KI

et enfin 1'

'expression

"rf-COS^pA + fl-l- f

dt* sin - f * I »

que nous devons retrouver en diffraction, puisqu'elle y exprime l'intensité de la lumière dans divers phénomènes étudiés par Fresnel.

Les premières expressions sont les ordonnées de courbes serpentantes dont les spires se resserrent de plus en plus et dont les élongations constantes atteignent toujours les deux droites o'V% o" ^parallèles à Taxe des c, menées aux distances + i et — i . Ce qui rend ces courbes admirablement appropriées à la question, c'est que les surfaces comprises entre Taxe des Y et les spires sont, comme lessones d*Huygfaens, alternativement désignes contraires, et convergent comme elles non-seulement vers l'égalité, mais encore vers stéro.

l<es expressions (3) et (4) sont des surfaces rapportées au carré Oo^Di pris comme unité. Pour les construire comme les précédentes, par des courbes, on représente Tunité de surface par une ligne arbitraire. Nous avons pris la ligne OA qui est assez

COMPOSITION DES HOCVEMEUTS VIBRATOIRES i 19

grande pour que ces nouvelle» courbes ne se mêlent pas trop aux premières. On a des courbes serpentantes dont les plis se resserrent comme dans les courbes 1,2, mais dont lesélongations s'atténuent et qui tendent dès lors à se conibpdre avec une parallèle aux p

menée à la distance- AO = o,5.

Nous verrons en diffraction (§ tOl) que la détermination numérique des expressions (3 } et (4) est du plus haut intérêt. On pourrait les obtenir en relevant les surfaces comprises entre Taxe des v et les courbes i , 2 , à l'aide d'un réseau de petits carrés égaux qu'on placerait dessus ces courbes. On compterait le nombre de carrés exactement enfermés et on apprécierait les fractions incluses de ceux qui seraient simplement entamés.

Les expressions (5) et (6) reproduisent avec exagération les allures des précédentes. Leur maxima et leur minima répondent aux mêmes valeurs de p. Elles se rapprochent indéfiniment , leurs plis s'atténuent y de la parallèle aux t^ distante de o,25.

Epfiu la courbe 7 se déduit des précédentes par la relation

j=:-=H-7-h I (iif cos - P» -f- / de sin - p»

+( / décos- «'M -♦- f I </psin-p' \ » \Jo ^ J \Jo ^ )

c'est-à-dire en ajoutant - à la somme des quatre ordonnées correspondantes des courbes 3,4'^» ^* En la construisant, nous avons, pour abréger, tenu compte des valeurs assignées par Fresnel aux maxima et aux minin^a qu'elle présente. L'atténuation de ses spires la rapproche indéfiniment de la droite 7 = 2 qui représente réclairement normal.

Si l'on construisait une huitième courbe ayant pour équation

V = I f r/p cos - p' 1 -h ( f rfpsin - p' 1 >

on la trouverait dépourvue de maxima et de minima. Nous y ferons ' allusion (§ iOS) quand nous étudierons l'invasion de la lumière, à rintéricur de l'ombre d'un écran rectiligne.

- - Dttfls notre ligure les courbes i, 3, 5, sont en traits interrompus. Les courbes 2, 4> 6, ainsi que la courbe finale 7, sont formées dHm trait continu. On a écrit près de chaque courbe, en deux endroits difTérents, son numéro d'ordre. Le long de l'axe des p on trouve en caractères plus petits la série des chiffres i, 2, 3,4>**-> qui' indiquent des abscisses croissantes. Pour éviter .une figure trop compliquée nous' nous' sommes arrêté à > ?= 4> au lieu de pousser nos constructions jusqu'à i' = 5 ,5 Jimite à laquelle Fresnel a étendu ses calculs. Enfin le long de l'axe des j, on trouve d'autres chiffres qui indiquent des ordonnées croissant par dixièmes. Us se rapportent à l'unité de surfaces représentée par OA, et par conséquent aux y des cinq dernières courbes. Us servent surtout à faire apprécier les valeurs extrêmes des j de la septième courbe.

§ 63. — Tranches de FresneL

Après avoir supposé longtemps que la réflexion de la lumière était produite exclusivement à la surface des corps, Fresud a été conduit à admettre dans ce phénomène, le concours des particules placées à leur intérieur.

Quand le corps a une diaphanéité parfaite lès particules peuvent sans doute^ quelle que soit leur profondeur, prendre part à la réflexion ; mais le principe des interférences limite , comme il suit , la réflexion à une mince couche dont il est facile de trouver l'épaisseur.

Décomposons, en effet, le corps en tranches minces analogues aux zones d^Huyghens, et telles, que les rayons extrêmes d'une tranche

aient la différence déroute-- Si les distances des particules sont

assez petites vis-à-vis de ~ pour que, dans deux tranches consécu»

tives, chaque particule ait son homologue , il est visible que les mouvements de ces tranches s'entre-détruiront et qu'il y aura lieu de chercher quelles portions des mouvements des tranches extrêmes seront épargnées.

Les tranches n'offrent plus, il est vrai, aucune des trois dégradations offertes par les zones d'Huyghens, mais elles nVn ont pus moins des énergies décroissantes, puis(]ue le mouvement qui

'aUeÎDt de proche en proche les tranches éloignées s'affaiblit par la réflexion même : puisque, si le milieu n'a pas une diaphanéité absolue, il s'affaiblit encore par une extinction graduelle. Bref, il faut mettre en réserve Ja moitié de la première tranche. Le mouvement réfléchi est donc un mouvement résultant qui aura sur le premier mouvement élémentaire, réfléchi à la surface même, un retard qu'il s'agit de calculer.

Si nous considérons que le mouvement réfléchi par une particule située à la profondeur x est en retard, non pas de x mais de sx, nous voyons que, pour obtenir dans une tranche toute la série des

retards comprise depuis zéro jusqu'à -9 il suffit de lui donner l'épaisseur y On prévoit de même que la résultante aura pour point

de départ le milieu de la première tranche. Le calcul suivant met hors de doute cette assertion.

Le rayon réfléchi à une profondeur x aura l'intensité hdx et le

retard 2 x ou l'anomalie 2 tt — • Si on le remplace par deux rayons

dont l'un parte de la surface , l'autre étant en retard de 79 leurs

coefficients seront

, . ^tfx . ^tzx

box cos — r — ? bdx sin ^î— — »

l'intensité résultante de toutes les.tranches élémentaires sera donc

1= (Jw.cosipy4- (y6./:rsini^)',

et la phase ^ sera donnée par l'équation

tang>p

1 bdx sin -=-r—

4îrar

■ I hdxco^ î—

h est en général une fonction de x qui pourrait bien être une logarithmique. Ce qui est plus cerUin, c'est que les corps offrent les deux cas extrêmes de b sensiblement constant et de b rapidement variable. Attachons -nous d'abord au premier cas. En effectuant les

122 CPAPITREUI.

iotégrales et les prenant entre les limites o eiXy on obtient

6U' r . 4irj? / ^nx \n bn* . 2ir.r