f- 6' CCS 9 = B cos ^ et b' sin f = 6 sib ^p
et si Ton remarque que ces deux équations de condition seront toujours admissibles, puisqu'elles conduisent] aux valeurs
° o -h 6' cosf
dont la première ne cesse pas d*ètre réelle^ même quand cos 9 vaut — I.
De ce qiie U a la formé
BSÎD
nous en concluons que le mouvement résultant est du même genre que les deux mouvements donnés, qu^il est
( * ) Avec la forme
que nous adopton», les rayon» qui sont en retard auront des anomalies po<A sitives. Une anomalie négative indiquera que le rayon qu*elle caractérise précède le raypn fondamental dont l'anomalie est zéro. Ce serait le contraire si nous partions de la forme
<^g r.HAPlTRB III.
soumis à la même piî ri ode T et défini par les deux paramètres B et tp.
Les deux équations de condition donnent
sin((p~+)= g ^sin(p g-^œs-y,
c'est-à-dire
sin(tp — >^) = gsin<p.
On a donc
b '. b' \^ : : sin (» — Tp ) : sin >|* : sin 9 ;
de sorte qu'entre les trois coefficients et les trois différences de phases (f — ^, ^, 9, on a les mêmes relations que dans le problème de la composition de deux forces, entre les trois forces et leurs angles d'assemblage. Ainsi le rayon résultant est , par la phase, intermédiaire aux deux autres et son coefficient B est lié aux deux coefficients &, V et à la différence des phases (p, précisément comme si &, b' étaient des forces et 9 leur angle d'écartement. Tous les résultats, toutes les constractions de la statique sur ce problème sont donc acquis à notre question d'optique. Assemblons [fig-'^^) deux droites sous Tangle 9, anomalie du dernier des deux rayons donnés, prenons sur chacune, des quantités OA, OB proportionnelles à leurs coefficients 6, &', construisonsie parallélogramme, la diagonale OC sera l'amplitude du mouvement résultant , et les deux tronçons COB, AOC de l'anomalie AOB expriment ce dont le rayon résultant précède le dernier rayon et suit le premier.
Si du sommet O on décrit une circonférence, les trois directions y déterminent trois arcs, mesureurs des trois différences de phases. Si la circonférence avait pour longueur X ou pour rayon — > les longueurs des trois arcs rer-
lifiés ne seraient. autres que les trois retards. ..
Nous avons supposé, dans ce qui précède, l'anomalie 9 moindre que 36o degrés, mais la règle précédente est gêné-
COMPOSITION DES MOUVBMBNTS VIBhATOIRES. 99
rale^ seulement, quand Tanomalie surpasse une ou plusieurs circonférences, il faut prendre pour (f Tangle qui reste quand on en a retranché le plus grand multiple dv, quatre droits qui y est contenu.
Le problème inverse, qui consiste ^substituer, à un mouvement vibratoire, deux autres mouvements de même pé* riodcy est indéterminé. Mais quand on se donnera les deux diilérences f 1, f s comprises entre leurs phases et la sienne <{;, on connaîtra B, tpi, fs ((pi appartenant au rayon qui est en avance) 5 dans ce cas le problème est déterminé et donne
b : B :: sln^, : sin (<p, -H <pi), ^' : B :: sinç, : sin((p, -h f,);
de sorte que les deux rayons seront
^ sin», . / r , \
u = B -r-z ; sm 2ir- — 4^ + «i »
sm(<p.+ <p,) \ ï ^ * )
ti' = B . 7" ^! — ; sin ( 27r- — "^p -^ f 1 ) •
smyi
'sin((pi-|-ç,)'
Discussion. — Si dans le problème direct, 9 = o, on a + = 0, B = b-^b\
Tintensité B' surpasse donc de tàbb^ la somme des deux intensités.
f = 1 80 donne encore
tang^ ou >|;=o et B = 6— i'.
Quand (f=go et que le retard du second rayon vaut jy on a
Lf
tang + = T- et B» =r ^» + ^'%
et l'intensité du rayon résultant vaut alors la somme des intensités des deux composants. Ajoute-t-on la supposition b = b^j alors l'intensité est doublée dans le rayon résul-
' lOO CHAPITRE m.
tant et la phase (p, donnée par lanig^ = i, répondant à g?
le retard du rayon résultant sur le premier rayon est ^al à son avance sur le second.
Dans le cas très-important où ^ = 90, les équations de condition deviennent
6 = Bcos ip , i^'= B sin ^..
On voit donc que si, passant au problème inverse, on se propose de remplacer un rayon U = B sin air - par deux
autres qui diffèrent de j A, Tun ayant l'avance p et Tautre le retard jX — p^ ce qui donne les anomalies
27r£ = + et ^ — +, le premier composant serait
u=Bcbs27r£sin(27r-;-t-2irM et le deuxième *
w'=r B sin 2 TT Ç sin f 2 tr h ^ j •
Si le rayon à décomposer avait été pris de la forme
ses deux composants seraient w = Bcos2ir^sin 2 V— ?
u'= Bsin 2ïr J-sm ( air- ) = — Bsm29r^cos29r~-
Toutes les fois qu'il ne sera question que d'intensités, on se bornera à considérer les facteurs
Bros29r^9 Bsm27r^«
COMPOSITION DES MOUVEMENTS VIBRATOIRES lOl
§ 53. — CoBiposition d'un nombre quelconque de rayons. — La méthode.
On donnera à ce problème la tournure suivante, imitée de la statique ;
On sait qu'en statique, ayant les forces P, P', P',..., dont la direction est définie par les angles a, a', a'',... comptés avec l'axe des X , on substitue d*abord à chaque force, ses deux composantes
iPcosa, j Pcosa, j . . . | P sin a , 1 P sin a', ( , . . . )
ce qui donne deux résultantes partielles iPcosa, iPsina, et qu'ensuite on a la résultante totale
R = ^(2 Pcosa)»-i- (2 Psina)» :
ayant ici une foule de rayons, de coefficients i, i', A",..., sachant qu'ils ont, par rapport au premier, les retards o,
p', /9%... OU les anomalies O9 ait^» air^v- Pour avoir
les deux caractéristiques B et (p de leur rayon résultant, . nous remplaçons chacun d'eux par deux autres ayant pour
retards o t\ 79 ou pour anomalies o et - : les coefficients
des rayons du premier système seront
et celles du second
o, 6^sin2ir^) ft"sin 27r î^ ? • . •»
la phase étant la même pour les rayons de chacun de ces systèmes, les deux coefficients des résultantes partielles sont
2 A ros 2 ir Ç > 2 6 sin 2 ;r ^ I
1021 GHAPmUB UI.
et celui de la résultante, d'après la formule particulière
B=V'6M^>(page99)
sera
Quant à Tanoiiialie de ce rayon résultant, d'après la formule particulière
elle dépend de Téqualion
tangij;:
2 ^ CCS 2 ir °
Pour trouver sans retard une occasion d'appliquer ces formules , et pour alléger le chapitre de la diffraction , nous allons compléter les développements que nous avons déjà donnés sur le principe d'Huyghens.
§ 54. — Zones d'Huyghens.
La lumière au point P est, avons-nous dit (§ 19), la résultante des ébranlem^ents que lui. envoient tous les points p, p\ p^\. , ,yde l'onde prise dans une quelconque de ses positions antérieures. Supposons (fig- Sa) que ces points soient définis par les équations
P^' - Pjt; == i , P,>'' = Pp' = i , . . . ,
les lignes ^p\ l^p" détermineront sur l'onde sphérique, en tournant autour de CP, un anneau central et des surfaces a^inulaires qu'on appelle les zones d'Huyghens.
Les divers rayons que les points de la calotte aphériquc
centrale envoient en P, ayant des retards moindres que -j
ajoutent quelque chose à l'effet du rayon CP. Il en est dr même des divers mouvements envoyés par les points d'une
COMPOMTION DES MOUVEMENTS VIBAATOIHES. lo3
Dièoiezoue^ ils ont entre eux tous les degrés de concordance imaginables depuis le plus parfait, jusqu^ à celui qui inaugure la série des discordances. Mais les rayons de deux zones rontiguës sont au contraire en discordance, et s'ils étaient en même nombre dans les deux zones , parallèles , et chacun à chacun de même énergie, ils s^entre-détruîraient rigoureusement. Mais cette triple équivalence^ quoique bien approchée, n'a pas mathématiquement lieu: d'une part, l'étendue des zones, et avec elle le nombre de leurs rayons , déci*oit progressivement^ de l'autre, Ténergîe de leurs rayons dérivés s'affaiblit. Bref, si i, b\ b"^. . ., sont les coefficients de vitesse de la résultante des mouvements que chacune envoie , B vaut
Avant de chercher celte série B à l'aide de nos formules, tachons d'obtenir sur elle, par des moyens simples, quelques renseignements/
La petitesse de -fait que, dans les conditions de nos expériences, la triple dégradation que présentent les mouvements vibratoires des zones est lente et que deux anneaux contigus envoient presque la même lumière au point P. Celte équivalence est surtout admissible pour les dernières zones qui , en outre , par suite d'une grande obliquité , n'envoient plus qu'une lumière insignifiante. En tenant compte de cette faiblesse des derniers rayons et de leur meilleure compensation, on n'a plus à chercher si le nombre des zones est pair ou impair et on peut considérer la série b^b'-\-h"^b"'^ ...,
comme allant à Tinfini. Nous allons en conclure avecFresnel que le mouvement de chaque zone est détruit par la moitié des mouvements des deux zones entre lesquelles elle se trouve : qu'ainsi , les mouvements épargnés et la lumière se réduisent, les unh à moitié de ceux du premier anneau , et Tautre au quart de A*.
Io4 CHAPITRE Ht
Soient en effei
I , I — Al, / — a A/ -H A*i. . . ,
les surfaces des zones d'Huygliens et les valeurs moyennes lentement décroissantes des coefficients de leurs vibrations, les vibrations résultantes seront proportionnelles aux produits
la demi-somme du premier et du troisième vaut
si — (/Â7 4- 5A/)-|- ( -5A*i -t--i A'j— 2T/A# )• • • >
le produit intermédiaire est
si — (/ AjH- jAi) -h Al Af ,
Leur différence est donc une quantité petite du second ordre. La somme des erreurs de ce genre ODtenue dé procbe en procbe, en très-grand nombre, nemontera qu'aune quantité petite du premier ordre et peut être négligée. Si au contraire on voulait réserver tout le mouvement b de la première zone et détruire i' par b^\ b'" par i*"", . . ., les difi*érences &' — b'\ V" — i*^,. . ., seraient petites du premier ordre et leur somme donnerait une erreur comparable à b.
§ 65. — Multiplication de lumière par récran de Fresnel.
Sî on obstrue, par un écran construit avec soin , les zones 2, 4 9 6y . • . , de manière à ne laisser parvenir en P que les mouvements concordants des zones i , 3, 5, 7, . . . , on aura un accroissement prodigieux de lumière. Fresuel a fait construire un écran de ce genre. Pour notre salle, longue de 10 mètres, et pour des rayons rouges , la largeur de la deuxième zone (elle est maxima quand Q»p = pP) atteint presque un demi^millimètre et nous avons pu Texécuter : en la soutenant avec tme petite tige (/f^. 33), on obtient au point P, d'aboird toute la lumière de la première zone, puis le quart
GOUPOSITION DES MOUVEMENTS VIBRATOIRES. lo5
de celle de la troisième, c'est-à-dire environ cinq fois plus de lumière que sans Fécran.
§ 56. — ficlairement dn centre de l'ombre d'un disque opaque.
Nous prévoyons de même, qu'au centre de l'ombre géométrique obtenue derrière un petit écran circulaire, on aura sensiblement la même lumière que si l'écran n'existait pas. En effet Técran supprime un certain nombre de zones, plus une fraction de zone; les mouvements qui restent doivent être groupés en nouvelles zones dont la première est à demi épargnée. Or, si Técran est assez petit pour que cette première zone ne soit pas d'un rang élevé,
le quart de sa lumière ne différera sensiblement pas de y b*.
§ 97, — Obscurité an centre du corde lumineux donné par un trou rond.
Le centre de la tache lumineuse circulaire qu'on obtient, quand on place devant un point lumineux un écran opaque percé d'un trou rond, peut être parfaitement noir. U suffit pour cela que le bord du trou corresponde exactement à un nombre pair de zones, c'est-à-dire que l'on ait (Jig. 3a)
Derrière un trou quelconque on trouve toujours plusieurs distances pour lesquelles cette condition est satisfaite. Si on appelle ce et 6 les deux distances C/7, pT?, la différence Pci) — T?p vaudra à très-peu près les deux sinus verses wa, <TT, et l'équation précédente deviendra
En mesurant r, rayon de l'ouverture , et les distances a , 6 , et en partant d'une distance S assez grande pour ne pas manquer la première tache noin^, on connaîtra n et on {pourra tirer de l'équation précédente une bonne valeur de X.
106 CHAPiTlUC 111.
Sans nous arrêter à tirer simplement d'autres conséquences du principe d'HuyghenSy arrivons aux calculs qui donnent, avec plus de précision, celles qui précèdent.
§ 58. — Composition des mouTements vibratoires associés par la dériyation. — Le calcul.
Puisque Tefficacité appartient surtout aux premières zones, puisque les zones d^un rang un peu élevé cessent de contribuer sensiblement à la lumière du point P, il suit que Ton peut considérer comme parallèles les rayons envoyés par l'onde et appliquer à leur composition les formules précédentes.
Associons (fig- 3a) au rayon C/;, pris pour axe des z, deux axes rectangulaires /;X, /;Y situés dans le plan tangent à Tonde menée par le point /?, et soient x, y^ z les coordonnées d'un élément e de cette onde situé dans Tazimut CeP : pour deszonesd^un rang aussi peu élevé, e nediflérera sensiblement pas de sa projection dxdy. Si donc on désigne pary(9) la fonction suivant laquelle le mouvement dérivé s'atténue avec l'angle d'obliquité 9 qui sépare sa direction. fiP de Cs, la vibration envoyée par l'élément e en P sera déjà proportionnelle à {lxffyf{9). Si nous représentons par i le coefficient de vitesse sur la sphère de rayon i , sur la
sphère de rayon a il sera - (§ 7) •, mais le principe d'Huy-
ghens, en faisant, de chaque poînlde l'onde, un centre d'émanation , autorise à étendre aux mouvements , dérivés dans une même direction , la même loi de dégradation : donc sur les sphères secondaires de rayon S, le coeflicient
sera encore réduit dans le rapport -• Somme toute, la \ibra-
lion eu P issue de l'élément e sera
Sou relard vaudra encore sensiblement la somme de deux sinus verses, que Toa pourra évaluer approxîmalivemejit
en attribuant aux deux arcs une même valeur, à savoir la corde pî = ^x*-hy* -h z^ de l'iin d'eux 5 mais z est si petit, dans les conditions admises, qu'on peut le négliger et adopter pour le retard Texpression
L'anomalie de ce rayon sera donc
et si on le transforme en deux autres qui aient pour anomalies o et-» leurs coefficients seront ^
-i dx dyf( 0) cosir f^ (*' + r» )•.
-iÀrrfr/(e)sin^"-^(x'+j,J).
En étendant la même opération à tous les éléments de l'onde, le carré de Tamplitude de la résultante générale de tous les mouvements, c'est-à-dire l'intensité I de la lumière en P sera
l'anomalie du rayon résultant sera
tang ^|; = ^^-j^ s *
jj d^dy/{B) cosn"^ (^'h- r')
Pour les premiers rayons , l'atténuation due h l'obliquité est insignifiante; les mêmes motifs qui nous ont permis d'étendre à tous, le parallélisme approximatif des plus influents, nous autorisent A négliger entièrement l'inégalité
* Io8 GUAPITRB 111.
introduite par la dérivation et à poser
La solution du problème dépend alors des deux intégrales
j j drdfcosn'^^^ix'-hy'),
développant les lignes trigonométriques , la première donne
dxdjr sinw —sr-y^ Smir — --- /% otoA fltoA
et la dernière
I I dxdy sinn -^j:^ x^cosn — ^^-J
aSX a6X
aSX ^ a6X
remarquant que a: et ^ sont séparés, et représentant par les lettres A , B , C , D chacune des intégrales simples , on a les expressions
j^„os.__,.jrf,eos.--^r'
dx sin ir -^ X' / rtfr sintr -^ /»= AB - CD,
j^sm.--xJ^jcos.^^r'
f/lrcoSTr — TT-x' I r/rsinvr — -— r» = CB -f- AD, aÇk J ' a€X
eu élevant au carré pour obtenir Tintensité, les doubles produits se détruisent et il reste
I = A'B'H- eD' -h C^B' 4- A'D'.
Enfin, quand les limites seront les mêmes. poUr x et poury, quand, par exemple, la portion de l'onde épargnée autour du rayon Cp^ sera un carré dont les côtés soient dirigés suivant les X et les y^ ou encore quand il s'agira de Fonde entière, on aura A = B, C = D, et, par conséquent,
Dans tous les cas, les intégrales en y portant sur les mêmes fonctions que celles en x , le problème se ramène à l'intégration des deux seules expressions
Posons
J^COSTTÎL+f,', jd^
sin it
elles s'échangent contre les deux autres
1/— : TT f rf«'C08-p*, \/ —, rr Iwsm-p*.
On ne connaît pas l'intégrale générale des expressions différentielles
ettf CCS - «^, <ip sîn - p' ; 2 2
mais on a trouvé (note A) que, soit entre les limites o et 00 , soit entre les limites — oo et o, elles avaient tontes
deux la valeur -9 et, par conséquent, entre les limites — 00
et + 00 la valeur 1 . Cette connaissance ne parait guère devoir profiter à notre question , puisque, dans le cas le plus large, quand on prend l'onde entière, les limites s'arrêtent au cône enveloppe mené par le point P, et correspondent à des valeurs finies de o: et de ^. Cependant Fresnel remarquant qu'il n'y avait aucun inconvénient à étendre les zones d'Huyghens à l'infini , puisque une telle hypothèse n'introduisait dans rintégrale, à la suite des éléments vrais, que des éléments égaux et de signe contraire qui ne modifiaient
IlO CHAPITRBllI.
pas dès lors la somme des premiers éléments, en a conclu que pour avoir Téclairement normal en P, il fallait prendre les intégrales ci^dessus entre les limites ^— oo et -^ oo , c'est-à-dire poser
/^cos-x*=i, I dxsin—-== t.
L'intensité donnée par Tonde entière vaut donc
puisque entre ces limites l'intégrale du sinus a la même valeur que celle du cosinus : il vient
Et si Ton rétablit le facteur — r; on trouve enfin, pour I,
l'expression
qui est, comme on devait s'y attendre, indépendante aussi bien du rayon a de la sphère sur laquelle il nous a plu d'appliquer le principe d'Huyghens , que de la distance supplémentaire 6, et qui ne dépend que de la somme a + 6 , distance totale à laquelle elle reste liée par la même loi de la raison inverse du carré. On a en outre
CB-+-AD A'+A» . V j. . «f
^"«+ = ÂirrcD==F:rA'=*' oest^-di«î ^ = -.
Ainsi le rayon résultant a pour coefficient rr et il est en
retard de yl sur le premier rayon CP.
§ 59. - Antre expression de la résnltante. On peut diriger autrement les calculs précédents et obtenir des formules précieuses pour le cas où la portion de l'onde utilisée sera de révolution autour de CP.
COMPOSITION DES MOVVBMBIIITS VIBRATOIHKS. 1 1 1
Soit ^ la distance ^x^-^j* J'un point quelconque au. point p : tous les mouvements de l'anneau ^i:sds oni le même retard
ou la même anomalie 7:5* — rr-; il s'ensuit que l'intensité en P sera
et la phase du rayon résultant
/2Tr .
sas sm 7t — —— s^ Jr a- >
I %'KStls COSir — —— .ç' 4 '^
J dt5>. Y -A^
ici les intégrales s'effectuent et Ton a "^^^ ■ < .^. . -;
/a -A- ê ag). . a -h 6 , "^ ItzSdS OOS TT 2-— f* = : — r SlR TT -— - .î' -f- ^ , a5>. a -h 5 aSX
T.Ttsds smir — 2-— 5'= rcosw — TT— J -f- <?. a5A a H- 6 aCA
Pour avoir la lumière de la première zone d'Huygliens, les limites seront
sz=zo et s^ 3- = - ï
ce qui donne
1 ■■ « -1-6 tang 4^ = = 00 ,
c'est-à-dire que le rayon résultant éclaire quatre fois plan
que si Fonde était libre, et qail est encore en retard de y
On trouverait le même résultat en prenant trois zones ou, plus généralement, un nombre entier mais impair de zoncs^
On voit ici que cette moitié réservée de la première zone d'Huyghens, qui constitue Téclairement normal, doit se composer d'éléments uniformément disséminés dans la asone entière.
Si le trou circulaire occupe juste les deux premières zones ou plus généralement un nombre pair de zones, les limites seront
