C-h-; $in(E-+-G) et C — - cos(E-hG

de sorte que les intégrales définies sont l'une une différence de sisus, et l'autre une différence de cosinus. Si Ton transforme ces différences en produits, il vient pour la première

cos 1 E + - ) sin - >

et pour

la deuxième

F / 2 - sin ( E -+-

G\ . G - ] sin —

DIFFRAGTIOK. 2 1 1

M21. ~ Denzième intégratioii.

F et G contiennent x et semblent rendre impossible l'autre

intégration ; mais il n*en est rien , car - est le quotient de la longueur d'une transversale ef du trapèze par la différence des phases aux deux bouts. Or on s'assurera sans peine que , dans toute l'étendue du trapèze, un pareil quotient est constant, et qu'il possède ainsi la valeur

que lui accorde la transversale particulière AB. Après cette substitution, l'intégrale en x réussit aisément, mais l'u&e des intégrales définies se trouve avoir quatre termes, et Tautre trois; il en résulte que la formation de leurs carrés, et surtout les réductions que comporte la somme de. ces carrés, sont un peu longues et délicates. Pour échapper à cette complication, nous allons interpréter ces premières intégrales qui donnent Fanomalie et Tintensité de la résultante d'une bande transversale dont les dimensions sont ^ et £2r, et profiter de cette interprétation pour simplifier les deuxièmes intégrales.

On obtient tang^ «n divisant (2) par (i). ^ est donc égal à

Eh 9 c'est-à-dire, d'après la signification des quantités E, G ,

à l'anomalie du point milieu de la bande. On obtient B en élevant (1 ) et (2) au carré, ajoutant ces carrés, rétablissant les ùlc^ teurs omis; cela donne un carré parfait, à savoir celui de

^ . F . G 2Ar smaTT-sm~ G 2

Cette quantité, qiii vaut

2d!rswa sm — j

— {9—Ph-^ ...

est donc le coefficient de vitesse de la résultante.

21 a CHAPITRE Y.

Or Eh — se réduit et vaut

mais- (q — p)i-.i est Tanomalie du milieu du côté AB. On peut donc convenir de soustraire cette quantité, des anomalies de toutes les bandes transversales, ce qui revient à prendre pour premier rayon celui qui part du milieu de ce côté. On a alors à chercher la résultante de rayons échelonnés le long de la ligne qui joint les milieux des deux bases du ti-^pèze, rayons qui ont pour anomalies

etildnl les coefficients de vitesse, également dépendants de a:,

sont

2 ax sm a - sm — ; • G 2

F sin a et- étant consUnts, Tanomalie >|/, et Finlensité BJ de cette

G nouvelle résultante dépendent des deux intégrales

/ dxsin- cosKo:, 1 </xsin- sinKjr,

que nous écrirons ainsi

fdxs\n(t,'¥- Mj:)cosKj?, j iij:sin(L 4- M.r) sinKx,

en posant dans G

L'intégration par parties donne sans peine / dx sin (L -4- Mx) cosKa:

= 1 \k sin Kx sin (L -h Mx) H- M cosKx cos (L -h Mx) ,

I rfxsin(L-f-Mx)sinKx

— — î 1 — KcosKxsin(L4-Mx) + MsinKxcos(L-f-Mx) •

DIFFRACTION. ai3

Pour j: = o , la première devient

McosL K'— M»' et la seconde

— -KsinL K'— M'*

Pour X =zdi\ suffit de remplacer x par d^ dans les expressions générales.

Les deux intégrales définies ont donc chacune trois termes; on évite, comme il suit, la complication qu'amènera leur élévation au carré. K et M sont l'un la somme et Tautre la différence des deux quantités

--(^-H-.= R et --(y-;,),. = T;

en les dédoublant, on obtient, après des réductions évidentes, pour la parenthèse de la première intégrale définie,

l — aRsin (LH rfism { d]

i nn . /t M-hK \ . /M-hK a

f -h 2Tsin (Lh rfjsmf rfU

et pour la parenthèse de la seconde,

/, M-K \ . /M — K A - 2R cos I L H </ j sm ( dj

'— 2Tcos(Lh d) sm( dy

Laissons de côté leur quotient qui donnerait Tanomalie >pi , et oc* cupons-nous seulement de Tintensité. Si nous négligeons d*abord

le facteur commun =-^ — —^ la somme des carrés, simplifiée par

des réductions évidentes, sera

(5) ) \ ^ J \ ^ ) . [ +aTftsin I d\ sin( rfrcos(2L + M</);

ai4

CHAPtTEB V.

or on a

M — K , îf , .

2L +Mrf =- (7 —/>)»<.,,, ,

K'-M'=(K-M)(K + M)= (ai ^y(î -;,),, (,-;,),.

Il suffit maintenant de rétablir les facteurs

4sina

^riç—Ph-:

oam à deux reprises , et de remplacer par leurs valeurs les lettres R, Ty M, R; mais avant d'écrire la Takur qui en résulte pour Bf, nous ferons subir une transformation au facteur qui multiplie le trinôme (5). Ce focteur, quand on aura réparti convenablement, au-dessous des sinus du trinôme, les arcs correspondants, se trouvera avoir pour expression

«'^/"sin'a

La surface S du

trapèze est

tf sin a ;

or on a

d'où compontnda

Ponc on a

, rtrfsina (r/ — /^),,^, .4

DIFFRACTION. 2 I 5

et, par suite, le facteur extérieur vaut

Remplaçons enfin, comme au 5 ^^^> S par Scos;^, pour tenir compte de l'obliquité des rayons, nous aurons

[sin^(7-^)4^, I I sin^(^-/;)3^n ^{9 -PU j L ^^-'^^^ J

sin-(çr — ^),, $in-(9r — /?)3«, ^'

COS-(çr— /?)3+a-.4-

Tt , V f^

^ Pour introduire dans cette expression les paramètres primordiaux, il suffirait de remplacer les quantités p^ /'i,..., 7, ^iv P^r leurs expressions données au précédent paragraphe. C*est ce que nous ferons bientôt pour quelques cas particuliers. Nous donnerons aussi, dans quelques-uns de ces cas, la phase du rayon résultaut, dont la tangente s'obtiendra en divisant l'un par Tautre les polynômes (4) et (3).

Un dernier mot sur le caractère analytique du cas décomposition des mouvements vibratoires qui vient d'être traité. En recourant, comme nous venons de le faire , au calcul intégral , on a , dans les expressions /^cos 7, ^6 sin 7 du § iitf, des phases 7 linéaires en x, et pour les coefficients 6, desfinus d'aiTS également linéaires eno?; mais avec les rayons discontinus de Schwerd, et les phases et les arcs dont les sinus forment les coefficients 6, varieraient en progression arithmétique.

§ 122. — Gai du panllélogramme.

En en appelant, comme nous l'avons déjà fait, aux trapèzes projetants et aux triangles qu'ils donnent , on voit sans calcul que

3l6 CHAPITRE V.

pour cette figure on a

il en résulte que Tintensité devient, en écrivant B au lieu de B, ,

X 2 — 2COS2^(7— /»),, h

Le parallélogramme donne

on trouve alors

[q — p)y-^2 = ^ (sinç sin x — ^in y' sin 4>) , (9 — A')»-» = fl ( sin </ sin * — sin a sin ;^ ) ,

et enfin

' 1 sin I -r a (sin c' sin ♦ — sin a sin ;() 1 1

1»= (Scosx)' ( — — J l

■r a (sin 9' sin <!» — sinasin^} 1

in j - 6 (sin © sin )j — sin ^ ' sin 4») I j - h (sin f sin X — sin y' sin O) \

isin I

Si Ton forme le quotient des polynômes (4) et (3) du § iSl, on a

R = T.M — K = — (M-hK),

DIFFRACTION. 217

et enfin

Si Ton se rappelle que la phase est rapportée au milieu du côté a, on en conclura que la phase résultante est celle du rayon qui passe au point de croisement des diagonales.

§ 123. — Discnssion.

Quand les rayons incidents sont normaux à l'ouverture, on a

[sin I r- A sin o-' sin ] 1 | sin I - ^ sin ^ ' sîn 0 j 1 - ; ■ . . ^ :]. ,. \ T a sin 0- sm 4> 1 1 -r- ^ ^^^ 7 ^^^ ^ I

Cette expression, que nous allons discuter, est doublement périodique et est annulée pour toutes les directions 0 qui satisfont à l'une des deux conditions

sin 0-' sin O = dz m - 5 sin ©' sin <1> =: ifc: /w -. a ^ b

On peut aisément construire ces produits de sinus et arriver ainsi, comme au § 1 10, à une représentation géométrique du phénomène. Comme il ne s^agit ici que de directions, le point autour duquel on établit cette construction peut être quelconque. Nous choisirons le point N, intersection de nos trois plans.

Dans l'espace, la construction consisterait à décrire, autour de Ny une sphère d'un rayon quelconque, égal à i par exemple ( on peut y voir la surface de la rétine de l'œil infiniment presbyte), puis à déterminer sur elle les intersections des rayons vecteurs pour lequels les relations précédentes sont satisfaites; mais il est visible qu'on peut échanger ces lieux géométriques dans l'espace contre d'autres lieux situés sur un plan, en les projetant orthogonalement sur un grand cercle de la sphère. Si le plan de ce grand cercle est celui de l'ouverture, nous allons voir que ces derniers lieux consistent en deux réseaux de droites parallèles dont les directions sont normales aux côtés du parallélogramme. Imaginons, en effet, le rayon vecteur NT = i normal au plan NP'Q"R", il se projette sur le plan de l'ouverture, suivant NT perpendiculaire

2l8 GilAinTRE V.

à NP', et fait avec sa 'projection Tanglc 90 — 4>, donnant dès lors

NT' = sin «>.

Paisqu'elle est perpendiculaire à NP', cette projection fait arec une parallèle NAi au ^côtè AB, Tangle tr' — 90. Si donc on la projette maintenant sur NA, on aura pour Na,, longueur de cette deuxième projection,

Na, = sin4> sin ff':

or il est visible que tous les rayons vecteurs dont la première projection se terminera sur la droite a^V auront la même deuxième projection Nâ, ; si donc on prend

Ne, =: /w -j a

on aura une première série de lieux plans obscurs, correspondants dans l'espace à d'autres lieux qui seraient les intersections de la sphère par les plans orthogonaux correspondants. Ne seront à considérer parmi ces parallèles, que celles qui tombent dans Tintérieur du grand cercle. Le second facteur donne de même sur la sphère une série de cercles obscurs qui se projettent sur le plan de Touverture, suivant un nombre limité de droites parallèles et équidistantes, normales aux deux autres côtés b et d da parallélogramme. Comme, entre deux minima, il y a nécessairement uu maximum , il suit que les spectres seront contenus dans des parallélogrammes semblables à l'ouverture, mais orientés rectangulaire-

ment, et Ton peut ajouter inversement, puis(|ue les facteurs -9 t

rendent moindres les intervalles qui répondent au plus grand côté.

On petit échanger les distances Nâ, =:->N^i = t9 caractéristiques des deux systèmes de parallèles , contre d'autres distances obliques Na,, N 63, comptées le long des droites NB„ NAj respectivement perpendiculaires aux côtés; on aura

Nfli r= Na, cos A, NB, = Nfl, sin BAD. Soit h' la distance des deux côtés 6, //, on a (fig* 65) //' 1= /isinBAD;

DIFFRACTION. 2ig

de sorte que aXN^z,, ou bien asin^ sinO vaut hH^a^, On peut de même échanger b sin y' sin ^ contre AN^,; de sorte que, pour obtenir le réseau délimitateor des spectres, il suffit de porter, à partir du point N, sur les droites NA^, NBj, des quantités respectivement égales à ± T7 ± 2 T7* • • pour Tune, et i db «v ± 2 j* • •

pour Tautre, et de mener, par ces points, des parallèles, les unes à NAa, les autres à NB,. La fig. 66 donne le réseau des projections des lignes obscures pour un parallélogramme ABCD dans lequel

les hauteurs A', h sont comme 2 et i , et pour le» cas où -p est environ — Les parallélogrammes qui sont prés de la circonférence,

correspondant à des rayons très- déviés, la lumière qui éclaire leur

intérieur sera trè»-afFaiblie et les spectres qu'ils contiennent pourront n*étre pas visibles. Pour obtenir, dans une direction quelconque correspondante à l'intérieur d'un parallélogramme, l'intensité et la couleur, il faudrait calculer pour chaque rayon, dans cette direction, la valeur numérique des deux facteurs variables. Comme ils sont tous deux formés par lé rapport d'un sinus k son arc, on recourra à la Table du § 118.

On conçoit qu'il y ait de grandes différences dans Tintensité des spectres, même pour des parallélogrammes équidistants de celui A'B'<y D' que rempjit la lumière directe. Si, par exemple, l'ouver* ture est un rectangle, pour le milieu des spectres compris entre les

côtés prolongés, Tun des facteurs, sous la forme -9 prend sa valeur

maximum 1 (*), et ces spectres sont beaucoup plus vifs que ceux qui sont dans les angles de la croix. Si le rectangle est très- allongé et dégénère en fente (§ 118), les spectres situés entre les grands côtés prolongés se rapprochent jusqu'à devenir inappréciables. Quand l'incidence est quelconque, on peut, d'une manière ana-

(") En effet, les rayons incidente étant toujoiirti normaux, on a, pour l'un de ces azimuts

sin Q*' = o , cl pour Tautre

sin y' = 0.

2au CHAPITRE V.

logue, trouver sur le plan de l'ouverture, des lignes €]ui représentent les binômes

sin (/ sin 0 — sin a sin x» (sin f sin x — sin y' siii «> ) ,

mais nous laisserons au lecteur le soin de cette généralisation que Schwerd a développée.

§ 124. — Cas du trapèze isocèle.

Comme Tétude de ce cas n^a d'autre intérêt que de conduire à l'ouverture circulaire, nous supposerons l'intersection PiP' perpendiculaire aux deux côtés parallèles; nous supposerons de plus ;^= o, il en résulte

Si Ton supprime les accents devenus inutiles et si on opère les substitutions dans les formules d^s §§ 180 et 121, on a

73-, = — ^sin^ sin<t>, 74—1 = ^ sin ^ sin , 73+«-4-i = 2 (a — ^ sin ç» ) sin 0 ;

il en résulte que dans B' les deux carrés deviennent égaux, et que, si Ton remplace le cosinus par le sinus de l'arc moitié, on a

/ I sin- 6 sin 7 sin 4> \ / j sin ^ (<i — h sin ^) sin * 1 \

T^sinfsin<> / \ -(a — ^sin7)sin<l'

i t . fbs\u*i Si I on accommode pour ce cas le quotient ^^jrz =-» on trouve

sans pcme

I n tang+ = lang- -7,+a+,-H«,

d'où

DIFFRACTION. :22E

mais

y,H 2^-3+4 = 2(a-h 26)sin,

donc

^|; = - (rt -h 26)sin*.

Cette expression , comme celle de B , montre que le cas du cercle ne rentre pas dans les cas des §§ 180, 121 pour lesquels les calculs réussissent, et qu'il faudra se contenter d'approximation.

§ 125. — Cas du cercle [fig. 67).

Supposons notre trapèze isocèle inscrit dans une circonférence de diamètre D , de sorte que les deux côtés égaux puissent être supposés appartenir à un polynôme régulier, d'un nombre n de côtés. On a, entre les côtés 6, a et le diamètre D, les relations

^ =r D sin ~ 9 « = D cos ( © K

on a aussi

il en résulte sin

r- D sin f sin - sm * | sm ( -- D cosç cos - sm <fr j - D S1Q 9 Sin ~ Sin 4» -Dcosocos-sm^

tJ; = 2 - L' O sin *.

La surface S du trapèze, exprimée à l'aide de ces nouveaux paramètres, est

S = - D cos ( y — - W D cos f <p H- ~ ) p sin - cosy

cos* <p cos - sm - •

= D' cos' 9 cos - sm - = (s) y

en désignant par (5) la surface du cercle vers laquelle doit con-

verger le polynôme formé par les trapèzes. Remplaçons S dans B , par cette nouvelle valeur et nous aurons

cos y sm - sîn ( ir - cos y cos - sin 0 )

tr. . / D n-sinlir-

7 7r'- sin*

sin

[it r sin « sm - sin i V ^ ^ /

D . . Tf .

Tf - sm tf sin - sin 0

Pour une direction donnée ^ et pour un polygone déterminé , celui de n côtés, 36o par exemple, il n*y a plus que la variable 7, et il s'agira de déterminer les coefficients des 180 résultantes qui proviennent de 180 trapèzes isocèles caractérisés par les va*

|0 30 go

leurs — » — ? — V 1 assignées à 7. I/expression \p = 2 - L' 0 sin

montre que toutes ces résultantes ont même phase , il suffira donc dé les ajouter pour avoir le coefficient du mouvement difTracté dans cette (iirecdon pair Touverture polygonale , ou encore par l'ouverture circulaire , puisqu'elle différera très-peu d'un tel polygone. Dans le calcul de la lumière diffractée par un même polygone sous des obliquités variables, on peut, à cause de la symétrie circulaire du phénomène , garder la même intersection NP^ de manière que f soit constant et que 4» soit seul variable. Quand l'e polygone considéré a beaucoup de côtés. Parc

r- D sm o sin - sin ♦

est très-petit, et le dernier facteur a une valeur sensiblement constante et égale à l'unité ; c'est le premier facteur qui produit dans B les maxima et les minima. Les minima répondent aux valeurs de ^ données par Féquation

sin * = ± w " ;

D cos 7

DIFFRACTION. aaS

cVst-à-dire que * est un peu plus grand qu'il ne l'était pour une fente étroite (§ 118). Il est vrai que ^ variantavec le rang des trapèzes, chacun aura un angle C> distinct; mais il suffit que tous soient supérieurs à ceux de la fente> pour que nous puissions affirmer que récartement des franges circulaires excédera celui des franges rectilignes données par une ouverture qui a pour largeur le diamètre du cercle; mais Texcès peut être peu de chose, attendu que les trapèzes pour lesquels cos(p est petit sont les moins influents. Enfin, chacun des angles 4» étant en raison inverse de D, Tangle résultant pour l'ensemble des trapèzes, variera, de cercle à

cercle, comme--

Les phénomènes de diffraction, obtenus au foyer des lunettes dont Tobjectif est diaphragmé (§ 61) rentrent dans ceux-ci et n'en différent que par la grandeur que peut atteindre le diamètre de Touverture. Néanmoins, dès qu'avec Arago Ton quitte le foyer, la diffraction est produite par de la lumière divergente ou convei^ente, et cesse d'accepter les formules de Schwerd qui n'atteignent que la diffraction parallèle.

§ 126. — Cas d'une série de /i + i ouyertures parallélogrammiques égales, équidistantes et placées dans le même plan de telle sorte que les points homologues soient en ligne droite.

Avec nos suppositions de rayons incidents parallèles et d'un œil infiniment presbyte, toutes les ouvertures donneront la même résultante. Avec la disposition admise pour les ouvertures, les rayons résultants des divers parallélogrammes seront en ligne droite et leurs retards v.irieront en progression arithmétique, nous serons donc dans les conditions du § 117. Ces points, faciles à vérifier, admis , soit e la distance entre deux points homologues de deux ouvertures consécutives, p et pi' les angles que fait, avec les deux intersections MP, NP'(/f^. 68), la ligne qui joint une série quelconque de points homologues ; la raison s de la progression géométrique des retards vaudra , avec les données actuelles ,

s = 2^ (sin 4» sin fx' — sin x *î" f* )•

Le coefficient de vitesse B seia Texpression du § 142. Ainsi

a 24 €HAPITKK V.

--— c et cette valeur de B devront être substitu<'es à c et à B| dans la

formule du § 117, laquelle deviendra pour nos n -H i ouvertures

K^={n^^Yl^

[sin(/i-+-i)^£ I ^ |=(«-M)'B'P% (/î H- i) sin ^ e J

en désignant par P la parenthèse. C'est-à-dire que l'intensité se compose de deux facteurs dont Tun B» (/iH- 1)' exprime l'intensité que donnerait une seule ouverture, si elle recevait les rayons de toutes; tandis que l'autre P ne dépend ni de la forme ni de la grandeur des ouvertures, mais seulement de leur nombre, de leur position, et conviendrait, par conséquent, à une série quelconque d'ouvertures égales , équidistantes et seroblablemenl-orientées. Ces deux facteurs produiront chacun leurs maxima et leurs miniroa; mais ils ne présentent plus, comme ceux du § Wt , la même composition. Ils auront donc chacun un mode spécial d'influence que nous allons étudier dans une discussion qui portera principalement sur le facteur nouveau P.

§ 127. — Influence de P. — Maxima et minima de diverses

classes.

Le facteur P' nous donnera , comme le premier facteur, des séries de valeurs de <l>, les unes annulant Texpression B^,^, , et les autres la rendant maximum. De là sur la sphère un réseau de nouvelles lignes obscures et de nouvelles lignes brillantes, dont les projections sur le plan de l'écran s'enchevêtreront avec les lignes analogues données par le premier facteur; et comme ces dernières lignes ne diffèrent pas de celles d'une seule ouverture, on voit qu'il s'agit d'ajouter aux maxima amplifiés et aux minima d'une seule ouverture, ou, comme on les appelle, aux maxima et aux minima àe première classe^ de nouveaux minima et de nouveaux maxima. Or nous allons montrer que les nouveaux maxima seront de deux sortes : que i® les uns, nommés maxima fie deuxième classe ou grands maxima , auront des directions indépendantes

blFFRAGTlON. 225

du nombre des ouvertures et une vivacité rapidement croissante avec leur nombre; 2" que les autres, dits maxima de troisième classe j ou petits maxima^ on encore spectres intérieurs^ intercalés entre les premiers, deviendront, dans les mêmes circonstances y de pins en plus nombreux et de moins en moins vifs ; 3^ que les nouveaux minima, dits àe deuxième classe^ plus nombreux également quand il y a plus d'ouvertures, s'interposent entre les maxima de troisième classe, et sont, comme eux, destinés à devenir insensibles pour un nombre suffisamment grand d'ouvertures; 4** que les projections de ces trois nouvelles sortes de lignes, sur le plan des ouvertures , seront encore des lignes droites , et qu^ainsî le tableau complet de toutes ces lignes obscures et vives sera facile à construire. On peut établir ces résultats, soit par une synthèse analogue à celle de M. Babinet (§ 111), soit par la discussion algébrique du facteur P. Commençons par la synthèse.

§ 128. — Justification par la syntbèse. 1°. Si la différence de route fs — «, , pour deux points homologues de deux ouvertures consécutives , est un multiple exact m\ de la longueur d^onde, les (/i-f-i) résultantes des ouvertures seront d'accord , leurs coefficients de vitesse s'ajouteront, on aura les grands maxima. 2°. Si cette différence vaut

I 2 X, 3^f.-.t ou, ce qui revient au même, si la différence

de route c^ — i^ = /i (c, — «, ) des rayons extrêmes vaut (à une division près) un nombre exact de X , les résultantes, analogues à des forces uniformément distribuées dans* un nombre exact de circonférences, s'entre- détruiront , et Ton aura les minima de deuxième classe; ils seront bien plus nombreux que les grands maxima, car, avec dix ouvertures, par exemple, les grands maxima ayant lieu pour des différences c^ — s^ égales à o, io>, 20X, . . . , entre deux grands maxima consécutifs , il s*en intercalera neuf petits. 3**. Les-petits maxima ont Heu dans les directions

où ff^— 6^ vaut un multiple [*) impair de -• Ils sont inférieurs

C* ) Cette règle serait exacte si les rayons parallèles se soivaient avec continuité» mais arec des rayons discontinus ce n'est plua en générai aux in-

aux grands maxinia; car, pour le premier^ par exemple, s'il y a concours des n + i résultantes, ce n*est plus le concours parfait de forces dirigées toutes dans le même sens, mais celui beaucoup moins parfait de forces distribuées uniformément dans la demicirconférence. Ils sont inégaux entre eux, car, pour la formation du deuxième, Téparpillement ayant lieu dans une circonCérencc et demie, les deux tiers s'enrre-dctruisent et il nVn reste qu'un tiers d'activés. On verra même que si le nombre de ces maximn est impair, neuf par exemple, au delà du. cinquième qui est le plus petit et qui ne surpasse guère l'éclat que donnerait une seule ouverture, les résultantes partielles ont un groupement plus avantageux, et donnent des muxima croissants comparables chacun à chacun aux quatre premiers. Quant à leur nombre , entre deux grands maxima, il n*est que de /i + i — 2 (de huit pour dix ouvertures), parce que les deux extrêmes, c'est-à-dire ceux

qui répondent à - X et à — X se confondent avec les deux grands

maxima dont ils ne sont séparés par aucun minimum ; de sorte qu'avec deux ouvertures il n'existe entre deux grands maxima aucun petit maximum. Cette réunion de deux maxima de troisième ordre à chaque grand maxinaim rend ces derniers deux fois plus larges que les premiers. IVailleui'S cette largeur diminue quand le nombre des ouvertures s'accroît ; si D est la distance

invariable de deux grands maxima, elle vaut pour les

an .

uns, et par conséquent pour les autres, ^oanmoms, s il

arrivait qu'un grand maximum se superposât à une ligne obscure de première classe, et (>ar consérfuent fit défaut, alors les deux maxima de troisième classe qu'il devait absorber reparaissent.

stants précis où la dilTcrence des deux rayoDs extrêmes vaut (aA-t>i) -«

qu'on a la p1u»(jrande résullante, car en modifiant un peu celte diflercnce on peut faire passer une composante de plus dans le groupe qui donne la rôsullante et en accroître la {jrandeur, c'est le môme motii' qui vient de nous faire dire (h une division près), ^ous retrouverons plus loin celte distinctiou dans le calcul.

DIFFRACTION. a 27

Quelques-uns Je ces phénomènes ont été remarqués par Fraunhofer. Ce physicien a vu qu'en augmentant le nombre des ouvertures, les maxima de deuxième classe s'épuraient sans changer de place et que ceux de troisième classe se resserraient. Mais, d'one part , il-avait-cru que ces derniers abandonnaient les régions intermédiaires pour se rapprocher soit de la lumière directe, soit du premier spectre, et de l'autre il ne les avait pas aperçus entre les autres spectres. Schwerd, prévenu de kur existence, est parvenu k les distinguer entre les divers grands spectres. Quelques mots actuellement sur la discussion algébrique de P^

§ 129. — Justification par l'analyse. — Gonstraction des résultats.

D'après les lois de raocroissement des sinus, P ne peut surpasser i. Il atteint cette valeur extrême quand ses deux termes (on le voit sans peine, en en prenant les dérivées) sont nuls , ou , ce qui revient au même, quand 1 prend les valeurs données par l'équation

-« = ±/mt.

Dans les directions 4» correspondantes, les intensités d'une seule ouverture sont exagérées dans le rapport de {/? -hi)' à i : ce sont les grands maxima. Pour avoir les petits, cherchons, par la méthode connue, tous les autres maxima de P, nous trouverons l'équation

tang(« -4-l)7r-=:(/H- l)taMgfr-.

On voit sans peine que la première valeur v de (« -+- 1) tt - qui y satisfera, sera un peu plus petite que - tt, et cela confirme ce qui

vient d'être dit dans une note. Un peu avant que (« -+- 1) tt - vaille

- TT, on retrouvera un deuxième angle v, tel, que sa tangente vaille,

en grandeur et en signe, n -h i fois la tangente de sa /?'•*• partie,

et ainsi de suite. De là les maxima de troisième classe, dont l'ex-

pression esi

V étant un angle qui difTérera très-peu d'un multiple impair de -•

On tes appelle petits, parce qu'ils peuvent ne pas surpasser Tintensité B' d*une seule ouverture; et puisque le nu moniteur pour eux, difl^ère peu de Tunité, ce minimum maximonim aura lieu, en

effet, quand s'écartera peu lui-même d'un multiple impair

de — On reconnaîtra sans peine que , conformément à ce qui a

été avancé (ISB), cette circonstance est offerte par le maximum du luilieu (ce serait par les deux du milieu si leur nombre était pair). Il y a plus : si Ton néglige la différence qui existe entre les valeurs

>» v„ »,,... et les multiples -i 3-j 5->»"ï0n peut dire alors

que hs (>etils maxima sont égaux deux à deux. En effet, dans le

cas de dix ouvertures, on aura pour o, par exemple, la valeur - r.

i5 et la valeur — ir, et partant, pour (/i -+- 1) P, les deux valeurs

-^ — et =— visiblement égales. Quant aux minima de

sin — it sm — ir ao 20

deuxième classe, l'équation précédente ne pelit les donner, parce qu*on a opéré sur P et non sur P' ; mais on les a directement et rigoureusement, en prenant les valeurs de c qui annulent le numérateur seul, c'est-à-dire en posant

(/i -h l)-i = ±:i?iir,

et laissant de côté les valeurs de m, qui sont multiples de /i + 1 1 puisque, ainsi que nous Tavons vu , elles donnent les grands maxima. Ces résultats concordent avec ceux que nous avions obtenus par la synthèse.

Pour trouver les projections de ces lieux géométriques, nous

DIFFRACTION. 239

nous bornerons au cas particulier des rayons incidents normaux , pour lequel c prend la valeur e sin <^ sin /x'. Si nous convenons encore (yf^. 68} de grouper autour du point N, qui pourrait être quelconque, les directions qu^on veut caractériser, alors, pour les mêmes raisons qu'au § ISS, sin 4» sinpt' vandra une certaine longueur N/ comptée depuis le point N sur une parallèle NL à la ligne A, A^ A'^ . . , qui passe par un système de points homologues, et conservera la même valeur le long d'une perpendiculaire /R menée par Textrémité /. Enfin, si l'on mène sur NL des perpendiculaires : 1^ aux distances

on aufa les projections des grands maxima ; 2^ aux distances

on aura les minîma de deuxième classe; S^'à des distances presque intermédiaires aux précédentes on aura les petits maxima. Quand un grand maximum se superpose à un minimum de première classe, il est comme non avenu; de même on ne tracera pas, dans une série de petits maxima, soit le premier, soit le dernier, sauf toutefois le cas d'absence du grand maximum juxtaposé. Ces nouvelles lignes obscures et les deux séries particulières à une seule ouverture (§ 195} circonscriront des espaces qui ne seront plus tous des parallélogrammes et au sein desquels il y aura un développement graduel de lumière, c'est-à-dire des maxima ou spectres. Nous renvoyons au Mémoire de Schwerd pour c«s curieuses figures.

§ 130. — Retour sur les léseanx.

Dans le cas des réseaux, la grandeur d'une des deux dimensions des ouvertures rectangulaires ne laisse d'appréciables que les maxima et les minima compris entre les deux petits cAtés a prolongés, et les diverses sortes de directions sont représentées (nous continuons de les caractériser par les projections, sur le plan du réseau , des points où elles coupent une sphère de rayon 1) par des lignes parallèles entre elles et aux grands côtés des

23o CHAPITRE V.

rectangles. Soit donc un réseau au 5o* dont le vide occupe les

^ de la somme c d'un plein et d'un vide, ce qui lui assigne la valeur ©"""jOiô. S'il n'y a qu'une ouverture en jeu, on aura des lignes obscures équidistantes de

A o,ooo5 r

et des lignes brillantes intermédiaires^ Dès qu'on prend plus d'une

ouverture, 20 par exemple, apparaissent trois nouveaux systèmes

de parallèles, à savoir : i** aux distances

<>,ooo5 I 2 3 4 5

des lignes le long desquelles l'intensité propre à une seule ouverture est rendue 400 fois plus grande et qui se détacheront plus ou moins vives, suivant qu'elles seront plus ou moins rapprochées des premiers maxima (*); 2° entre deux grands spectres consécutifs s'intercaleront 1 8 petits maxima équidistants entre eux ,

et qui se partageront les — de l'intervalle t- » de manière à laisser aux grii^nds spectres une place double, et cette inlercalation sera de ig entre les grands spectres 4 ^^ 5, aussi bien qu'entre 5 et 6, puisque le numéro 5 manque; 3^ entre ces mêmes grands

spectres et à des distances qui seront égales à — » — »•••> -^ de ^ ^ ° 20 20 20

leur distance, s'intercaleront des lignes obscures qui sépareront les petits maxima et éteindront, en ces régions, la lumière des maxima de première classe. Prend-on 1 00 ouvertures, les grands maxima, tout en restant au même lieu, se resserrent et deviennent dix fois moins lai^s pour recevoir 98 petits maxima. Ils se res-

( * ) Ainsi 3 X V- étant à peu près également distant de x; et r7ï le troisième grand maximum est vif; le cinquième au contraire tombe sur la quatrième ligne obscure c! est nul, résultat déjà trouvé (Ç ll-fl ).

DlFFAACriON. 23 1

sorrciit davantage si Ton découvre les 25o traits du réseau, et leur lumière devient, dans ce dernier cas, 62 5oo fois plus grande que celle d'une seule ouverture. C'est à cette réduction de l'espace angulaire occupé par les grands maxima qu*est due la formation de ces spectres à couleurs si bien isolées et à raies visibles. C*est à cet accroissement rapide de leur vivacité qu*est due rinappréciation de Téclairement que les petits spectres répandent dans leurs intervalles. En effet , quand , devenus très-nombreux et très-étroits, ces petits spectres cessent d*étre distingués, ils éclairent les intervalles des grands spectres d*une lumière qui semble continue et qui décroît jusqu'au milieu de ces intervalles. Fraunhofer a parfaitement reconnu quelques-uns de ces résultats, et il exprimait ces effets de l'intervention d*im nombre croissant d'ouvertures en disant que les spectres de deuxième classe, d abord imparfaits, devenaient parfaits. Comme les divers maxima de première classe s'affaiblissent, on conçoit que les grands spectres, qui exagèrent dans un rapport constant rintensité qu'ils rencontrent, doivent s^affaiblir. Il en est de même des maxima de troisième classe intercalés ; mais Schwerd , en calculant, non plus comme nous le faisons ici pour les cas extrêmes, mais pour une série systématique de cas quelconques , les valeurs du facteur P% ou, ce qui revient au même, les altérations que ce facteur apporte, dans toutes les directions, aux effets d'une seule ouverture, a reconnu que les petits maxima amplifiaient Téclat des régions où ils tombent, dans un rapport qui croissait avec Tordre des grands spectres entre lesquels ils sont placés, ou , en <ràutres termes , que leur éclat relatif ou l'éclairement continu qu^ils simulent , grandissait au fur et à mesure qu'on s'éloignait de la lumière directe.

Dans cette étude nouvelle du réseau, nous avons supposé que le plan d'incidence des rayons était perpendicuiatro aux grands, côtés des ouvertures rectangulaires; il vn résulte

On a d*ai]leurs

X = rt ;

iroù

l sin I îT - (sin <t — sin;^) 1 j

»:,. = [^ cosx (n + .)? -L J

f irr(sîn<I' — sinx) \

|sin («-I- i)^(sin<r> — sinx) j

( (/»-M)îr-(sin<P — sinx)

Les grands spectres ont lieu clans les directions où le dernier facteur vaut 1 . Ils sont donc déterminés par la relation

) sm * — sinv =r /?î -,

qui ne diffère pas de celle trouvée au § t08.

§ 131. — Couronnes. Stéphanoscopes.

Ou appelle couronnes des cercles colorés dont le diamètre angulaire ne dépasse pas quelques degrés, qui entourent quelquefois les disques du soleil et de la lune, présentant leurs couleurs dans Tordre caractéristique des phénomènes de diflraction, le rouge en dehors et le violet en dedans.

On obtient artiâciellement des couronnes en saupoudrant un verre y de globides dont le diamètre soit constant (le lycopode, la carie du blé, le pollen de certaines plantes trié avec soin, les globules du sang (*) conviennent parfaitement) , et regardant une bougie au travers. On les obtient encore en disposant entre deux verres, des fibres bien traies, telles que des brinft de soie, du poil de lièvre, etc.

Les circonstances de celte reproduction , jointes à cette

(*) Les couronnes qu'on voil souvent, autour des chandelles, le matin en se levant, sont ducs h des nlohnlcs de sang injectés dans la conjonrlîvp pendant le sommeil.

DIFFEACTION. 233

remarque que les couronnes n'apparaissent que par un ciel vaporeux, autorisent à les attribuer à l'interposition de globules aqueux, d'un diamètre bien uniforme, disséminés dans Tatmosphère. On n'en saurait douter depuis que M. Delezenne, armant son œil d'un petit appareil qu'il a nommé stéphanoscope (*)^ a reconnu qu*il y avait formation de couronnes , pour ainsi dire cbaque fois qu'un léger nuage passait sur le soleil.

§ 132. — Expériences de Frannhofer et de M. Verdet.

On a fait longtemps fausse route dans Texplication des couronnes. On les assimilait aux spectres circulaires que donneraient des réseaux formés de traits circulaires équidistants^ mais on ne savait où trouver cette constance de la somme d'un plein et d'un vide qui est une condition fondamentale des couleurs du réseau. Comme une distribution régulière des globules améliore le phénomène, on étudia' cette distribution au microscope, et Ton reconnut qu'un globule était presque toujours en contact avec plusieurs autres. Cette circonstance assurant de la fixité aux intervalles laissés entre les globules , on fut affermi dans cette voie, et l'on crut que la question d'identification se réduisait à trouver l'épaisseur efficace de ces vides. On était même arrivé à ceci que l'interstice intercirculaire équivalait à un interstice régulier, d'épaisseur égale à la moitié du rayon des globules.

Cependant Fraunhofer avait suivi dans cette étude une

( * ) Le Btëpbanoscopo consiste dans une combiotison de deux ou trois verres colorés, collés à la térébenthine , qui ont ce double avantage de ne laisser passer que deux couleurs ircs-contrastantes, rou(;e et bleu par exemple, <;l de rendre inoffensif l'éclat de l'astre. Si une moitié d*un des verres est saupoudré intérieurement de lycopode, on peut voir d'un seul coup d'oeil les couronnes de cette poussière et celles de l'astre et obtenir une évaluation du diamètre de ces dernières ; Tapparcil devient un stéphanomètrc. On pcui sans peine ima(;incr d'autres strplianomèlros plus oxarls, mais le prccrdcnt rsi simple r»t porlalif.

marche excellente : il avait distribué irrégulicreiueut, entre deux verres , une foule de petits disques opaques égaux, et mesuré avec soin , à Taide d^une lunette à grand objectif, les diamètres des couronnes. Malheureusement il usa de lumière blanche 9 et visant au rouge des couronnes composées, il prit les diamètres obtenus comme ceux des maxima d'intensité de cette couleur, tandis qu'ils répondent k ses minima. On peut juger du désarroi jeté dans les vérificalions par une pareille méprise.

M. Vcrdet, interprétant convenablement les mesures de Fraunhofer et en réalisant lui-même d'autres avec une lumièi'e homogène, a montré, comme il suit, que les coulionnes se rattachaient, non pas aux réseaux, mais aux franges circulaires d'une petite ouverture.

§ 133. - Principe de M. Babinet.

Soit, en dehors de la ligne qui joint Tœil à un point lumineux, mais assez près de cette ligne, un petit corps opaque. Sans ce corps , il n'y aurait aucune lumière dans la direction qu'il détermine, et celte absence d'éclairement tient, nous le savons, à une destruction mutuelle des mouvements dérives antagonistes venus, et de ce point de l'onde, et de ceux qui Tentourent. Sa présence éteint certains rayons et par conséquent en réhabilite un nombre égal , ce qui donne ce curieux théorème : Un petit corps opaque produit autant d'illumination qu^ il semblait dex^oir produire (V opacité. Nous avons déjà usé de ce théorème (dans Texplicalion des réseaux, par exemple), mais sans l'énoncer aussi formellement. Il donne la clef des couleurs dont se teignent au soleil les fils d'araignée placés de côté , et les poussières qui voltigent dans la chambre obscure. Il explique également pourquoi, un peu avant que le soleil se lève derrière une colline couverte de broussailles, le spectateur place dans l'ombre voit ces j^iiies branches projetées sur le ciel, nonpasopaqucsclnoires.maisblanchcscommerargentmat.

DIFFRACTION. 235

Ce principe va nous permettre de substituer, à Tonde couverte de petits corps opaques, une onde opaque couverte d'autant de petites ouvertures qui auraient mêmes formes et occuperaient les mêmes places, et il s'agira de trouver la résultante des vibrations envoyées, soit à la pupille, soit à l'objectif (S iid), par ces ouvertures. Il est vrai que la portion de Tonde de laquelle partent les divers cylindres de rayons reçus par Tobjectif , dans les diverses directions, et, par suite, la disposition des ouvertures' utilisées dans chaque direction , ne sont pas rigoureusement les mêmes. Mais comme cette portion reste consiaiïlment égale à l'étendue de Tobjectif, tant que cette étendue sera trèsgrande vis-à-vis des petits corps opaques et tant qu'elle en comprendra un très-grand nombre, on peut supposer qu'elle ne change pas-, et tout revient à calculer Tiniensité des cylindres de rayons dérivés envoyés dans diverses directions, par les mêmes petites ouvertures.

§ 134. — Théorie des couronnes.

Soit f [6) sîn 27r - la vibration envoyée par un élément

quelconque d'une première ouvertupe. Les éléments homologues des (m — i) autres ouvertures enverront dans la même direction les vibrations

^1 , ^« v'*9 étant les retards de ces éléments homologues. Ils donneront donc la vitesse résultante

/(e)lsin2«^-f sin2îr^i — yj -hsin2ir f | — yj + . • U

cl l'intensité

I i 4- cos ?.7i Y "H ^^^ 27r Y -h ■ . . I I + 1 sinaTT Y -i- sin 27r Y -h. . . I I