordonnés. -^ Déiermination des élasticités principales par la méthode des prismes. — Cas des uniaxes. — Loi qui donne la direction de la vibration. — Exceptions.-^ Comment on s'en tire. — Plans de polarisation des deux rayons. — Les éléments des deux réfractions coniques déduits de la surface de l'onde. — Les deux réfractions coniques se rattachent aux sections ctrcu-' laires des deux ellipsoïdes. — Le cône des rayons intérieurs pour la première et celui des normales aux ondes intérieures pour la deuxième, sont circulaires obliques. — Plans de polarisation. — Comment les réfractions coniques peuvent réaliser la transformation d'un rayon polarisé en une foule d'autres, polarisés dans tous les azimuts. — Expériences sur les deux réfractions coniques.

§ 650. — Orthogonalitè de la snrilace de Tonde sur les plans

coordonnés.

La surface de Tonde, F (^, j"» z) =o, n'ayant dans son équation que des puissances paires des variables, a un centre, et ce centre est Porîgine des coordonnées. Vu cette symétrie, on prévoit qu'elle coupera ortliogonaleroent les trois plans coordonnés , et dans les modèles de la surface de Tonde on pourra n*en construire qa*uii huitième. Mais on établit catégoriquement cette relation remarquable en formant les valeurs des dérivées -— , -— ? — > et ' dx dy dz

cherchant, pour les points compris dans ces plans, les cosinus des

dV

angles >, fx, v que la norma!e forme avec les axes. Or — » numérateur de cos> , vaut

et devient nul quand x= o, le dénominateur

n'étant pas nul, il s'ensuit que les normales aux plans tangents, le long des points situés dans le plan des YZ, sont comprises dans ce plan. Il en est de même des deux autres plans.

iTHKORIE DE LA DOUBLE RÉFRACTION. Sif»

^ ^i. — Courbes et points suivant lesquels elle conpe ces

plans et les axes.

Les courbes d'intersection avec chacun des plans coordonnés s'obtiennent en posant successivement x = o, y z= o ^ z = o. Les équations du quatrième degré qu'on en déduit se décomposent cha<;une en facteurs du second degré. Ainsi x=o donne Téquatîoh

qui, transformée, devient On a de même sur le plan XZ

et dans le plan XY

Supposons, pour préciser, a > i et i > c; les courbes dans le plan des XT seront un cercle de rayon o, intérieur a une ellipse dont les axes dirigés sui^vant les X et les Y sont b et a {fig> 3 lo) . Dans le plan YZ le cercle de rayon a entoure rel*lipse dont les axes sont & et c {fig- 3i i ). Enfin , perpendiculairement à Taxe moyen, le rayon du tercle ayant la valeur moyenne &, et les axes de Fellipse étant les deux valeurs extrêmes a, c, les deux courbes secoupent {Jig. 3 1 2), ce qui est Tindice de phénomènes spéciaux très^remarquables^

Les intersections des axes coordonnés avec la stirfacé (fig' 3i3) sont données, sur Taxe des X par ztzb, zt. e, sur Taxe des Y par dz a , ihc, et par zha^ ±b sur l'axe des Z. On peut ne considérer que les signes -h 9 parce que dans un phénomène de double réfraction il n'y a jamais en jeu qu'une moitié de la surface de Fonder tantôt Tune, tantôt l'autre^ suivant que le rayon suit une direction ou la direction contraire. La surface d^élasticité à deux nappes coupe les axes précisément aux mêmes points. Voici donc des nou« XI. 35

546 ciiAPiTHii XXV.

velles allributions pour les quanlilés a^ 6, c, déjà si remarquables. Elles nous ont apparu d'abord comme racines carrées des forces élastiques totales développées selon les trois axes d^élasticité, et bientôt après comme vitesses principales. Plus tard elles ont servi d^axes, soit par elles-mêmes, soit parleurs réciproques, à nos deux ellipsoïdes, et les voila qui jouent égalementce dernier rôle dans la surface de Tondc^ el dans la surface d'élasticité à deux nappes.

il! 652. — Détermination des trois élasticités principales.

Soit une plaque normale à Tun des axes, OX par exemple, un rayon incident normal cheminera dans sou sein sans quitter cet axe d'élasticité; car les deux plans tangents aux points où un axe coupe la surface de Tonde sont normaux aux deux plans principaux dont cet axe est rinlersection et conséquemment à Taxe; mais si le rayon poui^uit sa route en ligne droite, il nVn est pas moins dédoublé , et ses deux portions, propagées avec les vitesses & et c^ sont faciles à manifester : on en opère la séparation en se donmani une face do sortie oblique k Taxe, en d^autres termes, en usant d'un prisme. Mais on peut égalemeut laisser la face de scrriic normale à Taxe et manifester leur existence individuelle par des déplacements de franges. Nous renvoyons à Tarticle V du chapitre actuel pour le détail des interfiérences produites ainsi entre ces deux rayons polarisés inversement.

Supposons le cristal taillé en prisme dont T arête soit parallèle à Tun des axes d'élasticité, celui des X par exemple ; sa section principale se confondi^a avec le pian des YZ. Si donc on n'opère, suivant l'usage , que dans cette section principale, on obtiendra des rayons réfractés qui n'en sor* tirent pas. En effet, déjà par hypothèse le plan d'incidence coïncide avec un des plans (^ordonnés : mais puisque les plans tangents aux points de la surface de Tonde compris dans ce plan lui sont normaux^ les points de contact des plans tangents menés par la droite TT* ne sortiront pas du plan; ils n'en sortiront pas davantage en traversant la face

tHÉOniB DE LA DOUBLE RÉFRACTION 547

ée sortie. La première loi de Deacartes sera doue satisfaite^ pour les deux rayons, et on pourra les mettre en place par des constructions planes. Il y a plus : puisque Tune des deux courbes utilisées dans ces constructions planes est un cercley Tun des rayons, et c'est là un privilège des plans coordonnés • suivra la loi des sinus ^ enfin la réfraction de ces rayons exceptionnellement ordinaires , caractérisée par des

cercles de rayon a, 6, c, se fera d'après les indices fi'^ = -s

Ces phénomènes de double réfraction obtehus, soil le long des axes d'élasticité, soit dans les plans qui contiennent deux de ces axes, sbnt précieux parla facilité avec laquelle ils donnent des valeurs numériques proportionnelles aux paramètres a, &, c, valeurs qu'il faut avoir et qui suffisent pour faire servir la surface de l'onde à la mise en place effective des rayonS réfractés. La méthode des lames normales k un axe a le triple avantage de se contenter de lames minces, de n'en exiger que deux , attendu que chacune peut donner deux indices, et de se prêter , quand leur orienta-»* tion devient quelconque, a la détermination des vitesses non principales^ Fresnel l'a souvent réalisée. Celle des prismes n'admet pas, il est vrai, une telle généralisation, mais elle est nette et expéditive. MM. Biot, Rudberg^ de

Senarmont , etc. , y ont eu recours. Les réciproques -75 ~,

-ji^des indices n', «", n"' obtenus dans les trois prismes sont

o, &, a. Pour reconnaître le rayon ordinaire, il semble qu'il faille varier l'incidence de manière à obtenir plusieurs systèmes d'angles 2, r, et à voir pour lequel des deux rayons

le rapport -: — est constant. S'il en était ainsi , la méthode *^* sinr

de Newton , qui repose sur la déviation minima , serait

insuffisante, et l'on devrait recourir à Tune de celles qui

donnent l'indice avec une incidence quelconque. Henreu-

548 CHAPITHE XXV.

seinent il n'en est rien , car la polarisalîon offre un autre moyen bien plus expédiiif de distinguer celle des deux images fournies parles prismes qui est Tordin aire. Chaque indice est en effet au service d'un rayon de lumière dirigé et en même temps polarisé normalement à Taxe d^ élasticité dont il contient la constante. Ainsi, dans le prisme dont Tarête est parallèle aux X, le rayon ordinaire, propagé dans le plan YZ avec la vitesse a, est celui dont la vibration est parallèle à Tarète. Un prisme de Nicol désignera doncTimagc ordinaire et permettra même d'élimîuer le spectre extraordinaire, s'il pouvait gêner en se superposant à Tautre. Deux mots maintenant sur la taille des lames et des prismes.

§ 663.— Relations de ces axes d'élasticité avec les paramètres

cristallographiques.

On s'aide pour cela soit de ces phénomènes signalés déjà (§ 195) qui se manifestent autour de certaines directions intimement liées aux axes d'élasticité tt désignées sous le nom à^axes optiques^ soit plutôt d'indications cristallographiques. S'agit-il, par exemple, d'un cristal du quatrième système , on sait que les trois axes d'élasticité optique sont parallèles à la hauteur du piisme rhomboïdal droit et aux deux diagonales de sa base^ ou, en d'autres termes, aux trois axes cristallographiques. Si le prisme est rhomboïdal oblique, on est beaucoup moins avancé; cependant on a vuqu'un des axes d'élasticité était toujours parallèle à la diagonale horizontale de la base qui est, on le sait, Taxe cristallographique normal aux deux autres. On connaît donc ainsi un axe et le plan des deux autres. Dans le sixième système, il n'y a plus de relations constantes entre les deux sortes de lignes qui puisse désigner à un degré quelconque les axes d'élasticité.

§ 654.— Les résultats précédents chez les nniaxes.

Ces cristaux sont caractérisés théoriquement par l'égalité de deux des trois vitesses principales , de i et c ou de i et a. Il est inutile de considérer la troisième égalités = <s

THÉORIE DE LA DOCBkE RKFRACTiaN. 5^9

car les deux précédentes reproduisent tous les pUéitomènes. b = c donne l'équation

(x» -f r* -h «') [a'x^ -h b* (/' + *^) 1 — 2û' b^x^ — b^ (fl' -+- b^)(x^ H- «') H- a' ^« = o,

réductible à la forme

c'est-à-dire qu^elle se décompose en deux surfaces du second degré, à savoir une sphère dont le rayon est Taxe commun A, et un ellipsoïde qui est de révolution autour de Taxe inégal a, et qui a b pour axe de révolution et a pour rayon équatorial. Ces deux surfaces se touchent donc en deux points situés sur Taxe des X, et Tellipsoïde enveloppe la sphère. L'autre hypothèse &=a donnerait, au contraire, un ellipsoïde allongé et enveloppé par la sphère, c'est-à-dire que nous retrouvons la construction d'Huyghens et ses deux cas. Le point de vue actuel nous permet d'ajouter ce trait distinctif que Taxe cristal lographique principal coïncide, dans les positifs, avec Taxe c de plus petite élasticité et, dans les négatifs, avec celui a de plus grande élasticité. On sait que suivant Taxe d'un négatif, le rayon est réduit dans sa totalité au minimum de vitesse, et cependant celte direction est celle d^élasticité maxima. On ne s'étonnera pas de ce contraste si Ton songe que le rayon qui chemine suivant Taxe utilise, vu la transversalitc, l'élasticité équatoriale qui est la moindre de toutes. Pour rester fidèle à Ta notation du chapitre VI, nous gardons a pour l'axe inégal et l'ellipsoïde est aplati ou allongé suivant qu'on a a^h.

En égalisant ainsi deux axes d'élasticité, les deux ellipsoïdes auxiliaires deviennent de révolution. Tous les rayons, vecteurs situés dans le plan de l'équateur deviennent axes d élasticité. La symétrie montre encore que le plan du triangle gOp passe constamment par l'axe de révolution.

On a donc en jeu pour les uniaxes trois ellipsoïdes qui^ sont tous trois de révolution autour d'un même axe :

i". Celui de Plucker

55oJ CHAPITRE XXV.

7,^, Celui de Fresnel

3**. Celui d'Huyghens

dont Tëquatiou emprunte un membre aux équations de chacun des deux autres.

§ 65Q.<— Birection des Tibrations.

Nous rappelons : i^ que le cas d^excilation intérieure constitue un phénomène simple soumis à des lois moins compliquées, et un terrain avantageux sur lequel Fresnel se plaçait volontiers pour la vérification de sa théorie; 'iP qu'un second cas simple (on le réalise en armant les deux faces du cristal de plaques percées d'un très-petit trou et en offrant au trou d'entrée un cône convergent), est celui où les deux rayons intérieurs s'accompagnent. Nous savons trouver, à Taide de la surface de Tonde et par des plans tangents, soit les rayons intérieurs subordonnés au premier cas , soit les extérieurs subordonnés au deuxième. Nous avons appiîs également à obtenir par les ellipsoïdes , soit ces rayons intérieurs , soit les ondes correspondantes. Pour appliquer ce point de vue au deuxième cas, il suffit d'imaginer la section QOQj [fig. 3i4) du deuxième ellipsoïde normale au rayon unique OQ', et ses deux triangles axiaux OQP, OQt P, , de faire tourner de 90 degrés ces deux triangles dans leurs propres plans jusqu'à ce que leurs hypoténuses QO, QiO viennent coïncider avec la normale OQ'. Les deux côrés OP', OP', sont alors normaux â deux sections du premier ellipsoïde qui sont respectivement les positions des ondes excitatrices intérieures génératiî^s de nos deux rayons superposés. La direction de leurs vibrations est donnée par un des axes de chacune de ces sections, à savoir ceux sur lesquels se projettent les hypoténuses OQ, OQi, ou , ce qui revient au même, ceux qui sont parallèles aux petits côtés Q'P', Q', F^. On voit donc que, déjà dans le deuxième cas simple, les vibrations des deux rayons associés ne sont plus rectangulaires. Que sera-ce

donc dans le cas plus général d'une excitation extérieure (juelconque?

Soit, en ciïet , une onde extérieure aboutissant , nous le savons, à deux rayons intérieurs distincts et à deux ondes intérieures non parallèles. Le plan normal à chaque rayon intérieur donne la section du deuxième ellipsoïde dont ce rayon utilise un axe. Cet axe est désigné par la longueur du rayon qui est la sienne. L'axe connu, ou a le triangle QOP, l't j partant, la section correspondante du premier ellipsoïde. Entre les deux opérations, il n'y a plus de sections communes, et nous avons eu raison d'avancer (§ 643) que le premier ellipsoïde aussi bien que le: second intervenaient alors chacun par deux sections distinctes. Dans des condilious aussi compliquées, le point de vue des ellipsoïdes est bien inférieur à celui de la surface de Tonde et des plans tangents. Mais comme les ondes intérieures restent parallèles à ces plans tangents, on voit que la direction des vibrations non rectangulaires reste soumise à cette loi générale, d'être donnée par la projection sur les plans tangejits, du ou des rayons vecteurs qui expriment les routi^s des rayons.

§ 656.-— Exc^ticms à la règle qui 4onxia la 4irectipo de la

vibration.

La règle est en défaut toutes les fois que Tangle qOp est nul, et que le triangle ou le rayon vecteur se projettent sur uti point. Comme le triangle QOP s'annihile en même temps que Tautre, on peut dire encore qtie les exceptions se produisent quand Jes deux points correspondants de la surfax:e d^élasticité et de C4^1le de Tonde se confondent. Cela arrive dans les biaxes, i° pour Tun di^s rayons, tout le long d'une des courbes d'intersection fournies par les plans coordonnés ; a*' pour les deux rayons le long des axes \ Z° comnic nous le verrons plus loin, pour Tun des rayons de chacun des deux cônes de réfraction conique. Cela arrive dans les uniaxes , i '* au sommet de Taxe de révolution j 9^ tout le long de Té((uateur^ 3" tout le long de la nappe sphérir|ue , c'està-dire constamment pour le rayon ordinaire. On se lire de

55a GHAPITBB XXV.

ces cas exceptionnels , en en appelant aux sections du premier ellipsoïde dont les axes restent , dans tous les cas , parallèles aux vibrations polarisées.

Considérons les sections du premier ellipsoïde qui passent par Fun des axes, OY par exemple. Elles ont pour axe le rayon vecteur de Tellipse ZOX suivant lequel elles coupent le plan coordonné ZX ; le second axe leur est commun en direction et en grandeur, car sa direction est OY et sa

grandeur j \ ce qui explique, en passant, ce cercle de rayon b

suivant lequel le plan des XZ coupe la surface de Tonde. Comme Tangle (/Op^ subordonné à Taxe inégal de ces sections, n'est pas nul, la vibration correspondante, c'est celle du rayon non ordinaire, se trouve donnée par projection , elle est contenue dans le plan ZX. L'autre est donc connue, puisque dirigée constamment suivant OY, qu il s*agisse des cas simples ou du cas général , elle est perpen diculaîre h la première. Aux sommets de la surface de Fonde, on se tire d'affaire de la même manière en considérant Tellipse principale normale à l'axe d'élasticité correspondant, car elle assigne aux vibrations, pour directions, ses propres axes, qui ne sont autres que les deux autres axes d'élasticité.

Puisque , dans un cristal uniaxe , le premier ellipsoïde est de révolution , une section quelconque a pour axes Fiatersection de son plan avec Féquateur et la projection sur son plan de l'axe de révolution. On se tirera de l'indétermination qui atteint constamment la vibration ordinaire , en s' appuyant, (!omme on vient de le faire, sur la vibration extraordinaire que la règle générale de projection met dans le méridien, et lui rattachant Fordinaîre par la relation de perpendicularité. Les deux rayons sont-ils indéterminés et compris dans le plan de Féquateur, Fonde sera une des sections méridiennt^s toutes égales du premier ellipsoïde, elle donne, ainsi qu'on Fa annoncé (§ 432) , une vibration E normale au plan de Féquateur qui est alors plan d'incidence, et une vibration O comprise dans ce plan.

Enfin sont-ils superposés le long de l'axe du cristal , la section subordonnée de Tellipsoïde -devenant son cercle équatorial , la vibration excitatrice n'est plus échangée contre deux vibrations orientées, et le rayon transmis reste naturel .

§ 657. — Plans de polarisation.

Comme le rayon OQ' est en général oblique sur la vibration P'Q' {fig- 3o8 et 3i4) j il est impossible d'avoir un plan de polarisation à la fois perpendiculaire a la vibration et passant par le rayon. Si les rayons intérieurs étaient directement accessibles, peut-être trouverait-on préférable de définir plan de polarisation le plan mené par le rayon perpendiculairement au plan du triangle OP'Q'. Mais Fresnel remarquant que , dans nos expériences , nous ne jugeons de ces plans que par ceux de polarisation des rayons rendus à Tair, a choisi, même à Fintérieur des cristaux, un plan normal à la vibration , c'est-à-dire le plan mené par OP^ normalement au triangle. Il remarque d^ ailleurs que, dans les cristaux connus, ce plan diffère très- peu du précédent.

§ 658. — Relation des plans de polarisation des denx rayons

associés par la donble réfraction.

Avec la première définition , même pour le cas simple de Tonde excitatrice intérieure, les deux plans de polarisation des rayons congénères ne seraient p<is rectangulaires , et leur angle, donné par une pyramide quadrangulaire OP'Q'TrQ', tri rectangulaire (fig» 3i5), surpasserait 90 degrés. La définition de Fresnel rend au contraire ces plans rectangulaires , mais ils ne le sont plus dans le deuxième cas simple, tandis qu*ils le seraient alors avec la première définition. Ces avantages partagés, qui se retrouveront dans d'autres . circonstances, nous paraissent rendre difficile le choix entre les deux définitions, et nous font proposer de considérer indifléremment les deux sortes de plans. On conçoit d'ailleurs que, dans le cas général, et les uns et les autres perdent la rectangularité; car ce cas utilise deux sections

du premier ellipsoïde distinctes, et faisaut entre elle:» le même angle que les deux- plans tangents à la surface de Tonde. La première section donnera deux triangles OPQ', OP', Q', , dont un seul OP^Q', par exemple, servira. La deuxième donnera de même deux triangles Ott'K', Oit', K', dont un seul Ott', K', servira. Pour que les vibrations P'Q', 7r', K', fussent rectangulaires, il faudrait que les deux \ibrations homologues P'Q', tt'K' données par deux sections voisines, c'osl-.i-dire les axes de ces sections, fussent dans un plan perpendiculaire à tt', K', . Or si cela peut arriver pour certaines sections voisines, ce ne sera pas en général pour celles que nous amènent les plans tangents d'Huyghens. Que deviennent ces résultats chez les uniaxes? ^lous venons de voir que , pour une section quelconque du premier ellipsoïde, Tun des axes élai t dans Téiiuateur, et se trouvait perpendiculaire au plan formé par le second axe de la section et par Taxe de révolution de l' ellipsoïde. S'il s'agitdu premier cas simple, le plan de ces deux dernières droites n'est autre que celui du triangle OPQ dont les deux côtés représentent, en pareil cas, les deux rayons réfractés. Ceslcc plan qui, d*<iilleurs, en qualité de section principale du cristal , est le plan de polarisation du rayon ordinaire. Celui du rayon extraordinaire lui sera visiblement normal, quelle que soit celle des deux définitions que Ton adopte. Le lecteur verra qu'il en est encore de même dans le deuxième cas simple. Il nous semble enfin que, dans le cas général, la rectangularité appartienne encore aux plans de polarisalion de Fresnel , de sorte que la loi de Malus serait rigoureuse chez les uniaxes.

Les réfractions coniques,

§ 659. — Les denx réfractions coniques, l'interne et l'externe.

Il y a dans le plan des ZX perpendiculaire à l'axe moyeu deux directions OC, OD (/î^. Sia), ou mieux deux couples do directions dont Fresnel n'a pas connu foute l'unporlance.

L'ime, caractéristique de la tangente Cy commune au^

THÉORIE D£ LA DOUBLE nÉFUAGTIOlIf. 555

deux coui'bes , est celle de la normale OC déterminée par le point de contact du cercle. L'autre est celle du rayon vecteur OD déterminé par le point commun ati cercle et à l 'ellipse.

Fresnd vit bien que le plan tangent qui se projette suivant Cy, ne donnait qu une onde pour les deux rayons réfractés OC, Oy, mais il ne soupçonna pas que ce plan tangent put avoir, en dehors du plan des ZX, d'autres points de contact. Or, aujourd'hui , on sait que ce plan touche la surface suivant un cercle, et que le rayon incident se résout intérieurement en une infinité de rayons qui forment un cône oblique à bs^e circulaire auquel succède , à la sortie du cristal , un cylindre creux d'autant plus large que le cristal est plus épais.

Faute d'avoir envisagé les choses dans l'espace, Fresnel se méprit également sur les phénomènes relatifs aux rayons vecteurs ombilicaux qui constituent pour lui les axes op^ tiques du cristal. Il remarqua bien que les deux rayons qui suivent ces directions, issus il est vrai de rayons incidents différents, avaient la même vitesse et offraient ainsi , quoiqu'ils redevinssent distincts à la sortie, une incontestable analogie avec Taxe optique des uniaxes. Mais il no vit pas qu'au lieu de deux rayons, c*était une inGnité de rayons, empruntés à autant dMncidents distincts dont deux seulement se trouvaient dans le plan des XZ, qui se résumaient ainsi dans la direction unique OD. Il ne vit pas qu'il y avait au point D une infinité de plans tangents dont les intersections TT', TiT, , TfT', ,..., av(\3 la surface du cristal, conduisaient à autant d^incidenls doués de la propriété de lancer un de leurs deux réfractés dans cette di-> rection commune : qu'ainsi cette direction était telle, qu'un certain cône de rayons incidents se résumait dans le cristal en un seul rayon, lequel, à sa sortie, s'épanouissait de nouveau en cône.

Fresnel a donc ignoré, ou mieux n'a que très-imparfaitement connu les deux phénomènes aujourd'hui connus

sous les uoms de réfraction conique interne el de réfmctian conique externe. La première décompose un rayon en une foule de rayons et ne leur accorde qu'une onde, normale aux droites OC , OCi dites axes de réfraction conique, JLa deuxième offre a une foule de rayons réfractés issus de divers incidents, pour direction commune, chacune des deux autres droites OD, ODi dites £ixes optiques. Calculons ces directions ainsi que celle de la ligne Oy qui forme avec OC l'angle COy du cône oblique de réfraction conique interne.

§ 660. — Calcul de certains angles, situés dans le plan XOZ,

à l'aide de la surfoce de l'onde.

Angle 9 êtes a,ccs optiques avec P'axe de plus grande élasticité, — On a : le cercle

or» -h 9' = b\ l'ellipse

rt' X* 4- f ' z* =r (t^ c',

le rayon vecteur

on a pour les abscisses des points où il coupe les deux courbes

pour Téqualion qui exprimera que sa rencontre avec les deux courbes a lieu au même point

de sorte que la valeur de h propre au rayon vecteur c omaïuii est

Angle B' des axes de réfraction conique avec l'ajce dé plus grande élasticité, — Tangente au cercle

, . J.r'X-hz'Z = ^',

tangente à l'ellipse

, V j fl^ jr'i X -f- c^ z[ Z = a^ c'^

tlltoRIB DK LA DOURLK R^.FAAGTION. SSj

é<|ualions qui expriment ridentîté des deux tangeiUcs

c'est-

-à-dire

Les équations

(4) donnent

puis

d'où

en6n

tan