TRAVAUX DE FRESNEL

Détermioation approximative des intégrales définies qui résolvent les divers cas de diffraction. — Mélhode de Cauchy. — Gomment on peut introduire des intégrales simples dans les divers cas étudiés par Fresnel. — Franges d'un bord rectiligne indéfini. — Théorie d^ Young. — La différence des deux théories résumée dans un facteur numérique. — Propagation hyperbolique et disposition invariable de ces franges. — Franges d'un corps opaque étroit et allongé. — D'une fente étroite. — Cas où les franges intérieures du corps étroit et extérieures de la fente étroite acceptent la formule des trous de Young. — Cas où les franges extérieures du corps étroit sont modifiées. — CK>mment la fente peut donner des franges intérieures. — Conditions qui rendent identiques les franges de deux ouvertures ou de deux corps opaques. — Gomment la synthèse rttrouve l'invariabilité des franges du bord rectiligne. — Comment l'emploi de la lumière convergente permet de donner à la fente étroite une largeur inusitée.

liant le choix d'an lyitème oa ae doit avoir égard qu'à la ilmplicité dea bypotbèaas, celle dea ealeala ne pent Mre d'aucun poids daoi la balance des protabllltéa. Dlen ne «'est pas embarrassé . . des diffloultés d'analyse, Il n'a éTlté que

la oomplloallon des moyens.

AOOOSTIH FaiSHBL.

§ 98. — Caractère dea phénomènea de diffraction.

Pour quMl n*y ait superposition que de deux rayons dans un phénomène^ il faut qu'il y ait eu intervention des actions régulières de la réflexion ou de la réfraction. Rarement le principe d'Huyghens est eu jeu dans un phénomène de pure interférence. Cela n'arrive que quand les

DIFFRACTION. 169

points épargnés de Tonde (expérience de Young) se réduisent à deux, auquel cas la dérivation ne peut superposer en chaque point de l'espace que deux rayons.

En diffraction^ au contraire, le principe d'Huyghens est constamment, et nous pouvons dire exclusivement, en jeu, et comme les portions épargnées de Tonde ont une étendue fiuie, le nombre des rayons à composer est infini.

En se reportant a ces réflexions successives dont il nous a fallu tenir compte dans l'étude des anneaux colorés (^77), on trouve que la réflexion n'est pas absolument incapable de mettre aux prises une foule de rayons \ mais de tels cas se distinguent de ceux dont traite la diffraction par la discontinuité des rayons , et par les particularités de calcul inhérentes à cette discontinuité. Nous concluons donc que la diffraction consiste dans Tétude de l'interférence de rayons amenés, en nombre infini et avec continuité, par le principe d'Huyghens, soit en un même point, soit plutôt dans une même direction, si nous nous en tenons à notre supposition d'un œil infiniment presbyte.

§ 99. — Calculs ou constructions auxquels ils conduisent.

L'étude de la diffraction va donc consister à approprier, aux limites propres aux divers phénomènes, l'intégrale I = A'B^ 4- CD» -h C*B» H- A'D«

du §58. Cette appropriation ayant déjà été faite pour quelques cas, ceux où les intégrales s'obtiennent exactement, il nous reste à voir les cas où Fou doit se contenter de calculs approximatifs. S'il n'est plus ici question de la seconde formule qui donne tang^, c'est qu'en diffraction on n'en est pas encore arrivé à faire porter sur la phase du rayon les confrontations expérimentales.

On obtiendrait les valeurs de I enti*e les limites données en s'en référant à des constructions analogues à celle du § 62. Quand il s'agit, en effet, de comparer à des valeurs théoriques les résultats nécessairement incorrects de l'ex-

I^O GHM>ITRB V.

périence, on peut préférer rapproximation des méthodes graphiques à la rigueur des méthodes analytiques : il faut seulement avoir soin que les erreurs des constructions ne surpassent pas celles des expériences. Or, grâce aux perfectionnements introduits récemment dans le dessin des courbes empiriques, on peut croire que la méthode graphique suffirait largement aux études de la diffraction. Cependant, comme les courbes vraiment utiles supposent ici des quadratures^ et qu^ ainsi la méthode graphique se trouve en dehors des conditions habituellement rencontrées en physique , nous allons dire par quels calculs on obtiendrait et les valeurs des intégrales définies et les lieux où l'intensité acquiert une valeur extrême maxima ou minima.

§ 100. — Séries de Ganchy.

L'intégration par parties (^), répétée an fois, donne successivement

(i) I ffPcos-p*= — sm-p*H — 1 — sm-p*,

^ ' J 2 ir(^ 2 TT J P' 2

(2) I --sm-p'= — -cos-«^ I —cos-p',

^' Jp*2 irp*2 1t J V* 2.

^ ' J V* 2 HP* 2 îtJ P« 2 '

(4) I --sm-p' = -cos-p* — - f— cos-P%

^^' J «^ 2 TtV^ 2 irj P" 2

/</p fr I . 9r

-— —T 7 CCS - p^ = — — - sm - p»

P*(»~'^ 2 ïrp*»-^ 2

4n — 3 r du ' . ir ,

/ \ /* i'p . ff , I ir

(2«) I -nr; sin-p' = tzh^os-p'

J «^"~* a WP*""' 2

— -ï: I ---cos-p^

Tf J p** 2

( * ) Ce procédé d'intégration nous a été indiqué par notre collègue M. Despeyroufl.

DIFFRACTION. 171

Ou en conclut

i.3.5.7>..(4^-^3)(4^-^i) rf^,^3-,.,

, . (supérieur j j j (impair

les signes j . f, . correspondant aux deux cas de n| .'^ •

Passant à l'intégrale définie, on a

mais pourf/= 00 , les deux parenthèses s'annulent^ pour v=m^ elles prennent deux valeurs que nous représentons par M et N, en posant

On a donc

^zp cos- p = - -4- M sm - m' — N cos - m* 22 2 2