DOUBLE RÉFRACTION UNI AXE
gh parallèle à ab. Si nous meaonsG^ parallèle à Aa, il faut montrer que le chemin mixte yg-hgh est équivalent au chemin ai ou ^iB : en prolongeant yg^ jusqu'en K, l'équivalence précédente revient à celle du chemin mixte yg-hgh avec le chemin yK, ou bien, en retranchant la partie commune yg^k l'équivalence des deux chemins hétérogènes gh et gk. Les triangles ghd et abd donnent
011 a de même
donc
gh __ ab^
Les deux chemins hétérogènes gh , gk sonl donc équivalents comme les deux ab^ AB : donc tous les rayons du faisceau parallèle incident parviennent, dans le même temps, à la ligne Arf, par les routes parallèles ab,,,^gh,., 5 mais on démontrerait, en recourant aux moyens mis en jeu (§28), que, dans toute autre direction que ab, cette équivalence n'aurait plus lieu , et que les rayons du faisceau oculaire s'entre-détruiraient. Nous devons en conclure que la tangente enveloppe est bien Tonde réfractée et la direction ab celle des rayons réfractés.
§ 151. — 30. Cas des ondes quelconiines.
Passons à l'espace, et considérons (fig» 76 , PL F") trois rayons quelconques très-voisins La y Ce, Ee qui délimitent une portion triangulaire ace d'une onde plane incidente. Soient décrites, autour de a comme centré, les deux demisurfaces d'onde des deux milieux conligus, et soit a le point où celle du premier milieu est rencontrée par le premier rayon A a prolongé, le plan tangent mené à cette surface au. point a n'est autre qu'une position ultérieure de l'onde aca
26si CHAPlTIiB VI.
et lui est parallèle ^ de sorte que, si Ton prolonge les deux
autres rayons jusqu'à c^plan, on aura trois distanon a a,
cy, ee égales. Le plan tangent coupera act e^, plan dedëmar*
cation des deux milieux, le long d'une droite ST. Menons
par cette ligne i là deuxième surface d'onde un plan tangent
ST&. Si nous admettons encore cpe.oe deuxième plan soit
l'enveloppe des ondes décroissantes excitées successivement
par tous les points du triangle ac^ e, , et que les lignes qui
vont de ces divers points aux points de contact des ondes
élémentaires corrélatives, sont parallèles entre elles , il est
facile de prouver que chacun de nos trois rayons pu l'un
quelconque de ceux qui les accompagnent arrivera à son
point de contact dans le même temps, ou qu'en d'autres
1 , ^ , ab ccx Cxf ecx e^g , y
termes les trois durées — » «- 4- «7 et -=■ -+- :=^t sont égales,
V, V exprimant les vitesses propres aux deux milieux dans les deux directions A a et ah.
On voit sans peine que les droites ae^^ asj bg se coupent en un même point S de l'intersection ST. Il eu résulte deux systèmes évidents de triangles semblables qui donnent
exg= nù :=s^9 ^i« = flec-:=ï»
aS aS
c'est-à-dire, en n'oubliant pas l'égalité r^e = aa^
ex g z=:ao =:^=z ab — = — = aa — < ao= 1 act aa aa
mais
au := es -^-f
donc
Cxg= ab — ee,—,
où bien , divisant par V,
Cxg eci ab
DOUBLE RÉFRACTION UNlAXfi. 26.^
EU ayaul recours au poiuiT ou se reucouireul les irois lignes qui joignent sur les deux oudes el sur la surface de séparation les deux rayons Ce, et E&«, on trouverait de même que les routes mixtes cci + Cff et ec, •+- e,g sont parcourues dans le même temps, et comme ce résultat appartient exclusivement à cette direction ab^ il faut en conclure que, sous sa forme nouvelle, la construction qui mec en place les rayons réfractés se trouve démontrée.
§ iS3. — Deux consê^euces corienses.
Quand Tonde ace est perpendiculaire au rayon incident Aa, comme Tintersectionde deux plans est perpendiculaire au plan de leurs deux normales, il s'ensuit que Tintersecliou as de Tonde ace avec la surface ociCi, et aussi sa parallèle ST, sont perpendiculaires au plan d'incidence AaN', loais quand Tonde est oblique sur le rayon A a, ce résulut n'a plus lieu et la droite ST cesse d'être normale au plan d'incidence. Ainsi la construction du (S^^l) serait en défaut, même pour les cristaux uniaxes, »it-6t que le premier milieu cesserait d'être monoréfringent.
Nous avons vu (§ 27) que Tceil infiniment prcabyte n'introduisait pas de différences de route à partir d^un plan perpendiculaire i son axe, que ce fût Taxe principal ou Tun de ses innombrables axes secondaires. Quand il n'y a qu un point lumineux, nous dirigeons Taxe principal parallèlement au faisceau incident, et Taocord des rayons, c'est-àdire Timage, se fait au point central de la rétine. Si Tceil pouvait se mettre au sein d'un milieu biréfringent et recevoir des ondes obliques sur leurs rayons, on n'obtiendrait les images aux points accoutumés qu'en donnant à Taxe de Tosil une certaine orientation, que nous ne nous proposons pas de calculer. L'éducation de Tœil serait à reprendre^ mais la vision ne peut, de fait, s'exercer que quand l'œi^ est placé dans certains milieux tels que Tair et Teau , tous nionoréfringents. Or une fois que les rayons sont rendus par
les cristaux k de pareils milieux, les ondes planes déteroiinées par une enveloppe de sphères redeviennent perpendiculaires aux rayons.
§ 153. — Esquisse des caa réservés.
Les développements précédents sont indépendants de la forme des ondes élémentaires et s'adapteront aux cristaux biaxes dès qu^on aura déterminé la forme de leurs ondes. Cette détermination délicate est l'objet principal du chapitre que nous devons consacrer encore à la double réfraction. Nous croyons utile de dire par anticipation que dans ces milieux, l'onde est une surface du quatrième degré à deux nappes; que ces deux nappes, enchevêtrées dans le cas géné^ rai, s'isolent presque dans le cas particulier des cristaux uniaxes, et deviennent Tune une sphère et l'autre un ellipsoïde de révolution *, quedansles milieux monoréfringents les deux nappes n'en forment plus qu'une, attendu que l'ellipsoïde se confond avec la sphère; nous dirons aussi que la surface générale de l'onde n'admet (chez les cristaux) pour sections diamétrales, que le cercle et l'ellipse, et qu'ainsi la supposition faite par nous (§ 150), dans un intérêt de généralisation, d'une seule onde non sphérique ou d'ondes planes d'une forme compliquée, sont en dehors des' biréfringents cristallisés, et s'appliqueraient tout au plus aux corps que l'on rend biréfringents par des actions mécaniques; nous dirons enfin que l'on obtient, toujcmrsà la fois, une section diamétrale circulaire et une elliptique, mais que ces deux sections, au lieu de se toucher au sommet d'un des axes de l'ellipse, comme dans les uniaxes, n'ont entre elles, dans les cristaux biaxes, d'autre relation particulière que celle d'avoir un ceiitre commun. A ceux qui remarqueraient qu'une onde à ^^ux nappes suppose que la perturbation réside, au bout d'un certain temps, avec discontinuité, dans deux séries de particules, nous répondons que ce curieux partage se justifiera comme conséquence, et des lois de Télas-
DOUBLE RÉFRACTION UNIAXE. 265
licUé des milieux cristallisés, et de certaines conditions de la vision humaine.
§ 154. — Double réfiraction quand les iàces sont perpendiculaires à Taxe (/j^. 77].
Autour du point d'incidence pris comme centre, décrivons trois ondes : deux circulaires dont les rayons vaillent I et -==&, et la troisième elliptique avec les deux
axes - = 6 et -; = a, le premier b étant dirigé suivant Taxe
cristallographique Naa^ Le rayon A a prolongé coupe en b Tonde circulaire caractéristique du premier milieu, menons en ce point la tangente bd^ puis par le point //, où t'Ue coupe la ligne séparatrice des deux milieux , les deux tangentes dO^ dK aux deux ondes caractéristiques du milieu biréfringent, aO et aE seront les deux réfractés.
Quand les deux rayons séparés arriveront à la deuxième surface , chacun d'eux ne donnera qu'un rayon réfracté, on n'appliquera dès lors a chacun des deux points de sortie que moitié de la construction complète, à savoir, au rayon ordinaire aa la construction du rayon ordinaire, et au rayon 12 a' celle du rayon extraordinaire. On verra sur la 6gure tracés autour du point a^ l'ellipse et le cercle de rayon i ; le prolongement de a a' donne le point 6, la tangente Sâ^ le point d, la tangente dA', et enfin le rayon a^A\ qui est parallèle au rayon Aa, quand les faces d'entrée et de sortie sont parallèles.
Pour trouver l'expression analytique de ce cas particulier, décrivons le cercle auxiliaire a R ayant pour rayon a, et nommons p Tangle de réfraction Roa' du rayon qu'il déterminerait, ou, ce qui revient an môme, posons
%mi r= - sinp.
Les deux points R et E sont sur une parallèle à Taxe aa'\
CHAPITRK VI
donc
Ungr'
tangp
<;t par
élimination de.
Pi
tang
n' sin 1
b^i — û*sin'/
La quantité aa' que déterminent les expérience$.de Malus vaut e (tang r' — tang '*), e étant l'épaisseur du cristal. En mettant avec Malus le plan d'incidence normal au grand côté du triangle, ses deux images ont alors la configuration de la^fig, 78, et la distance Pp est le dixième de pu, Malus^ opérant sur une plaque de 3o milliniètros d'épaisseur, a trouvé un accord satisfaisant.
Si le rayon incident est normal , la première tangente est parallèle à la ligne de démarcation a S {Jîg» 79) 9 il en est de même des deux autres , qui dès lors se ooiifondeni. Les deux rayons réfractés coïncident donc avec Taxe optique qui est un axe d'indivisibilité. La réfraction reste simple à la sortie, puisque les deux courbes , an lieu d'avoir deux centres distincts a et oc^, ont un centre commun a, et que le rayon incident prolongé les coupe précisément au point où elles se louchent. Cette indivisibilité à la sortie, d*un rayon double qui chemine suivant Taxe, se conserve évidemment pour toute autre orientation aa de la face de sortie. De même l'indivision du rayon entraut peut avoir lieu avec des faces d'entrée obliques sur l'axe; ainsi soit tfa' l'axe i^ê* ^^)yO^ trouve aisément, par une construction ou par le calcul, le rayon extérieur A a qui ne donne que le réfracté aa^
§ 155. — Quand elles contiennent Taxe.
Section A A' HN' de Jafig. 7 1 , PL IF. — Nous avons peu t'i dire sur ce cas déjà étudié. Si Ton veut éclianger la relation
DOUBLE RIBFIiACTlON UNIAXE. 267
contre une relation entre z*' et /, on a visiblement
b^ sin I tang/ = — /■ ■■■■ ■ : ; ^- /
Quelques-unes des Térificatious de Malus ont aussi porté sur ce cas particulier. Le calcul de la distance au* se faisait toujours par la formule
aafz=e ( tong r' — tang r) ,
qu'on peut encore écrire ainsi
, sin(/— r)ces r C08 r
Remarquons encore que dans cette section c'est le rayon extraordinaire qui est le plus réfracté.
Quand Tincidence est normale, il y a indivision du rayon; mais cette indivision a un tout autre caractère que précédemment. Elle est en effet accompagnée d'une inégalité dans les vitesses de propagation des deux rayons superposés (fig, 81, PL F). Les deux ondes planes restent indépendantes et n'ont aucun point commun , aussi suffit-il que la face de sortie soit oblique pour que les deux tangentes donnent deux points distincts d^ d\ et, par suite, deux tangentes ^O, d'Esk Tonde du milieu extérieur. Dans la figure, on a mis en évidence les deux courbes circulaires données par la section AF de la^^. 71, ce qui suppoœ que la face de sortie oblique est perpendiculaire à cette section AF.
§ 156. — Dans une section principale quelconque.
Section principale d'une face quelconque, — Nous savons qu'on peut encore remplacer la construction dans l'espace, par une construction plane, opérée sur l'ellipse déjà considérée; la seule attention est d'en orienter convenablement les axes. Ce cas sera traité analytiquemcnt dans la Section suivante.
S'il s'agit du spath d'Islande et d'une face naturelle du
268 CllAPITftE VI.
rhomboïde (fig* 82), le goniomèlre donne pour les angles dièdres égaux, qui forment les deux angles solides principaux, io5**5'= A. Le calcul d'une face cAe^=a dépend donc d'un triangle sphérique dont les trois faces inconnues sont égales et dont les trois angles dièdres sont égaux et connus. On trouve alors sans peine que la formule générale qui donne a se ramène à la forme très-simple
cos — a =
c'est-à-dire ici
2 sm - A
cos -a ==
2 2sin62«32'3o"^
en faisant ce calcul numérique, on obtient pour les angles plans égaux rassemblés aux sommets de Taxe 101^ 55^
Pour arriver aux angles déterminateurs du parallélogramme DAFA' qui forme la section principale d'une face naturelle, considérons le triangle sphérique DAA'e rectangle en DA . Ses deux autres angles solides sont connus, car
DA cA'=B vaut- i o5^ 5' et e A A' D, égal à chacun des cinq
autres angles analogues qu'on peut former autour de Taxe,
vaut 7; 4** = ^^^ = C. Les formules connues cos 6 = -r— ;;» o sm C
cos a = cot B cot C donneront donc , la première l'angle DA A', qui est l'angle de Taxe avec les faces du rhomboïde, et la deuxième la face hypoténuse e A A' qui est visiblement égale à FAA'^ de sorte que la somme 6-+- a de ces deux angles donne DAF, l'un des deux angles de la section principale. On trouve
cl, par conséquent,
DAF = 109° 8' 10".
La section principale se trouve donc être un parallélo-
DOUBLE RÉFRACTION DNIAXË. 269
gramme doni les angles sont 109** 8' lo'' et 7o°5i'5o"
Quand Tincidence est normale, on trouve, comme il suit, Tangle Y qui sépare les rayons ordinaire et extraordinaire^ ce dernier allant en eflet du point a au point de contact E d'une tangente parallèle à la ligne de démarcation AD n'est autre que le diamètre conjugué de AD^ et parlant ou pourra appliquera ces diamètres la relation connue
tang a tang a' = •
Pour cela (le lecteur est prié de faire la figure) , rapportons l'ellipse d'Huyghens à deux axes coordonnés OX, OY courant, le premier suivant Taxe a et le second suivant Taxe b. Appelons s l'angle qui sépare Taxe cristallographique ou des Y, de la ligne de démarcation, et, par conséquent, 90 -+-8 l'angle de cette dernière ligne avec Taxe des X. Soit enfin a l'angle inconnu du rayon extraordinaire avec ce même axe, on aura
tang a X tang (90 -+- «) =r ;
d'où
tangot =-- tangff.
L'incidence étant normale, le rayon ordinaire est normal à AD et fait avec l'axe des X l'angle e. Trouver V revient donc à calculer Tangle de deux droites faisant avec lesX, l'une l'angle a et l'autre l'angle s ; donc on a
cosV
tangatangc -f> I
^ I 4- tang* « ^i •*- Ung' a -- tang' c -H I
V'i -+- tang'8 Win- — tang'
¥ai clTectuaiit ce calcul numérique, on trouve
V = 6oi2';
quant à Técart linéaire, il vient
tf tango* la' 3= O) 1086^.
Quel serait l'écart, soit angulaire, soit linéaire, pour les incidences obliques? Quelles valeurs de ces incidences donneraient à Tune et à Tautre leur valeur maximum? Les calculs par lesquels on résout ces questions sont trop longs pour que nous nous en occupions ici : il n'en est pas de même de la question suivante : Quel est F angle Ei caractéristique de la face artificielle çui donnerait, sous Fincidence normales T écart V maximum? En égalant à zéro la différentielle de cosV prise par rapport à e, on trouve, pour déterminer l'angle t^ de la face la plus avantageuse,
rang ^x=p
d'où
..=48«7'io",
de sorte que les faces naturelles du spath réalisent à trèspeu près les meilleures conditions. En reportant, dans l'expression précédente de cosT, cette valeur, on obtient, à l'aide de transformations évidentes, pour déterminer l'écart maximum ,
(*) Nous laisBoiM au leetcwr le soin dejusttfler la relation suivante qui nous a été indiquée par M. d^Aumont. Les angles c. V. sont liés par la relation très-simple
laquelle, une fois C| connu,donacV| plus rapidement que la formule spéciale
cos V, = . , . .
DOUBLE nef RACnON imiA\E. ' 27 1
et, en passant aux chiffres,
L'angle limite du rayon ordinaire vaut dans le spath i'j^ 1 1' âi"^, celui du rayon extraordinaire, considéré dans celte section où il suit exceptionnellement la loi des sinus, est 4^^ ^3' ^^'*. Dans toute autre section (nous les supposons principales), il y a deux atigles limites différents, l'un à droite et l'autre à gauche. On se rendra compte aisément, par une figure, de cette dissimilitude ainsi que de» jépures ou des calculs (S 175) qui donneraient ces deux angles limites.
Avec une face naturelle , Taxe fait avec la normale un angle de 44°* 36' supérieur aux angles limites ; il suit de là que le phénomène de non-division (8 154) du rayon réfracté n'y est pas réalisable. Comme il est souvent utile de lancer un rayon suivant Taxe, il est bon de savoir qu'on peut y arriver sans abattre les sommets pour y implanter des faces artificielles*, il suffit en effet de coller avec la térébenthine [fie* ^3), sur les deux faces parallèles, deux petits prismes égaux. Un assortiment de ces systèmes de prismes d'angles variés est très-utile dans l'étude optique des cristaux.
§ 157. — Dotible réfiractioii par réflexion intérieure.
La méthode suivie par M. Biot pour traiter ce cas intéressant est extrêmement détournée; ainsi il échange le phé^ nomène de réflexion contre une double réfraction équivalente. Il s'astreint en outre à considérer deux cas : celui où le rayon incident est ordinaire et oelui oà il est extraordinaire, et au lien de les traiter tous deux par tes mêmes res^ sources y il réduit k dernier au pre«ifier sans songer qu'une pareille distinction devient illusoire dans les cristaux biaxes. La théorie des ondes se joue avec ce phénomène comme avec tant d'autres, et met en place les rayons réfléchis par les mêmes mtfyen% et pour les mêmes motifs qui lui ont si bien réussi dans la réflexion ordinaine. Nous pro-
filerons de cetle étude pour introduire dans la construction des rayons réfléchis les dernières améliorations faites (5 151) à celle des rayons réfractés. Nous allons raisonner sur une figure plane, mais il sera visible que nos constructions réussiraient également dans T espace. , Soit (PI, V^ Jig. 84) un faisceau parallèle Aa Déformant Tonde incidente a d^ dont nous continuerons d'obtenir la direction en décrivant, extérieurement au milieu, Tonde type du rayon incident réduite à une seule des deux nappes, et en menant au point b la tangente bd. Les points a, N, N',..., deviennent successivement centres d'ébranlement et* excitent en retour, dans le même milieu, des ondes secondaires; la plus grande sera celle du point a. Traçons ses deux nappes en n oubliant pas que Tune sera la continuation de celle déjà tracée extérieurement; en leur menant par le point Jles tangentes doL^da\on aura les ondes réfléchies. Chaque rayon décrira entre Tonde incidente ad et Tune des deux ondes réfléchies, da. par exemple, un chemin brisé tel que MN -h NP. Quoique le milieu soit le même, cependant, à cause de Torieutatiou diverse, ces chemins seront décrits avec deux vitesses distinctes V et U ; le temps
, , , j j . MW NP
employé sera la somme des deux quotients -tt- -h -rr-» En
recourant à des considérations connues, le lecteur prouvera aisément que ce temps est constant dans chacune des deux directions acn^ aa\ et n^est constant que dans ces directions. Quand le rayon incident au lieu d'être ordinaire est extraordinaire, ou, pour parler plus généralement, quand il aura la seconde des deux vitesses qui appartiennent à chaque direction d'un milieu biréfringent, on devra tracer extérieurement la deuxième nappe et prolonger jusqu'à sa rencontre le rayon incident. On voit sur \^fig* 85, PL V (elle est construite pour un uni axe et pour un rayon incident contenu dans la section principale) , les lignes diverses qui ont été menées dans Tordre suivant : prolongement de
DOUBLE RÉFRACTION UNIAXE. 2^3
Aa jusqu'en ft, tangente bd^ tangentes dO^ dE^ rayons aO etaE. Quand le rayon est extraordinaire, on le prolonge jusqu'en b^^ viennent ensuite les tangentes b^d'y d'0\ d'W. On a marqué par des points les lignes qui construisent ce second cas.
§ 158. — Cas où la réflexion intérieure n'engendre qu'un rayon.
La construction des rayons réfléchis intérieurement est plus simple que celle des rayons réfractés, parce qu'un double rôle étant dévolu à Tune des courbes employées, au lieu de trois on n'en a plus que deux. Cette circonstance montre que dans certains cas la réflexion peut être simple et ne donner que le rayon de l'espèce du rayon incident. Ainsi, quand le rayon A a est ordinaire,' le point d peut tomber entre les deux courbes , et la réflexion ne donner que le rayon ordinaire : mais quand l'incident est extraordinaire , le point d\ nécessairement extérieur à l'ellipse , l'est à plus forte raison au cercle, et il y a toujours deux rayons réfléchis. Nous verrons bientôt qu'avec le quartz le contraire a lieu, et que le cas d'une réflexion simple n'y est possible qu'avec un rayon incident extraordinaire.
Dans tout ceci, il u'a pas été question du deuxième milieu, et on le conçoit, puisqu'il n'influe pas sur les époques où les divers points a , N , N', . . . (^g. 84) ^ deviennent successivement centres d'ébranlement, et que la direction des rayons réfléchis est exclusivement déterminée par le mode de cette succession. Nous verrons en polarisation qu'il cesse d'être passif, dès qu'il s'agit des autres modifications introduites dans la lumière par la réflexion.
§ 159. — Moyen dmple pour reconnaître un rayon ordinaire.
Les cas particuliers qui précédent constituent le terrain sur lequel s'est surtout placé Malus quand il a voulu vérifier la loi d'Huyghens ^ c'est ainsi que les géomètres vérifient leurs formules en y retrouvant les cas particuliers plus
2 j4 («APITRE VI.
simples. Ccîs vérifiraliôns et edles entreprises plus tard par Frcsnel, à l'aide d'une mélhode remarquable qui sera développée (§ 690) , put montré que dans les uniaxes uu des rayons était .ordinaire et T autre, conforme à Tellipsoïde d'Hilyghens. On peut loùtefoîsétablir rexislence d'un rayoii ordinaire par une expérience catégorique qui n'exige pas de mesures^ on réunit par du mastic des morceaux d'un mènie cristal diversement orientés, puis on donne à leur ensemble la forme d'un prisme. En regardant à travers ce prisme, une ligné droite, Tune des images doit revêtir et revêt en eflet la forme d'une courbe continue., convexe vers la ligné dont elle est Timage^ mais quand le prisme est formé des fragments d'un biaxe, les deux images sont brisées, et c'est ainsi que Fresnel a écarté Terreur grave qui consistait k admettre chez ces cristaux un rayon ordinaire. Chez eux il existe, comme dans les uniaxes, des sections privilégiées qui, donnant k première loi de Descartes, permettent de substituer aux constructions dans l'espace des constructions planes, et offrent des vérifications faciles^ mais la ce terrain favorable sera insuffisant pour la vérification des formules, parce qu'au lieu d'avoir une foule de ces sections principales, à savoir une pour chaque face naturelle ou artificielle, il n'y en a plus que trois en tout. Quoi qu'il en soit, comme les courbes situées dans ces trois sections sont, pour chacune encore, un cercle et une ellipse, nous considérerons l'élude de ces sections comme comprise dans le chapitre actuel. Cependant il y a cette particularité que le cercle et l'ellipse, tout en restant concentriques, ne se touchent plus; et certains résultats (par exemple la loi des tangentes du S \ii) ne se retrouvent plus dans les biaxcs. Nous engageons donc le lecteur à reprendre avec soin, pour ces cas de biaxie, toutes les questions traitées ici pour les uniaxes, afin d'y saisir les modifications que peut y introduire une relation plus générale des deux courbes caractéristiques de ces nouveaux milieux.
DOUBLE RÉFRACTION UNIAXE. 2^5
§ 160. — Cristaux répulsifs ou négatifs ; - Attractifs ou positifs.
L'énergie de la dpuble réfraction, la limpidité et l'épaisseur des cristaux, font du spath le corps biréfringent par excellence, non-seulement dans Tordre historique, mais au double point de vue des travaux dont il a été Tobjet et des applications auxquelles il se prête. D^autres corps , tels que le nitrate de soude, semblent , il est vrai , rivaliser avec lui par Fénergie intrinsèque de leur double réfraction , mais la solubilité de ces corps et Texiguïté des cristaux réalisés par Tart les a fait presque entièrement délaisser^ le quartz fait toutefois exception et vient, malgré sa faible biréfringence, se placer auprès du spath comme un second type. Ce privilège peut s'expliquer en partie par la grande épaisseur qu'ont souvent les cristaux de quartz, par leur dureté et leur inaltérabilité, mais il vient surtout de ce que le quartz réalise le second des deux cas possibles en double réfraction uniaxe.
En eiTet, tandis que le spath nous offre un indice extraordinaire moindre que Tindice ordinaire, et, par suite, un ellipsoïde aplati pour son onde extraordinaire, dans le quartz Tindice extraordinaire est le plus grand,. et Tonde extraordinaire a pour forme un ellipsoïde allongé. M. Biot, auquel on doit cette importante distinction, s'est inspiré, pour désigner les deux groupes de cristaux uniaxes, d*une particularité géométrique qui est manifeste dans les fig» ^j^j^ 83. On y voit le rayon extraordinaire constamment plus éloigné de Taxe et comme repoussé par lui. Si l'ellipsoïde était enveloppé par la sphère , le contraire aurait lieu : le spath est donc répulsif el le quartz attractif. Cette nomenclature a des inconvénients ; elle repose sur la relation angulaire de deux droites, qui ne pourrait être admise comme constante que si Ton en avait établi par le calcul l'universalité [voir page 3o3). De plus, quand la double réfraction s'opère dans le plan AF de la^g. 71 , l'axe étant normal aux deux rayons « semblerait devoir les traiter l'un comme
HjG CHAPITRE VI.
Taulre. Enfin elle esl empruntée à des notions théoriques qui uedoivent pas trouver place dans la théorie de la double réfraction telle que Va créée le génie deFresnel. Nous préférons donc, avec divers auteurs, faire allusion aux deux inégalités n' <in^ n'^/», ou bien b<^a^ 6>a,ct appeler négatifs les cristaux analogues au spath, et positifs ceux qui ressemblent au quartz.
Les indices du quartz, déterminés sur un prisme dont Yslrète était parallèle à Taxe, sont
ce qui donne pour Taxe de révolution de Tellipsoïde
et pour Taxe équatorial
Si Ton met ces nombres dans les deux dernières forniuU*s du § 156, on trouve que pour avoir, entre les deux réfractés issus d^un rayon normal, le plus grand écart, la face doit être inclinée sur l'axe de Ci = 44** 49' 10"* et que cet écart maximum V^ est de aa' 10". On a trouvé pour le spath 6** i4' 20", c'est-à-dire 16,89 fois pl^w* Nous verrons plus tard que rénergîe biréfringente est mesurée par la valeur absolue de la diflFérence n^ — w, , et qu'ainsi le spath et le quartz offrent
le rapport — ^— ~g =17,1 à peine différent du précédent.
Les figures qui correspondent aux divers cas particuliers étudiés dans ce chapitre sont faites pour un cristal négatif; le lecteur en déduira celles qui conviendraient, dans les mêmes circonstances, à un cristal positif. Au lieu d'insister sur ces transformations , nous préférons passer rapidement en revue quelques autres cas que nous recommandons comme exercices sur Tellipse.
§ 161. — Écart maziinam des rayons dans certaines sections. Ainsi, nous avons trouvé l'orientation de la face qui donne,
DOUBLE RÉFRACTION UNIAXË. 277
SOUS r incidence normale, le plus grand écart en ire les deux réfractes, et nous n'avons pas voulu nous enf^ager dans la question analogue soulevée par les incidences obliques, même dans le cas restreint des sections principales. Mais intermédiairement à ce cas particulier traité et à ces cas plus généraux récusés , il y a quelques sections qui donnent lieu à des calculs simples*, telles sont par exemple les deux sections du parallélipipède rectangle étudié § 144, et le cas où l'incidence a lieu sur une face perpendiculaire à l'axe. Le premier de ces trois cas est très-simple : on le résout en égalant à zéro la différentielle de la différence
r, — To = arc sin ( a sin /) — arc sin (6 sin < } ,
équation qui donne
ces / = o , ou bien / = 90°.
Le plus grand écart vaut donc alors la différence des deux angles limites, à savoir 5** 1 1' 54" pour le spatb, et 18' i5" pour le quartz, nombres dont le rapport 17,09 s'éloigne également peu de celui des pouvoirs biréfringents.
Dans le deuxième, il ne faut pas faire porter le calcul sur l'angle i, car la valeur cherchée de cet angle, dans chacun de ces deux corps, surpasse l'angle limite, mais sur l'angle r. On trouve alors la condition très-simple
tangr
c'est-à-dire r=46° 33' 45" pour le spath, et r = 44^ 54' 40'' pour le quartz. Comme d'ailleurs on a
b tang / = - tang r (§ 144) ,
on trouve sans peine la formule
UngV, =
278 GHAPITEE VI.
qui donne pour Vj, 3° 7' 20'' et 0° 10' 5o^' (rapport 17,29), il va sans dire que pour réaliser un tel écart il faut user des prismes introducteurs décrits page 271.
Enfin dans le troisième cas, Texpression dont il faut annuler la différentielle est
arc tang ^ y- ) ~ arc sin {b sin /)•
^ \b V» — û'sm'i/
En effectuant les calculs , on arrive â une équation qui se décompose en deux facteurs dont l'un est cos / et donne I = 90®, c'est la bonne valeur 5 Tautre forme une équation bicarrée ayant sin* 1 pour inconnue. En passant aux chiffres, on trouve , soit pour le spath, soit pour le quartz, qu'elle donne pour sin* ides valeurs soit négatives, soit plus grandes que Tunité. Comme un pareil résultat se maintiendrait sans doute (le lecteur cherchera à Tétablir d'une manière générale) pour tous les cristaux, nous en conclurons que ce dernier facteur ne donnera pas de solution, dans le cas où le milieu contigu âu cristal est Tair, de sorte qu'ici, comme dans le premier cas, c'est l'incidence rasante qui écarte le plus les deux rayons.
§ 162. — Problèmes divers.
P"* P&OBLÈME. — Puisque le rayon normal Na donne {fig. 83) l'extraordinaire aE, on conçoit qu'il y ait un certain rayon oblique Ba qui donne un rayon extraoïxlinaire normal à la face d'entrée^ trouver l'angle /decette incidence. ' La construction graphique est très-simple (*) , car il suffit de mener une tangente à l'ellipse au point y où elle est rencontrée par la normale, et de chercher par une tangente au cercle de rayon i le rayon incident correspondant. Dans
(*) On résout ici graphiquement un problème qu'on aurait pu posera part: Étant donné soil un estraordinairc , soit un ordinaire, trouver ; i** le rayon extérieur correspondant; a^ le rayon ordinaire ou extraordinaire conjugué. (Renvois! la deuxième section de ce chapitre.)
DOUBLE BÉFRAGnOBi UBiiAXE. 279
la section suivante, le calcul nous donnera) dans le cas du spath, pour celle incidence, 9° 49' ^5^, et pour Técart des' deux rajons, 5** 55' 10^' (§ 170).
Il*' Problème. — De Tau^re côté de la normale (il s'agit toujours d'un cristal négatif, le spath par exemple), il est une.incidence remarquable à un autre titre, c'est celle qui coïncide avec la direction du réfracté extraordinaire : on propose de la trouver.
Si Ton prend l'onde circulaire du milieu extérieur et Tonde elliptique du rayon extraordinaire, on voit que la question revient à cette autre: Trouver sur un diamètre commun à une ellipse et à un cercle concentriques un point tel, qu'en menant par ce point U|ie tangente à chaque courbe, les deiix points de contact soient sur le même rayon vecteur. Nous renvoyons encore au § 170.
lU*^ Problème. — Qu'on prenne les deux ondes (cercle 01 ellipse) d'une section principale d'un milieu biréfringent. Qu'on mène un rayon vecteur quelconque et les deux langentes aux points où il coupe les deux ondes. Leur point de rencontre et le centre commun des deux courbes déterminent une face qui pourra donner deux réfractés confondus dans ce rayon vecteur. De sorte que chaque face admet ce genre de superposition dont nous n'avions considéré qu'un cas très-particulier (§ 154). L'incident qui engendre cette sorte de réfraction simple s'obtient aisément; mais, quand on prend la question comme elle doit être prise, quand on se donne la face, la solution graphique est moins simple (voyez § 176). Le précédent problème offrait déjà ce contraste. En général , un rayon intérieur répond à deux extérieurs; un problème dont la solution graphiqiie est simple consiste à trouver les deux extérieurs d'un intérieur. En plaçant sur les faces parallèles ou obliques qui terminent un spath , deux lames métalliques j>ercées chacune d'un petit trou, et offrant au trou d'entrée un cône incident, on obtient, au trou de sortie, deux rayons
a8o CHAPITRE VI.
dont les intérieurs superposés se confondent avec la ligne qui joint les trous, peut-être que Ton pourrait ainsi se livrer à de nouvelles vérifications de la loi d'Huyghens.
§ 163. — Expérience de Monge.
Nous terminerons ce chapitre par la curieuse expérience de Monge.
Jusqu'à présent nous avons surtout considéré les deux rayons issus par double réfraction d'un seul rayon incident. Quand il s'agit de la vision d'un point lumineux à travers un spath , le point de vue change, car les deux faisceaux ordinaire et extraordinaire qui atteignent Tœil et donnent sur la rétine les deux images du point, proviennent de deux faisceaux incidents distincts. Si nous supposons [fig^ 86) la ligne Po^ qui joint l'œil el le point, normale aux deux faces parallèles du spath, on voit en eflet que Po sera le rayon ordinaire reçu par l'œil el que son extraordinaire afg^ jeté à droite, manquera l'œil. Le rayon extraordinaire qui l'atteint aura suivi une route telle que PAEo, et sera le conjugué d'un ordinaire ABC qui passera de l'autre côté de l'œil. Quant aux lieux apparents des deux images, si oP et oE sont les axes des deux pinceaux admis par la pupille, nous savons qu'elles sont sur les directions dernières des rayons lumineux, c'est-à-dire sur oP et oE, et que la réfraction les rapproche inégalement,
à savoir l'ordinaire dn e = 0,39 e, et l'extraordinaire
d'une quantité que nous ne nous proposons pas de calculer, mais qui est, en général, bien moindre. Cela posé, l'expérience de Monge consiste à passer lentement un écran contre le spath, du côté du point; on voit avec surprise disparaître d'abord l'image qui semblerait ne devoir être masquée que la dernière.
Le rayon extraordinaire, séparé par l'action d'une lame parallèle, reprend au delà de cette lame la direction du rayon qui Ta engendré , et celle condition de parallélisme
DOUBLE RÉFRACTION UIVIAXE. 281
est un guide utile dans la construction de la figure précédente. Quand le point dont on voit les deux images, au lieu d'être en dehors du cristal , se trouve en a sur sa surface même, on peut remplacer l'idée de parallélisme par Tidée de la répulsion de Taxe, et Ton voit que le pinceau extraordinaire aura suivi udc route, telle que aeo [fig, 87). Cette figure va nous montrer encore comment on devinerait la direction de Taxe dans un spath qui ne garderait aucune trace de la forme primitive. On le mettrait sur une tache et, regardant normalement, on aurait, par ,1a ligne des deux images, la section principale. Limage ordinaire se reconnaît à son élévation ; on saura donc placer les prismes auxiliaires (§ 156) qui permettront de sonder le cristal dans la direction de Taxe et de rencontrer les phénomènes (§278) propres à cette direction.
On peut grouper sous quatre titres les divers cas de la double réfraction. Nous appellerons le premier celui de Tonde excitatrice intérieure; il est réalisable par les exci-. tations extérieures dues à des rayons normaux , et est caractérisé par le parallélisme des deux ondes excitées; le deuxième, signalé déjà ( § i 03) , est celui des rayons superposés intérieurement. Après ces deux cas simples , vient le cas général, auquel nous avons fait constamment allusion ^ des deux rayons issus d'un extérieur unique. Enfin l'expérience de Monge nous montre un cas plus général encore et plus compliqué, dont la surface de Fonde ne donne plus une solution immédiate^ à savoir celui de deux rayons qui, Tun ordinaire et l'autre extraordinaire, sont assujettis à passer par deux points donnés. Nous retrouverons ces distinctions dans le chapitre de la double réfraction théorique.
§ 164. — Projection des expériences de double réfiraction.
L'expérience de Monge nous fournit Toccasionde décrire la disposition expérimentale à laquelle on doit recourir, quand on veut projeter et amplifier sur un tableau, les deux
images issues d'une double réfraction faible, telles que celles d'uu bloc de quartz à faces parallèles, des prismes comprimés de Fresnel, ou encore celles que nous donnera lé double réfraction circulaire.
Soit (fig* 88) un point lumineux P, puis le bloc^ puis une lentille, et enfin aux alentours du foyer conjugué de P un écran. Le pinceau conique émané de P donne, au sortir du cristal, deux pinceaux qui émanent de deux points inégalement rapprochés , tels que P', P^ Rendus convergents par râction de la lentille, ils vont concourir en deux points p', pi placés sur les lignes P'O, P, O. Or on a pu placer la lentille, de telle sorte que les distances p'a^p^o soient beaucoup plus grandes que P'O, PiO, et obtenir ainsi un grand écartement des images.
Ordinairement on prend pour objet, non pas un point lumineux P, mais un objet délié, tel qu'un fil, uqe épingle. Il est visible qu'une fois la distance PO choisie, on peut placer le bloc biréfringent en quelque {K>int que l'on voudra de la ligne PO, ou même au delà de la lentille. Les prismes comprimés de Fresnel portent actuellement dans ce but^ sur la face antérieure, un veri*e convergent (un verre de besicles) d'un foyer d'environ o™,6o. Avec le spath surtout, on reconnaît que le rapprochement des points P, Pi, du à répaisseur, n'a pas été le même, car chacune des images exige, pour se former nettement,* une position difftTCJite de Técran.
L'état de polarisation de la lumière envoyée par le porlclumière rend souvent dans ces expériences, l'intensité des deux images très-in^ale. Ou y obvie, en juxtaposant à Tobturateur de ce porte-lumière une lame de quartz (non perpendiculaire à Taxe) , dont on met la section principale à 4^ degrés du plan de polarisation. On reconnaît qu'on a réussi quand un prisme de Nicol cesse de donner, dans les divers azimuts, des variations d'intensité. Nous expliquerons plus loin cl Toriginc de cette polarisation et (§251) celle
DOUBLE ttfiFRAGTlOll UNIAXE. 283
action dépolarisanie d'une lame biréfringente convenablement orientée.
Si le point de vue synthétique auquel nous nous sommes presque exclusivement placé dans la dernière partie de ce chapitre, pour tirer de la construction d'Huyghens ses principales conséquences, a pour lui une incontestable simplicité , cependant on ne peut se dissimuler que dans la pratique, quand il s'agira de voir jusqu à quel point la théorie accepte un résultat numérique issu de Texpérience, il ne jette danf des constructions pénibles et d'une précision contestable. Il convient donc de n'y voir qu'une première étude dont on pourra se contenter à la rigueur, et de reprendre par le calcul, et dans une sorte de chapitre supplémentaire, cette importante discussion. Tel est l'objet de la deuxième section du sixième chapitre.
ARTICLE II
