AIE
. Ordin.
Différence.
Extraord.
Ordin.
Différence.
Ëxtraord
o,i7Qi5
DOIJBLB RÉFRACTION UNIAVE. 353
deux tangentes menées d'un même point à deux cercles, Tun moindre , de rayon b = — -r^ = o,6o45, l'autre plus grand,
I ,Od
de rayon a = — 7^ = 0,674^ > et ces deux cercles sont cha-
cun, section diamétrale (S^^^ ) àes surfaces d'onde ordinaire et extraordinaire.
Si le rayon est situé dans le plan A A'H qui contient Taxe et qui le contient comme ligne de démarcation, on trouve entre les deux angles de réfraction r' et r (désignées encore surles/îgfure^parr, etTo) une relation très-simple, analogue à celle qui unit les sinus des angles 1 et r, k savoir
tang / n' b
tang r n a
Pour interpréter géométriquement cette loi , traçons dans le plan , et le cercle de rayon b , et Tellipse PEQ dont les axes soient
AP=*, AQ = fl,
si la distance A J vaut -: — : en menant la tangente ^O , smi D 7
AO sera le rayon ordinaire. Menons l'ordonnée RO et prolongeons-la jusqu'à la rencontre de Tellipse en E. Par une propriété bien connue de Tellipse , on sait que la tangente menée par le point ^ aura E pour point de contact. Mais la théorie de Fellipse donne encore
RO . , ,. tangr' b
=r-=7> c est à-dire — s^— =: -• RE tang r a
Donc le rayon vecteur AE n'est autre que le rayon réfracté extraordinaire : ainsi ce rayon se construit , dans ce plan , par une ellipse ; ainsi la surface de Tonde extraordinaire accepte encore, pour section diamétrale, l'ellipse APQ qui va se raccorder en Q avec la première section diamétrale circulaire.
§ 145. — Onde extvaonlina'ur,, — C'est un ellipsoïde de rÔYolation.
Quand le plan d'incideDce sera intermédiaire aux deux précédents, nous savons que le rayon ordinaire se construira toujours par un cercle égal aux deux qui ont déjà servi, qu'eu d'autres termes ce rayon se construit par une série de cercles empruntés à la sphère de rayon h. Eh bien, ou est conduite supposer que Tellipsoïde obtenu, en faisant tourner Tellipse APQ autour de son petit axe AP, pourrait bien rendre au rayon extraordinaire le même service que la sphère au rayon ordinaire > à la condition toutefois do ne pas prendre les intersections opérées dans cet ellipsoïde par le plan d'incidence, mais de mener a Teilipsoïde lui-même, parla droite qui se projette en rf, un plan tailgent. Toutes les vérifications entreprises pour vérifier cette loi Font parfaitement justifiée. Nous allons faire connaître la méthode expérimentale à Taide de laquelle Malus prenait possession de la direction des rayons réfractés et dire comment il la comparait à leur direction théorique.
§ 146. — On détermine expérimentalement la direction des rayons.
Les cristaux de spath sont trop rares pour qu en vue de ces vérifications, on les taille en prismes nombreux diversement orientés. D'ailleurs si Pemploi des prismes est avantageux dans Tétude de la réfraction des monoréfringents, cela tient à ce qu'on peut donner aux rayons une situation telle (celle de la déviation minimum), que la seconde surface ne fasse que répéter et doubler l'effet de la première. Ici , la forme prismatique mettrait en jeu deux doubles réfractions successives et disparates et donnerait une grande complication. Le problème consiste donc à obtenir, avec des cristaux à faces parallèles , les angles i et r et la situation des plans d'incidence et de réfraction. Voici le procédé de Malus, appliqué d*abord à une substance monoréfringente.
DOUBLE REFRACTION UNIAXE. a55
On pose le corps sur une lame de métal où se trouve un repère (Jig. 7a) ; ce sera par exemple Tîntersection P de deux droites très-fines; et à l'aide d'une lunette on vise à ce poInt« Si la lunette est confiée à un limbe vertical et si , avec an niveau, on a rendu horizon taie la face supérieure du corps, on aura Tangle 1 par simple lecture. Comme on a
Pi\
Ungr = -,
et que Fépaîsseur AN = e sera donnée par le sphéromètre, il reste donc à connaître sur la plaque, le point N, projection du point A où s'opère la réfraction. Pour y arriver nous admettrons que le cristal a été déposé à l'intérieur d'un carré dont les côtés sont divisés en demi-millimètres, et que la plaque qui pçrte ces divisions , le repère et le cristal , est confiée à une alidade mobile. Nous admettrons encore que Tun des côtés du carré est dirigé parallèlement au plan dHncidence et que de plus le point A soit amené sur l'axe de rotation de T alidade : nous supposerons enfin qu'on ait signalé le point A en y amenant par tâtonnement le point de croisement de deux fils mobiles très-fins. Quand ou aura mesuré l'angle 1, en abaissant la lunette, on relèvera sur le côté, un point L de la trace du plan d'incidence. Si on fait tourner l'alidade de 90 degrés (et si on vise encore au point de croisement des fils, pour vérifier rinstallatîon), en abaissant de nouveau la lunette, on déterminera un point M de la trace d'un second plan vertical passant par A. Ainsi en menant par les deux points L, M des parallèles aux deux cotés du carré, leur intersection donnera la projection N dn point A. LN sera donc la trace du plan d'incidence, PN est celle du plan de réfraction : on pourra voir s'ils coïncident. Malus trouvait ses points de repère sur un triangle rectangle [fig. 73) dont les deux côtés étaient dans le rapport de 10 à I et dont l'hypoténuse et le grand côté étaient divisés en 100 parties égales. Ce triangle est d'une utilité toute par-
ticulière quand on use d'un corps biréfringent. On voit alors en effet deux images du triangle et l'image extraordinaire du côté tu coupe au point P l'image ordinaire de l'hypoténuse. On en conclut que les deux rayons PA ordinaire elpk extraordinaire se résument dans un seul rayon extérieur AO, ou en d'autres termes que AP, Kp seraient les deux rayons engendrés par l'incident OA. Donc quand on aura pris matériellement possession du point A, quand on l'aura amené [*) dans l'axe de rotation de l'alidade , quand enfin on aura relevé les deux plans verticaux ANL , ANM, et obtenu le point N projection de A, alors en joignant PN et p N on aura, et les deux plans de réfraction, et
les deux angles ret i*' dont les tangentes vaudront — et — ?
et encore la distance P/9 qui sépare les deux rayons sur la face inférieure du cristal ou plutôt leur écart angulaire PA^ : telle est la méthode à l'aide de laquelle Malus déterminait la marche des rayons réfractés. On voit qu'elle aura d'autant plus d'exactitude que les crinaux seront plus épais. On trouvera (§ 182) une méthode qui, tout en n'exigeant que des cristaux de quelques millimètres d'épaisseur, est plus expéditive et cej>endant d'une exactitude au moins égale à celle de Malus.
§ 147. — Confrontation de rexpérience avec la théorie.
La route théorique du rayon extraordinaire, telle que la donne l'ellipsoïde d'Huyghens, peut s'obtenir ou parla géométrie descriptive ou par l'analyse. Dans le premier cas il faut construrre successivement, rellipsoïde, la face de démarcation, le plan d'incidence, le rayon incident, le point d
distant de -: — ■.? la normale au plan d'incidence, le plan sin I ^ *
tangent à l'ellipsoïde et enfin la ligne qui joint le point d'in-
( * ) On peut installer la plaque sur une plate-forme à deux monvemenb;, pareille h celle dont sont munis certains microscopes.
MUBLE RÉFRACTION UKIAXB. 267
cidence au point de contact. Malus préférait calculer toutes ces choses. L'une et l'autre méthode donnent finalement deux angles dépositaires de la direction du réfracté e!ttraordinaire, à savoir Tangle dièdre <f compris entre le plan d'incidence et le plan de sa réfraction, et l'angle plan r'. Nous renvoyons à une autre Section l'établissement des formules générales, et nous nous contenterons de donner ici le détail des deux méthodes dans quelques cas particuliers^ à savoir ceux où, la première loi de Descartes étant satisfaite^ les constructions sont planes et les calculs deviennent ceux de l'ellipse. Pour mieux nous préparer à cette discussion, nous allons nous occuper d'abord, et des reproches qu'on peut adresser à la construction précédente des rayons réfractés (§141), et des améliorations nouvelles qu'on peut y introduire.
§ 148. — On rend symétrique et réciproiine la construction des rayons réfractés..
Un premier reproche porte sur la variabilité des dimensions de la surface d'onde à laquelle est mené le plan tangent, un deuxième est de n'être pas symétrique et réciproque par rapport aux deux rayons, l'incident et le réfracté, de ne pas les traiter l'un comme l'autre, de telle sorte que l'épure faite pour la transmission dans un sens, ne convienne plus quand le passage aura lieu, sous les mêmes angles, du deuxième milieu dans le premier.
Ainsi , quand la transmission se fait d'un milieu d'indice n dans un milieu d'indice n*, on devra décrire dans le
deuxième milieu une sphère dont le rayon ne sera plus -79
* I mais vaudra -7« Si la lumière rebroussait chemin, le rayon
de la sphère serait — -, on reporte donc, sur le deuxième mî-
lieu toul le travail des changemenls de viiessc. Un tel mode amènera de grandes complications quand le rayon passera d'un milieu biréfringent dans un autre milieu biréfringent, car il faudra combiner en quelque sorie la surface d'onde du deuxième milieu avec celle du premier, de manière à en modifier Tëchelle conformément au temps variable que le dernier rayon Dd mettra k franchir la distance âd {fig> 6g et 70). Or les surfaces d'onde sont assez compliquées pour qu'on n'en modifie pas sans cesse les dimensions : la perfec« tion serait d'user exclusivement, avec cbaque milieu, d'une seule surface d'onde construite sur une échelle invariable : une construction symétrique pourra seule mettre en évi*^ dence ces deux surfaces type» propres à chacun des deux milieux.
Renonçons à prendre pour rayon extrême Drf, associé comme auxiliaire au rayon A/z, un rayon dont le retard od soit égal à l'unité (§ 139), et choisissons un rayon dont le retard, variable avec le milieu, corresponde à un temps (H>nstant, l'unité par exemple. Nous régulariserons dans le second milieu les dimensions de t'onde élémentaire, puisqu'elle aura toujours -; pour rayon. Mais la distance qui
détermine la droite par laquelle on lui mène un plan tangent, au lieu de ne dépendre que de l'incidence, dépendra alors et de nncidence et de Tindice dtr premier milieu, car on a visiblement
itd:
sia r n . , /i sm / -rSin*
On retrouverait donc tm tuconvénient comparable k celui que nous venons d'éviter, s'il ne devait disparaître dans la construction qui donnera la symétrie.
En effet, la symétrie et la réciprocité s'obtiennent on adoptant la règle suivante dont nous justifierons la légiti-
DOUBLE RÉFRACTION UNIAXE. 259
mité : DéctweZy autour du point a, pied du rayon incident dont on ueut construire les réfractés ^ et dans le deuxième mdieuy deux demi^surfaccs d*onde ayant ce point poui* centre y caractéristiques F une du premier milieu^ Vaulre du dernier^ et correspondantes toutes deux à V unité de temps ^ prolongez le rayon incident jusqu'à la première surface y par te point de rencontre menez un plan tangent qui coupera la surface de démarcation suivant une droite : il reste à mener par cette droite à la deuxième demi-sur^' face d'onde tous les plans tangents possibles ^ ces plans seront les ondes réfractées: enjoignant le point a à leurs points de contact, on aura les rayons réfractés.
Si les rayons rebroussaient chemin , ce seraient les deux autres moitiés des deux surfaces d'otide , à savoir celles contenues dans le premier milieu , devenu le dernier, qui seraient utilisées de la même manière. Si la surface de démarcation était courbe, il faudrait considérer Tintersection du premier plan tangent avec le plan tangent mené par le point d'incidence à la surface de séparation des deux milieux, et alors la direction trouvée pour les rayons réfractés, n'appartiendrait guère qu'à Fincident Âa et à ses voisins les plus rapprochés, et nullement è ce rayon auxiliaire Dd dont nous n'usons plus même tacitement. Or c'est un avanuge réel, acquis, avec ceux déjà signalés, à cette dernière constructioii, que de mettre en place les rayons réfractés par la seale considération du rayon incident qui les engendre,
car dans les autres diagrammes , en prenant --, — .^ ou même on associait de fait au rayon A a un rayon auxiliaire
/isini
D d. Ici le point d n est plus pris d'autorité, mais il est donné par une des deux opérations similaires qui résolvent le problème, n y avait d'ailleurs quelque chose d'étroit et d'insuffisant, soit dans le mode d^évaluation de la distance qu'il fallait franchir pour trouver la droite déterminatricc des
26o CHAPlTHIi VI-
plans tangents, soit dans Torientation de cette droite que nous siipposions normale au plan d'incidence. En effet, dans la justification de la règle actuelle qui pourra seule s'adapter aux cas difficiles, nous allons voir que cette droite est, en général , oblique sur le plan d'incidence.
§ 149. — Justification de la règle. — !<>. Cas des ondes sphériques.
On peut se borner à une (igure plane [fig* 74) 5 o^ aura
deux cercles concentriques de rayons - > -7* Le rayon A a
prolongé donne le point B et la tangente B J^ or on a
— fll I I
ad = -: — : =r — ; — ^ == -: — ^ quand n =1x1 sin £ nsini sm i
donc le point rf, amené par notre nouvelle construction , lie diffère pas du point d ancien {fig- 69). Si le rayon sort du deuxième milieu , la première tangente sera B'rf' et la deuxième Vd', Si la face de sortie est parallèle à celle dVntréc, ridentité des deux constructions montre que le rayon sortant a' M reprend sa direction première A a.
.^ 150. — 2«. Cas idéal d'ondes non sphériques conduisant également à nne construction plane [fg. 75).
6 étant le point de rencontre de la première surface •d'onde avec le rayon incident Âa prolongé, nous menons la tangente Bti; cette tangente marque la position qu aurait Tonde incidente si le premier milieu s'était continué et si, à partir du point a, la propagation avait encore duré chez lui Tunité de temps. Nous en concluons que Tonde en a n'est autre que la droite ay parallèle a B^. La deuxième tangente db est l'enveloppe (on en trouverait sans peine une démonstration générale) des ondes décroissantes excitées dans le deuxième milieu par un faisceau de rayons parallèles, et chaque point de contact h se rattache au centre g de Tonde élémentaire correspondante, par une droite
