r < — C08 I -r- X(sin *.— sinv
27r(8m* — sinx)| l ^. * J )
Le quotient de la deuxième par la première donne tang>|^ = tang 1 - X (sin * — sin x) U
d*où
^ = -X(sin* — sinx)»
âOO CHAPITRE V.
c'est-à-dire que le rayon résultant a le même retard que le milieu de l'ouverture. On aura B' en Taisant la somme de leurs carrés et en rétablissant le facteur omis Y, ce qui donne
B'=: Y' , ,, . ^ : — r, la — 2 cos 1 -;^X(sin* — siny) l}-
Remplaçant la parenthèse par quatre fois le carré du sinus de la moitié de l'arc, B' devient un carré parfait, et l'on a, pour le coefficient de vitesse du rayon résultant.
in I - X (sin * — sin x) 1
sin B==YX
-X(sin* — sinx)
Le nombre des rayons incidents varie avec l'obliquité ^ 9 il est maximum quand l'incidence est normale ; hors de là , la section du faisceau admis au phénomène est réduite dans le rapport de cosx à I. Pour rendre la formule générale, il faut introduire cette quantité maximum; si nous la mesurons par la surface S = XY de l'ouverture , il faut remplacer dans l'expression précédente XY par S cos/t et alors on a
isin j - X (sin* — sinx) 1 j
B^=S»cos'x( — -'
-X (sin* — sinx)
Le facteur fractionnaire indique quelle fraction de la lumière incidente se propage dans la direction étudiée. Gomme la déviation du faisceau diffrarté est * — x = ^» pour être exact il faudrait introduire le facteur/ (G) du § M; mais nous convenons encore de le négliger dans cette étude.
§ 117. -•- Solntion d'un certain cas discontinn.
Si nous décomposons l'ouverture en n rectangles égaux ayant
pour dimensions Y et — ? la résultante générale pourra être considérée comme celle des n rayons résultants de ces rectangles. Leurs coelBcients de vitesse, égaux , et déduits de la formule pré-
DIFFRACTION. 2àOI
cédente en y remplaçant S par -et X par — » vaudront
tin
r^-(sin* — «nx)J
; — (sin* — sinx) A n
Leurs phases ^ formeront une progression arithmétique dont le premier terme sera
--(sm* — smx) À n
et la raison
Y-(sm*— sinx);
c'est-à-dire que les formules précédentes résolvent encore le cas de la composition de rayons discontinus égaux, alignés le long d'une même droite et équidistants. A ce point de vue qui rappelle un cas analogue traité § 77, nommons s la différence de phase de deux rayons consécutifs, ce qui donne
^X(sin* — sinx) = -i,
et exprimons B, que nous appellerons Bj, , en fonction de B| , alors la formule du précédent paragraphe s'écrira
sm/i-
B.= /tB,
rtsm-
§ 118. — Discnssion du rectangle.
L'expression de B' est périodique ; ses minima, faciles à trouver et à construire, sont nuls et répondent aux valeurs déduites, pour la variable <I», des équations
ir — - (sin * — sin x) = db mff ou sin * — sin x = db /w — • ?
qui ne diffère pas de celles du § 113, et dans lesquelles m est un nombre entier quelconque. La fonction
|7r~(sin* — sinx)J
sm
202 GUAPITRB V.
obtient un premier maximum égal à i pour ^ = ;^, mais elle donne, par la méthode des maxima, une équation trop compliquée pour qu'on puisse en déduire les directions dans lesquelles ont lieu les autres maxima ; d'ailleurs ils sont , comme les minima , en nombre limité; enfin, à cause de la présence d'un arc croissant au dénominateur, leurs valeurs sont changeantes et rapidement décroissantes.
Quand le faisceau incident est normal au plan de la fente, x = <>> le facteur variable de B devient
TT — sin *
il s'annule pour les valeurs <bi , 4»,, O,, . . ., qui donnent sm * = ± m — 9
on les a construites dans la fi^. 62. En y posant
w -— sm 4> = 10° = 1 5** = 20° = . . . ,
il serait facile d'obtenir les valeurs numériques de l'expression B. Schwerd les a calculées de i5 en 1 5 degrés; en les élevant au carré, il obtient un tableau discontinu d'intensités dans lequel la position des maxima est indiquée. On y voit , par exemple, que le maximum qui suit celui de la lumière directe tombe entre 355 et 270 degrés, et en calculant quelques valeurs intermédiaires, il s'est assuré qu'il répond à 257^80' et qu'il vaut 0,04719; les autres maxima sont , comme celui-ci , plus rapprochés de l'image directe que s'ils étaient équidistants des minima ; mais à mesure que leur ordre s'élève, cette différence est de moins en moins grande. Nous avons déjà rencontré de pareils écarts, dans le cas, moins simple il est vrai , du % 106, et, pour les interpréter, nous avons invoqué Tinégalité des éléments de Tonde. Une telle cause ne doit pas agir seule, puisqu'ici ces éléments sont égaux, il convient donc de montrer l'autre cause qui, entièrement ici et par* liellement au § 106, produit ce rapprochement.
DIFFRACTION. ao3
Ici , où DOS éléments sont égaux , les rayons réalisent le cas de petites forces appliquées en un point, égales et angulai rement équidistantes. Quand les retaîds partant de zéro vont jusqu'à Xf 2 X, ... y les forces correspondantes garnissent un nombre exact de circonférences, et alors, mais seulement aloi-s, leur résultante est nulle. C'est le cas des minima. Comment se f^iyt-il maintenant qu'elles ne donnent pas les plus grandes résultantes au moment précis où elles garnissent un nombre exact de demi-circonférences, trois, par exemple? Cela tient à ce que si, quand on les resserre un peu , ce qui s'obtient en changeant légèrement la direction du faisceau , il en reste moins pour former la résultante , la position de celles qui restent est plus avantageuse ; mais quand le nombre des circonférences garnies devient grand , le resserrement s'étendant à toutes , enlève de suite tant de forces à la dernière demi- circonférence, qu'alors le retard capable du maximum cesse d'être sensiblensent abaissé.
Voici la Table de Schwerd :
Coefficient de vitesse
8in(7r Y "n *
Intensité de la
lumière =BV
o,8io5
Oj7379'
io5
o,3ooi
o,oo58
ao4
Coefficient de vitesse
sin |ff-r sin ♦ j ^'^ ^ ■ s. '
Intensité de la lumière = B«.
3oo 3i5
0 , o45o 0,0377 0,0274 o,oi65
La Table précédente qu*on doit prolonger jusqu'à un nombre pi de degrés égal à tt — > sert pour toutes les ouvertures. Ayant la valeur
fi« = TT Y sin *,
qui donne un maximum ou un minimum, on en déduit
sin
irX'
de sorte que les sinus des angles de déviation sont proportionnels à > et inverses de X. Ainsi l'on retrouve les lois que Fraunhofer avait découvertes, en attribuant toutefois aux angles les relations qui doivent porter sur les sinus. Enfin , nous remarquons que x et * entrant symétriquement dans la formule {page 200), l'effet, dans une direction , reste le même quand on échange entre elles les inclinaisons des faisceaux incidents et difTractés. Remarque déjà faite au § IIS, mais pour un cas particulier.
§ 119. — appareil qni donne les diAracUons parallèle et coBYergente.
Les phénomènes de diffraction parallèle propres aux diverses directions, ne sont réalisables que sur la rétine d'un œil infiniment presbyte. Quand on veut les recevoir sur
DIFFRACTION ao5
un écran, on n'y réussit pas, et Ton obtient, au )ieu d'eux, des phénomènes de diffraction convier gente. Quand Fétendue des faisceaux, limitée par celle des réseaux, est assez faible pour rendre peu marqués les empiétements qu'engendrent inévitablement, sur un écran dont la distance est finie, des systèmes continus de faisceaux parallèles, les phénomènes obtenus diffèrent j^eu, il est vrai, de ceux que nous étudions spécialement; mais il cesserait d'en être ainsi si, dans un intérêt quelconque, par exemple pour avoir plus d'intensité, on étendait les traits du réseau k de grandes surfaces. En pareil cas, l'étude des phénomènes, tels que les verrait un œil ordinaire, q!u tels qu'ils apparaîtraient sur un écran, n'aurait plus de rapport avec les résultats du calcul, et Ton n'y pourrait plus chercher la vérification des formules : tme disposition expérimentale qui , tout en faisant converger sur un même point d'un écran les rayons d'un faisceau incident parallèle, leur laisserait cependant les différences de route caractéristiques de la diffraction parallèle, aurait donc un grand intérêt. On y arrive comme il suit, en utilisant les propriétés des lentilles étudiées à la fin du § 31 . Mettons l'ouverture étroite ab contre l'objectif d'une lunette, perpendiculairement à son axe, et présentons-lui obliquement un faisceau incident parallèle (fig> 63). Si nous interrogeons, avec ou sans l'oculaire, le point F situé sur cet axe à la distance focale principale, le faisceau convergent «6 F envoyé par voie de diffractiiti] en F, se conjugue, au point de vue de la i-éfraction, avec un faisceau incident aèyd parallèle à Taxe OF, et les chemins comptés depuis F jusqu'à une ligne quelconque, yd^ ixv ou «6, normale à l'axe, sont équivalents pour tous les rayons du faisceau; de sorte que les rayons dlffractés qui se sont rassemblés en F, après avoir subi l'action de la lentille, n*ont que les retards contractés jusqu'en a6, retards compris entre l'onde arrivante av et la ligne aS, et sont comme si, reçus normalement sur le réseau , ils s'en éloignaient dans la
ao6 CHAPITRE V.
direction oblique a ^. En changeant la direction du faisceau arrivant abuoy on verrait se succéder au même point F les efTat^ de diffraction parallèle qu'une lumière incidente normale produirait derrière la fente dans tontes les directions. «
Si le point F donne les effets de diffraction pour l'un des deux cas simples équivalents, X ^==^ ^) 4>=: b, un antre point quelconque £ du champ de rinstrtmaent résumera ceux qui conviennent à une direction marquée par l'axe secondaire EO. Traçons le faisceau parallèle extérieur aêpa qui engendrerait 6âeE par voie de réfraction, et menons par 6 ou par a les droites Sp^ aTf perpendiculaires à chacune des droites parallèles EO, aa, 6p. Les chemins compris entre E et la parallèle 6/;, seront (§31) équivalents pour tous les rayons, et les différences dues à la diffraction seront comprises entre les deux droites 6;?, aT, comme s'il s'agissait d'un faisceau parallèle arrivant dans Fane des deux directions aa, aa. et se diffractant dans Fautre direction aa ou a a. Si nous laissons de côté la supposition d'un changement de direction dans le faisceau a£aS, ce qui donnerait au point E les cas de diffraction parallèle constitués par l'association de diverses valeurs de ^ avec une valeur constante de 4», et si nous nous bornons k considérer Tensemble des phénomènes engendrés à la fois aux divers points F, E, H,... par le seul faisceau abaS^ nous en conclurons que le dessin grossi par l'oculaire, sera rigoureusement le même pour tous les yeux, et correspondra au cas de x constant et de <P quelconque qui vient d'être traité. D'ailleurs il va sans dire qu'en substituant, en avant de l'objectif, au disque armé de la fente, un autre disque porteur de l'un quelconque des réseaux cpi'on peut imagi- • ner, onVéaiisera pour ce réseau Tune des innombrables conditions propres à la diffraction parallèle, à savoir la diffraction normale, si le faisceau admis sur l'instrument arrive suivant Taxe, et une diffraction parallèle plus ou
DIFFEACTION 207
moins oblique, si le faisceau arrive de côté. C'est avec un appareil ainsi établi que Schv^erd a observé les nombreux effets de diffraction parallèles qu'il a calculés.
Si Ton enfonce l'oculaire de manière à observer en F'E', on retombe sur la diffraction convergente étudiée au § 106, et pour laquelle les calculs ne peuvent aboutir exaciement ; mais pour se retrouver dans des conditions vraiment analogues, il faut supposer le faisceau arrivant, normal au ré* seau. Le lecteur qui voudrait approfondir les diffractions obtenues dans l'appareil de Schwerd, au delà comme eu deçà du foyer principal , fera bien de se réporter d'abord au § 32, qiiî traite la même question pour les deux rayons de l'expérience de Young.
§ 120. — Cai du trapèse. ~ Première intégration.
Soil(y?g'.64)NPQR le plan qui contient l'ouverture quadrangulaire ABCD, NPQ'R' le plan normal au faisceau parallèle incident , NPQ^'R'' un plan normal à la direction dans laquelle on veut estimer la lumière diffractée; NP, NF les intersections des deux derniers plans avec le premier, et N le point commun aux trois plans. Si l'on abaisse, des quatre sommets A, B, C, D, des perpendiculaires/?,, Piyfzy Pa^ ^i, 7î, <73, ^4 »ur Ics dcux derniers plans, les différences ^, — /?, , q^ — pty Çs—psyÇi — p^ exprimeront encore ce dont les chemins inégaux , décrits par les rayons des sommets, excéderont une partie commune. En appelant toujours X et ^ les dièdres compris entre le plan de la fente et les deux plans normaux ; jCi y />i9 • • • » Vi « Çi? • • • seront égaux aux produits de sinx ou sin4l> par d^autres perpendiculaires abaissées des quatre sommets sur les intersections NP et NP'.
Soient a, b^ Cy d\es quatre côtés du trapèze ; <7 , (r', ^ , f ', g, ^'^ les angles que font ces c6tés avec les droites NP, NP' ; soit de plus AL = € , AV = 6', on aura
/?, = A A' sin x= ^ sï" <y sin i^ ,
^, = (6 -t- a ) sin (T sin x > />;,=:CC'sinx = (BB'«— B7)sinx=:[(6 -4-«)sîner— 66inf]sînxr /^4=DD'sinx=(AA'— A^jsin^ = (Ssinff — </sin|)sinxr
ao8 CHAPITRE V.
7, =r A A" sin <l> = 6' sin o*' »in O ,
q, = (6'-|- a) sin 9^ sin ^,
9j = [ (6' H- a) sin a' — ^ sin f ^ ] sin *,
^4 = (6' sin ff' — rf sin Ç') sin ♦.
Pour l'intelligence de ce qui va suivre, nous signalons au lecteur les deux séries de trapèzes birectangulaires que forment, avec certaines lignes, communes aux deux séries, situées dans le plan du trapèze, et avec d'autres lignes situées dans les plans NPQ'R^ NF Q" R'% les perpendiculaires /?i, /?»>..., 7,, ^, ,..., et nous le prévenons que c'est par eux qu*il établira sans peine les diverses proportionnalités dont il va être question.
Prenons AD pour axe des x et AB pour axe des y^ et soient xy les coordonnées d'un élément quelconque g du trapèze; il s'agit d'avoir sa phase et son coefficient de vitesse.
Pour A le retard est q\ — /?, , pour D il vaut ^4 — p^. Pour un point € pris sur AD à la distance A^ = jr, les deux couples de triangles rectangles semblables, situés dans le plan des trapèzes AD/7/7,, KDqqx et ayant pour hypoténuses AD, Ae, montrent
qu'il faut ajouter à ^, — /?, une partie aliquote marquée par - de la variation totale
c'est-à dire
Si nous multiplions par —7 nous aurons, pour la phase du rayon diffracté qui passe en c ,
La ligne ef^ menée par le point e parallèlement aux côtés a (') Nous convenons des noUtions suivantes :
DIFFRACTION. aop
et c, vaut
Le retard du point /qui la termine, obtenu comme celui du pointe, est
Le point g quelconque, pris sur cette ligne à une distance eg =^,
aura pour retard celui de e, plus une fraction ^ de
Faccroissement
a^ia-^-c)"^
que subit le retard de e en/. Bref, si nous prenons l'excès de sa
