L'ACOUSTIQUE AUXILIAIRE DE L'OPTIQUE

En acoustique les néthodet directes meeureat plutôt les dorées des ribnitiens que les longueurs d'ondes. — Secteurs de M. Montigny. — Ventres et nœuds dus au concours d'un son direct et d'un son réfléchi. • Leur analogie aTec eertaines franges luniineusies. — Incorrections signalées par N. Sevart dans la position de ces ventres. — Seebeck en trouve la caiise.^ Expériences simples qu'il institue pour trouver des ventres conformes à la théorie. — La vibration tourne avec le rayon sonore. — Influence qu'ont sur la valeur des sons et snr la couleur des rayons lumineux: -^ i^ le mouvement de la source ; — ifi celui de l'organe ; — 3^ celui du milieu. >- Expérience négative d'Arago sur la déviation d'un prisme diversement orienté par rapport au mouvement annuel de la terre. — Les deux hypothèses de Fresnel. — Leur vérification par l'expérience de M. Fizeau. — L'expérience d'Arago expliquée. — Retour sur la méthode de Bradiey.— Comment le mouvement de translation du globe doit produire, k égale distance d'un corps lumineux, suivant l'orientation, des inégalités dans l'intensité lumineuse et calorifique.

L'œil aveo mi lentlllef , •«• Inaret, fon ▼aite eksBp ei mb éducsUos. poMèdfi comme on doa (Tablqnlté qal msDqoe à l'ortane ds Toofe.

§ 39. ~ Mesvre de T ou ;> en acoustique.

Si OD voulait réaliser en acoustique rexpérieuce de Young^ on serait gêné par Taptilude universelle qu'ont les corps à propager le son. Là, en effet, tous les corps sont diaphanes; cependant comme ils le sont à des degrés très- différents, on doit pouvoir

DÉTERMINATION DES CONSTANTES DE IvOPTIQUE. 79

réussir, si Ton perce les deux ouvertures dans une paroi orga-v nisée pour amortir excessivement lés mouvements vibratoires. Les franges bruyantes et silencieuses , ou y pour employer les termes consacrés, les nœuds et les ventres, garderaient de la puissance même ù de^ grandes distances angulaires, puisque les mouvements dérivés sonores n^éprouvent avec l'obliquité qu'une faible dégradation. Mais, pour les percevoir, l'oreille devrait se transporter aux lieux que chacune occupe. Quolqu^on doive à M. Despretz quelques expériences de ce genre et qu'on en ait d^autres où Fin 7 terférence avait lien entre des ondes directes et réfléchies, cependant on ne leur a pas demandé la détermination des ondulations sonores. Pour l'air et pour Peau , milieux auxquels nous ferons surtout allusion, les bonnes valeurs de ces longueurs s'obtiennent par le calcul à laide de la formule

L acoustique réussit donc à déterminer soit Vet T, soit V et //. A regard du paramètre T ou /i , le succès repose sur la grandeur

relative de T qui ne descend pas au-dessous de -z de seconde

* ^ 5oooo

et surtout sur Fénergie et l'amplitude de ces mouvements d*ensemble auxquels prennent part des portions considérables du corps sonore et quelquefois le corps tout entier.

Grâce à cette énergie on peut confler au corps vibrant, une tige rigide, un léger pinceau, à Taide desquels il inscrira sur un cadran ou sur un cylindre tournant, le nombre de ses vibrations. Grâce à celte amplitude, Tœil voit les vibrations et peut les compter «quel qn*en soit le nombre , si toutefois on rient à son aide par d'ingénieux artifices , parmi lesquels il faut citer en première ligne celui qui est du à M. Montigny (^). Quant aux vitesses, ce que

(*) Moins connu quo la sirène et que les méthodes d'inscription employées par MM. Duhamel ei Wertbeim,ce procédé consiste à animer le corps vibrant (une tige par eiemple) d*nn rapide mouvement de translatiofi. An milieu de chacune des deraî^scillations rétrogrades, le mouvement absolu de la tige, passant par un minimum de vitesse, l'impression visuollo se forme plus complète, et Von voit autant d Images de la lige qu'il y a en de vibrations. Pour qu'elles soient équidîstantos, le mouvement de translation doit être uniforme : on lui donne cette qualité en le prenant circulairo. Qu'on se figure donc la lige vibrante encastrée par un bout dans \in axo, dt»

8o CHAPITRE 11.

nous en avons déjà dit montre qu'elles sont accessibles et théoriquement (§§ tf et 6) et expérimentalement ; et qu*outre la détermination expérimentale directe trop rarement réalisable, existent des déterminations indirectes dont le point de départ est une des manifestations variées de la propriété générale dont l'acoustique entière n'est qu'un corollaire , c'est-à-dire Vélasticité,

§ 40. — Interférence d'un son direct avec un son réfléchi. — Anomalies. — Leur interprétation par Seebeck.

Quoique notre intention soit de nous borner à un simple aperçu , et de ne pas nous laisser distraire par le détail des procédés variés que l'acoustique a mis en jeu pour obtenir et contrôler ses constantes fondamentales, cependant nous ne pouvons nous dispenser d'insister sur une expérience de N. Savart, attendu que Seebeck en a fait jaillir un principe général de la tliéorie des ondes.

On peut en optique obtenir les franges à l'aide d'un seul miroir MN que l'on place {fig, 24 ) un peu en dehors de la ligne qui joint l'œil et le point lumineux. L'œil reçoit deux faisceaux, l'un direct, l'autre réfléchi , et comme, vu l'incidence rasante, le dernier n'est guère inférieur au premier, on a, d'un côté de la frange centrale à demi visible, les franges connues (* ). Des franges analogues dues au conflit d'un son direct et d'un son réfléchi s'obtiennent aisément en acoustique : seulement au lieu de recourir à des rémanière à décrire, quand ce dernier tourne, un plan normal à Taxe , et rencontrant à chaque tour, par son bout libre, un obstacle qui lui restitue Incessamment la même amplitude de Tibration ; si la vitesse est telle, que pendant un tour complet ( un mécanisme en donne la durée ) il y ait un nombre exact de vibrations, les images immobiles diviseront le cercle en secteurs égaux que Ton pourra compter. On y arrive plus aisément en mettant d*un côté de la tige une lumière, et de Tautre un disque transparent sur lequel on obtient des ombres portées permanentes. Une grande vitesse de rotation a le double avantage : i^ de rendre la vitesse de translation supérieure à la vitesse maxima de la vibration, et de ne donner dès lors qu'une seule image pendant la demi-vibration rétrograde ; 3<> de donner aux images et aux ombres portées la permanence qui résulte d'une sensation fréquemment renouvelée. ("^ Avec deux miroirs parallèles dont les prolongements passent, pour l'un, à droite, et pour Tautre, à gauche du point lumineux, on obtient trèsaisément trois systèmes de franges, à savoir celles produites pour chaque miroir entre les rayons directs et réfléchis, et au milieu un système de franges plus fines dues aux deux faisceaux réfléchis.

D^TERlnilATION DES COMStABmSS DE L OPTIQUE. 8 ^

flexions obliques, ou peut sans incooTénient user (Tune réflexion normale.

Dans ce cas lés franges successives données par un .même 3on, on bien les franges de même ordre données par divers sonS, s'échelonnent, non plus sul* une droite transversale^ mais sur la nor- maie ;iu plan réfléchissant qui est la direction commune des deux sons. • • . •

Pour concevoir la génération des fràhges, imaginons les trochoides du son incident, et supposons-les continuées. au delà du plan réfléchissant {fig% 25) : la reflexion îa pour effet de ramener enavant ces derniers mouvements. Mais cojnmè le plan a plu^ de masse que l'air, on saura (sauf à' y revenir plus loin § 68J que pour tenir compte de cette particularité il faut changer le signe des vitesses oscillatoires du mouvement réfléchi, les prendre appulsives ou impulsives suivant qu'elles étaient, dans le mouvement incident, impulsives ou appulsives, qu'en d^autres termes les demi-ondes réfléchies sont dilatées ou condensées suivant que les demi-ondes génératrices étaient condensées on dilatées. Bref, on a les trochoides caractéristiques du mouvement réfléchi en rabattant les trochoides postérieures au plan, sur les trochoides antérieures^ après les avoir retournées dans le plan et avoir mis à gauche les spires qvi étaient à droite. Si nous négligeons l'atténuation d'intensité due à la réflexion ; on voit que le mouvement résultant sera donné par la courbe cfde' facile à construire, puisque ses ordonnées sont la somme algébrique des deux ordonnées correspondantes des trochoides Incidentes et réfléchies GD£ , cde.

Sans qu'il soit nécessaire d'ajouter ici à la représentation graphique du phénomène les calculs équivalents , on voit aisément qu'au point d' les trochoides apportent et continuent d'apporter, malgré leur. déplacement, des mouvements égaux et contraires, qu'ainsi ce point est un nceud permanent de vibration; il en est de même du point c' oii s'opère la réflexion. On trouve aisément d'autres nœuds équidistants et distants de la demi*longneur d'ondulation des deux sons qui interfèrent. Intermédiairement , c'est-

I 3 5 à-dire à des distances du mur égales à -9 79 79 ••• 9 d'ondulation,

4 4 4 se tronvent des ventres. Le son résultant du concours des deux

sons, le direct et le réfléchi, a donc la même hautelir qu'eux ; il y 1. 6

a celt€ seult> différence (outi'e celle d'intensité) que les nœuds et les ventres, mobiles dans les deux sons composants, sont fixes dans le son résultant. Ainsi la coexistence des deux mouvements donne à Tair l'organisation des cor|>8 sonores, et, sans lui enlever le rôle de propagateur, lui donne en même temps celai d'excitateur.

Quand plusieurs sons se réfléchiront à la fois, les ventres de leurs sons résultants se trouveront séparés, et orbconçoit qu'une oreille exercée qui parcourra lafiormale, puisse les discerner. Toi est en effet le mode d'analyse à Taidé duquel Sa va rt démêlait, dans le brouhaha confus d'une cité , divers sons.

Revenons au cas d'un son unique : N. Savart, qui l'a étudié avec soin, a trouvé que les nœuds et les ventres étaient en désaccord avec la théorie sous le double rapport de leur position et de leur écarte ment. Quand il s'agit de sons graves dont le X est grand , le désaccord se réduit à un intervertissement à peu près exact des nœuds et des ventres. Seebeck a montré que ces discordances tenaient aux conditions complexes des expériences.

N. Savart, en effet, bouchait l'oreille la plus éloignée du mur. Le son direct n'arrivait à l'oreille libre qu'après avoir fait le tour de la tète et avoir subi ainsi , outre un accroissement de chemin, un infléchissement de 180 degrés. Seebeck remplace l'oreille par une petite membrane convenablement tendue sur un châssis circulaire et touchée au centre par un petit pendule. Vu sa petitesse, cette oreille artificielle ne gène pas sensiblement le passage du son : mais son avantage est de pouvoir être attaquée des deux côtés, d'un côté par le son direct, el de l'autre par le son réfléchi. £li bien, dans ces conditions simples, les repos et les mouvemenis du pendule accordent rigoureusement aux nœuds et aux ventres les places que leur assigne la théorie. Seebeck reprend ensuite les mêmes expériences en tendant la membrane sur l'orifice d'un vase fermé par l'autre bout, et en dirigeant vers la paroi réfléchissante la seule face attaquable de la membrane. Dans celte nouvelle série, qui reproduit les conditions adoptées par Savart (avec toutefois cet avantage que les sons, pour tourner autour du petit vase , n'éprouvent que de faibles et négligeables accroissements de chemin ), les nœuds prennent la place des ventres, et réciproquement.

Il faut donc admettre que, dans l'inflexion, le rayon sonore em-

porte avec lui )a vibration, sans que le sens de la vitesse change par rapport à lui. Qa*ainsi un mouvement direct qui eût été anta> goniste du mouvement réfléchi, prend, en tournant de i8o degrés, la même direction que lui, et donne à la membrane qu*il eût immobilisée une impulsion concordante. Fresnel n'a pas ignoré ce principe important formulé nettement par Seebeck, et il y a eu recours pour décider un point délicat de la théorie. Mais, à cause delà rapide dégradation des ondes dérivées, il faut, en lumière, recourir à la réflexion (§ 80) pour produire, dans Tun des rayons, une rotation de 1 80 degrés.

§ 41. — Le mouvement de roreille change la hauteur des sons.

Dans notre démonstration de la réflexion et de la réfraction , nous avons supposé miroir et prisme immobiles; dans la pratique, ces appareils partagent le mouvement rapide qui emporte notre terre. Outre ce mouvement inévitable, nous avons dû, dans rUne expérience, imprimer à un miroir réfléchissant une grande vitesse. Quelle peut être Tinflucnce de tels mouvements sur la direction, la couleur,..., d*un rayon lumineux ? Nous entrerons dans cette question délicate en examinant d'abord les phénomènes analogues offerts par le son.

Une oreille qui se meut vers un corps sonore reçoit dans le même temps plus d'ondes sonores qu'au repos. Si sa vitesse est celle de la propagation du son, 34o mètres, outre les ondes qui seraient .venues battre le lieu qu'elle occupait , elle ira rencontrer un nombre égal d'ondes qui ne Fauraient atteinte que plus tard. Si donc, et cela est, la hauteur du son dépend du nombre des vibrations, plutôt que de la longueur d'ondulation, le son passera à Toctave aiguë ; il passe à la quinte , quand le mouvement est de 1^0 mètres.

§ 42. — Altérations analogues, mais pins rapides, dues an monvement dn corps sonore.

En imprimant le mouvement au corps sonore , on obtient dans la hauteur des sons, des altérations analogues , bien appréciables dans le sifflement de la balle qui vient vers vous et vous dépasse et dans le sifflet d'une locomotive. Sans en faire le calcul complet, montrons la marche à suivre sur quelques cas particuliers.

84 CHAPITRE ir.

Supposons qii*on fiisse éclore en un point S (Jîg. 26) des sons brefs cquiclistants; une oreille placée à distance les percevra i\ des intervalles égaux à ceux qui séparent leur production. Si ces sons successifs sont produits en des points S, S% S''^. . . équidistants, il est visible qu'ils seront semés dans l'espace à de moindres distances >;t que, par suite de ce resserrement qui n'influe pas sur la vitesse de leur propagation, le nombre des sons apportés dans le même temps à Toreille aura grandi. Si le corps sonore qui sème ces sons se meut vers Toreille avec une vitesse de 170 mètres, la distance des deux tranches d'air dépositaires de deux sons consécutifs sera réduite à moitié. Si, au lieu de bruits intermittents, nous supposons un corps sonore qui échelonne dans Pair, bout à bout, toutes les agitations qui forment des ondes sonores, le résultat sera le même, et le son aura passé à l'octave; pour qu'il passe à la quinte, il faudrait une vitesse de i iS^ySS. L'expérience avoue parfaitement ces conséquences. Dans ce second cas, un raccourcissement des ondes aériennes accompagne, comme d'habitude, l'élévation du son.

§ 43. — Le moayement du milieu n'influe que sur la vitesse

du soji.

Quand le mouvement appartient au milieu propagateur, et non plus au corps ou à l'organe, quand il s'agit, par exemple, de la propagation du son dans un air agité , on voit aisément que la vitesse du son s'accroîtra de celle du vent, si nous supposons qu'il souffle dans la même direction. Les ondes sonores sont accrues; mais dans ce troisième cas leur accroissement n'existe que temporairement dans les régions du milieu qui se meuvent. Les ondes reprennent leur épaisseur normale, sitôt qu'elles se retrouvent dans des tranches d'air immobiles.

L'optique doit nous offrir des résultats analogues. Là seulement la question s'agrandit. Puisque l'œil, mieux doué que l'oreille, outre des altérations dans la couleur, sait apprécier encore des déviations; il nous faudra rechercher si l'état de mouvement ne porte pas atteinte à la direction des rayons, il nous faudra, en d'autres termes, reprendre et compléter l'étude physique de l'aberration,

ha lumière se meut si vite, qu'on est porté à introduire d'abord

DÉTBRIIINATION DU CONSTASITES DE JL OPTIQUE. 8i>

dans les expériences les grandes vitesses que présente Tastro-^ nofflie.

§ 44. — Mouyement du oorps lumineux. — Il déclasse les raies.

- S'il y avait une étoile qui n^émît que des rayons exlrcnics, rouges par iDxeinpIe, et qui décrivît une orbite avec une grande rapidité, on conçoit que, quand son mouvement Téloignerait de nous, les ondes fussent assez allongées pour sortir des limites de la sensibilité de l'œil humain, et qu'ainsi elle devint invisible. L^étoilê envoie-t-elle un certain nombre de rayons simples, la couleur de chacun, et par suite la couleur composée de Tétoile, changera périodiquement. Si Tétoile envoie tous les rayons sim> pies, sa lumière restera blanche ,* parce qu'elle reconquerra à un bout du spectre les rayons qu'elle aura perdus à l'uutre. Mais comme les couleurs se seront dénaturées, comme par exemple le vert sera devenu jaune, il en résultera un déplacement des raies particulières à l'étoile. Il est fâcheux que les spectres des étoiles soient trop faibles, pour qu'on puisse relever le système de leurs raies h diverses époques.

Le mouvement du point lumineux influe-t-il sur la réfraction et la dispersion des rayons? Evidemment non; car tant que le mouvement du corps est inférieur à la vitesse de propagation , la vitesse des ondes raccourcies et plus nombreuses reste la même que s'il était en. repos, et partant la réfraction, qui ne dépend que des 'vitesses V et V, ne peut étre'modifîée. Le mouvement du point lumineux peut donc, ainsi que nous venons de le voir, déclasser le&. raies, mais il respecte leurs intervalles angulaires.

§ 45; — Mouyement de l'œil.

Relativement à la couleur, les résultats sont. analogues aux précédents. Il y a cependant -cette différence déjà signalée (§41), que les longueurs des ondes extérieures à l'œil ne sont plus modifiées, et il devient nécessaire de décider d'abord de laquelle de ces deux circonstances, le nombre des ondes ou leur longueur extérieure , dépend la couleur. On peut résoudre cette diflicullé autrement que par rexpérience. En effet , ce n'est pas des ondes exténeuros , mais de celles intérieures formées dans l'humeur vitrée-

qu^il faut se préoccuper ; or le mouvement de l'œil influe sur la longueur de ces dernières ondes. Mais il arrive que, quand elles deviennent plus nombreuses, elles sont en même temps raccourcies, et Toptique n*oflre pas sur ce point la même division que l'acoustique. On n'oubliera pas, d^ailleurs, que Tinfluence du mouvement de l'œil est différente et moins active que la précédente. Quanta Tinfluence sur la direction, nous Tavons suffisamment étudiée sous le nom é!* aberration.

§ 46. -< Mouvement du milieu. — Expérience d'Arago.

On a sur cet important sujet : i° quelques expériences négatives, parmi lesquelles nous choisirons celle d'Arago; 2° une savante interprétation de cette expérience due à Fresnel, et 3® une expérience de M. Fizeau, qui (en attendant les démonstrations des géomètres) peut être considérée comme justifiant à posteriori les deux |X>stulata sur lesquels Fresnel appuie son interprétation.

Arago étudie les deux réfractions qu'exerce, à six mois de distance, un même prisme sur une étoile placée dans le plan de Técliptique et dans le prolongement de l'élément décrit par la terre. Dans l'un des cas, le pnsme va au-devant de la lumière avec une vitesse de 8 lieues; dans l'autre, il fuit la lumière avec la même vitesse. Seize lieues étant loin d'être insignifiantes vis-à-vis de 800Q0, on pouvait s'attendre à une diflerence dans les deux déviations minimum opérées par le prisme : il n'en a rien été; mais cette .expérience est complexe, l'œil partage le mouvement du prisme, et nous allons voir que Taberration introduite par celte circonstance se trouve être égale et de signe contraire à l'aberra- ^on qu'engçndre le prisme. Dans l'expérience de M. Fizeau, au contraire, l'œil reste étranger au mouvement qui emporte le milieu : il est vrai que ce mouvement est bien- peu de chose , mais quoique sa vitesse n'ait été que de quelques mètres, M. Fizeau a su, par un heureux choix des phénomènes, en apprécier et même en mesurer les effets. Arrivons aux détails.

§ 47. ~ Expérience de M. Fizeau.

Puisque le mouvement du milieu modifie la vitesse de propagation, il ne devait pas être impossible d'obtenir, comme conséquence, un déplacemjent de franges ; il fallait interposer sur la route

DéTERMlNATlON DBS COUSTAlNTES DE L'OPTIQUE. 87

de chacun des faisceaux ioterférentsdenx longs tubes pleins d'eau , rigoureusement pareils, et produire dans Pune des deux colonnes liquides un roouTeinent rapide. Les principales dispositions des appareils avaient été tracées , il est vrai^ dans un travail entrepris jadis par Fresnel et Arago pour comparer les indices de Tair sec et de Tair humide, mais rexpérieoce n*en offrait pas moins de grandes difficultés. Les deux fentes devaient avoir un écarteroent inusité, et il fallait que la colonne mobile, malgré les variations de température et de longueur que le mouvement rapide de Teau devait y amener, restât rigoureusement équivalente à Taotre. M. Fîzeau obvie au premier inconvénient par un jeu de lentilles, et par Tcm- |»loi de lames obliques L » L' à faces parallèles (§ 5S) ; il obtient le second résultat, en n'usant que d'une seule colonne d*ean pliée en deux et traversée par les deux faisceaux, mais en sens contraire. Les rayons [fig- 27) partent de P, se réfléchissent sur un petit miroir non étamé, arrivent sur l'objectif 0, comme s'ils partaient du point P', situé au foyer principal. Rendus parallèles entre eux et aux deux moitiés du tube, ils traversent d'abord les deux feules, puis chacun une moitié de la colonne d'eau en mouvement. Un autre objectif O' les reprend, un miroir m' normal à Taxe des deux objectifs les renvoie aux tubes; chacun parcourt la seconde moitié de la colonne liquide, et ils reviennent en P' former un système de franges fines qu'on observe avec un puissant oculaire. Si l'cao se meut comme Tindiquent les flèches, on voit aisément, surtout en dépliant l'appareil et le reproduisant avec quatre lentilles et quatre moitiés distinctes de tubes, que les franges seront jetées vers le bas enP,. Chaque lame parallèle agit forcément deux fois dans Tappareil plié, mais il est visible sur l'appareil déplié, que l'on pourrait se passer (sauf la remarque du § 58) du système des lames parallèles placé près du point lumineux. 11 en est de même d'un des deux écrans E ou E|, on pourrait ne garder dans l'appareil déplié que celui qui avoisinc Tœil. Enfin, dans ce dernier appareil, s'il était réalisable, on pourrait encore supprimer les deux lentilles intermédiaires.

§ 48. — Les deux hypothèses, de Fresnel. — Calcul de l'expérience de M. Fizean.

Quand on. veut appliquer la théorie à ce genre de phénomènes,

le difficile est de savoir quelle relation existe entre le mouvement d'un corps et celui de Téther qui y est confiné. Fresnel a admis :

1°. Que le corps n'entraînait que la portion de son éther qui constitue Texcès de sa densité sur relie de Téther environnant, c'est-à-dire «' — i (§38);

2,^. Que la vitesse de propagation, qui s'accroîtrait de toute celle du milieu si tout Fétlier était emporté, ne s'accroissait que d'4ine partie de la vitesse, à savoir .celle qui exprime le mouvement du centre de gravité de Téllier.

Le premier postulatum parait assez plausible. En effet , Téther aurait partout la même constitution si les corps ne réagissaient pas sur lui. Mais les corps produisent sur Téther iine altération qu'on peut évaluer en accroissement de densité. .Cet excès accumulé sera dans une condition spéciale : on conçoit qu'il soit seul entraîné par le corps.

Relativement au second postukluui , on comprend qne tout le milieu , la portion immobile aussi bien que celle qui se meut, contribuant à la propagation des ondes, leur vitesse se ressente de cette immobilité partielle. Fresnel , par quelques exemples, rend très-probable que le mouvement s'accroît de celui du centre de gravité du milieu.

Soient m la masse immobile, /n' la masse qui se meut, g', g' les distances des centres de gravité de ces deux masses à un plan. La position du centre de gravité du corps m 4- m' dépend de l'équation

/w^ -h /lï' gr' =r ( Jw -♦- m' ) X.

Si l'on appelle p' la vitesse de m\ on aura au bout du temi)s /

mg 4- m' (g" -h v'i) =lm 4- m') (x 4-r) x d'où

La vitesse Vi du centre de gravité est donc

/w 4- m c'est-à-dire ici

f'i = «' r— = ♦' TT

Donc dans le miiiea en mouvement^ la longueur d'onde X' devient

T étant la durée d'une vibration ; ou encore

si l'on représente par < Tespace décrit par le milieu pendant la durée d*uné vibration; on enfin

X'-hs*,

si Ton représente par A la fraction — rr*"

Dans une expérience de M. Fizeau, la vitesse de l'eau était de

7*907 f avec l'indice ^ cela donne, pour la vitesse du centre de

gravité de l'éther de Peau ,

Les deux tubes réunis ayant 3 mètres de long, il suit que l'un des rayons gagnait et que l'autre perdait un petit chemin z donné par la proportion

z : 3» :: 3,093 : 8oooo.3ooo (*).

G>mme on pouvait, par un jeu de robinets, changer le sens du mouvement et comparer les positions des deux systèmes de franges correspondantes aux deux circulations contraires , on doit prendre 4 z pour la différence de route introduite par le mouvement de l'eau ; mais 4 2 est une épaisseur du liquide, et il faut la multiplier par ^- On trouve pour ce dernier produit o'""',ooo 206, et

si Ton suppose que dans ces expériences, faites avec la lumière blanche, on puisse employer la longueur d'onde moyenne o^^oooSoo, le déplacement total atteindrait o,4iX, c'est- à-

( * ) La vitesse do U lumière dans Feau est les 7 de 80000. /looo mélrcs.

go cn\prrRK ii

dire près d*une demi-frange. G'esl parce que les expériences de M. Fizeau ont donné sensiblement les déplacements calculés, qu'on doit y voir une vérification des deux hypothèses de Fresnel.

§ 49. — Explication du résultat négatif de rexpérience d*Arago.

Dans l'expérience d*Arago, c^est par un changement de réfraction que se traduit l'effet du mouvement. Soit un prisme (fig, 3o] dont le côté £F soit à la fois perpendiculaire et à Técliptiqne et aux rayons incidents ; les rayons entrent sans se réfracter. Pre< nous Tonde dans la position ab. Le point de première arrivée a commence à donner ses ondes dans Fair ; celui de dernière arrivée b donnera les siennes » non plus à partir du point b\ mais à partir du point 6 occupé par b'y ù Tinstant où le mouvement Tatteint. A la rigueur Tespace b'Z doit être trouvé par le problème des courriers; mais, comme la vitesse de la terre est petite auprès de celle de la lumière, on peut prendre pour 6' 6 l'espace c que parcourt la terre pendant que la lumière décrit bb' dans le verre. Pour garder à i la signification de la page précédente, nous supposons au faisceau parallèle une épaisseur telle que bb' vaille X'.

Soit olg' la position qu'occuperait Tonde du point a si le prisme était en repos, auquel cas le rayon réfracté serait aa' donné par lu tangente b' a'. Le rayon réfracté sera donné ici par une tangente 6a, menée du point 6 à Tonde émanée de /?. Or le rayon de cette onde surpasse flfl' = >, puisque Tonde, ne prenant qu'une partie du mouvement du prisme, se trouve plus retardée par TalloDgement du chemin qu'accélérée par Taccroissement de vitesse.

On voit sans peine que ce rayon vaut \ — ou sensiblement

^ M "^ vC* "~ ^') I' puisque t ete^- sont très- petits vis-à-vis de >',

ou enfin X -!--:- puisque i — ^=— -•

Si , au lieu de construire le rayon r?fracté , on veut calculer sa position, en appelant i' et r' deux angles comptés avec la normale à la nouvelle face /iS , on a

sini' a' 4- g/

DÉTERMUIÀTIOII DFS CONSTANTES DE L'OPTIQUE. 91

et l'angle a, a âi' des deux rayons réfractés a pour valeur

En partant des deux formules

sini V sin/' V-4-e*

rr=r

sinr

et s*aidaDt de la considération du triangle b'tr, on trouve sans peine

/ — I :=: - Sini COS/.

Un calcul un peu plus long (*], également simplifié par des approximations, donne

r — r' =r (cos> 1 — >?) o *,

^ 'V cosr

rempbçant A par sa valeur et ramenant Tanglc r à Tangle / , on trouve finalement

/' — I -h r — - r' = --J sin 1 cosi — —-; sin 1 \/X" — X' sin' /.

La direction du rayon réfracté a donc changé (** ) ; en sera-t-il de même de sa direction apparente?

Le tube de la lunette qui sert à déterminer cette direction, est emporté par le mouvement commun, dans la direction Aa y il faudra donc ($16) lui donner une direction oblique LF, telle que, pen-^ dant que la lumière parcourt la distance LM, le point focal F ait

(*) Ooa

on en déduit sin 1', puis sin r' et cos r'. De là on peut former Texpression de •in ( r — r* ) = sin r cos r' — sin r' eos r,

en ayant soin de négliger les ternies qui contiennent <* ou une puissanc» supérieure de «.

(**) Pour

«=3o®, «=1,7, Ji = o,oooS, on trouve

rt'rttf,=;i6* —6*= 10".

le temps de venir en M, c'est-à-dire qu'on doit avoir

sin FLM : [sin FML = sin (r — i) ] : : t : V, or .

sin (r-— i) = sinrcosi — sinicosr

= X ( - sîn I cos/ — —, sin ' V^'* -^ ^' 5»»'' )

^ -sin (/'—/ 4- ^ -<•'•')• .

Donc l'angle FLM n'est autre que la déviation , et Taxe optique de la lunette indiquera sur le limbe la même direction que si prisme et limbe étaient immobiles. Le mouvement de notre globe est donc sans eflet sur la réfraction apparente; il n'est pas difficile de démontrer qu'il en est de même de la réflexion , mais nous laisserons au lecteur le soin d'en arranger la démonstration. Quant au miroir mobile de l'expérience (§ 54), si sa vitesse angulaire est grande 9 sa vitesse absolue reste très-faible; et voilà comment, quoique l'œil reste étranger à ce mouvement, la réflexion n'est troublée par aucune aberration appréciable.

i^ 60. - L'aberration d'une lunette indépendante dn milieu qui remplit le tube.

Reportons-nous au $ 16 et à la Jig, 4 > et supposons qu*on remplisse le tube d'eau , la lumière mettra à le franchir un temps plus long, le tube éprouvera dès lors un plus grand déplacement; donc au lieu de battre en C\ le rayon atteindra un point C| situé plus à droite : partant l'aberration aura grandi. Cette argumentation , toute spécieuse qu'elle puisse paraître , est cependant incorrecte. Si l'éther du vide est immobile , il n'en est plus de même de l'cther de l'eau qui participe au mouvement de translation et emporte les ondes vers la gauche. Le déplacement effectif est donc la différence entre le déplacement de droite agrandi et ce nouveau déplacement qui intervient. Soient / la longueur du tube, V la vitesse

dans l'eau , et --7 le temps du trajet. La vitesse de la terre est

vi, ,roù œ. = l/i = /i:

les ondes ayant ponr vitesse V - — — — seront entraînées de

différence /- — • Divisant par /, le quotient— exprime Tangle d'aberration intérieur au liquide* L'angle extérieur correspondant s'obtient en multipliant par -: Taberration du tube plein

d*ean est donc ^9 c*est-à-dire le quotient des deux vttesses de la

terre et de la lumière , comme si le tube était vide: et voilà pourquoi, ainsi que nous Tavions annoncé, la méthode de Bradiey donne rigoureusement la même vitesse que celle de Hoëmer. Toutefois, nous retrouvons ici, comme dans rexpériénce d*Arago (S ^^ )' f[^^ ^^ résultats diffèrent suivant qu'ils sont traduits en déplacements linéaires ou angulaires. C'est à ce dernier point de vue seulement que le mouvement du prisme et celui du tube plein d'eau ne produisent aucun effet.

§ 51. — Cnriense* expérience proposée par M. Fizeaa.

L'immobilité de l'élher du vide et de cette partie de l'éther des corps à travers laquelle ces derniers glissent sans lui communiquer une partie appréciable de leur vitesse, a suggéré à M. Fizeau une remarque extrêmement ingénieuse qui a été de suite convertie par lui en un projet d'expérience. Nous ne pouvons mieux clore ces considérations délicates qu'en jetant un coup d'œil sur cette conception qui doit apporter, si elle est couronnée de succès, une nouvelle preuve du mouvement de translation de notre globe.

Soient un point lumineux et un écran solidaire emportés l'un et l'autre par un mouvement commun très-rapide ; puisque l'éther interposé est immobile, ou que tout au moins, quand il participe au mouvement, sa vitesse reste toujours inférieure à celle du milieu , il suit que l'écran , quand le mouvement est dirigé de lui vers le point lumineux » va au-devant des ondes , et les reçoit à une moins grande distance du centre d'ébranlement et partant moins atténuées. Si le sens du mouvement change, cela équivaudra,

94 CHAfiTRfi U. DiTERM. DES CONST. DE L OI^TIQUE.

au contraire, à un accroissement de distance: en passant d'un cas à l'autre; cVst comme si la distance grandissait dans le rapport

• La vitesse v de la terre = V; si nous la mettons

V — V 1 GOOO

en jeu, le rapport des deux intensités sera

/'+77iT7V.

sensiblement i -\ = i +

I oooo 5ooo

La photométrie ne saurait sans doute apprécier une aussi faible différence; mais on peut croire avec M. Fizeau qu*il n'en serait pas de même de la therroométric : on aurait donc une source de chaleur placée entre deux piles très-sensibles, dont les sensations seraient rigoureusement en équilibre sur un galvanomètre différentiel très-délicat; par une rotation de i8o degrés, on passerait d'une position à Tautre, et il s'agirait de constater un mouvement de l'aiguille aimantée.

GOMPOMTIOM DES MOUVBilKN'rs VlBHAtOlHtlS. 95

Composition de deux mouTemento vibratoires de même direction et de même période. — Ce problème se confond avec celui de la composition do deux forces concourantes. — Décomposition d*un mouvement vibratoire en deui. — Composition d'un nombre quelconque de mouvements vibratoires. — Zones d*Huyghens. — L'éclairement d'une onde libre» en un point, est le quart de celui dû à la première zone. — Accroissement prodigieux de lumière donné par l'écran de Fresnel. — Éclat central de l'ombre d'un disque circulaire opaque. — Obscurité paradoxale obtenue, k certaines distances , dans la tache lumineuse du trou circulaire. — Difl'raclion avec la lumière convergente. — Construction des fonctions et des intégrales qui s'introduisent dans le calcul des phénomènes précédents. — Tranches de Fresnel. — Cas où le rayon réfléchi est engendré dans la couche extrême. — Cas où la réflexion s'opère dans toute la masse du corps. ~ Cas des milieux dits opaques. — On peut résoudre le problème de la composition des mouvements vibratoires en considérant les seules excursionF.

§ 52. — 011 Cas de la composition de deux monvements vibratoires.

A propos de rînterférence de deux sons, l'un direct, I^autre réfléchi , nous avons indiqué (§ 40) la construction géométrique qui donnerait le son résultant el montrerait qu'il a la même hauteur que les sons qui le forment. Dans rintérêt des chapitres suivants, nous allons traiter celle question par le calcul.

Trois hypothèses restrictives, autorisées par l'étal actuel de l'optique expérimentale, sont inlroduiies dans ce chapitre : les mouvements vibratoires dont on cherche la résultante sont parallèles, de même période et proviennent d'une même source-, en d'autres termes, il ne sera question ici que de rayons parallèles, de même couleur, issus d'un même luminaire. -

q6 chapitre iil

Ces divers rayons diflereroot par les chemins décrits. Si

6 sinair.- T

est la vitesse oscillatoire. du point lumineux, les vitesses qu'ils apportent au même instant, k une même tranche d'éther, seront (§ 10)

V = b sin tî ?r u' = b' sin 2 ir v"=6"sin2

i, i', fe",... étant les coefficients que leur laissent les circonstances qui allongent leur route, et ^, â'^ d" les chemins décrits. Si en place des retards on introduit les phases /,/',/".- (S"), on a

U = 6sin f 27r - — :/ j 9 w' = 6' sin ( 2ff -; — /' )»••••

Nous supposerons toujours les rayons rangés de manière que y, y, y',... aillent en croissant, et comme ce sont les différences de route el non les routes absolues qui nous in* téressent, nous négligerons la partie commune à tous les rayons, à savoir d si Ton garde les retards et^ si l'on garde les phases, et nous partirons des équations

U = ft Sm 2 7r-;j

v'znô'sin Uir-— çj,

u''=*"sin(2,rl-.p'), dans lesquelles 9, 9V •• «ont les différences /'— /, f"—fy...

COMMSITION DES MOUVBIIEIITS VIBRATOIRES. I^y

des phases, différences qu'on appelle habituellement a#io* malies (*).

Ne considérons d'abord que deux rayons. La vitesse U du rayon résultant vaudra la somme algébrique des vitesses. On aura doue

U= 6sin27r- -h 6'»in ( 2ir- — y| =z [b -^ b' CCS ç) sin a fr - — b' sin ^ cos2 tt ;• 9

= BsinUirî-^j

si Ton pose