ÉTUDE GÉOMÉTRIQUE

Cristaux uniaxes et biaxes. — ADcienne construciion de la loi de Descartes.

— Nouvelle construciion [flus féconde. — On Tétend à Tespaee. — Que faut-il pour qu'on ait la première loi de DescartesP — Que faut-il en outre pour qu'on ait la deuxième? — Le rayon ordinaire d'un biréfringent uniaxe se construit k l'aide d'une sphère; — et l'extraordinaire par un ellipsoïde. — Vérification expérimentale de cette loi due à Huyghens. — Imperfections de la nouvelle construction d'un rayon réfracté. — Construction plus parfaite et plus générale. — On démontre son exactitude.

— Obliquité des rayons sur l'onde. — Coup d'œil anticipé sur la réfraction biaxe. — Ce que devient la construction générale pour une face perpendiculaire à Taxe. — Si l'incidence est normale, ou n'a qu'un rayon et ce rayon reste unique, même en sortant obliquement.— Avec d'au très faces d'entrée, le rayon qui ne se divise pas n'est plus le rayon normal. — Cas d'une face parallèle à l'axe. — L'indivision ne se maintient plus nécessairement à la sortie. — Cas des sections principales. — Face d'entrée qui donne, sous l'incidence normale, l'écart maximum. — Deux angles limites pour le rayon extraordinaire. — Prismes auxiliaires. ~ Réflexion intérieure. — Double réfraction du quartz. — Double réfraction répulsive ou négative ^ attractive ou positive. — Problèmes divers. — Expérience de Monge. — Projection des deux images d'un quartz parallèle.

§ 138. - But du chapitre.

Il existe entre la double réfraction et la polarisation des rapports tellement intimes , qu*une connaissance préalable de chacune de ces deux éludes est indispensable si on veut que Tautre ne soit pas trop incomplète. Cette dépendance mutuelle nous oblige à revenir à deux reprises sur la double

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réfraction, et à nous contenter d'aboixl d'une étude restreinte, subordonnée pour ainsi dire aux besoins de la polarisation. A un autre point de vue, une pareille division n'est pas moins nécessaine ; en effet , la double réfraction est si ricke en détails et comprends des parties tellement délicates, que,- malgré Textrème simplicité relative que des travaux récents permettent d'introduire dans son exposition, il est bon cependant de n'en aborder que tardivement les parties les plus difficiles.

Au point de vue historique, le phénomène fondamental de la double réfraction est la bifurcation qu'épix)uve im rayon de lumière, transmis dans la chambre obscure, au travers d^une lame de spath iFIslandts à faces parallèles ; ou, ce qui revient au même, la double image des objets obtenue par l'interposition de ce cristal. Quelles sont les lois qui rattachent au rayon incident les directions des deux rayons réfractés qui en sont issus ? Telle est la question que nous allons résoudre dans ce chapitre , en nous bornant cependant à la considération d'un cas particulier.

Pour donner une idée exacte du but restreint que nous nous proposons d'atteindre, nous dirons que la réfraction est simple quand la substance est amorphe, ou que, cristallisée, elle appartient au système régulier. Quand les cristaux rentrent dans l'un des cinq autres systèmes cristallins, ou quand on détruit par des actions mécaniques, l'homogénéité des corps uniréfringents, il y a double réfraction. Mais s'il s'agit de cristaux de l'un des deux systèmes, prisme à base carrée et rhomboèdre (doués , on le sait, de la symétrie par rapport k une droite) , l'un des rayons, on l'appelle or^'na/re^ suit les deux lois de Descartes, l'autre seul s'en écarte , et notre principale étude va consister à rechercher quelles lois, à défaut de celles de Descartes, président à la marche de ce rayon qu'on appelle extraordi-noire. De tels cristaux se nomment biréfringents uniaxes, parce qu'on a reconnu que la double réfraction y acceptait

comme la cristallisation, la symétrie par rapport à une droite-, cette droite est encore Taxe minéraiogique, mais, au point de vue de ces nouvelles fonctions, on l'appelle axe optique. Est-on au contraire dans le cas général de trois axes minéralogiques^ inégaux , il n'y a plus de rayon ordinaire ^ les deux lois de Descartes sont aussi bien violées par Tmi que par T autre. 11 y a plus : la route de chacun d'eux est entièrement distincte de celle du rayon extraordinaire d'un uniaxe. Ce sont ces substances fournies par les trois dernieis systèmes cristallins dont nous réservons Télude pour un deuxième chapitre. On les appelle biréfringentes biaxeSj parce que les phénomènes ont une certaine symétrie par rapport à deux droites qui dépendent sans doute des axes miuéralogiques , mais qui ne s'y rattachent pas d'une manière constante et se nomment encore izxes optiques.

§ 139. — Constmctions de la loi des sinus.

Pour mettre en place un rayon soumis aux deux lois de Descartes, on sait, qu il faut décrire ^u point d'incidence a comme centre, avec un rayon quelconque et dans le plan d'incidence, une circonférence (fig* 69), mener par le point A où elle est rencontrée par le rayon incident , la ligne AP perpendiculaire à la normale aN, chercher sur PA un point R qui donne PR : PA : : 1 : », mener RM parallèle à aN, et enfin joindre aM] le prolongement aB de cette droite sera le rayon réfracté. Or ce diagramme constitue un point de vue infécond qui n'achemine aucunement vers les constructions qui conviendront à la double réfraction.

Il n'en est pas de même de cette autre construction , qui consiste à décrire encore une circonférence, d'un rayon quelconque R, puis à prendre, au delà du point d'incidence, sur la ligne de séparation des deux milieux, une

distance ad=.-. — -.» et enfin à mener par le point r/, à la

DOUBLE RÉFRACTiON UKIAXE. !247

demiMjiconfisrence comprise dans le second milieu y la tangente db. Le point de contact est sur le rayon réfracté , qui se trouve dès lors déterminé^ et satisfait, comme on s'en

convaincra sans peine, à la loi sin r = • Ordinairement,

et nous nous en tiendrons à cette épure simplifiée ^ ati lieu

de prendre R quelconque, on pose R = ~» ce qui rend la

distance ad ésaiie à -: —

" sini

L'avantage de cette deuxième construction, lui \ient de ce qu'elle ne fait que reproduire la figure de la démonstration ondulatoire des lois delà réfraction (§28). Associons en effet à notre rayon A a une foule de rayons parallèles dont le dernier soit D/^, et détachons , par Tonde plane aâ^ les retards que les divers rayons contractent, vis-à-vis du premier, avant d'atteindre la surface ST. On aura

dS =r ad sin i = i ;

le rayon R qui vaut - se trouve donc être le chenjiin que le

premier rayon décrit dans le deuxième milieu, pendant que le dernier rayon arrive à la surface, c'est-à-dire que nous retrouvons làjig, i5, avec cette seule particularité, qu'au lieu de laisser au faisceau une épaisseur quelconque, les <!onvention» admises l'astreignent à donner la différence dd = i.

On voit de suite comment cette construction pourra se prêter à tous les cas. On prévoit que U^s réfractions extraordinaires offertes par les milieux hétérogènes viendront de ce que les ébranlements ne se propageront plus avec la même vitesse dans toutes les directions, et cesseront de donner des ondes sphériques. Mais quelle que soit la forme de ces ondes , la réfraction consistera toujours en ce que , hormis pour des directions privilégiées, Ics mouvements dérivés, simultanément reçus par l'œil, s'cnire-détruiront

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par voie d'interférence. Les mouveDoients épargnés ne cesseront pas d*être désignés et choisis , sur chaque onde élémentaire, par leur enveloppe qui sera encore Tonde réfractée; toujours ils devront de survivre, à ce qu'ils sont mouvements de première arriv^ée, et partant, mouvements contemporains. Or, quand Tonde incidente est plane, nous avons vu que le mode de décroissance des ondes élémentaires réfractées était tel, que leur enveloppe était un plan qui pouvait s'obtenir en ne gardant qu'un certain nombre de ces ondes et en se dispensant de considérer les autres. Nous sommes ainsi conduit à rendre à la construction qui nous occupe, son vrai caractère de construction dans l'espace, et à ne plus la restreindre à une figure plane.

§ 140. — Ce qu'elle devient dans Tespace.

Soit {fig* 70) un faisceau de rayons parallèles que nous délimitons par quatre plans, dont deux latéraux KadH^ G^eE seront parallèles, et les deux autres perpendiculaires, au plan id'incidence. Ils forment dans le premier milieu une onde plane ait g qui heurtera la surface de démarcation du deuxième milieu suivant les divers points du rectangle adeg, A Tinstant où la dernière tranche D JEe des rayons incidents atteint la surface, le long de la ligne de^ le mouvement que les autres rayons ont successivement excité dans le deuxième milieu réside sur certaines sphères décroissantes dont les plus grandes appartiennent à la tranche

A a Gg^ et ont pour rayon (îrf — ? ou bien - si Ton suppose

que le retard âd vaille 1, et si Ton se rappelle que -; = n.

Gomme les mouvements des derniers rayons, confinés dans les divers points de la ligne elcy ne se sont pas encore épanouis en sphères, cette ligne fait partie de Tenveloppe. Si nous menons par cette ligne un plan tangent à Tune des

DOUBLE RÉFRACTION UNIAXE. ^49

sphères engendrées par les premiers rayons, et si nous ad*' mettons (on s^en convaincra sans peine) que ce plan sera paiement tangent, non-seulement aux autres sphères de la tranche AagG^ mais encore aux sphères intermédiaires suscitées par les autres tranches de rayons, notre en veloppe se trouvera complètement déterminée par cette double condition : i*^ de passer par une ligne de^ située dans le plan

de démarcation des deux milieux, à la distance-. — -. du

' sini

point d'incidence , et normale au plan d'incidence^ a® de

toucher une sphère décrite du point d'incidence a\^ec le

rayon — Ainsi , au lieu d'une tangente à une courbe , la

vraie solution consiste à mener , par une droite , un plan tangent h une surface.

§ 141. — Son extension à tous les cas.

Quand les ondes élémentaires sont symétriques à droite et a gauche du plan d'incidence, qu'en d'autres termes ce plan est pour elles un plan diamétral, le point de contact caractéristique d'un quelconque des rayons réfractés, reste dans le plan d'incidence propre au rayon incident correspondant, et Ton peut déduire ce rayon réfracté de son rayon incident, par une construction plane, opérée dans le plan d'incidence qui coïncide alors avec celui de réfraction.

Tout revient en effet à mener par le point distant de -: — -.

*^ '^ sini

une tangente à la courbe diamétrale. Mais en dehors de ce

cas, le plan de réfraction se sépare du plan d^incideuce, et

il n'y a plus de première loi de Descartes. Quant à la

deuxième loi, elle ne s'Isole (*) qu'autant que la première

(*) L'aogle de réfraction extraordinaire r^ ou r', e&t en général dans une dépendance connexe de l'angle d'incidence i et de Taugle f compris entre le plan d'incidence et celui de réfraction extraordinaire. Pour qu'il ne dépende que de I » il faut que f soit nul ou droit.

a5o CHAPITRE VI.

est satisfaite, el alors elle dépend de la nature do la courbe diamétrale. Cette courbe est*e]Ie un cercle, on a la loi des sinus. Cetle circonstance a constamment lieu avec des ondes sphériques, et n'arrive plus qu'accidentellement avec des ondes d'une autre forme. Est-ce une ellipse , la loi se com* plique beaucoup, mais nous verrons (^ 144) que pour certaines orientations de l'ellipse, elle devient comme une loi de tangentes. Pour montrer dès à présent la fécondité du point de vue que nous ouvre cette construction , nous remarquerons qu'en dehors des ondes sphériques, la perpen-* dicularité des rayons réfractés sur Tonde n'a plus Ifeu qu'accidentellement.

Mais tout ceci suppose qu'en effet Fenvcloppe résume les portions seules actives des ondes élémentaires. Ceci a été déjà établi (§ 28) pour des ondes circulaires, et, tant que les ondes sont sphériques, on peut s'en référer à cetle démonstration. Mais avec des ondes quelconques, celte démonstration est à reprendre , c'est ce que nous ferons plus loin (§§ 150, 151). Nous prévenons également que la construction sur laquelle nous venons d'insister tant, quoique constituant par rapport au diagramme primitif (S 139) un immense progrès , n'est pas à l'abri de reproches fondés , et qu'il nous faudra la modifier : ce remaniement sera également opéré très-incessamment (§ 148).

Revenant à notre sujet , nous voyons que le rayon ordinaire d'un biréfringent uniaxe se construira par une sphère. Mais par quelle surface construire l'extraordinaire? Huyghens a fait voir il y a longtemps que c'était par un ellipsoïde de rév^olution. Comment est-il arrivé à cette découverte difficile? A défaut de renseignements sûrs à cet égard, nous supposerons qu'il y est arrivé comme il suit, en tirant habilement parti de quelques expériences peu nombreuses mais choisies, et en fécondant par une induction adroite, les lois partielles quelles révèlent. Pour ne pas nous distraire, nous énoncerons d'abord les résultats

DOUBLE REFRACTION UNIAXE. nSl

sans nous occuper des mesures qu'elles supposent ; nous ne ferons connaître qu'ensuite (^ 146) la méthode expérimentale qui a été suivie , dans les meilleures vérifications entreprises sur la loi d'Huyghens.

§ 142. — Première expérience.

Prenons un spath avec les six faces naturelles du rhom* boïde, en le plaçant sur une ligne très^fine et le faisant tourner, nous aurons en général deux images parallèles placées Tune à côté de l'autre et à des niveaux dilTérents. Mais pour chaque face nous trouverons une situation du plan d'incidence qui met les images l'une au-dessus de l'autre et réalise, par conséquent, la première loi de Descartes. Il en sera de même avec des faces artificielles quelconques. Eh bien, on reconnaît que le plan d'incidence passe alors par l'axe cris lallo graphique et se confond avec ce qu'on appelle la section principale (*) de la face.

§ 143. — Deuxième expérience.

Cette expérience accordant à Taxe un rôle important, abattons les deux sommets principaux du rhomboïde par deux plans perpendiculaires à Taxe, et regardons à travers ces faces un point très-fin. Si l'on vise normalement, on ne voit qu'une image; en visant dans des directions d'une obliquité croissante, on voit le point se dédoubler et fournir deux images dont l'écart et le dénivellement croissent. Mais si , sans déplacer l'œil , on fait tourner le cristal dans son plan, les images restent aux mêmes lieux, c'est-à-dire que si les rayons incidents sont groupés en cône droit autour de la normale, il en sera de même de chacune des

(*) On ^^^^\e section principale à'vLue face le plan détermine par Taxe du cristal et la normale à la face. Chaque face a donc une section principale et rien qn*une , hormis cependant la face perpendiculaire à Taxe; car, pour elle» la normale et l'axe se confondant, la section principale est indéterminée, et il y en a autant que do plans normaux ù la face, c'est- iidire une infinité.

deux soUes de rayons réfractés fournis par le cône incident. Cette indifférence de la double réfraction, pour l'orientation du plan d'incidence , n'avait pas lieu dans le cas précédent ; elle appartient exclusivement à ce système de faces terminales. Si l'on mesure les angles i et r, on trouvera que l'un des rayons , celui de l'image la plus relevée donne un rapport constant de sinus, à savoir i,65. Quant à l'autre rayon , il n'accepte que la première loi de Descartes.

§ IM. — Troisième expérience. — Indice extraordinaire.

Taillons un spath sous la forme d'un parallélipipède rectangle {fig> 71), dont une arête A A' soit parallèle à l'axe. Si le rayon incident a A est reçu dans le plan AF perpendiculaire à l'axe, OD ne trouve plus de rayon extraordinaire; tous deux sont soumis aux deux lois de Descartes, l'un avec l'indice i,65 déjà trouvé et l'autre avec l'indice i,48. Ce dernier indice, qui préside ainsi occasionnellement à la réfraction du deuxième rayon, s'appelle indice extraordinaire. Comme une connaissance exacte des indices importe, on a taillé un prisme dont l'arête était parallèle à l'axe et, usant des méthodes connues , on a trouvé

Dans ce plan , les deux rayons se construisent donc par

( *) Ces déterminations, étendues par Rudberg aux principales raies du spectre, ont donné pour le spath et pour le quartz :