ANALYSE
Calcul « de l'ellipsoide d'Huyghcns; — des paramètres caractéristiques du rayon extraordinaire. — Cas particulier de la section principale. — On revient sur le calcul numérique de quelques cas étudiés synthétiqnement. Extraordinaire d^un rayon Incident normal, — Rayon incident de Textraordinaire normal. — L'extraordinaire indévié. — Double réfraction dans les sections principales des biaxes. — Réflexion intérieure. — Les angles limitas. — Comment, pour certaines faces; il est deux directions obliques où la double réfraction manque, quoique les deux rayons n'aient pas la même vitesse. ~ Lois des vitesses des rayons et des ondes conjugués, déduites de fa construction d'Huyghens. — Vérifications de la loi des vitesses à Taide des déviations prismatiques mesurées par TapiMireil de Biot, — Vérification des formulés du rayon extraordinaire obtenue par la méthode du transport.
. § 165. — Équation de rellipsoide d'Huyghens.
Plaçons la face du cristal {fig> 89) dans le plan des XY,
et la section principale du cristal dans le plan des XZ ;
nommons L Tangle que Taxe du cristal fait avec Taxe des Z
normal à la face. L'ellipsoïde d'Huyghens ciant de révo-
lution , et ayant son axe dans le plan XZ, sera symétrique par rapport à ce plan, et n'aura pas de termes affectés des premières puissances de y. Comme d'ailleurs il a pour centre l'origine des coordonnées, son équation est de la forme
(i) Ax»4-A'j^*-hA"«'4-îBx2 4- i = o;
en faisant/ = o, on trouve l'ellipse
Aa:»-h A" a» H- 2B;r3-h I =0,
dont un axe doit être égal à & et dirigé suivant Taxe du cristal, et dont le second axe vaut a. Pour exprimer ces deux choses , passons du premier système d'axes coordonnés OX , OZ au second OX, , OZi par les formules connues
j? = xisinL — 3, cosL, % = j?, cosL + 2isinL,
il vient
Asin'L -+- A"cos'L -H2BsinLcosL
jr' + A ces* L -4- A"sin'L — 2BsinLcosL
*Î-|-{A"— A)sin2L|x,2,-|- i =0, — 2BCOS2L
et l'on a les trois équations de condition
(2) (A"— A)sin2L= 2BCOS2L,
A sin'L 4- A" cos'L -j- 2B sinL cosL '
^^ ^ ■" Acos'L H- A" sin'L — 2BsinLcosL'
L'ellipsoïde achèvera de devenir celui d'Huyghens , si nous exprimons qu'il est coupé suivant un cercle de rayon a, par
le plan x = =■ z, normal à l'axe 0X|. Or on peut se
dispenser de chercher Téquation de cette intersection dans son propre plan, et se borner à écrire que l'axe des j" est encore coupé par rdlipsoïde, à une* distance a du centre. Faisons donc x = o, z = o dans son équation ; il en résulte
DOUBLE RÉFRACTION UNIAXE. ^85
a* = — -71 el le coefficient A' se trouve explicitement déterminé. Les é[}uations (a), (3), (4), faciles à résoudre^ donneront pour les valeurs des trois autres coefficients
B= (-- — 7- ) «nLcosL, A= icos'L — -r-sin'L,
A" = — -^ sih' L — i cos^L, û» b^ '
et il suffira de les reporter dans Téqualiou (i) , pour être en possession de rellipsoïde d^Huygliens propre au point d'incidence o.
§ 166. — Calcul du rayon ordinaire.
Le rayon quelconque incident 01 a pour équations
x=imz, yz=:nz\
il fait un angle d'incidence z donné par
tang / = = yiw' -f- /i'.
L'azimutf du plan d'incidence, compté depuis le plan XOZ, est donné par
Cela posé, il faut le prolonger jusqu'à la sphère
x»^r'-f-z'=i (§i48)(*), et mener à cette sphère, au point de rencontre, un plan tan-
(** ) Si le rayon venait d'un milieu dont Tindice eût pour réciproque i^, le second membre de cette équation serait p*, et dans les calculs qui vont suivre, au lieu de
\lm* -4- !!•-+- 1 , on aurait
geiit. Les coordonnées du point de rencontre sont
^m'4-«'-f- I — v^iw'-h/i'-f- I
le âigne — au radical étant dicté par la configuration adoptée. Le plan tangent est *
ou bien
son intersection avec la .face du cristal est
Z = o, Xiw-h Yff =— • V/ii»-h/i*H- I.
C'est par cette droite qu'il nous faut mener, soit à Tellipsoïde, soit à la sphère x* -f-/*-h z'irr i', et intérieurement au. milieu , des plans tangents.
Un plan qui passe par une droite
Z = o , . X/w -h Yyi = — sjm^ -h /i' h- i , a visiblement pour équation
Xm 4-Y/i-hCZ=: — \//w'-f-«'-4- i.
Si ce plan doit être tangent à la sphère or* -h jr* -H 2* = i*, en appelant x"^ ^'i.^" 1®* coordonnées du point de contact ,' il faut que pour ce point les deux dérivées partielles
—1 — soient égales sur le plan et sur la sphère. Si Ton
exprime d'ailleurs que le point x^^y", z" est à la fois sur le plan et la sphère, on aura, pour déterminer les quatre inconnues C, ar'', j^", ^^ les quatre équations
(8) *"//« + x"n + Ct" = — y/«>+.««+i.
UOUBLE nÉFRÀCTION USIIAXB. 9.87
Les équations (5), {6), (7) (loiment
(10) • x"=m Jtnïl,
Les équations (8), (io), (ii) donnent ..
d'où Ton tire pour les inconnues ,
L'azimut du plan de réfraction a pour tangente ^ =: — ; il
ttst le même que (p, et la première loi de Descartes est satisfaite. L^anglede réfraction r a pour tangente
tangr = I^ r, = . z>
et, par conséquent, pour sinus
b ^ni^ 4- 71*
sin r =
lequel est visiblement égal à i sinz ; de sorte que la loi des sinus se retrouve sur le rayon ordinaire. Passons à Tcxtraordinaire.
a88 CHAPITRE VI.
§ 167. — Calcnl dn rayon extraordinaire.
Ici les équations (5), (6), (7) sont remplacées par ces trois autres
(i4) A x'^» H- Ay» -h A" a*'* H- aBx'^z'^ + 1=0,
lesquelles ) associées à Téquation (8) qui aura v^ipxxl'^y"' ^ a'", en place de x/^^y^ z"^ donneront l'inconnue auxiliaire C et les inconnues principales a/'', j^"^ z'"^ et surtout les quantités r', f 'qui caractérisent de la manière la plus commode la route du rayon extraordinaire, et dépendent des équations
y" i/jF** -4- y"'* ^^f' = -^> tongr'=! ^-2—.
Les équations (la) et (i3) donnent (i5) Ax" + B*-=--A'y,
et cette équation indépendante de 1 et C nous apprend déjà que unt que 9 est constant, les points de contact z^"^ y, z'" cai actérisques des rayons extraordinaires, sont compris dan s un même plan dont Téquation est (k5) ; qu'ainsi, à la famille des rayons incidents contenus dans le plan normal d'azi* mut f , répondent des rayons extraordinaires contenus également dans un même plan , mais qui est oblique sur la face d'incidence.
Quand od"^ y"'^ J" 'seront déterminés , l'une des équations (12) ou (i 3) donnera C. Si donc on reporte cette valeur provisoire tirée de (i3) dans l'équation (8), auquel cas cette dernière devient
m A'y^ x*^ 4- /i A' j'^' -i- n k" iT^ ^ nhx" z'"
= — A' ^ni' -h «' +
DOUBLE RÉFRACTION UNIAXB. 289
les équations (14)9 (^S), (16) ne contiendront plus que y, y, z''', et il s'agira de les en tirer.
Pour y arriver simplement, remplaçons dans le seul premier terme de Tëquation (16) , mk'y par sa valeur tirée de Téquation (i5), il viendra
„ Aa:^» -h /?B 3'^ x'^ -h » AO*'-* H- n A" 2'*' H- « B x'" %'"
= — A' y* slm^-^n^-^ I,
équatipn dont le premier membre se réduit d'après l'équation (i4) à — f»9 de sorte qu'on a déjà
A! v/wt» -h «' 4- I
En substituant cette valeur dans les équations (i5)et(i4)) on obtient deux équations , dont Tune est
éliminant o/'^ entre ces deux nouvelles équations, on a une équation en ^^du second degré dans laquelle le coefficient du deuxième terme est nul. Cette équation facile à former est
AA"-.B« , I (m* n'\
— — ^^•^..'^.--fi(Â^v)-*-' = ^'
les valeurs de A, A^, B donnent
il en résulte, en prenant le radical avec le signe — , puis- 'que dans la configuration adoptée z^" est négatif,
z* == - tf* \/- A ^- , . ' , [n^a'k ^ m»)
=z ^ab v^— A-hsin*/(a»A5in'f — cos'y);
car
/i* iw'-h/i* /t*
=:= - = sin** sin*«p.
COll
390 €HAPfTftB VI.
Enfffi ou iiUvaLo/^ en reportant z'^Maii s réquation(t7), ce
qui donne, en remplaçanlr de suite les paramètres m, n
par 1,9,
-, sinico»v liab , ' ■ ».
'T'" = -— !. -h y^— A 4- sin»! (fl'A sm'cp — cos^ç).
Si Ton introduit les mêmes paramètres dans y"'^ on a
y'" T=z—j sin / sin ^ = — a* sîn i sin (p.
Quant à ^ ' et r', on a
, x'" cottp B6 / ^^
y* a* A /ï A sin /sin y y
La valeur explicite de tangr' étant très-compliquée, nous déduirons r' de l'équation implicite
... y*" asmisïnf
tang r' sin / = -i;;, = — =====L= (*).
qui donnera /', quand <p' aura été obtenu à Taide de la précédente.
§ 168. — (e que serait le calciQ de l'angle d'écart. L'angle d'écart V des deux rayons esl facile à mesurer (§ 146) : il faut donc le demander aux formules pour se ménager des vérifications. On ne peut pas songer à former explicitement Texpression générale d'une des lignes trigonométriques de cet angle ; mais quand on aura calculé r par la formule sinr = b sin /, ç' et r' par l'emploi successif des deux formules précédentes, on connaîtra 9' — q et Ton aura trois éléments du triangle sphérique formé par la normale et les deux réfractés, à savoir, deux faces r, r' et le dièdre compris y' — (f. Il n'y aurait plus qu'à déterminer la troisième face par la formule connue
cosV = cosr cosr' -f- sin rsinr' cps(y' — ç).
(■) Pour accommoder toutes ces expressions au cas du milieu quelconque
